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专题4. 5数学归纳法（A卷基础篇）（人教A版第二册,浙江专用）
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（2020·吉林吉林市·高二期末（理））用数学归纳法证明等式， 时，由
到 时，等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由 到 时，等式左边增加了
，故选C.
2．（2020·全国高二课时练习）用数学归纳法证明 时，第一步应
验证的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
∵ ， ，
∴ 所取的第一个正整数为2，又 ，故第一步应验证 ．
故选：B
3．（2020·上海市新场中学高二月考）用数学归纳法证明等式
时，当 时，左边等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】
用数学归纳法证明： ，
在验证 时，
令 代入左边的代数式，得到左边 .
故选：C
4．（2020·陕西宝鸡市·高二期末（理））用数学归纳法证明 ，则当
时，左端应在 的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
当 时，等式左端 ，
当 时，等式左端 ，增加了项 ．
故选：C．
5．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）用数学归纳法证明
， 成立.那么，“当 时，命题成立”是“对 时，
命题成立”的（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
“当 时，命题成立”不能推出“对 时，命题成立”，
“对 时，命题成立”可以推出“当 时，命题成立”，
所以“当 时，命题成立”是“对 时，命题成立”的必要不充分/
故选：B
6．（2020·吉林白城市·白城一中高二期末（理））用数学归纳法证明 时，从
到 ，不等式左边需添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
当 时，所假设的不等式为 ，
当 时，要证明的不等式为 ，故需添加的项为： ，
故选：B.
7．（2020·全国高三专题练习）用数学归纳法证明不等式 的过程中，由
递推到 时，不等式左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了两项 ，
C．增加了A中的一项，但又减少了另一项
D．增加了B中的两项，但又减少了另一项
【答案】D
【解析】
当 时，左边 ，
当 时，左边
，
所以，由 递推到 时，不等式左边增加了 ， ；减少了 ；
故选D
8．（2020·梧州高级中学高二期中（理））已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 为偶数)时命题为真，则
还需要用归纳假设再证 （ ）时等式成立（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立.、
故选B.
9．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明命题“当n为奇数时， 能被 整除”，在证明
正确后，归纳假设应写成（ ）．
A．假设 时命题成立
B．假设 时命题成立
C．假设 时命题成立
D．假设 时命题成立
【答案】D
【解析】
此题所成立的数是所有的正奇数，根据数学归纳法的证题步骤要求，第二步所取的值的范围应从 开
始取值所有奇数，即 ．
故选：D．
10．（2020·上海高二课时练习）在用数学归纳法求证： 的
过程中， 从“ 到 ”左边需增乘的代数式为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
当 时，左边 ，
当 时，左边 ，
则 .
故选：D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）
11．（2020·全国高二课时练习）用数学归纳法证明命题“1+ +…+ (n∈N ，且n≥2)”时，
+
第一步要证明的结论是________.
【答案】
【解析】
因为n≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+ .
故答案为：
12．（2020·全国高二课时练习）用数学归纳法证明关于 的恒等式，当 时，表达式为
，则当 时，表达式为_______.
【答案】
【解析】
当 时，
表达式左侧为： ，表达式右侧为： ，
则当 时，表达式为 .
故答案为： .
13．（2020·全国高二课时练习）用数学归纳法证明
时，第一步应验证的等式是________．
【答案】
【解析】
由题知等式的左边有 项，右边有 项，且 ，因此第一步应验证 时的等式，此时左边
，右边 ，
故答案为： ．
14．（2020·浙江高三其他模拟）用数学归纳法证明：
，第一步应验证的等式是__________；从“
”到“ ”左边需增加的等式是_________.
【答案】
【解析】
当 时，应当验证的第一个式子是 ，从“ ”到“ ”左边需增加的式子是15．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：“对任意奇数n，命题 成立”时，第二步论证
应该是假设 ______命题成立，再证 ______时，命题也成立.
【答案】
【解析】
依题意用数学归纳法证明：“对任意奇数n，命题 成立”，由于 为奇数，所以第二步论证应该是假
设 命题成立，再证 时命题也成立.
故答案为： ；
16．（2018·浙江宁波市·余姚中学高二期中）已知 为正偶数，用数学归纳法证明“
”时，第一步的验证为
________________________；若已假设 （ 且 为偶数）时等式成立，则还需要用归纳假设证
________时等式成立.
【答案】当 时，左边 ，右边 ，等式成立；
【解析】
对 在 为正偶数，用数学归纳法证明
归纳基础，因为 为正偶数，则基础 ，
当 时，左边 ，右边 ，等式成立；
归纳假设，当 （ 且 为偶数）时，成立
由于是所有正偶数，则归纳推广，应到下一个数为 时，等式成立
故答案为：(1). 当 时，左边 ，右边 ，等式成立； (2).
17．（2020·江苏苏州市·高二期中）在数列 中，a=1， ，则a=______，
1 3
a=_______.
n
【答案】
【解析】
第一空：因为 ， ，所以 ， ；
第二空：由第一空可知： ，所以可得 ，
因为 ， ， ，
，所以猜想 ，数学归纳法证明如下：
（1）当 时，显然 ；
（2）假设当 时成立，即 ，
当 时，综合（1）（2），所以 ，
故答案为： ；
三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）
18．（2020·上海高二课时练习）在证明 ，由
到 的变化过程中，左边增加的部分是什么，右边增加的部分是什么？
【答案】 ；
【解析】
时，左边为 ，
时，变为 ，
故由 到 的变化过程中，左边增加的都分是 ；时，右边为 ，
时，变为 ，
右边增加的部分是 .
故答案为： ； .
19．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：对任意正整数 能被9整除．
【答案】见解析
【解析】
证明：（1）当 时， ，能被9整除，
故当 时， 能被9整除．
（2）假设当 时，命题成立，即 能被9整除，
则当 时， 也能被9整除.
综合(1)(2)可得, 对任意正整数 能被9整除．
20．（2020·旬邑县中学高二月考（理））已知数列 满足 ， .
（1）求 、 ；
（2）猜想数列通项公式 ，并用数学归纳法给出证明.
【答案】（1） ， ；（2） ,证明见解析.
【解析】（1） ， ；
（2）猜想数列通项公式 ，证明如下：
当 时， ， ，所以 成立；
假设 时成立，即 ，
当 时， ，
∴ 时， 成立，
综上，由①②得： .
21．（2016·广东揭阳市·高二月考）设数列 的前 项和为 ，并且满足 ．猜
想 的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
【答案】
【解析】
（1）解：分别令 ，得 ，
∵ ，∴ ，猜想： ，由 ①
可知，当 时 ②
①-②得 ，即当 时
∵ ，∴ ，
（ii）假设当 时， ，那么当 时，
,∵ ，
∴ ，∴ ，即当 时也成立．
∴ ，显然 时，也成立，故对于一切 ，均有 ．
22．（2016·广西桂林市·高二期中）在数列{a}中，a=1且
n 1
（1）求出 ， ， ；
（2）归纳出数列{a}的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论．
n
【答案】（1） ， ， ；（2） ．
【解析】
（1）由a=1且 知：
1
， ，
（2）猜想数列 的通项公式为 ，证明如下：
（i）当n=1时，左边= ，右边= 左边=右边 即猜想成立；
（ii）假设当n= 时，猜想成立，即有
那么当n= 时，从而猜想对n= 也成立；
由（i）（ii）可知，猜想对任意的 都成立，所以数列 的通项公式为
