专题20数学归纳法（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修2_01.同步练习_同步练习（第四套）_高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练(等10份资料)

专题20 数学归纳法
一、单选题
f(n)123 (3n1)
 nN*
1．（2020·河南省高二月考（理））利用数学归纳法证明  时，第一
步应证明（ ）
f(2)12 f(1)1
A． B．
f(1)123 f(1)1234
C． D．
【答案】D
【解析】
n f(1)1234
的初始值应为1，而 .
故选D
n
nk(kN*)
2．（2020·白山市第一中学高二开学考试（理））某个命题与自然数 有关，若 时命题成立，
那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，那么可以推得
n6 n6
A． 时该命题不成立 B． 时该命题成立
n4 n4
C． 时该命题不成立 D． 时该命题成立
【答案】C
【解析】
假设n4时该命题成立，由题意可得n5时，该命题成立，而n5时，该命题不成立，所以n4时，
n5 n6
该命题不成立.而 时，该命题不成立，不能推得 该命题是否成立．故选C．
1 1 1 13
  
3．（2020·宁县第二中学高二期中（理））用数学归纳法证明不等式n1 n2 nn 14的过程
中，由nk递推到nk1时，不等式左边（ ）
1
A．增加了一项2k11 1
B．增加了两项2k1，2k1
1
C．增加了A中的一项，但又减少了另一项k1
1
D．增加了B中的两项，但又减少了另一项k1
【答案】D
【解析】
1 1 1
  
当nk时，左边 k1 k2 kk ，
1 1 1
  
当nk1时，左边 (k1)1 (k1)2 (k1)(k1)
1 1 1 1 1
    
k2 k3 kk 2k1 2k1，
1 1 1
所以，由nk递推到nk1时，不等式左边增加了2k1，2k1
；减少了k1；
故选：D
1 1 1
1  …  n
4．（2020·梅河口市第五中学高二月考（理））用数学归纳法证： 2 3 2n 1 （nN*时
n1）第二步证明中从“k到k1”左边增加的项数是（ ）
2k 1 2k 1 2k1 2k
A． 项 B． 项 C． 项 D． 项
【答案】D
【解析】
1 1 1
1  … 
当nk时，左边 2 3 2k 1，易知分母为连续正整数，所以，共有2k 1项；1 1 1
1  … 
当nk1时，左边 2 3 2k11，共有2k11项；
k k1
2k11(2k 1)2k
所以从“ 到 ”左边增加的项数是 项.
故选D
5．（2018·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二期中（理））用数学归纳法证明“
1an2
1aa2  an1   a1,nN

1a ”，在验证n1是否成立时，左边应该是( )
1 1a 1aa2 1aa2 a3
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
1an2
1aa2  an1   a1,nN

用数学归纳法证明“ 1a ”，在验证n1时，把n1代入，左
1aa2
边 .
故选：C.
6．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考（理））用数学归纳法证明 ，则当
时，左端应在 的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，
当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，
增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．
故选：C．n2 n
7.（2020·江苏省天一中学高二期中）对于不等式 <n+1(n∈N*),某同学应用数学归纳法的证明过程
如下:
12 1
(1)当n=1时, <1+1,不等式成立.
k2 k
(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即 <k+1.
(k1)2 k1  k2 3k2   k2 3k2  k2  (k2)2
那么当n=k+1时, =(k+1)+1,
所以当n=k+1时,不等式也成立.
根据(1)和(2),可知对于任何n∈N*,不等式均成立.
则上述证法（ ）
A．过程全部正确 B．n=1验得不正确
C．归纳假设不正确 D．从n=k到n=k+1的证明过程不正确
【答案】D
【解析】
题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k时的不等式，正确的证明过程如下：
在（2）中假设nk 时有 k2 k k1 成立，即 (k1)2 (k1) (k1)1 成立，即nk1时
成立，故选D．
8．（2020·郏县第一高级中学高二开学考试（理））用数学归纳法证明不等式
1 1 1 1
   n2
n1 n2 2n 2 的过程中，由nk递推到nk1时不等式左边（ ）
1
1 1

