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专题5.3.2 函数的极值和最大（小）值
知识储备
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点
x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝
f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点
x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝
f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 .
①函数fx在x 处有极值的必要不充分条件是f′x＝0，极值点是f′x＝0的根，但f′x
0 0
＝0的根不都是极值点例如fx＝x3，f′0＝0，但x＝0不是极值点.
②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间
内部的点，不会是端点.
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在
[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3常用结论
1.对于可导函数f(x)，“f′(x)＝0”是“函数f(x)在x＝x 处有极值”的必要不充分条件.
0 0
2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极
值就是最值.
3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关
系.
能力检测
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字
笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题1．（2020·大同市煤矿第四中学校高三期中（文））已知函数 ，则（ ）
A．函数 的极大值点为
B．函数 在 上单调递减
C．函数 在 上有3个零点
D．函数 在原点处的切线方程为
【答案】D
【解析】A选项：由 ，得 ，令 ，
得 ，故 ， ， 为减函数，
， ， 为增函数，所以
是函数 的极小值点，无极大值点，故A错；
B选项: 当 ， 为减函数，故B错；
C选项：由函数单调性可知函数至多有两个零点，故C错；
D选项：切线斜率 ，所以切线方程为 ，D正确.故选：D
2．（2020·全国高二课时练习）已知函数 的图象与 轴相切于点 ，则
的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题知 ，由于函数 的图象与 轴相切于点
，则 ，解得 ，
， ，
令 ，可得 或 ，列表如下：
极大值 极小值
所以，函数 的极小值为 .故选：A.
3．（2020·全国高二课时练习）若函数 有小于零的极值点，则实数m的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ．
因为函数 有小于零的极值点，
所以 有小于零的实根，
即 有小于零的实根，
∵ ，∴ ，
∴ ．故选：B
4．（2020·全国高二课时练习）已知可导函数 的导函数为 ，则“ ”是“
是函数 的一个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：取 ，则 ， ，当 或 时， ，
所以，函数 在 上单调递增，该函数无极值点，充分性不成立；
必要性：由极值点的定义可以得出，可导函数 的极值点为 ，则 ，必要性成立.
因此，“ ”是“ 是函数 的一个极值点”的必要不充分条件.
故选：B．
5．（2020·全国高二课时练习）已知函数 在 上的最大值为 ，则a
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，
得 ，当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增，
故当 时，函数 有最大值 ，
解得 ，不符合题意.
当 时，函数 在 上单调递减，最大值为 ，不符合题意.
当 时，函数 在 上单调递减.此时最大值为 ，
解得 ，符合题意.
故a的值为 .故选：A.
6．（2020·全国高二课时练习）若函数 在区间 上存在最小值，则实
数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 的导函数为 ，
令 ，得 或 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 为极小值点， 为极大值点.
由 在区间 上存在最小值，可得 ，解得 ，
此时 ，
因此实数m的取值范围是 ，故选：D.
7．（2020·全国高二课时练习）已知函数 ，若在定义域内存在 ，使得不等式
成立，则实数m的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】函数 的定义域为 ， .
令 ，得 或 （舍）.
当 时， ；当 时， .
所以当 时， 取得极小值，也是最小值，且最小值为1.
因为存在 ，使得不等式 成立，
所以 ，所以实数m的最小值为1.故选：C
8．（2020·全国高二课时练习）若函数 在区间 上的极大值为最
大值，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得 ，令 ，得 或 （舍去），
若 ，则当 时， ，与题设矛盾；若 ，则当 时， ，
当 时， ，故 为函数的极大值点，
因为 在区间 内的极大值为最大值，所以 ，即 ，
所以 .故选：A
二、多选题
9．（2020·全国高二专题练习）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 有且仅有一个极值点
B． 有零点
