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人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用
综合检测1
一、单选题
1．函数 的导数为（ ）
A． B． C． D．
2．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C．(1,4) D．(0,3)
3．函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，
则函数 在开区间 内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有
可能的是（ ）A． B．
C． D．
5．已知函数 是偶函数，当 时， ，则曲线
在 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是函数 的导函数 的图象,则下列说法正确的是（ ）
A． 是函数 的极小值点
B．当 或 时，函数 的值为0C．函数 在 上是增函数
D．函数 在 上是增函数
7．已知函数 在 上有极值，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． 是增函数 B． 的极大值点是
C． 是减函数 D． 的极小值点是
9．函数 的导函数为 ，若已知 图象如图，则下列说法正确的是（
）
A． 存在极大值点 B． 在 单调递增
C． 一定有最小值 D．不等式 一定有解
10．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量 （单位：贝克）
与时间 （单位：天）满足函数关系 ，其中 为时该放射性同位素的含
量.已知 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 ，则该放射性同位素含
量为 贝克时衰变所需时间为（ ）
A．20天 B．30天 C．45天 D．60天
11．已知定义在 上的函数 满足 ，其中 是函数
的导函数，若 ，则实数 的取值范围为（
）
A． B． C． D．
12．已知函数 是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有 ，
当 时， ，若 ，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明二、填空题
13．曲线 在点 处的切线的方程为__________.
14．定义在R上的函数 的导函数为 ， ，若对任意 ，都有
，则使得 成立的 的取值范围为______.
15．已知 为正实数，若函数 的极小值为0，则 的值为_____
16．已知函数 ， ，若 ，使得
，则实数 的取值范围是______.
三、解答题
17．已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的单调区间与极值.
18．已知函数 .
（1）试判断 在 上的单调性；
（2）求函数 在 上的最值.19．已知函数 经过点 ， .
（1）求函数 的解析式；
（2）设函数 ，若 的图象与直线 相切，求 值.
20．设函数 ，其中 ， ， ， 均为常数，曲线
在 处的切线方程为 .
（1）求 ， ， 的值；
（2）求函数 的极值.
21．已知 ，函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 上单调递减，求a的取值范围.
22．已知函数 ， ．
（1）若 为负实数, 求函数 的极值；
（2）若不等式 对 恒成立，求 的取值范围．参考答案
1．C
【分析】
直接利用导数的运算公式和法则求解.
【详解】
因为函数 ，
所以 ，
故选：C
【点睛】
本题主要考查函数的导数的计算，属于基础题.
2．B
【分析】
求出函数 的导数，在解出不等式 可得出所求函数的单调递增区间.
【详解】
， ，解不等式 ，解得 ，
因此，函数 的单调递增区间是 ，故选B.
【点睛】
本题考查函数单调区间的求解，一般是先求出导数，然后解出导数不等式，将解集与定义
域取交集得出单调区间，但单调区间不能合并，考查计算能力，属于中等题.3．A
【分析】
直接利用函数极小值点的定义求解.
【详解】
由导函数 在 内的图象知：
函数 在开区间 内有极小值点1个，
故选：A
【点睛】
本题主要考查函数极小值点的定义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
4．C
【分析】
根据 的图象，由 的符号，确定原函数 的单调性，确定 的图象.
【详解】
从 的图象可以看出当 ， ， 在 上为增函数；当
时，
， 在 上为减函数；当 时， ， 在
上为增函数，符合的图象是C.
故选：C.
【点睛】本题考查了导函数图象与原函数图象间的关系，属于容易题.
5．C
【分析】
利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.
【详解】
因为 ， ， ，又由 是偶函数， ，
令 ，则 ，根据 是偶函数， ，
得到 时， ，所以， 时， ， ，
利用直线的点斜式方程，曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
故选C
6．D
【分析】
由导函数的图象得到原函数的增减区间及极值点，然后逐一分析四个命题即可得到答案．
【详解】
解：由函数 的导函数图象可知，
当 时， ，原函数为减函数；
当 时， ，原函数为增函数.