A．增加了2k 1 B．增加了
2k1 2k2
1 1 1

C．增加了2k1 2k2，但减少了k1 D．以上各种情况均不对
【答案】C
【解析】1 1 1 1
  
当nk时，k1 k2 2k 2 ，
1 1 1 1 1
   
当nk1时，k2 k3 2k1 2k2 2，
1 1 1

故增加了2k1 2k2，但减少了k1.
C
故选： .
9．（2020·甘肃省兰州一中高二月考（理））用数学归纳法证明
(n1)(n2)  (nn)2n13  (2n1)(nN  ) 时，由“ nk nk1 ”等式两边需同乘一个代数式，它是
（ ）
2k 2 (2k1)(2k2)
A．2k2 B．(2k 1)(2k 2) C． k 1 D． k1
【答案】D
【解析】
nk (k1)(k2) (kk)2k13 (2k1)(kN )
由题意有，假设 时，    成立，则
当nk1时，
(k2)(k3) [(k1)(k1)]

左边
(kk1)(k1k1)
(k1)(k2)

(kk)
k1
(kk1)(k1k1)
2k13 (2k1)

k1
2k113 (2k1)(2k1)


右边
∴由数学归纳法可知上式成立
(2k1)(2k2)
∴显然等式两边需同乘 k1
故选：D.1
10．（2020·巴楚县第一中学高二期中（理））在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为2 n(n－3)条时，
第一步验证n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】C
【解析】
1
nn3
因为多边形的边数最少是3，即三角形，在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为2 条时，
n 3
第一步验证 等于 ，故选C.
(n1)(n2)(n3)(nn)
11．（2020·河南省高二学业考试（理））利用数学归纳法证明“
2n13(2n1) nN* nk nk1
， ”时，从” ”变到“ ”时，左边应增加的因式是
（ ）
2k1 2k3 (2k1)(2k2)
A．2k1 B． k1 C． k1 D． k1
【答案】D
【解析】
k1k2,...kk
nk
由题意“ ”时，左边为 ，
k2k3,...k1k1
nk1
“ ”时，左边为 ，
2k12k2
从而可得增加两项为 ，
k1
且减少项为 ，故选D.f n2n73n 9
m nN*
12．（2018·浙江省诸暨中学高二月考）已知 ,存在自然数 ,使得对任意 ,都
f n
m m
能使 整除 ,则最大的 的值为( )
A．30 B．9 C．36 D．6
【答案】C
【解析】
f(n)(2n7)3n 9 f(1)36
由 ，得 ，
f(2)336 f(3)1036
， ，
f(4)3436 m36
，由此猜想 .
下面用数学归纳法证明：
n1
(1)当 时，显然成立。
nk f(k)
(2)假设 时， 能被36整除，即
f(k)(2k7)3k 9
能被36整除；
nk1
当 时,
[2(k1)7]3k19
3(2k7)3k 91823k1
 
3(2k7)3k 918  3k11 
 
3k11

是2的倍数，
18  3k11 
能被36整除，
 nk1 f(n) n f(n)(2n7)3n 9
当 时， 也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数 都有 能
被36整除，m
的最大值为36.
故选：C.
二、填空题
1 1 1
1   n(nN
13．（2019·邳州市第四中学高二期中（理））用数学归纳法证明 2 3 2n 1 且
n1)
，第一步要证的不等式是_________．
【答案】
【解析】
1 1
1  2
式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到22 1，所以答案为 2 3 ．
1an2
1aa2 ...an1  a1
14．（2016·上海市金山中学高一期末）用数学归纳法证明“ 1a ”，在
n1
验证 成立时，等号左边的式子是______.
1aa2
【答案】
【解析】
a0 an1
因为左边的式子是从 开始， 结束，且指数依次增加1
n1 a0 a1a11 1aa2
所以 ，左边的式子为 ，
1aa2
故答案为 .
15．（2019·江苏省连云港市锦屏高级中学高二期中（理））利用数学归纳法证明“
1 1 1 1 1 1 1 1
1         
 
