专题12双曲线（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修1_06.专项练习_专题12双曲线-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题12 双曲线 一、单选题 x2 2y2=2 1．（2019·浙江省高三期中）双曲线 的焦点坐标为（ ） (1,0) ( 3,0) (0,1) (0, 3) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 x2 2y2 2 a2 2,b2 1 x c2 a2 b2 3 c 3 由 可得 ，焦点在 轴上，所以 ，因此    3,0 所以焦点坐标为 ； 故选B x2 y2  1 2．（2020·安徽省高三三模（文））已知双曲线 4 m 的离心率为2，则实数m的值为( ) A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【解析】 x2 y2 4m  1 2 因为双曲线 4 m 的离心率为2，所以 2 ，解得m12. 故选：C. 3 3．（2019·重庆巴蜀中学高二期中（理））下列双曲线中，渐近线方程为y x的是（ ） 2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2  1  1  1  1 A． 3 2 B． 3 2 C． 9 4 D． 9 4 【答案】D 【解析】 x2 y2 2 y2 x2  1 y  x  1 3 y x C. 9 4 ，渐近线为： 3 ；D. 9 4 ，渐近线为： 2 ； 故选：D.x2 y2 C:  1a0,b0 4．（2020·安徽省高三三模（理））已知双曲线 a2 b2 离心率为3，则双曲线C的 渐近线方程为( ) 2 2 y  x y  x A． 2 B．y  2x C．y 2 2x D． 4 【答案】C 【解析】 c a2 b2 b e  3 2 2 因为 a a2 ，所以 a ， y 2 2x 由双曲线的几何性质可得渐近线方程为： ， 故选：C x2 y2 C:  1 (a 0, b0) 5．（2019·安徽省高二期末（理））已知双曲线 a2 b2 的焦距为2 5，其渐近 1 y  x 线方程为 2 ，则焦点到渐近线的距离为（ ） 3 2 3 A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】 2c2 5 c 5 F ( 5,0) 由题知： ， ， 2 . 50 到直线 的距离d  1. F x2y 0 12 22 2 故选：A y2 C:x2  1 6．（2020·四川省成都外国语学校高二开学考试（理））已知双曲线 3 的左，右焦点分别为    F 1， F 2，过 F 1的直线 l 分别与两条渐近线交于A、B两点，若 F 1 BF 2 B 0 ， F 1 AAB ，则  （ ） 3 1 3 A．2 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【解析】   FBF B 0 FB  F B BO  OF c 由 1 2 ，可知 1 2 ，则 2 ， y2 C:x2  1 因为双曲线 3 的渐近线为y  3x，所以m，BOF 2 60 ，故 BOF 2 为正三角形，且 AO//BF 2，   所以 AO 为 △BF 1 F 2的中位线，A为线段 F 1 B 的中点，即 F 1 A AB ，故 1 . 故选：C. x2 y2  1m0 7．（2020·天津高三一模）已知双曲线 4 m 的渐近线方程为 3x y 0，则双曲线的离心 率为（ ）2 3 3 A． 2 B． 3 C． 3 D． 2 【答案】A 【解析】 x2 y2  1a0,b0 将双曲线的标准方程表示为a2 b2 ， b  3 由于该双曲线的渐近线方程为 3x y 0，则a ， a2 b2 b 2 e  1 2 因此，该双曲线的离心率为   . a a 故选：A. x ( 2,2) 8．（2020·江西省靖安中学高二月考（理））已知双曲线中心为原点，焦点在 轴上，过点 ，且渐 y＝2x 近线方程为 ，则该双曲线的方程为（ ） y2 y2 x2  1 x2  1 A． 2 B．x2 4y2 2 C． 4 D．x2 2y2 1 【答案】C 【解析】 2x y＝0 4x2  y2 0 渐近线方程为 ,设双曲线方程为 , P( 2,2) 4( 2)2 22  ＝4 将 的坐标代入方程得, ,求得 y2 x2  1 则该双曲线的方程为 4 . 故选:C. x2 y2 9．（2019·天津高三三模（文））双曲线C:  1(a0,b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 a2 b23 C ，则 的焦距等于（ ）． 