九省联考模式2024届吉林长春五校高三上学期联合模拟考试数学试题(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

V．02024 届高三联合模拟考试 数学试题 东北师大附中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的考生号､姓名､考场号填写在答题卡上， 2.回答选择时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上 无效. 一､选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合A= { x∣y =log ( 2−x )} ,B= { y∣y =2x−2} ，则A∩B=（ ） 2 A. ( 0,2 ) B. [ 0,2 ] C. ( 0,+∞) D. (−∞,2 ] i 2.已知复数z= ，则z的虚部为（ ） 1−i 1 1 1 1 A.− B.− i C. D. i 2 2 2 2 3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x，则这6个点数的中位数为4的概率 为（ ） 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3 4.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD为矩形，顶棱PQ和底面平行，书中 描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即 1 V = ( 2AB+PQ ) BC⋅h（其中h是刍薨的高，即顶棱PQ到底面ABCD的距离），已知 6 AB=2BC =8,PAD和QBC均为等边三角形，若二面角P−AD−B和Q−BC−A的大小均为120°，则 该刍薨的体积为（ ） 学科网（北京）股份有限公司99 A.30 3 B.20 3 C. 3 D.48+4 3 2 5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁4 名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲､乙两人不能同时 在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）种 A.8 B.10 C.16 D.20  π 3  5π 6.已知cos α−  +sinα= ，则sin α− 的值是（ ）  6 4  6  3 1 1 3 A.− B.− C. D. 4 4 4 4 7.已知点F 为地物线C: y2 =4x的焦点，过F 的直线l与C交于A,B两点，则 AF +2 BF 的最小值为 （ ） A.2 2 B.4 C.3+2 2 D.6 1 1 1 3 8.已的a=sin ,b= cos ,c=ln ，则（ ） 3 3 3 2 A.c0，不等式g ( a+lnx )≤ g ( xex−2 −x ) 恒成立，则实数a的最大值为-1 lnt 1 D.若 f ( x )= g ( x )=t(t >0)，则 的最大值为 1 2 2x ( x +1 ) e 2 1 三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 6  2  12.x−  展开式的常数项为__________.  x2      1      13.已知向量a，b 为单位向量，且a⋅b =− ，向量c与a+3b共线，则|b +c|的最小值为__________. 2 x2 y2 14.已知双曲线C: − =1(a >0,b>0)的左，右焦点分别为F,F ,P为C右支上一点， a2 b2 1 2 2π ∠PF F = ,PFF 的内切圆圆心为M ，直线PM 交x轴于点N, PM =3 MN ，则双曲线的离心率为 2 1 3 1 2 __________. 四､解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 学科网（北京）股份有限公司15.（本小题13分） 为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰 1 壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为 ：在选 3 3 2 修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为 ，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为 . 4 5 （1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率： （2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X， 求X的分布列及期望， 16.（本小题15分） 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a =1,cosC+ccosA−2bcosB=0. （1）求B；   （2）若AC =2CD，且BD= 3，求c. 17.（本小题15分） 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为2的正方形，且PB= 6BC，点O,Q分别为棱CD,PB的中 点，且DQ⊥平面PBC . （1）证明：OQ∥平面PAD； （2）求二面角P−AD−Q的大小. 18.