2 3 4 2n1 2n n1 n2 2n”时从“nk”变到“nk1”时，左边应
增加的项是______________.1 1

【答案】2k1 2k2
【解析】
1 1 1 1 1 1 1 1
1         
 
当nk时，等式为 2 3 4 2k1 2k k1 k2 2k ，
1 1 1 1 1 1 1 1
1         
 
当nk1时，等式为 2 3 4 2k1 2k2 k2 k3 2k2，
因此，从“nk”变到“nk1”时，左边应增加的项是
 1 1 1 1 1   1 1 1 1 1  1 1
1       1       
     
 2 3 4 2k1 2k2  2 3 4 2k1 2k  2k1 2k2.
1 1

故答案为：2k1 2k2.
nN* 1222 23 25n1
16．（2019·江苏省高二期中（理））用数学归纳法证明“当 时，  能被31
k k1
整除”时，从 到 时需添加的项是______.
25k 25k125k2 25k325k4
【答案】
【解析】
根据数学归纳法，
nk 1222 23L 25k1
当 时：原式为： ；
nk1 1222 23 25k1 25k 25k125k2 25k325k4

当 时，原式为 .
25k 25k125k2 25k325k4
故需添加的项是： .
25k 25k125k2 25k325k4
故答案为： .
三、解答题
17．（2020·陕西省西安一中高二期中（理））用数学归纳法证明：159134n32n2 n(nN )
 ．
【答案】详见解析
【解析】
n1 1 1
证明（1）当 时，左边 ，右边 ，命题成立．
n k(k 1,kN ) 159134k 32k2 k
（2）假设  时，命题成立，即 ．
15913 4k34k12k2 k4k1
nk1 
则当 时，
2k2 3k 12k 12 k 1
．
所以当nk1时，命题成立．
综合（1）（2）可知，原命题成立．
a 
n S S 2a n
18．（2020·武威第六中学高二期中（理））已知数列 n 的前 项和为 n，且满足 n n ，
a a a a 
（1）求 1， 2， 3，并猜想数列 n 的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
a 1 a 3 a 7 a 2n 1
【答案】（1） 1 ， 2 ， 3 ， n ；（2）见解析
【解析】
S 2a n a 1 S 2a n1
（1）  n n ，当 n1 时， 1 ，且 n1 n1 ，
a 2a 1 a 3 a 7 a 2n 1
于是 n1 n ，从而可以得到 2 ， 3 ，猜想通项公式 n ；
a 2n 1
（2）下面用数学归纳法证明： n ．
a 1
n1
①当 时， 1 满足通项公式；
nk a 2k 1
②假设当 时，命题成立，即 k ，
由（1）知 a k1 2a k 12  2k 1  1 ， a k1 2k11 ，即证当nk1时命题成立.
a 2n 1
由①②可证 n 成立．1 1 1 1
19．（2020·新疆维吾尔自治区高二期中（理））已知数列12 ，23，34，…，n(n1)，…，
S ,S ,S
（1）计算 1 2 3；
S
（2）由以上结果推测计算 n的公式，并用数学归纳法给出证明.
1 2 3 n
S = ,S  ,S  S 
【答案】（1） 1 2 2 3 3 4 ；（2） n n1，证明见详解
【解析】
1
S =
（1） 1 2 ，
1 1 1 2
S S + =  
2 1 23 2 6 3 ，
1 2 1 3
S S + = + =
3 2 34 3 12 4 ；
n
S 
（2）由（1）猜想 n n1 ，下面用数学归纳法加以证明：检验初始值n1时等式成立，假设nk时
nk1
命题成立，证明当 时，命题也成立.
1 1
S = =
①n1时， 1 11 2 ，成立；
k
S 
②假设nk时，有 k k1成立，
则当nk1时，
1
S S 
k1 k (k1)(k2)k 1
 
