专题08圆的方程（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修1_06.专项练习_专题08圆的方程-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题08 圆的方程 一、单选题 x2  y2 Ex y40 1．（2020·湖南省高二月考）曲线方程 表示一个圆的充要条件为（ ） E 15 E 15 E2 15 E2 15 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 表示圆的充要条件是 E2 12 440 ，即E2 15. 故选：C． (2，1) 2．（2019·浙江省高二期中）圆心在 上，半径为3的圆的标准方程为（ ） (x2)2 (y1)2 3 (x2)2 (y1)2 9 A． B． (x2)2 (y1)2 3 (x2)2 (y1)2 9 C． D． 【答案】B 【解析】 (2，1) (x2)2 (y1)2 9 圆心在 上，半径为3的圆的标准方程为： 故选： B A2，1，B4，1， 3．（2020·北京高三一模）设 则以线段AB为直径的圆的方程是（ ） (x3)2  y2 2 (x3)2  y2 8 A． B． (x3)2  y2 2 (x3)2  y2 8 C． D． 【答案】A 【解析】 AB 22 22 的中点坐标为：3,0，圆半径为 r    2 ， AB 2 2(x3)2  y2 2 圆方程为 . 故选：A. 1,1 4．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）圆心为 且过原点的圆的方程是（ ） x12 y12 1 A． x12 y12 1 B． x12 y12 2 C． x12 y12 2 D． 【答案】D 【解析】 x12 y12 m(m0) 012 012 m(m0) 设圆的方程为 ，且圆过原点，即 ，得m2， x12 y12 2 所以圆的方程为 .故选D. A3,6 B1,4 C1,0 ABC 5．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考）已知点 ， ， ，则 外接圆的圆 心坐标为( ) 5,2 5,2 2,5 5,2 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 64 2,5 1 线段AB中点坐标为 ，线段AB斜率为 31 ，所以线段AB垂直平分线的斜率为1，故线段 AB的垂直平分线方程为 y5x2 ，即 y x7 . 60 1 2,3 3  线段AC 中点坐标为 ，线段AC 斜率为 31 ，所以线段AC 垂直平分线的斜率为 3，故线段1 1 11 y3 x2 y  x AC 的垂直平分线方程为 3 ，即 3 3 . y x7  x5  1 11 由   y  3 x 3 y 2.所以 ABC 外接圆的圆心坐标为 5,2 . 故选：A C 4x3y 0 6．（2020·陕西省陕西师大附中高一期末）若圆 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 和 x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） 2  7 (x3)2  y 1 A． (x2)2 (y1)2 1 B．   3   2  3 x (y1)2 1 C． (x1)2 (y3)2 1 D．  2   【答案】A 【解析】 设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0）， 4a3b r 1 由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d= 5 ，化简得：|4a-3b|=5①， 又圆与x轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去）， 1 把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-2 （舍去），∴圆心坐标为（2，1）， 则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1． 故选A 3x4y 0 3x4y+100 7．（2020·江苏省王淦昌中学高一开学考试）已知圆M与直线 和 都相切，圆 y x4 M 心在直线 上，则圆 的方程为（ ） (x3)2 (y1)2 1 (x3)2 (y1)2 1 A． B．(x3)2 (y1)2 1 (x3)2 (y1)2 1 C． D． 【答案】C 【解析】 3x4y 0 3x4y100 3x4y50 到两直线 及 的距离都相等的直线方程为 ，联立方程组 3x4y50 x3 { { y x4 ，解得 y 1.两平行线之间的距离为 2 ，所以，半径为 1 ，从而圆 M 的方程为 x32 y12 1 . 选C. 8．