2 2 4 2 A．2 B． C．4 D． 【答案】C = 【解析】 设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为 ，由条件可知 ， ，又 ，解得 ，故答案选C． x2 y2 10．（2020·安徽省高三月考（文））已知双曲线  1(a0,b0)的离心率为 ，则它的一条渐近 a2 b2 2 x2  y2 6x0 线被圆 截得的线段长为（ ） 3 3 2 A．2 B．3 C． 2 D．3 2 【答案】D 【解析】 c   2 由题意可得e a ，  2  c2 a2  即c a，即有b a， b  设双曲线的一条渐近线方程为y ax，即为y＝x， x2  y2 6x0 圆 的圆心为（3，0），半径r＝3， 3 3 2   即有圆心到渐近线的距离为d 11 2 ，9 9 3 2 可得截得的弦长为2 r2 d2 2 2 ． 故选：D． 二、多选题 x2 y2 11．（2020·山东省胶州市第一中学高三一模）已知双曲线C：  1(a0,b0)的左、右焦点分别为 a2 b2 x2 y2 ， ，则能使双曲线C的方程为  1的是( ) F(5,0) F (5,0) 16 9 1 2 5  9 5,   A．离心率为4 B．双曲线过点 4 3x4y 0 C．渐近线方程为 D．实轴长为4 【答案】ABC 【解析】 由题意，可得：焦点在x轴上，且c5； 5 x2 y2  1 A选项，若离心率为4 ，则a4，所以b2 c2 a2 9，此时双曲线的方程为：16 9 ，故A正确；  81  25 16  1 B选项，若双曲线过点 9，则  a2 b2 ，解得： a2 16 ；此时双曲线的方程为： 5,      4 a2 b2 c2 25 b2 9 x2 y2  1，故B正确； 16 9 x2 y2 C选项，若双曲线的渐近线方程为 ，可设双曲线的方程为：  m(m0)， 3x4y 0 16 9 x2 y2 所以 ，解得： ，所以此时双曲线的方程为：  1，故C正确； c2 16m9m25 m1 16 9 x2 y2 D选项，若实轴长为4，则 ，所以 ，此时双曲线的方程为：  1，故D错误； a2 b2 c2 a2 21 4 21 故选：ABC. x2 y2 12．（2020·湖南省衡阳市一中高二期末）已知双曲线C:  1(a0,b0)，右顶点为 ，以 为圆 a2 b2 A A心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M ，N 两点，若MAN 60 ，则有（ ） 3 3 2 y  x e A．渐近线方程为 3 B． 2 2 3 e C． 3 D．渐近线方程为y  3x 【答案】AC 【解析】 x2 y2   双曲线C：a2 b2 1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0）， 以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点． 3  b 若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30° 2 ， ab 3 a 3 2 3 b 3 可得： a2 b2  2 b ，即 c  2 ，故e 3 ．且 a  e2 1 3 ，故渐近线方程为渐近线方程 3 y  x 为 3 故选：AC． x2 y2 13．（2020·高密市第一中学高三月考）已知点 是双曲线 ：  1的右支上一点，F ，F 为双曲 P E 16 9 1 2 PFF E 线 的左、右焦点， 1 2的面积为20，则下列说法正确的是（ ） 20 A．点P的横坐标为 3 80 PFF B． 的周长为 3 1 2 C．FPF 小于 1 2 3 3 PFF D． 的内切圆半径为4 1 2 【答案】ABC 【解析】 FPF IP、IF、IF I 设 1 2的内心为 ，连接 2 2， x2 y2 双曲线 ：  1中的 ， ， ， E 16 9 a4 b3 c5 Pm，n m0 n0 不妨设 ， ， ， 1 FF ncn5n20 由 PFF 的面积为20，可得2 1 2 ，即n4， 1 2m2 16 20  1 m 由 16 9 ，可得 3 ，故A符合题意； 20  P ，4 由   3  ，且F 5，0 ，F 5，0 ， 1 2 12 12 k  k  可得 PF 1 35 ， PF 2 5 ， 12 12  5 35 360   tanFPF    0，3 则 ， 1 2 1212 319 1 535  FPF  则 1 2 3 ，故C符合题意； 352 25 37 13 50 PF  PF  16  16    由 1 2 9 9 3 3 3 ， 50 80 10 PFF 则 的周长为 3 3 ，故B符合题意； 1 2 1 1   r PF  PF  FF   FF 4 设 PFF 的内切圆半径为r，可得2 1 2 1 2 2 1 2 ， 1 2 80 3 r 40 r  可得 3 ，解得 2，故D不符合题意． 