专题4.5数学归纳法（B卷提升篇）解析版_E015高中全科试卷_数学试题_选修2_01.同步练习_同步练习（第四套）_专题4.5数学归纳法（B卷提升篇）

专题4. 5数学归纳法（B 卷提升篇）（人教A版第二册,浙江专用） 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1 1 1 1 1 f n       1．（2020·全国高二课时练习）已知 n1 n n1 n2 n2 ，则（ ） 1 1 A． f n中共有 项，当n=2时， f 2  n 2 3 1 1 1 B． f n中共有n1项，当n=2时， f 21   2 3 4 1 1 1 C． f n中共有  n2 n2  项，当n=2时， f 21   2 3 4 1 1 1 D． f n中共有  n2 n1  项，当n=2时， f 21   2 3 4 【答案】C 【解析】 1 1 1 f n中共有n2 n11n2 n2项，当n=2时， f 21   . 2 3 4 故选：C 1 1 1 1   2．（2020·全国高二课时练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-2 3 4+…+n-1=2  1 1 1   …   n2 n4 2n时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（ ） A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立 C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立 【答案】B 【解析】 nk(k�2) 由数学归纳法的证明步骤可知，假设 为偶数）时命题为真， nk2 则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即 时等式成立，nk1 k k1 不是 ，因为 是偶数， 是奇数， 故选：B． n 3．（2020·全国高二课时练习）平面内有 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点， f(n) n f(n1) f(n) 用 表示这 个圆把平面分割的区域数，那么 与 之间的关系为（ ） f(n1) f(n)n f(n1) f(n)2n A． B． f(n1) f(n)n1 f(n1) f(n)n1 C． D． 【答案】B 【解析】 n n1 2n 2n 2n 依题意得，由 个圆增加到 个圆，增加了 个交点，这 个交点将新增的圆分成 段弧，而每一 2n f(n1) f(n)2n 段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了 块区域，因此 ． 故选：B． 2n n2 1 nn n 4．（2020·全国高二课时练习）用数学归纳法证明“ 对于 0的正整数 成立”时，第一步 n 证明中的起始值 0应取（ ） 1 2 3 5 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 n 根据数学归纳法的步骤，首先要验证当 取第一个值时命题成立， n1 21 2 12 12 2n n2 1 结合本题，当 时，左边 ，右边 ， 不成立； n2 22 4 22 15 2n n2 1 当 时，左边 ，右边 ， 不成立； n3 23 8 32 110 2n n2 1 当 时，左边 ，右边 ， 不成立； n4 24 16 42 117 2n n2 1 当 时，左边 ，右边 ， 不成立；n5 25 32 52 126 2n n2 1 当 时，左边 ，右边 ， 成立. n5 2n n2 1 n 5 因此当 时，命题 成立．所以第一步证明中的起始值 0应取 ． 故选：D． 1 1 1 13      5．（2020·上海普陀区·曹杨二中高二期中）用数学归纳法证明不等式：n1 n2 nn 14， k k1 从 到 ，不等式左边需要（ ） 1 1 1 A．增加一项2(k1) B．增加两项2k1、2(k1) 1 1 1 1 1 C．增加2(k1) ，且减少一项k1 D．增加2k1、2(k1) ，且减少一项k1 【答案】D 【解析】 1 1 1 13      由数学归纳法知：若nk时，不等式成立，则有：k1 k2 kk 14成立， 1 1 1 1 1 13        那么nk1时，有：k11 k12 k1k1 k1k k1k1 14 ， 1 1 1 1 1 13        ∴k2 k3 2k 2k1 2(k1) 14 ， 1 1 1 综上知：不等式左边需要增加2k1、2(k1) ，且减少一项k1 故选：D 1 1 1 1    n(n2)  6．（2020·江西省奉新县第一中学高三月考（理））用数学归纳法证明“ 2 3 2n 1 ” nk nk1 时，由 的假设证明 时，不等式左边需增加的项数为（ ） 2k1 2k 1 2k 2k 1 A． B． C． D．【答案】C 【解析】 1 1 1 1     当nk时，左边 2 3 2k 1， 1 1 1 1 1 1 1 1           当nk1时，左边 2 3 2k 1 2k 2k 1 2k 2 2k11， 1 1 1 1      所以左边增加2k 2k 1 2k 2 2k11分母是连续的正整数，  2k11  2k 122k 2k 2k 所以共增加了 项， nk nk1 2k 所以 的假设证明 时，不等式左边需增加的项数为 ， 故选：C 1 1 1 f n1  L   nN 7．（2020·陕西省商丹高新学校高二期中（理））已知 2 3 n ，证明不等式 n f  2n  f  2k1 f  2k 2时， 比 多的项数是（ ） 2k1 2k1 2k A． 项 B． 项 C． 项 D．以上都不对 【答案】C 【解析】 1 1 1 1 1 1 f(2k1)1    f(2k)1      因为 2 3 2k1 ， 2 3 2k ， 1 1 1     所以 f(2k1) f(2k) 2k 1 2k 2  2k 2k ， 所以 f  2k1 比 f  2k 多的项数是2k . 