（2020·广东省高三月考（理））已知圆 x2  y2 1 ，点 A(1,0) ， ABC 内接于圆，且BAC 60， 当B，C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（ ） 1 x2y2  1 x2  y2  A． 2 B． 4 1 1 1 1 x2  y2  x x2  y2  x     C． 2 2 D． 4 4 【答案】D 【解析】 设BC中点为D， 圆心角等于圆周角的一半，BAC 60，BOD60 ， 1 1 OD OB 在直角三角形BOD中，由 2 2， 1 x2  y2  故中点D的轨迹方程是： 4 ， 1 x 如图，由BAC的极限位置可得， 4 . 故选：D C 4,6,2,2,5,5 M,N C CMN 9．（2020·全国高三月考（理））已知圆 过点 ，点 在圆 上，则 面 积的最大值为（ ） 25 A．100 B．25 C．50 D． 2 【答案】D 【解析】 C x2  y2 DxEyF 0 4,6,2,2,5,5 设圆 的方程为 ，将 代入可得， 524D6EF 0  82D2EF 0 ，解得 .   505D5EF 0 D2,E 4,F 20 故圆C的一般方程为 x2  y2 2x4y200 ，即 x12 y22 25 ， 1 1 1 25 S  CM CN sinMCN  55sinMCN  551 故CMN的面积 2 2 2 2 . 25 CMN 面积的最大值为 2 . 故选：D. m2n 6 C 10．（2019·全国高三二模（文））已知2， ， 成等差数列，则圆 ： x3 5 2 y12 4上的点到点M m,n距离的最大值为（ ） 3 5 A．1 B．2 C．5 D． 【答案】C 【解析】 2m2n26 因为2， m2n ， 6 成等差数列，所以 ，可得m2n20，   3 5,1 所以点M 的轨迹方程为x2y20，圆心 ，则圆C上的点到点M 的最大值为 3 522 d  2325. max 5 故选：C 二、多选题 x2  y2 4x10 11．（2019·辽宁省高二期末）圆 （ ） 2,0 y 0 A．关于点 对称 B．关于直线 对称 x3y20 x y20 C．关于直线 对称 D．关于直线 对称 【答案】ABC 【解析】 x2  y2 4x10(x2)2  y2 5 2,0 ，所以圆心的坐标为 . 2,0 A：圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点 是圆心，所以本选项正确； y 0 B：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线 过圆心，所以本选项正确； x3y20 C：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线 过圆心，所以本选项正确； x y20 D：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线 不过圆心，所以本选项不正确. 故选：ABCPcos,sinR l:xmy40 12．（2019·福建省南安第一中学高二月考）已知点 ，直线 ，下列 结论正确的是（ ） 4,0 l A． 恒过定点 OP 1 O B． （ 为坐标原点） P l C． 到直线 的距离有最小值，最小值为3 P l D． 到直线 的距离有最大值，最大值为5 【答案】ABD 【解析】 l:xmy40 y 0 x4 直线 ，当 时， ，故A正确； OP  cos2sin21 ，故B正确； 0,0 4,0 点P的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆，直线过定点 ，位置如图： P l 由图可知，点 到直线 的距离最小值为0， x P l 当直线与 轴垂直时，圆心到直线的距离最大，最大值为4，所以 到直线 的距离有最大值，最大值为5.故C错误，D正确. 故选：ABD. 13．（2019·福建省高一期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到 A,B 1 两个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波 PA 1 P满足  罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系 xOy 中,A2,0,B4,0,点 PB 2 .设点 P 的轨迹为 C , 下列结论正确的是（ ） x42  y2 9 A．C的方程为 PD 1  B．在 x 轴上存在异于 A,B 的两定点 D,E ,使得 PE 2 A,B,P PO APB C．当 三点不共线时,射线 是 的平分线 MO 2|MA| D．