故选：ABC． 三、填空题 y2 x2  1 14．（2018·民勤县第一中学高二期末（文））双曲线 4 的渐近线方程为 y 2x 【答案】 【解析】 a2 1,b2 4a1,b2 y 2x 由双曲线方程可知 渐近线方程为x2 y2  1 15．（2020·天水市第一中学高二月考（文））以双曲线 4 5 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方 程为_____． x2 y2  1 【答案】 9 5 【解析】 x2 y2 C: - =1 由双曲线的相关性质可知，双曲线 4 5 的焦点为(�3,0)，顶点为(�2 0)， (�3,0) (�2 0) 所以椭圆的顶点为 ，焦点为 ， x2 y2  1 因为b2 =a2 -c2 =5，所以椭圆的方程为 9 5 ， x2 y2  1 故答案为 9 5 。 x2 y2  1a0,b0 16．（2020·天水市第一中学高二月考）已知平行于x轴的直线l与双曲线C：a2 b2 P Q O OPQ C 的两条渐近线分别交于 ， 两点， 为坐标原点，若 为等边三角形，则双曲线 的离心率为 ______. 【答案】2 【解析】 b tan60 据题设分析知，POQ60，所以a ，得b 3a， c a2 b2 a2 3a2 e   2 所以双曲线 的离心率 . C a a a M(m,0)(m0) l 3x y30 l 17．（2020·山东省高三一模）过点 的直线 与直线 垂直，直线 与双曲线x2 y2 C:  1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点 ，若点 满足 ，则双曲线 的渐 a2 b2 A,B P(m,0) |PA||PB| C 近线方程为_______，离心率为_______. 1 y  x 5 【答案】 2 ， 2 【解析】 M(m,0)(m0) l 3x y30 过点 的直线 与直线 垂直，  l x3ym0 直线 的方程为 ， x2 y2 b  1(a0,b0) y  x 双曲线a2 b2 的两条渐近线方程为 a ， ma mb ma mb A( , ) B( , ) 将两个方程联立，可得 3ba 3ba ， 3ba 3ba ， ma2 3mb2 N( , ) AB的中点坐标为 9b2 a2 9b2 a2 ， PA  PB P(m,0) 点 满足 ，  P(m,0) AB PN  AB 点 在线段 的中垂线上，即 3mb2 0 9b2 a2  3， ma2 m 9b2 a2 a2b， b 1 c2 b2 5  e  1 则 a 2 ， a2 a2 2 ， 1 y  x 5 渐近线方程为 2 ，离心率为 2 . 1 y  x 5 故答案为： 2 ， 2 .四、解答题 x2 y2  1 18．（2020·定远县育才学校高二月考（文））双曲线与椭圆27 36 有相同焦点，且经过点( 15,4). （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的离心率及渐近线方程. y2 x2 2 5  1 y  x 【答案】（1） 4 5 ；（2） 5 . 【解析】 F(0,3),F (0,3) （1）由题意知双曲线焦点为 1 2 . y2 x2  1 可设双曲线方程为a2 9a2 ，点( 15,4)在曲线上，代入得a2 4或a2 36（舍）， y2 x2  1 ∴双曲线的方程为 4 5 . c 3 e  （2）由（1）得a2，c3，∴双曲线的离心率 a 2. 2 5 y  x 渐近线方程： 5 . 19．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长 1 为12，离心率为3. （1）求椭圆C的标准方程；   2 3, 3 （2）已知双曲线E过点 ，且双曲线E的焦点与椭圆C的焦点重合，求双曲线E的标准方程. x2  y2 1 x2  y2 1 【答案】（1）36 32 （2） 3 【解析】c 1 （1）由题意知， ，  2a12 a 3 a6 c2 b2 a2c2 32 所以 ， ，所以 x2 y2 又因为双曲线E的焦点在x轴上，所以椭圆C的方程为  1 36 32 x2 y2  1a 0,b 0 （2）双曲线E的标准方程为a2 b2 1 1 1 1 2,0 2,0 a2 b2 4 由题可知双曲线E的焦点坐标为 ， ，所以 1 1 12 3    1 又双曲线E过点 2 3, 3 ，所以a2 b2 ，解得a2 3，b2 1 1 1 1 1 x2  y2 1 所以双曲线E的标准方程为 3 x2  y2 1 20．