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4.4数学归纳法 -B提高练
一、选择题
1．（2021·全国高二课时练）用数学归纳法证明“ 对于 的正整数 成立”时，第
一步证明中的起始值 应取（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当 取第一个值时命题成立，
结合本题，当 时，左边 ，右边 ， 不成立；
当 时，左边 ，右边 ， 不成立；
当 时，左边 ，右边 ， 不成立；
当 时，左边 ，右边 ， 不成立；
当 时，左边 ，右边 ， 成立.
因此当 时，命题 成立．所以第一步证明中的起始值 应取 ．故选：D．
2．（2021·吉林吉林市高二期末）用数学归纳法证明等式， 时，由
到 时，等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由 到 时，等式左边增加了
，故选C.3．（2021·全国高二课时练）已知 ，则（ ）
A． 中共有 项，当n=2时，
B． 中共有 项，当n=2时，
C． 中共有 项，当n=2时，
D． 中共有 项，当n=2时，
【答案】C
【详解】 中共有 项，当n=2时， .
4．（2021·全国高二课时练）平面内有 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共
点，用 表示这 个圆把平面分割的区域数，那么 与 之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】依题意得，由 个圆增加到 个圆，增加了 个交点，这 个交点将新增的圆分成
段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了 块区域，因此
．
5．（2021·上海黄浦区格致中学高二期末）用数学归纳法证明：
的过程中，从 到 时， 比 共增加
了（ ）
A．1项 B． 项 C． 项 D． 项
【答案】D【详解】由题意， 时，最后一项为 ， 时，最后一项为
所以由 变到 时，左边增加的项为 ，增加了 项
故选：D
6. （多选题）（2021·浙江省桐庐中学高二期末）数列 满足 ，
，则以下说法正确的为（ ）
A. ；
B. ；
C.对任意正数 ，都存在正整数 使得 成立；
D. .
【答案】ABCD
【详解】 ，若 ，则 ，
∴ ，∴ ，A正确；
由已知 ，
∴ ，B正确；
由 及①得 ， ，
∴ ，显然对任意的正数 ，在在正整数 ，使得 ，此时成立，C正确；
(i)已知 成立，(ii)假设 ，则 ，
又 ，即 ，∴ ，
由数学归纳法思想得D正确．
二、填空题
7．（2021·全国高二课时练）用数学归纳法证明
时，第一步应验证的等式是
________．
【答案】
【详解】由题知等式的左边有 项，右边有 项，且 ，因此第一步应验证 时的等式，
此时左边 ，右边 ．
8．（2021·陕西省洛南中学高二期末）凸 边形内角和为 ，则凸 边形的内角为
______________.
【答案】
【解析】凸 边形的内角和比凸 边形的内角和多出一个三角形的内角和，即 ，
所以 .
9．（2021·上海浦东新区上外浦东附中高二期末）用数学归纳法证明：
，从 到 ，等式左边需增加的代数式为________
【答案】
【详解】当 时，等式的左边为： ，
当 ，等式的左边为： ，
所以从 到 ，等式左边需增加的代数式为 .
10．（2021·上海高二专题练）已知 为正偶数，用数学归纳法证明
时，若已假设 （ 为偶
数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 ____________时等式成立.
【答案】
【详解】假设当 （ 且 为偶数）时，命题成立，
即 成立
由于是对所有正偶数命题成立，则归纳推广时，应该是再证明取下一个偶数时，命题也成立.
所以应证明当 时，等式也成立，故答案为：
三、解答题
11．（2021·河南信阳市高二期末）汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目
的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的
过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.
记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为a.
n
（1）试写出a，a，a，a 值，并猜想出a；（无需给出证明）
1 2 3 4 n（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小
石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称b＝n2这样的数为正
n
方形数.当n≥2时，试比较a 与b 的大小，并用数学归纳法加以证明.
n n
【详解】
（1）由题意得， ， ， ， ，
猜想： .
（2） ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
则当 时， ，猜想：当 时， ，即 ，
下面利用数学归纳法证明：
①当 时， ， ， ，结论成立；
②假设 时结论成立，即 ，
那么当 时， ，
而 时， ，即 ，
所以 ，
所以当 时，结论也成立.
由①②可知，当 时，结论成立.
综上，当 时， ，当 时， ，即 .
12．（2021·江西九江高二期末）设数列 的前 项和为 ，且对任意的正整数 都满足
．
（1）求 ， ， 的值，猜想 的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的 的表达式的正确性．
【详解】
（1）当 时， ，∴ ，
当 时， ，∴ ，
∴ ， ，
猜想 ， ；
（2）下面用数学归纳法证明：
①当 时， ， ，猜想正确；
②假设 时，猜想正确，即 ，
那么当 时，
可得 ，
即 时，猜想也成立．
综上可知，对任意的正整数 ， 都成立．