（本小题17分） 已知椭圆C: x2 + y2 =1(a>b>0)的两焦点F (−1,0 ) ,F ( 1,0 ) ，且椭圆C过P  − 3, 3 . a2 b2 1 2   2   （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆C的左､右顶点分别为A,B，直线l交椭圆C于M,N 两点（M,N 与A,B均不重合），记直线 AM 的斜率为k ，直线BN 的斜率为k ，且k −2k =0，设AMN ，BMN 的面积分别为S ,S ，求 1 2 1 2 1 2 学科网（北京）股份有限公司S −S 的取值范围 1 2 18.（本小题17分） 已知 f ( x )=ae2x −2xex（其中e=2.71828为自然对数的底数）. （1）当a =0时，求曲线y = f ( x ) 在点 ( 1, f ( 1 )) 处的切线方程， 1 （2）当a= 时，判断 f ( x ) 是否存在极值，并说明理由； 2 1 （3）∀x∈R, f ( x )+ ≤0，求实数a的取值范围. a 五校联合考试数学答案 一､单选题 1-8ACADB BCD 二､多选题 9.ABD 10.BC 11.AC 三､填空题 21 7 12.60 13. 14. 14 5 四､解答题 15.解：（1）若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A， 3 2 3 则P ( A )= × = . 4 5 10 （2）随机变量X 的可能取值为1，2. 学科网（北京）股份有限公司3 2 3 1 13 2 2 1 1 7 P ( X =1 )= × + × = ,P ( X =2 )= × + × = . 5 3 4 3 20 5 3 4 3 20 所以X 的分布列为： X 1 2 13 7 P 20 20 13 7 27 E ( X )= +2× = . 20 20 20 16.解：（1）a =1,∴cosC+ccosA−2bcosB=acosC+ccosA−2bcosB=0. ∴sinAcosC+sinCcosA−2sinBcosB=sin ( A+C )−2sinBcosB=0. 1 π 又A+B+C =π,∴sin ( A+C )=sinB≠0,∴cosB= ∴B= . 2 3   （2）AC =2CD，设CD= x，则AC =2x， c2 +1−4x2 1 在ABC中cosB= = ,∴c2 +1−4x2 =c. 2c 2 1+4x2 −c2 x2 −2 在ABC与BCD中，cos∠BCA= ,cos∠BCD= ,∴6x2 −c2 −3=0. 4x 2x 3± 21 3+ 21 ∴c2 −3c−3=0,∴c= .c>0∴c= . 2 2 1 17.解：（1）取PA中点G，连接GQ,GD∴点Q为PB中点，∴GQ∥ AB,GQ= AB. 2 1 底面是边长为2的正方形，O为CD中点，∴DO∥ AB,DO= AB. 2 ∴GQ∥OD,GQ=OD∴四边形GQOD是平行四边形.∴OQ∥ DG. OQ⊄平面PAD,GD⊂平面PAD,∴OQ∥平面PAD. （2）DQ⊥平面PBC,BC ⊂平面PBC∴DQ⊥ BC . 又底面是边长为2的正方形，∴DC ⊥ BC,DQ∩DC = D,∴BC ⊥平面DCQ. 学科网（北京）股份有限公司OQ⊂平面DCQ,∴BC ⊥OQ.又CQ⊂平面DCQ,∴BC ⊥CQ. PB=2 6,∴QB= 6,BC =2,∴QC = 2. 底面是边长为2的正方形，∴DB=2 2,∴DQ= 2∴DQ=CQ， O为CD中点，∴OQ⊥ DC .又BC ⊥OQ,DC∩BC =C,∴OQ⊥平面ABCD. 取AB中点E，以OE,OC,OQ所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz， 则O ( 0,0,0 ) ,Q ( 0,0,1 ) ,A ( 2,−1,0 ) ,B ( 2,1,0 ) ,D ( 0,−1,0 ) ,P (−2,−1,2 )    所以AP=(−4,0,2 ) ,AD=(−2,0,0 ) ,AQ=(−2,1,1 )，  设平面PAD法向量为m=( x,y,z ) ，    m⋅AP=−4x+2z =0  则  ∴m=( 0,1,0 ) m⋅AD=−2x=0  设平面QAD法向量为n =( x,y,z ) ，    n⋅AQ=−2x+ y+z =0  则  ∴n =( 0,1,−1 ) n⋅AD=−2x=0     m⋅n 2 cosm,n >=   = m ⋅ n 2 又二面角P−AD−Q范围为 ( 0,π ) ， π 所以二面角P−AD−Q的大小为 . 4 学科网（北京）股份有限公司 c=1 a =2,   x2 y2 18.解：（1）由题意可得：a2 −b2 =c2 ，解得b= 3，所以椭圆的方程为： + =1；   4 3 3 3 c=1  + =1  a2 4b2 （2）依题意，A (−2,0 ) ,B ( 2,0 ) ，设M ( x ,y ) ,N ( x ,y ) ，直线BM 斜率为k . 1 1 2 2 BM 若直线MN的斜率为0，则点M,N 关于y轴对称，必有k +k =0，不合题意.所以直线MN的斜率必不为 1 2 0，设其方程为x=ty+m ( m≠±2 ) ， 3x2 +4y2 =12, 与椭圆C的方程联立 得 ( 3t2 +4 ) y2 +6tmy+3m2 −12=0， x=ty+m,  6tm y + y =− , 所以Δ=48 ( 3t2 +4−m2 ) >0，且    1 2 3t2 +4 因为M ( x ,y ) 是椭圆上一点，满足  3m2 −12 1 1 y y = .  