（2019·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（文））过双曲线 的右焦点F作倾斜角为 60 l 的直线 ，交双曲线于A、B两点， （1）求双曲线的离心率和渐近线； （2）求|AB|. e 2 yx 2 【答案】（1） ， （2）|AB=8 | 【解析】 x2  y2 1 ab1 c a2 b2  2 （1）因为双曲线方程为 ,所以 ,则 , c e  2 所以 a ,渐近线方程为yx     2，0 y  3 x 2 （2）由（1）,右焦点为 ,则设直线l为 , x2  y2 1 2x2 6 2x70 代入双曲线 中,化简可得 ,7 x x  所以 x +x =-3 2 , 1 2 2 , 1 2 所以 AB  13 x x 2 x x 2 4x x 8 2 2 1 1 2 1 2 A7,0 B7,0 C2,12 21.（2019·宁波中学高二期中）已知三点 ， ， . A,B C P （1）若椭圆过 两点，且 为其一焦点，求另一焦点 的轨迹方程； （2）直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之和是2，求点M 的轨迹方程. y2 x2  1(x0) 【答案】(1) 48 ；(2) xy  x2 49(x7) 【解析】 P(x,y) | AC|| AP||BC||BP| （1）设另一个焦点 ，则由椭圆定义知： ， | AC| (72)2 (012)2 15 |BC| (72)2 (012)2 13  ， ， |BP|| AP|| AC||BC|2 a 1,c7,b2 48 ，说明P是以A、B为焦点的双曲线的左支，其中 ， y2 x2  1(x0) 所以焦点 P 的轨迹方程为 48 ; y y k  ,k  （2）设M(x,y)，则 AM x7 BM x7 ， y y k k   2 AM BM x7 x7 ，化简得xy  x2 49(x7)， M xy  x2 49(x7) 所以点 的轨迹方程为 . x2 y2 x2 y2  1  1 22．（2019·安徽省高二期中（理））已知双曲线C：a2 b2 (a＞0，b＞0)与椭圆18 14 有共同 A(3, 7) 的焦点，点 在双曲线C上．（1）求双曲线C的标准方程； P(1,2) （2）以 为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程． x2 y2  1 【答案】（1） 2 2 ；（2）x2y30． 【解析】 由已知椭圆方程求出其焦点坐标，可得双曲线C的焦点为F(－2，0)，F(2，0)， 1 2 AF  AF 2a 由双曲线定义 1 2 ，即 257  17 2a， x2 y2  1 所以a 2，b2 422，所以所求双曲线的标准方程为 2 2 ． Ax ,y  Bx ,y  （2）设 1 1 ， 2 2 ， x2  y2 2 ① 1 1  因为A，B在双曲线上，所以 x2  y2 2 ②，  2 2 x x x x y  y y  y 0 ①－②得 1 2 1 2 1 2 1 2 ， y  y x x 2 1 1 1 2  1 2   k  所以 x x y  y 4 2 ， AB 2 ， 1 2 1 2 1 y2 x1 故弦AB所在直线的方程为 2 ，即x2y30． x2 y2 C:  1(a0,b0) 23．（2019·会泽县第一中学校高二月考（理））已知双曲线 a2 b2 的实轴长为2 3， ( 5,0) 一个焦点的坐标为 . （1）求双曲线的方程； l C A,B AB 4 l （2）若斜率为2的直线 交双曲线 交于 两点，且 ，求直线 的方程. 210 210 y 2x y 2x 【答案】（1） ；（2） 3 或 3 .【解析】 2a2 3 a  3 c 5 （1）由 ，得 ，又 ， b2 c2 a2 2 ∴ ， x2 y2  1 ∴双曲线C的方程为 3 2 . l y 2xm A(x ,y ),B(x ,y ) （2）设直线 的方程为 ， 1 1 2 2 ， y 2xm {x2 y2 由  1，得 ， 3 2 10x2 12mx3(m2 2)0 24(m2 10)0 m  10 ∴ ，得 ， 5 24(m2 10) 210 AB  4 m ∴弦长 ，解得 ， 10 3 210 210 y 2x y 2x ∴直线l的方程为 3 或 3 . 点睛：主要考察了双曲线的基本问题，属于基础题型，尤其对于第二问，根据弦长公式求直线方程时，设 直线方程，根据弦长公式 ，或是 ，这样根据直线方程与圆锥曲线方程联立，可以求参数.