专题11椭圆（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修1_06.专项练习_专题11椭圆-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题11 椭圆 一、单选题 x2  y2 1 1．（2019·浙江省高二期末）椭圆 4 的长轴长为（ ） 2 3 A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【解析】 x2  y2 1 由 4 可得a2 4，即a2 所以长轴长为2a4 故选：D x2 y2  1 2．（2020·黑龙江省铁人中学高二月考（文））方程4m 2m 表示椭圆的必要不充分条件是（ ） m1,2 m4,2 A． B． m4,11,2 m1,+ C． D． 【答案】B 【解析】 4m0  方程 x2 y2 表示椭圆的充要分条件是 2m0 ，  1  4m2m 4m 2m  m(4 1)  (1 2) 解得： ， ， ， m(4 1)  (1 2) 所以 ， ， 是正确选项的真子集， 4,2 对照四个选项，只有 符合. 故选：B.  3．（2020·咸阳市教育教学研究室高三一模（文））椭圆2x2 my2 1的一个焦点坐标为 0, 2 ，则 m 实数 （ ） 2 2 2 2   A．3 B．5 C． 3 D． 5 【答案】D 【解析】 x2 y2  1 1 1 1 1 椭圆的标准方程为  ，由于该椭圆的一个焦点坐标为 0, 2 ，则  2， 2 m m 2 2 m 解得 5 . 故选：D. x2 y2  1 4．（2020·定远县育才学校高二月考（文））已知F,F 是椭圆16 9 的两焦点,过点F 的直线交椭 1 2 2 AB 5 AF  BF  圆于点A、B,若 ,则 1 1 ( ) A．11 B．10 C．9 D．16 【答案】A 【解析】 如图，x2 y2  1 由椭圆16 9 可得：a2 16，则a4 AF  BF  AB 4a 16 又 1 1 AB 5 且 AF  BF 11 则 1 1 故选A 5．（2020·安徽省高二期末（文））已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且短轴的长为2，离心率等 2 5 于 ，则该椭圆的标准方程为（ ） 5 x2 y2 y2 x2  1  1 A．20 4 B．20 4 y2 x2 x2 1  y2 1 C． 5 D． 5 【答案】C 【解析】y2 x2  1a b0 设椭圆C标准方程为：a2 b2 . 2 2b2 b1  短轴长为 ， ，解得： . c 2 5 e  离心率 a 5 ，又a2 b2 c2 1c2，a2 5，  y2 x2 1 椭圆C的标准方程为 5 . C 故选： . x2 y2  1ab0 6．（2020·天津市实验中学滨海学校高三一模）设椭圆C：a2 b2 的左、右焦点分别为 F 1、 F 2， P 是 C 上的点 PF 2  F 1 F 2， PF 1 F 2 30 ，则 C 的离心率为（ ） 6 1 1 3 A． 6 B．3 C．2 D． 3 【答案】D 【解析】 PF  x PF  FF PFF 30 设 2 ，∵ 2 1 2， 1 2 ， PF 2x FF  3x ∴ 1 ， 1 2 ， PF  PF 2a FF 2c 又 1 2 ， 1 2 2a3x 2c 3x ∴ ， ， 2c 3 e  ∴C的离心率为： 2a 3 . 故选：D.x2 y2  1 7．（2020·北京高三月考）已知曲线C的方程为 a b ，则“ab”是“曲线C为焦点在x轴上的 椭圆”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 若ab0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立， ab0 若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足 ， 即a0，b0，满足ab，即必要性成立， 即“ab”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. x2 y2  1 8．（2020·安徽省六安一中高二开学考试（理））点 P 为椭圆16 15 上任意一点，EF 为圆 N :(x1)2  y2 1  P  E    P  F  的任意一条直径，则 的取值范围是（ ） (8,24) [8,24] [5,21] (5,21) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】           2 2 PEPF  PN NE  PN NF  PN NE  PN NE  PN  NE 由题意，  又EF 为圆N :(x1)2  y2 1的任意一条直径，则 NE 1 ， x2 y2    1 ac PN ac 3 PN 5 在椭圆16 15 中，有 ，即 ， 2   2 所以， 8 PN 124 ，故 PEPF  PN 1 的取值范围为 8,24 . 