在 C 上存在点M ,使得 【答案】BC 【解析】 PA 1 x22  y2  = 设点 Px,y ，则 PB 2 x42  y2 ，化简整理得 x2  y2 8x0 ，即 x42  y2 16 ，故A PD 1 AP2 PO2 AO2  错误；当D1,0,B2,0,时， PE 2，故B正确；对于C选项， cosAPO= ， 2APPO BP2 PO2 BO2 cosBPO= 2BPPO ,要证PO为角平分线，只需证明cosAPO=cosBPO，即证AP2 PO2 AO2 BP2 PO2 BO2 2APPO  2BPPO ，化简整理即证PO2 2AP2 8，设Px,y ，则 PO2  x2  y2 ， 2AP2 82x2 8x2y2   x2 8x y2   x2  y2  x2 y2 ，则证 M x ,y  MO 2|MA| cosAPO=cosBPO ，故C正确；对于D选项，设 0 0 ,由 可得 x 2  y 2= x 22  y 2 ，整理得3x 2 3y 2 16x +160，而点M在圆上，故满足 0 0 0 0 0 0 0 x2  y2 8x0 x =2 y ，联立解得 0 ， 0无实数解，于是D错误.故答案为BC. 三、填空题 C:(x1)2 (y2)2 4 y 2x1 14．（2019·江苏省南京师大附中高三一模）圆 关于直线 的对称圆的方 程为_____. (x3)2  y2 4 【答案】 【解析】 C:(x1)2 (y2)2 4 (1,2) y 2x1 (x,y) 的圆心为 ，关于 对称点设为 ， y2 x1 2 1   2 2  则有: y2 1 ，解得x3 ，     x1 2 y 0 (3,0) (x3)2  y2 4 所以对称后的圆心为 ，故所求圆的方程为 . (x3)2  y2 4 故答案为： x2  y2 2xmym30 15．（2020·广东省红岭中学高二期末）方程 表示圆C中，则圆C面积的最 小值等于________. 【答案】3【解析】  m 2 m2 x2  y2 2xmym30x12  y  m4    2  4 m2 1 R2  m4 m22 3 4 4 m2 3 R2 3 当 时，半径最小为 ，故面积为 故答案为3 O(0,0) A(4,0) M C:(x2)2  y2 1 16．（2020·全国高三月考（理））已知点 ， ， 是圆 上一点，则 |OM | | AM |的最小值为_________ 1 【答案】3 【解析】 |OM |2 x2  y2  设点M(x,y)，则| AM |2 (x4)2  y2 (x2)2  y2 1 y2 1(x2)2 又因为 ，则 ， |OM |2 4x3 10  1 故| AM |2 4x13 4x13，x[1,3]， 10 y 1 易得函数 4x13在[1,3]上单调递增. |OM |2 1 |OM | 1 则| AM |2 的最小值为 9 ，故| AM |的最小值为 3 . 1 故答案为：3x3y 0 C y x 17．（2019·山东省高三期中）已知圆心在直线 上的圆 与 轴的正半轴相切，且截 轴所得的 4 2 C P6,5 C Q 弦长为 ，则圆 的方程为______，则点 到圆 上动点 的距离最大值为______. x32 y12 9 【答案】 8 【解析】 (xa)2 (yb)2 r2 (a0,b0) 设圆的方程为 a3b0 a3   a r b1 由题意可得 ，解得 ，  b2 8r2  r 3   x32 y12 9 所以圆的方程为 ； P6,5 C(3,1) d  (63)2 (51)2 5 设点 到圆心 的距离为 ， P6,5 C Q d r 538 则点 到圆 上动点 的距离最大值为 . x32 y12 9 故答案为： ；8 四、解答题 18．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆 的方程． 【答案】(x－3)2＋(y－3)2＝18. 【解析】 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．  a2 b2 r2  由题意得a2 (b6)2 r2 解得 ∴圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.  a b  点睛： 确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 (a,b) r a,b,r ①若已知条件与圆心 和半径 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于 的方程组，从而 求出a,b,r 的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组， 进而求出D、E、F的值． y y  x 7 19．（2019·吉林省东北师大附中高一月考）已知一个圆与 轴相切，在直线 上截得弦长为2 ， x3y 0 且圆心在直线 上，求此圆的方程. (x3)2 (y1)2 9 (x3)2 (y1)2 9 【答案】 ， 【解析】 (xa)2 (yb)2 r2 设圆的方程为： ， |a|r 则： ， a3b0， |ab|  r2 7 2 ， a3 a3   b1 b1 所以 或 ，   r 3 r 3   (x3)2 (y1)2 9 (x3)2 (y1)2 9 因此圆的方程为： ， . 