故D正确，C错误；故 不是函数 的极值点，故A错误；
当 或 时,导函数 的值为0，函数 的值未知，故B错误；
故选：D.
7．B
【分析】
求导可得 ，则 在 上有变号零点，令 ，利用
二次函数的性质可求得 的取值范围．
【详解】
，设 ，
函数 在区间 上有极值，
在 上有变号零点，即 在 上有解，
令 ，由 可得 ，即 ，
得到 ，解得： ．
故选： ．
8．D
【分析】求出 求出函数
的单调区间，从而可得出答案.
【详解】
由
由
解得 ，又 ，所以
由 ，得 或
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减.
所以函数 在 上不是单调函数，故A, C不正确.
所以函数 在 处有极小值，在 处有极大值.故选项B不正确，选项D正
确.
故选：D
9．C
【分析】
根据图象可得 的符号，从而可得 的单调区间，再对选项进行逐一分析判断正
误得出答案.【详解】
由所给 的图象，可得当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
可得 在 递减， 递增；在 递减，在 递增，B错误，
且知 ，所以 存在极小值 和 ，无极大值，A错误，
同时无论 是否存在，可得出 一定有最小值，但是最小值不一定为负数，故C
正确，D错误.
故选：C.
10．D
【分析】
根据题中条件，先求出 ，再令 ，代入解析式求解，即可得出结果.
【详解】
由 得 ，
因为 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 ，
即 ，解得 ，
则 ，当该放射性同位素含量为 贝克时，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，解得 .
故选：D.
11．D
【分析】
构造函数 ，根据导数可判断函数单调递减，由 ，结合
函数定义域可解得.
【详解】
令 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，所以函数 在 上单调递减．
因为 ， ，所以 ，
即 ，所以 且 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ．
故选D．
【点睛】
易错点点睛，本题的容易忽略定义域 ，切记解函数抽象不等式要优先考虑定义域.
12．B
【分析】
构造函数 ，根据题意，可得函数 的奇偶性，根据 时
，对函数 求导，可得函数 的单调性，将
，左右同乘 ，可得 ，即
，利用 的性质，即可求得答案.
【详解】
∵ ，∴ ，
令 ，则 ，即 为偶函数，
当 时 ，
∴ ，即函数 在 上单调递增.
根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知 在 上单调递减，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得， ，
故选：B.
【点睛】
解题的关键是将题干条件转化为 ，根据左右相同的形式，
构造函数 ，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于
，不符合函数 的形式，需左右同乘 ，方可利用函数
的性质求解，属中档题.
13．
【分析】
求出导函数，得切线斜率后可得切线方程．
【详解】
，∴切线斜率为 ，
切线方程为 ．
故答案为： ．
14．
【分析】构造函数 ，对其求导，根据题中条件，由导数的方法判定函数单调性，进
而可求出结果.
【详解】
构造函数 ， ，
因为对任意 ，都有 ，
所以 恒成立，
所以函数 在R上单调递增，
由 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于，构造函数 ，结合题中条件，由导数的方法判定函数
单调性，即可求解出结果.
15． ．【分析】
求导数，确定极小值，由极小值为0求得 ．
【详解】
由题意 ，
∵ ，∴ 或 时， ， 时， ，
∴ 在 和 上递增，在 上递减，
的极小值是 ，解得 （ 舍去）．
故答案为：
16．
【分析】
“若 ，使得 ”转换为集合交集非空，分别根据导数求 ，
的值域，进一步求出答案.
【详解】
因为
所以当 ， ，所以 单调递减，
因为 ，所以 ，
当 ， ，所以 单调递增，
因为 ，使得 ，
所以
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查的是导数综合的问题，涉及到函数单调性以及恒成立的问题，属中档题.