故选：B.x2 y2  1 9．（2020·定远县育才学校高二月考（文））已知椭圆25 9 上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等 于4，那么点M 到另一个焦点的距离等于（ ） A．1 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【解析】由椭圆方程可得,, -²=25，2a=10，由椭圆的定义可得点M到另一焦点的距离等于6，故选C. 𝑎 x2 y2 3  1ab0 10．（2020·安徽省高三三模（理））已知椭圆a2 b2 的离心率为5，左，右焦点分别为 F F F △PFF PF 1， 2，过左焦点 1作直线与椭圆在第一象限交点为P，若 1 2为等腰三角形，则直线 1的斜率 为( ) 4 2 7 2 8 2 A． 7 B． 8 C．4 5 D． 7 【答案】A 【解析】 |PF ||PF | 因为点 P 在第一象限，所以 1 2 ， c 3 5 e  a  c 因为 a 5 ，所以 3 ， 4 |PF |2a2c c 当 |PF ||FF |2c 时， 2 3 满足 |PF ||PF | ， 1 1 2 1 2 16 cosPFF  |PF 1 |2 |F 1 F 2 |2 |PF 2 |2 4c2 4c2  9 c2 7 ，   1 2 2|PF ||FF | 8c2 9 1 1 2 49 4 2 sinPFF  1  所以 1 2 81 9 ，4 2 sinPFF 9 4 2 tanPFF  1 2   所以 1 2 cosPFF 7 7 ， 1 2 9 4 2 所以直线PF 的斜率为 7 ， 1 4 |PF |2a|PF |2a2c c|PF | 当|PF ||FF |2c时， 1 2 3 2 ，不符合题意. 2 1 2 4 2 综上所以直线PF 的斜率为 7 . 1 故选：A 二、多选题 x2 1 C:  y2 1 D:(x1)2  y2  11．（2020·海南省高三零模）已知P是椭圆 6 上的动点，Q是圆 5 上的动 点，则（ ） 30 A．C的焦距为 5 B．C的离心率为 6 2 5 PQ C．圆D在C的内部 D． 的最小值为 5 【答案】BC 【解析】 5 30 e  依题意可得 c 61 5 ，则C的焦距为 2 5 ， 6 6 . P(x,y)( 6  x 6) 设 ， x2 5 6 2 4 4 1 |PD|2(x1)2  y2 (x1)2 1  x    则   ， 6 6 5 5 5 54 1 5   所以圆D在C的内部，且|PQ|的最小值为 5 5 5 . 故选：BC. 12．（2020·高密市第一中学高三月考）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭 圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地 面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距 分别为2a、2b、2c，则（ ） acmR acnR 2amn b (mR)(nR) A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】 因为地球的中心是椭圆的一个焦点， macR  并且根据图象可得 nacR ，（*） acmR ，故A正确； acnR ，故B正确； mn2a2R 2amn2R （*）两式相加 ，可得 ，故C不正确； mRac  由（*）可得 nRac ，两式相乘可得mRnRa2 c2 a2 c2 b2  ， b2 mRnRb mRnR ，故D正确. 故选：ABD x2 y2  1ab0 13．（2020·南京市秦淮中学高二期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆a2 b2 上存在点 PF 3PF F F P ，使得 1 2，其中 1、 2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ） 1 1 3 A．4 B．2 C．3 56 D．4 【答案】BD 【解析】 PF 3PF 1 2 3a a 设椭圆的焦距为2cc0，由椭圆的定义可得   PF 1 PF 2 2a，解得PF 1  2 ，PF 2  2 ， a ac  2  由题意可得 3a ，解得c 1 ，又 c ，所以，1 c ，  ac  0 1  1  2 a 2 a 2 a 1  ,1   所以，该椭圆离心率的取值范围是2 . 故符合条件的选项为BD. 故选：BD. 三、填空题 18 5 14．