k1 (k1)(k2)
k2 2k1

(k1)(k2)
(k1)2

(k1)(k2)
k1

(k1)1，
nk1时，猜想也成立，
nN
故由①，②可知，猜想对 都成立.
a  a 1 a 4a 4a
20．（2020·湖北省高二月考）已知数列 n 满足 1 ， n n1 n．
a a a
（1）计算 2， 3， 4的值，并猜想数列通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
4 2 4 4
a  a  a  a 
【答案】（1） 2 5， 3 3 ， 4 7，猜想： n n3 ．（2）见解析
【解析】
a  a 1 a 4a 4a
（1）因为数列 n 满足 1 ， n n1 n，
4
a 
所以当n1时， (a 1 4)a 2 4a 1，得 2 5，
4 4 4
( 4)a 4 a 
当n2时， (a 4)a 4a ， 5 3 5，得 3 6 ，
2 3 2
4 4 4
( 4)a 4 a 
当n3时， (a 4)a 4a ， 6 4 6 ，得 4 7
3 4 3
4
a 
由此猜想 n n3 ，（2）用数学归纳法证明如下：
4
a  1
①当n1时， 1 13 ，猜想成立；
4
a 
②假设当nk时猜想成立，即 k k3；
a 4a 4a
nk1
则当 时， k k1 k
4
4
4a k3 44 4
a  k   
得
k1 a 4 4 44(k3) (k1)3
k 4
k3
所以当 nk1时猜想成立
根据①、②可知猜想正确.
a 
a 1 n S
21．（2020·白山市第一中学高二开学考试（理））已知数列 n ，首项 1 ，前 项和 n足
S
n
n2 nN*
a .
n
S ,S ,S ,S S
（1）求出 1 2 3 4，并猜想 n的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
4 3 8 2n
S  S  S  S 
【答案】（1） S 1 ， 2 3， 3 2 ， 4 5； n n1（2）证明见解析
1
【解析】
S
n n2
（1）根据题意，由a ，
 nN*
，a 1得：
n 1
S a 1
1 1 ，
4
S 
由 S 2 22a 2 4S 2 S 1 4S 2 1 ，得： 2 3， 4 3 6
S 32a 9S S 9  S   S  
由 3 3 3 2  3 3，得： 3 2 4 ，
 3 8
S 42a 16S S 16  S   S 
由 4 4 4 3  4 2，得： 4 5，
2n
S 
猜想 S 的表达式为： n n1；
n
4 3 8 2n
S  S  S  S 
综上所述，答案为： S a 1 ， 2 3， 3 2 ， 4 5； n n1；
1 1
（2）证明：
21
1
S 1
1.当n1时，11 ，∵ ，∴猜想正确；
1
2k
2.假设当 nk

k
1,kN*
时，猜想正确，即
S
k

k1；
S (k 1)2a (k 1)2S S 
nk1
那当 时，由已知得： k1 k1 k1 k
将归纳假设代入上式，得：
 2k 
S (k 1)2 S 
 
k1  k1 k 1
 k2 2k  S 2k(k 1)
k1
2(k 1) 2(k 1)
S  
∴ k1 k 2 (k 1)1，
这就是说，当nk1时，猜想正确；
2k
S 
综上所述1，2知：对一切nN*，都有 k k1成立.
a  b 
a b 2,a b ,a a b
22．（2018·浙江省高三月考）已知 n 是等差数列, n 是等比数列, 1 1 3 3 1 5 4．设c a b ,S
c 
n
n n n n是数列 n 的前 项和．
a ,b
(1)求 n n；
S 8(3n4)2n1
(2)试用数学归纳法证明： n ．
a 3n1,b 2n
【答案】(1) n n ；(2)见解析
【解析】
a  d,b  q a b 2 a 2(n1)d,b 2qn1
(1)设 n 的公差为 n 的公比为 ,由 1 1 ,得 n n ．
22d 2q2,

又由 a b ,a a b ,得 224d 2q3, 解得 d 3,q2 ．
3 3 1 5 4
a 3n1,b 2n
所以 n n ．
c (3n1)2n c 4
(2)证明：由(1)知, n ,则 1 ．
n1
S 8(314)211 4
①当 时, 1 ,结论成立．
nk S 8(3k4)2k1 nk1
②假设当 时, k 成立,则当 时,
S S c 8(3k4)2k1(3k2)2k1
k1 k k1
8(6k2)2k1 8(3k1)2k2 8[3(k1)4]2(k1)1
,结论也成立．
S 8(3n4)2n1
综合①②,由数学归纳法可知, n .