20．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）已知圆 ： ，圆 关于直线 对称，圆心在第二象限，半径为 . （1）求圆 的方程； （2）直线 与圆 相切，且在 轴、 轴上的截距相等，求直线 的方程. 【答案】（1） （2） 或 .或【解析】 分析： （1）通过圆 关于直线对称，可知圆心在直线上，再结合半径为 ，得到关于 的方程组，求解方程组， 选择在第二象限中的根，即可求得圆的方程；（2）分截距为零和不为零两种情况讨论，利用圆心到直线 距离等于半径求解直线方程。 详解： （1）由 知圆心 的坐标为 ， 圆 关于直线 对称， 点 在直线 上， 则 ，又 ，圆心 在第二象限， ， ， 所求圆 的方程为 （2） 当切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，可设 的方程为 ， 圆 的方程可化为 ，圆心 到切线的距离等于半径 ， 即 ， ，或 当切线在两坐标轴上的截距为零，设 ，求得： 所求切线方程 或 或 A5,2,B(0,3),C(4,1) 21．（2019·四川省成都七中高二期中（理））已知圆P过 . （1）求圆P的方程； M(3,3) （2）若过点 的直线l被圆P所截得的弦长为8，求直线l的方程. x2  y2 4y210 4x3y210 x3 【答案】（1） ；（2） 或 . 【解析】 x2  y2 DxEyF 0 （1）设圆P的方程为： .∵A，B，C都在圆上， 295D2EF 0 D0   93EF 0 E 4 ∴ ，解得 .   174DEF 0 F 21   x2  y2 4y210 ∴所求圆P的方程为 . x2 (y2)2 25 P(0,2) r =5 （2）由 ，知圆心 ，半径 ， d  52 42 3 由直线l被圆p截得的弦长为8，得圆心距 y3k(x3) 当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为： ， kx y3k30 即 ， 3k1 4 d  3 k  ∴圆心P到直线l距离 k2 1 ，化简得 6k 8 ，则 3 . 4 y3 (x3) ∴直线l方程为： 3 ，即4x3y210 l  x x3 当直线 轴时，直线l方程为 ， y2 4y120 y 6,y 2 代入圆方程得 ，解得 1 2 ， ∴弦长仍为8，满足题意. 4x3y210 x3 综上，直线l的方程为 或 A6，0 B1,5 22．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考）圆C过点 ， ，且圆心在直线 l:2x7y80 上. （1）求圆C的方程； Q8,0 PQ （2）P为圆C上的任意一点，定点 ，求线段 中点M的轨迹方程.2  11 13 x (y1)2  【答案】（1） (x3)2 (y2)2 13 ；（2）  2   4 . 【解析】 50 k  1 （1）直线AB的斜率 16 ， 所以AB的垂直平分线m的斜率为1. 61 7 95 5 x  y   AB的中点的横坐标和纵坐标分别为 2 2 ， 2 2. 5  7 y 1 x   因此，直线m的方程为 2  2.即x y10. l l 又圆心在直线 上，所以圆心是直线m与直线 的交点.联立方程组 x y10  2x7y80， x3  解得 y 2 C3,2 r  CA  13 所以圆心坐标为 ，又半径 ， (x3)2 (y2)2 13 则所求圆的方程是 . PQ M x,y Px ,y  （2）设线段 的中点 ， 0 0 x 8 0  x   2  M为线段 的中点，则 y 0 ，  0  y PQ  2 x 2x8 0  解得 y 2y  0 P2x8,2y (2x83)2 (2y2)2 13 代入圆C中得 ，2  11 13 x (y1)2  即线段PQ中点M的轨迹方程为  2   4 . 3x2y 0 23．（2019·四川省成都七中高二期中（理））已知圆C的圆心在直线 上，并且与x轴的交点 A(2,0),B(6,0) 分别为 . （1）求圆C的方程； 3x2y 0 △MCN （2）若直线l过原点且垂直于直线 ，直线l交圆C于M，N，求 的面积. (x2)2 (y3)2 25 2 39 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 AB x2 （1）线段 的中垂线方程为： ， A(2,0),B(6,0) AB 圆与x轴的交点分别为 ，则圆心在线段 的中垂线上. x2  由 3x2y 0，得y 3，∴圆心C为(2,3)， r  AC 5 又半径 ， (x2)2 (y3)2 25 ∴圆C的方程为 . 2 k  （2）直线l垂直于直线3x2y 0，则 l 3 2x3y 0 又直线l过原点，则直线l的方程为： ， 49 d   13 所以点C到直线l的距离为： 49 ， MN 2 r2 d2 4 3 ， 1 1 S  |MN |d  4 3 13 2 39 MCN 2 2 .