（2020·定远县育才学校高二月考（文））焦点在x轴，两准线间的距离为 5 ，焦距为2 5的椭 圆方程为__________. x2 y2  1 【答案】 9 4 【解析】 a2 18 5 2  c 5   2c2 5 设椭圆方程为 ，依题意 ，  a2 b2 c2 x2 y2   1ab0  a2 b2  a 3,b2,c 5 解得 . x2 y2  1 所以椭圆方程为 9 4 . x2 y2  1 故答案为： 9 4 x2 y2  1 15．（2019·浙江省高二期中）若方程m2 1m 表示椭圆，则实数m的取值范围是______；当 m1 时，椭圆的焦点坐标为______. 1 1 (2, ) ( ,1) 【答案】 2  2 ； (0,1),(0,1). 【解析】 x2 y2  1 ①根据椭圆的方程特征，方程m2 1m 表示椭圆，则 m20  1m0 解得： 1 1 ；  m(2, ) ( ,1) m21m   2 2 y2 x2  1 ②m1时，椭圆的方程 2 ，焦点在y轴，其坐标分别为(0,1),(0,1) 1 1 m(2, ) ( ,1) 故答案为：① 2  2 ；②(0,1),(0,1)x2 y2  1 16．（2020·黑龙江省高三一模（理））已知椭圆C： 6 2 的左、右焦点分别为F ，F ，如图 1 2 F ABF AB 是过 1且垂直于长轴的弦，则 2的内切圆方程是________. 2  4 4 x  y2  【答案】   3 9 【解析】 6 6 A(2, ) B(2, ) 由已知， 3 ， 3 ，F (2,0)，设内切圆的圆心为(t,0)(t 2)，半径为 r ，则 2 1 1 1 2 6 S  ABFF  (AB AF BF )r  4ar 44 6r ABF 2 2 1 2 2 2 2 2 ，故有 3 ， 2 2 4 8 r  |t(2)| t  t  ABF 解得 3，由 3 ， 3 或 3（舍），所以 的内切圆方程为 2 2  4 4 x  y2    .  3 9 2  4 4 x  y2  故答案为：  .  3 9 A1,0 B1,0 Px,y l 17．（2020·合肥一六八中学高三月考（理））已知两定点 和 ，动点 在直线 ： y= x+3 C A B P C 上移动，椭圆 以 ， ，为焦点且经过点 ，则椭圆 的离心率的最大值为__________. 5 【答案】 5【解析】 2c AB 2 2a  PA  PB c1 由题意得， ，所以 ， 当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值， A1,0 l y= x+3 A'(x,y) 设点 关于直线 ： 的对称点为 ，  y 1  x1  则 y x1 ，解得x3，   3  2 2 y 2 A'(3,2) 所以 ， PA  PB  PA'  PB  A'B 2a A'B 2 5 则 ，所以 ， a 5 所以当 时，椭圆的离心率最大， c 1 5   此时，a 5 5 5 故答案为： 5 四、解答题 18．（2019·肃宁县第一中学高二月考）求下列椭圆的标准方程： 5 3  3 A ,2 （1）焦点在 轴上，离心率e ，且经过点  ； 2 x 5   P3,0 3 （2）以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的 倍，并且过点 . x2  y2 1 x2  y2 1 y2  x2 1 【答案】（1）25 16 ；（2） 9 或81 9 . 【解析】 x2 y2  1(ab0) （1）因为焦点在x轴上，即设椭圆的标准方程为a2 b2 ，5 3  A ,2 75 4 ∵椭圆经过点  ，  1.①， 2   4a2 b2 3 c 3 3 3 16 e ,   , c a, b2 a2 c2 a2 ( a)2 b2  a2 由已知 5 a 5 5 5 ，即 25 .②， 75 425  1 把②代入①，得4a2 16a2 ，解得a2 25, b2 16， x2 y2 ∴椭圆的标准方程为  1. 25 16 x2 y2  1a b0. （2）若焦点在x轴上，设方程为a2 b2 32 02  1 因为椭圆过点P3,0 ,所以a2 b2 ，又2a32b，a3,b1 x2  y2 1 椭圆的标准方程为 9 ， y2 x2 02 32  1ab0.  1 若焦点在y轴上，设方程为a2 b2 因为椭圆过点P3,0 ，,所以a2 b2 ，又 y2 x2  1 2a32b，a9,b3 ∴椭圆的方程为81 9 x2 y2 x2  y2 1  1 综上，所求的椭圆方程是 9 或81 9 19．（2019·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（理））椭圆的两个焦点的坐标分别为F（﹣2，0）， 1 F（2，0），且椭圆经过点（ ，﹣ ） 2 （1）求椭圆标准方程． （2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．【答案】（1）椭圆的标准方程为： + =1， （2）椭圆的长轴长：2 ，短轴长2 ，离心率e= = ． 