C．若 的极小值点为 ，则
D．若 的极小值点为 ，则
【答案】AC
【解析】由题意得， 的定义域为 ，且 ，
设 ，则 ，∴ 在 上单调递增，
又 ， ，
∴ 存在唯一零点，设为 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，∴ 有唯一极小值点 ，故选项A正确．
令 ，得 ，两边同时取对数可得 ．
∴ （当且仅当 时等号成立），又
，
∴ ，即 ，
∴ 无零点，故选项B错误．
由 ，可设 ，则 ．
当 时， ，∴ 在 上单调递减．
∴ ，即 ，故选项C正确，选项D错误，故选：AC
10．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知函数 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．若 ，则函数 没有极值
B．若 ，则函数 有极值
C．若函数 有且只有两个零点，则实数a的取值范围是
D．若函数 有且只有一个零点，则实数a的取值范围是【答案】ABD
【解析】由题意得，函数 的定义域为 ，且 ，
当 时， 恒成立，此时 单调递减，没有极值，
又 当x趋近于0时， 趋近于 ，当x趋近于 时， 趋近于 ，
∴ 有且只有一个零点，
当 时，在 上， ， 单调递减，
在 上， ， 单调递增，
当 时， 取得极小值，同时也是最小值，
∴ ，
当x趋近于0时， 趋近于 ， 趋近于 ，
当x趋近于 时， 趋近于 ，
当 ，即 时， 有且只有一个零点；
当 ，即 时， 有且仅有两个零点，
综上可知ABD正确，C错误．故选：ABD．
11．（2020·全国高二课时练习）定义在R上的函数 ，若存在函数 （a，b为常
数），使得 对一切实数x都成立，则称 为函数 的一个承托函数，下列命题中正确的是（ ）
A．函数 是函数 的一个承托函数
B．函数 是函数 的一个承托函数
C．若函数 是函数 的一个承托函数，则a的取值范围是
D．值域是R的函数 不存在承托函数
【答案】BC
【解析】对A，∵当 时， ，
∴ 对一切实数x不一定都成立，故A错误；
对B，令 ，则 恒成立，
∴函数 是函数 的一个承托函数，故B正确；
对C，令 ，则 ，
若 ，由题意知，结论成立，
若 ，令 ，得 ，
∴函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
∴当 时，函数 取得极小值，也是最小值，为 ，
∵ 是函数 的一个承托函数，
∴ ，
即 ，
∴ ，若 ，当 时， ，故不成立，
综上，当 时，函数 是函数 的一个承托函数，故C正确；
对D，不妨令 ，则 恒成立，
故 是 的一个承托函数，故D错误.故选：BC.
12．（2020·福建莆田市·莆田一中高三期中）设函数 的定义域为 ，已
知 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ）
A． B． 在区间 单调递增
C． 是 的极大值点 D． 是 的最小值
【答案】ACD
【解析】 只有一个零点，即方程 在 上只有一个根， ，取对数得
，即 只有一个正根．
设 ，则 ，当 时， ， 递增， 时，
， 时， ， 递减，此时 ，
．
∴要使方程 只有一个正根．则 或 ，解得 或 ，又∵ ，∴
．A正确；
， ，
， ，取对数得 ，易知 和 是此方程的解．
设 ， ，当 时， ， 递增，
时， ， 递减， 是极大值，
又 ，
所以 有且只有两个零点，
或 时， ，即 ， ， ， ，同
理 时， ，
所以 在 和 上递增，在 上递减，所以极小值为 ，极大值为 ，
又 ，所以 是最小值．B错，CD正确．故选：ACD．
三、填空题
13．（2020·全国高二课时练习）已知 是函数 的极值点，则实数 的值为
_______．
【答案】
【解析】由 ，得 ．
因为 是 的极值点，所以 ，即 ，所以 ．
此时 ，当 时， ；当 时， ．
因此 是函数 的极小值点，即 符合题意．故答案为： .14．（2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中）已知函数 ，当
时，函数 有极值，则函数 在 上的最大值为_________.
【答案】13
【解析】 ，当 时，函数 有极值，
，解得 ，
，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
在 处取得极大值 ，
且 ， ，
在 上的最大值为13.故答案为：13.
15．（2020·全国高二单元测试）对于函数 有下列命题：
①在该函数图象上一点（﹣2，f（﹣2））处的切线的斜率为 ；
②函数f(x)的最小值为 ；③该函数图象与x轴有4个交点；
④函数f(x)在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数.
其中正确命题的序号是_____.
【答案】①②④
【解析】x≤0时，f(x)＝2xex，f′(x)＝2（1+x）ex，故f′（﹣2）＝ ，①正确；
且f(x)在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x≤0时，f(x)有最小值f（﹣1）
＝ ，
x＞0时，f(x)＝ 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x＞0时，f(x)有
最小值f（1）＝
故f(x)有最小值 ，②④正确；
令 得 ，令 得 ，故该函数图象与x轴有3个交点，③错
误；故答案为：①②④
四、双空题
16．（2020·北京市第十三中学高三开学考试）已知函数 .
（1）函数的最大值等于________；
（2）若对任意 ，都有 成立，则实数a的最小值是________.
【答案】 1【解析】（1）函数定义域是 ， ，
时， ， 递增， 时， ， 递减，
∴ 时， 取得极大值也是最大值 ；
（2）若对任意 ，都有 成立，
等价于当 时， ，
由（1）当 时， ，且 ，满足题意；
当 ， 在 上递增， ，在 递减， ，
只要 即可，∴ ，
综上 ， 的最小值是1.．
故答案为： ；1．
