文档内容
4.4 数学归纳法
【题组一 增项问题】
1．（2020·霍邱县第二中学开学考试（理））用数学归纳法证明“
”，在验证 是否成立时，左边应该是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】用数学归纳法证明“ ”，在验证 时，把
代入，左边 .故选：C.
2．（2020·河南洛阳）用数学归纳法证明不等式 时，以下说法
正确的是（ ）
A．第一步应该验证当 时不等式成立
B．从“ 到 ”左边需要增加的代数式是
C．从“ 到 ”左边需要增加 项
D．以上说法都不对
【答案】D
【解析】第一步应该验证当 时不等式成立,所以 不正确；
因为 ，
所以从“ 到 ”左边需要增加的代数式是 ，所以 不正确；所以从“ 到 ”左边需要增加 项，所以 不正确。
故选：D
3．（2020·陕西省洛南中学高二月考（理））用数学归纳法证明 ，则当
时，左端应在 的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，
当n=k+1时等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+
（k+1）2．
故选C．
4．（2020·吉林吉林·高二期末（理））用数学归纳法证明等式， 时，由
到 时，等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由 到 时，等式左边增加了
，故选C.
5．（2020·山西高二期末（理））用数学归纳法证： （ 时 ）第二步证明中从“ 到 ”左边增加的项数是（ ）
A． 项 B． 项 C． 项 D． 项
【答案】D
【解析】当 时，左边 ，易知分母为连续正整数，所以，共有 项；
当 时，左边 ，共有 项；
所以从“ 到 ”左边增加的项数是 项.
故选D
6．（2020·吉林洮北·白城一中高二期末（理））用数学归纳法证明 时，从
到 ，不等式左边需添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时，所假设的不等式为 ，
当 时，要证明的不等式为 ，
故需添加的项为： ，
故选：B.7．（2020·陕西渭滨·高二期末（理））用数学归纳法证明 ，则当
时，左端应在 的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当 时，等式左端 ，
当 时，等式左端 ，
增加了项 ．
故选：C．
【题组二 等式的证明】
1．（2020·上海高三专题练习）求证： .
【答案】证明见解析；
【解析】当 时，左边 ，右边 ，等式成立.
假设 时等式成立，即
.
那么当 时，
左边右边.
这就是说，当 时等式仍成立.
综上可知，对一切 ，等式成立.
2．（2020·西藏乃东·山南二中高二月考（理））用数学归纳法证明：
【答案】证明见解析
【解析】（1）当 时，左边=-1，右边=-1，等式成立；
（2）假设当 时等式成立，
即 ，
则当 时，
左边
=右边.
所以，当 时，等式成立；
由（1）（2）可知，对 .
3．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：
．
【答案】证明见解析.【解析】当 时， ，等式成立，
假设当 时，等式成立，即
则当 时，
，原等式仍然成立，
所以
4．（2020·上海高二课时练习）设 ，证明：
.
【答案】证明见解析；
【解析】当 时，左边 ，右边 ，故等式成立.
假设当 时，等式成立，即
，
当 时，.
.
所以当 时，等式也成立.
综上所述，对任意 ，等式成立.
5．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明： ．
【答案】证明见解析
【解析】证明：①当 时，左边 ，右边 ，等式成立．
②假设当 时等式成立，即
．
那么当 时，，等式也成立．
根据①和②，可知 对任何 都成立．
原等式得证.
【题组三 不等式的证明】
1．（2020·上海高三专题练习）用数学归纳法证明： .
【答案】证明见解析；
【解析】（1）当 时，左边 ，右边 ，不等式成立.
（2）假设当 ， 时，不等式成立，即有 ，
则当 时，左边
，
又
即 ，
即当 时，不等式也成立.
综上可得，对于任意 ， 成立.2．（2019·周口市中英文学校高二期中（文））用数学归纳法证明1＋ ≤1＋ ≤ ＋
n(n∈N*)．
【答案】见解析
【解析】(1)当n＝1时， ≤1＋ ≤ ，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋ ≤1＋ ＋ ＋…＋ ≤ ＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＞1＋ ＋2k· ＝1＋ .
又1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＜ ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)，
即n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．
【题组四 整除】
1．（2020·上海高二课时练习）求证： 能被 整除 ．
【答案】见解析
【解析】当 时，原式 ，能被 整除；
②当 时，假设 ，能被 整除 ，
当 时， ，
均可被 整除，
所以当 时，命题成立。
综上：由①②知 能被 整除【题组五 数归在数列中的应用】
1．（2020·上海市市西中学月考）数列 满足 ）.
（1）计算 ，并由此猜想通项公式 ；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【解析】（1） ，由此猜想 ；
（2）证明：当 时， ，结论成立；假设 （ ，且 ），结论成立，即
当 （ ，且 ）时， ，即
，所以 ，这表明当 时，结论成立，
综上所述， .
2．（2020·安徽庐江·高二月考（理））各项都为正数的数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证： 对一切 恒成立．
【答案】（1） ；（2）见解析【解析】(1)因为 ，
所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 ，
又 ，则 .
(2)证明：由(1)知，即证 .
①当 时，左边 ，右边 ，所以不等式成立；
当 时，左边 右边，所以不等式成立．
②假设当 时不等式成立，
即
当 时，
左边
所以当 时不等式成立．
由①②知对一切 不等式恒成立．
3．（2020·浙江高三其他）已知数列 前 项和为 ，且满足 .
（1）求数列 的通项公式；（2）记 为 的前 项和 ，证明: .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）当 时，由 ，即 ，
所以， ，又 ，故数列 为首项与公差都为 的等差数列，
所以， ，即 ，故 ，而 ，
故数列 的通项公式： .
（2）由（1）可得 ，
所以，
要证明 ，
即证明 .
数学归纳法证明：
当 时，左边 ，右边 ，不等式成立；
假设当 时， 成立，那么当 时，
左边
右边.
即当 时，不等式也成立；
综上，当 时，不等式 成立，
故 .