【解析】 （1）设椭圆的标准方程为 + =1（a＞b＞0）， 则2a= + =2 ， 即a= ， 又∵c=2， ∴b2=a2﹣c2=6， 故椭圆的标准方程为： + =1， （2）由（1）得： 椭圆的长轴长：2 ， 短轴长2 ， 离心率e= = ． 20．（2020·河北省深州市长江中学高二月考）     F 2 2,0 、F 2 2,0 已知椭圆C的两焦点分别为 1 2 ，长轴长为6． ⑴求椭圆C的标准方程; ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度． x2 y2 6 3  1 【答案】（1） 9 1 ；（2） 5 【解析】     F 2 2,0 、F 2 2,0 ⑴由 1 2 ，长轴长为6 c2 2,a3 b1 得： 所以x2 y2  1 ∴椭圆方程为 9 1 x2 y2  1 ⑵设A(x ,y ),B(x ,y ),由⑴可知椭圆方程为 9 1 ①, 1 1 2 2 y  x2 ∵直线AB的方程为 ② 10x2 36x270 把②代入①得化简并整理得 18 27 x x  ,x x  所以 1 2 5 1 2 10 182 27 6 3 AB  (112)( 4 )  又 52 10 5 xOy 21．（2019·江苏省淮阴中学高三月考）如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 x2 y2 a2  b2 1ab0 的焦点为F 1 c,0，F 2 c,0 ，点A为上顶点，直线AF 1 交椭圆于点 B . a  2 c1 B （1）若 ， ，求点 的坐标； AF  BF （2）若 2 2，求椭圆的离心率.4 1 5 ( , ) 【答案】（1） 3 3 ；（2） 5 . 【解析】 x2 （1）因为 ， ，所以椭圆的方程为  y2 1，直线 ， a  2 c1 2 AB: y  x1 x2   y2 1  2 3x2 4x0 4 ，所以 或 ，  x y  x1 x0 3 4 1 ( , ) 所以点B的坐标为 3 3 . BF  x BF 2ax （2）设 1 ，则 2 ， AF  AF a 因为点A为上顶点，所以 1 2 ， 2a x 因为 AF  BF ，所以a2 (2ax)2 (ax)2 ，所以 3 . 2 2 AF 3 cosBAF  2  在三角形BAF 中， 2 AB 5, 2 a2 a2 2c2 2a2 4c2 cosFAF   12e2 在三角形AFF 中， 1 2 2aa 2a2 , 1 2 3 5 12e2  e 所以 5，即 5 . 3 22．（2020·萍乡市湘东中学高二期中（文））已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 2 ，且 M(4,1) l: y  xm 经过点 ，直线 交椭圆于不同的两点A，B． （1）求椭圆的方程；m （2）求 的取值范围． x2 y2  1 【答案】（1）20 5 ；（2）5m5 【解析】 3 c 3 e  （1）由椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 2 ，得 a 2 ， c2 a2 b2 3 x2 y2    1 即a2 a2 4，∴a2＝4b2，依题意设椭圆方程为：4b2 b2 ， x2 y2  1 把点（4，1）代入得b2＝5，∴椭圆方程为20 5 ； l: y  xm （2）因为直线 交椭圆于不同的两点A，B. y  xm  x2 y2 联立  1，得5x2+8mx+4m2﹣20＝0．  20 5 由△＝64m2﹣20（4m2﹣20）＝400﹣16m2＞0，解得﹣5＜m＜5． ∴m的取值范围是（﹣5，5）． x2 y2 :  1ab0 23．（2020·江西省高三其他（理））已知椭圆 a2 b2 的焦距为2 6，短轴长为2 2. （1）求的方程； y  x2  A B AB （2）若直线 与 相交于 、 两点，求以线段 为直径的圆的标准方程. 2 2 x2 y2  8  2 48 【答案】（1）  1 ；（2） x    y   . 8 2  5  5 25 【解析】 2cc0 （1）设椭圆的焦距为 ，则2c2 6， 2b2 2 ， x2 y2  1 所以c 6，b 2 ，a2 b2 c2 8，所以的方程为 8 2 ； y  x2  x2 y2 （2）设点 、 ，联立  1，消去 ，得 . Ax 1 ,y 1  Bx 2 ,y 2    8 2 y 5x2 16x80 16 8 x x  x x  由韦达定理得 1 2 5 ， 1 2 5， x x 8  8 2 1 2    ,  所以 2 5，线段 AB 的中点坐标为 5 5. 2  16 8 8 3 AB  112  x x  112  x x 2 4x x  2  4    ， 1 2 1 2 1 2  5  5 5 2 2  8  2 48 x  y  所以，所求圆的标准方程为    .  5  5 25