本题主要是转换的思想，“若 ，使得 ”可以转换为集合交集
非空.
17．（1） ；（2）函数 的单调增区间为 ， ；减区间
为 ；极大值 ，极小值 .【分析】
（1）求出 和 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）求出函数 的极值点，列表分析函数 的单调性以及导数符号的变
化，即可得出函数 的单调区间和极值.
【详解】
解：（1）因为 ，所以
当 时， ， ，
所以曲线 在点 处的切线过点 ，斜率为
所以切线方程为 ，即 .
（2）函数 的定义域为
令 得，
增 极大值 减 极小值 增
所以函数 的单调增区间为 ， ；减区间为当 时，函数 有极大值，
当 时，函数 有极小值， .
【点睛】
本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的单调区间和极值，
考查计算能力，属于基础题.
18．（1） 在 上为减函数；（2） ， .
【分析】
（1）利用导数判断函数的单调性即可.
（2）根据函数的单调性即可得到函数的最值.
【详解】
（1） ， ，
， ， 在 上为减函数.
（2）由（1）知 在 上为减函数，
， .
19．（1） ；（2） .
【分析】（1）代入已知点的坐标可得 的解析式；
（2）设切点为为 ，然后利用导数的几何意义求解．
【详解】
（1）由题意 ， ，∴ ；
（2）由（1） ，设切点为 ，
，∴ ，又 ，两者结合可解得 ， ．
【点睛】
方法点睛：本题导数的几何意义．求函数 的切线方程的方法：
（1）若求函数 的图象在 处的切线，则只要求得 ，由 是切线斜
率可得切线方程；
（2）若求过 的切线方程，则一般设切点为 ，由（1）求出在 点的切
线方程 ，由切线过点 求出切点坐标，得切线方程．已知切
线方程也是同样求解．
20．（1） ， ， ；（2）极小值为0，极大值为 .
【分析】
（1）由导数的几何意义可得 ，再由点 在切线上即可得解；
（2）利用导数确定函数的单调性，结合极值的概念即可得解.【详解】
（1）因为 ，切线 的斜率为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，由点 在直线 上，可得 ，
即 ，
所以 ；
（2）由（1）得 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 的单调增区间为 ，减区间为 ，
所以函数 的极小值为 ，极大值为 .
21．（1） 在 和 上递增，在 上递减；（2）
【分析】
（1）代入 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于 的不等式组，解出即可【详解】
解：（1）当 时， ，则 ，
令 ，得 或 ，令 ，得 ，
所以 在 和 上递增，在 上递减；
（2） ，令 ，
若函数 在 上单调递减，则 在 上恒成立，
则 ，解得 ，
所以a的取值范围为 ，
【点睛】
此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查由函数的单调性求参数范围，
考查二次函数的性质，属于基础题
22．（1）当 时， 没有极值；当 时，
， ；当 时， ，
．（2） ．
【分析】（1）首先求出 的解析式，再求出导函数 ，再对参数 分类
讨论，求出函数的单调区间与极值；
（2）设 （ ）求出函数的导函数，依题意 在 时
恒成立即可，从而求出参数的取值范围；
【详解】
解：（1） ， 的定义域为
，
① ，即 时， 在 和 上递增，在 上递减，
， ；
② ，即 时， 在 上递增， 没有极值；
③ ，即 时， 在 和 上递增， 在 上递减，
∴ ， ．
综上可知：当 时， 没有极值；当 时， ，
；
当 时， ， ．
（2）设 （ ）， ，
设 ，则 ， ，
，
∴ 在 上递增，∴ 的值域为 ，
①当 时， ， 为 上的增函数，
∴ ，适合条件；
②当 时，∵ ，∴不适合条件；
③当 时，对于 ， ，令 ， ，存在 ，
使得 时， ．
∴ 在 上单调递减，∴ ，
即在 时， ，∴不适合条件．
综上， 的取值范围为 ．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等
式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转
化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
