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4.4数学归纳法 -A基础练
一、选择题
1．（2021·全国高二课时练）用数学归纳法证明 时，第一
步应验证的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵ ， ，∴ 所取的第一个正整数为2，又 ，故第一步应验证
．故选：B
2．（2021·甘肃省会宁县第二中学高二期末）用数学归纳法证明等式
（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由数学归纳法知第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到
3．（2021·河南洛阳市高二期末）用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是（ ）
A．第一步应该验证当 时不等式成立
B．从“ 到 ”左边需要增加的代数式是
C．从“ 到 ”左边需要增加 项
D．以上说法都不对
【答案】D
【详解】第一步应该验证当 时不等式成立,所以 不正确；因为
，
所以从“ 到 ”左边需要增加的代数式是 ，所以 不正确；
所以从“ 到 ”左边需要增加 项，所以 不正确。故选：D
4．（2021·全国高二课时练）用数学归纳法证明“ 能被 整除”的过程中，
时，为了使用假设，应将 变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：假设当 时，命题成立，即 能被3整除，
则当 时，
．故选：A.5．（2021·上海普陀区曹杨二中高二期末）用数学归纳法证明不等式：
，从 到 ，不等式左边需要（ ）
A．增加一项 B．增加两项 、
C．增加 ，且减少一项 D．增加 、 ，且减少一项
【答案】D
【详解】由数学归纳法知：若 时，不等式成立，则有： 成立，
那么 时，有： ，
∴ ，
综上知：不等式左边需要增加 、 ，且减少一项 ,故选：D
6．（多选题）（2021·江苏省江阴高级中学高二期末）用数学归纳法证明 对任意
的自然数都成立，则以下满足条件的 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】取 ，则 ， 不成立；
取 ，则 ， 不成立；取 ，则 ， 成立；
取 ，则 ， 成立；
下证：当 时， 成立.
当 ，则 ， 成立；
设当 时，有 成立，
则当 时，有 ，
令 ，则 ，
因为 ，故 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时，不等式也成立，由数学归纳法可知， 对任意的 都成立.故选：
CD.
二、填空题
7．（2021·全国高二课时练）用数学归纳法证明命题“1+ +…+ (n∈N ，且n≥2)”
+
时，第一步要证明的结论是________.
【答案】【详解】因为n≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+ .
8．（2021·全国高二课时练）用数学归纳法证明关于 的恒等式，当 时，表达式为
，则当 时，表达式为_______.
【答案】
【详解】当 时，表达式左侧为： ，
表达式右侧为： ，则当 时，表达式为
.
9．（2021·上海普陀区·曹杨二中高二期末）用数学归纳法证明 能被
整除时，从 到 添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．
【答案】5
【详解】当 时，原式为： ，
当 时，原式为 ，
比较后可知多了 ，共5项.
10．（2021·全国高二课时练）已知 ，用数学归纳法证明
时， _________．
【答案】【详解】因为当 时， ，
当 时， ，所以
三、解答题
11．（2021·西安市铁一中学高二期末）在数列 中，
（1）求出 并猜想 的通项公式；
（2）用数学归纳方证明你的猜想.
【详解】
解：(1) ∵ ，
∴
因此可猜想: ；
(2)当 时， ，等式成立，
假设 时，等式成立，即 ，
则当 时， ，
即当 时，等式也成立，综上所述，对任意自然数 ， .
12．（2021·全国高二课时练）观察下列等式：
．．．．．．
按照以上式子的规律：
（1）写出第5个等式，并猜想第 个等式；
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第 个等式成立．
【详解】
解析（1）第5个等式为 ．第 个等式为
， ．
（2）证明：①当 时，等式左边 ，等式右边 ，所以等式成立．
②假设 时，命题成立，即 ，
则当 时，
，
即 时等式成立．
根据①和②，可知对任意 等式都成立．