1 2 3t2 +4  x2  x2 y2 31− 1  1 + 1 =1，所以 y y y2  4  3 ， 4 3 k ⋅k = 1 ⋅ 1 = 1 = =− 1 BM x +2 x −2 x2 −4 x2 −4 4 1 1 1 1 3 −3 y y 则k =− =2k ，即k ⋅k = .因为k ⋅k = 1 2 1 4k 2 BM 2 8 BM 2 ( x −2 )( x −2 ) BM 1 2 y y y y = 1 2 = 1 2 ( ty +m−2 )( ty +m−2 ) t2y y +t ( m−2 )( y + y )+(m−2)2 1 2 1 2 1 2 3m2 −12 ( ) 3t2 +4 3 m2 −4 3 ( m+2 ) 3 = = = =− , t2 ( 3m2 −12 ) 6t2m ( m−2 ) 4(m−2)2 4 ( m−2 ) 8 − +(m−2)2 3t2 +4 3t2 +4 2  4  32 所以m=− ，此时Δ=483t2 +4−  =483t2 +  >0， 3  9  9   2  故直线MN恒过x轴上一定点D − ,0.  3  学科网（北京）股份有限公司 6tm 4t y + y =− = ,   1 2 3t2 +4 3t2 +4 因此 ，所以 S −S = 3m2 −12 32 1 2 y y = =− .  1 2 3t2 +4 3 ( 3t2 +4 )  1  2 1  2 y − y −2−  −  − y − y 2−  −  . 2 1 2  3 2 1 2  3 8 3 3t2 + 32 ( 3t2 +4 ) − 4 = 2 y − y = 2 ( y + y )2 −4y y = 3 9 = 8 3 9 3 1 2 3 1 2 1 2 3t2 +4 3 ( 3t2 +4 )2 8 3 1 4 = − 3 3t2 +4 9 ( 3t2 +4 )2 1  1 8 3 4 令x= 3t2 +4 ∈   0, 4   , S 1 −S 2 = 3 − 9 x2 +x 1 1 8 6 当 = 即t =0时， S −S 取得最大值 . 3t2 +4 4 1 2 9 8 3 4  8 6 ∴ S −S = − x2 +x∈0,  1 2 3 9   9  19.解：（1）当a =0时， f ( x )=−2xex, f′( x )=−2 ( x+1 ) ex .  f′( 1 )=−4e.∴曲线y = f ( x ) 在点 ( 1, f ( 1 )) 处的切线方程为 y =−4e ( x−1 )−2e=−4ex+2e. 1 1 （2）当a= 时， f ( x )= e2x −2xex，定义域为 (−∞,+∞) 2 2 f′( x )=e2x −2 ( x+1 ) ex =ex( ex −2x−2 ) , 令F ( x )=ex −2x−2，则F′( x )=ex −2， 当x∈(−∞,ln2 ) ,F′( x )<0；当x∈( ln2,+∞) ,F′( x )>0； 所以F ( x ) 在 (−∞,ln2 ) 递减，在 ( ln2,+∞) 上递增， F(x) = F ( ln2 )=2−2ln2−2=−2ln2<0 min 1 F (−1 )= >0,F ( 2 )=e2 −6>0 e 学科网（北京）股份有限公司存在x ∈(−1,ln2 ) 使得F ( x )=0，存在x ∈( ln2,2 ) 使得F ( x )=0， 1 1 2 2 x∈(−∞,x ) 时，F ( x )>0, f′( x )>0, f ( x ) 单调递增； 1 x∈( x ,x ) 时，F ( x )<0, f′( x )<0, f ( x ) 单调递减； 1 2 x∈( x ,+∞) 时，F ( x )>0, f′( x )>0, f ( x ) 单调递增； 1 1 所以a= 时， f ( x ) 有一个极大值，一个极小值. 2 （3） f′( x )=2ae2x −2 ( x+1 ) ex =2ex( aex −x−1 ) ， 1 1 1 a2 +1 由∀x∈R, f ( x )+ ≤0, f ( 0 )+ =a+ = ≤0，得a<0， a a a a 令g ( x )=aex −x−1，则g ( x ) 在R上递减， x<0时，ex∈( 0,1 ) ,aex∈( a,0 ) ,∴g ( x )=aex −x−1>a−x−1， 则∴g ( a−1 )>a−( a−1 )−1=0又g (−1 )=ae−1 <0， ∃x ∈( a−1,−1 ) 使得g ( x )=0，即g ( x )=aex 0 −x −1=0 0 0 0 0 且当x∈(−∞,x ) 时，g ( x )>0即 f′( x )>0； 0 当x ∈( x ,+∞) 时，g ( x )<0即 f′( x )<0， 0 0 ∴ f ( x ) 在 (−∞,x ) 递增，在 ( x ,+∞) 递减，∴ f(x) = f ( x )=ae2x 0 −2x ex 0， 0 0 max 0 0 x +1 由g ( x )=aex 0 −x −1=0,a = 0 ， 0 0 ex 0 1 ex 0 ( 1−x )( 1+x )+1 由 f(x) + ≤0得 ( x +1 ) ex 0 −2x ex 0 + ≤0即 0 0 ≤0， max a 0 0 x +1 x +1 0 0 由x +1<0得x2 −1≤1,∴− 2 ≤ x <−1， 0 0 0 x +1 x+1 −x a= 0 ,∴设h ( x )= (− 2 ≤ x<−1)，则h′( x )= >0， ex 0 ex ex 可知h ( x ) 在− 2,1 ) 上递增，h ( x )≥h ( − 2 ) = 1− 2 = ( 1− 2 ) e 2,h ( x )