故选：C. 1 1 1 1  …  n 8．（2020·山西高二期末（理））用数学归纳法证： 2 3 2n 1 （nN*时n1）第二步k k1 证明中从“ 到 ”左边增加的项数是（ ） 2k 1 2k 1 2k1 2k A． 项 B． 项 C． 项 D． 项 【答案】D 【解析】 1 1 1 1  …  当nk时，左边 2 3 2k 1，易知分母为连续正整数，所以，共有2k 1项； 1 1 1 1  …  当nk1时，左边 2 3 2k11，共有2k11项； k k1 2k11(2k 1)2k 所以从“ 到 ”左边增加的项数是 项. 故选D (3n1)7n 1  nN* 9．（2020·全国高三专题练习）用数学归纳法证明“ 能被9整除”，在假设nk nk1 时命题成立之后，需证明 时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（ ）能被 9整除. 37k 6 37k16 37k 3 37k13 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 nk (3k1)7k 1 假设 时命题成立，即 能被9整除， 3k117k11(3k1)7k 1 当nk1时，    3k47k1(3k1)7k 3k137k1(3k1)7k   3k17k137k1(3k1)7k 63k17k 37k163k17k 137k16   (3k1)7k 1  能被9整除 37k16 要证上式能被9整除，还需证明 也能被9整除 故选：B {x } 1 x 2 x x sin(x 1)(nN*) n S 10．（2020·浙江高三二模）数列 n 满足： 1 ， n1 n n ，数列前 项和为 n， 则以下说法正确个数是（ ） 1x x 2 ① n1 n ； x 1 1 n1  (x 1)2 ② x 1 6 n ； n 6 ③S n ； n 5 S n ④ n . A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】 在①中，用数学归纳法求证： n1 1 x 2 1x 2 当 时， 1 ，成立，假设 k ， x x sin(x 1)x 2 则一方面 k1 k k k ， 0 x1 sinx x 另一方面由于 时， ， x x sin(x 1)0 ∴ k1 k n ， 1x x 2 ∴ n1 n ，故①正确； x3 在②中，由于当 时，令hxsinxx ， 0 x1 3!1 h'xcosx1 x2,h''xsinxx 则 2 ， h''x0 h'x h'00 由于0 x1时， sinx x ，故 ， 在0 x1单调递增， ， x3 所以hxsinxx 在 上单调递增，故hxh00， 3! 0 x1 x3 x3 sinxx sinx x 所以 3! ，即 6 ， (x 1)3 x 1x 1sin(x 1)x 1[(x 1) n ] 则 n1 n n n n 6 ， x 1 1 n1  (x 1)2 ∴ x 1 6 n ，故②正确； n 1 1 在③中，由于x 1 (x 1)3  (x 1)， n1 6 n 6 n 1 ∴ x 1( )n1(x 1)， n 6 1 1 1 ∴ x 1( )n1(x 1)( )n1 ， n 6 1 6 1 ∴ x 1( )n1 ， n 6 1 1 6n 6 S n n ∴ n 1 5，故③正确； 1 6 1x 2 S n 在④中，  n ， n ，故④正确. 故选：D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．（2020·全国高二课时练习）已知 ，用数学归纳法证明时， _________． 【答案】 【解析】 因为当 时， ， 当 时， ，所以 ． 故答案为： ． 12．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明 能被 整除时，从 到 添加的项数共有__________________项（填多少项即可）． 【答案】5 【解析】 当 时，原式为： ， 当 时，原式为 ， 比较后可知多了 ，共5项. 故答案为：5 13．（2019·海口市灵山中学高三月考）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，，则 ___________ . 【答案】 【解析】 因为当 时，有 ，因此由 ， 可得 ，化简得： ，因为 , 所以 ， ， 由此猜想数列 的通项公式为： ，现用数学归纳法证明： 当 时， ，显然成立； 假设当 时成立，即 ， 当 时， ， 综上所述： . 故答案为： 14．（2020·上海高二课时练习）在证明 是 的倍数时， 时验证 的表达式是_______； 到 增加的表达式是______________．【答案】 【解析】 当 时，原式 ， 当 时，原式 ， 当 时，原式 . 则从 到 增加的表达式是 . 故答案为： ； . 15．（2020·浙江绍兴市·绍兴一中高二期中）若 ，用数学归纳法验 证关于 的命题时，第一步计算 ________；第二步“从 到 时”， ________． 【答案】 【解析】 ， ； ，故答案为： ； . 16．（2018·全国高二单元测试）探索表达式A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2·2!+1·1!(n>1,且n∈N*) 的结果时,第一步当n=____时,A=____. 【答案】2 1 【解析】 ∵n>1,且n∈N* ∴n=2,时，A=(2-1)(2-1)!=1 故答案为2,1 17．（2019·全国高二专题练习（文））（1）用数学归纳法证明“ 对于 的自然数 都成 立”时，第一步证明中的起始值 应取________________； （2）利用数学归纳法证明“ ”时，在验证 成立时，左边 应该是________________． 【答案】5 【解析】 （1）由于 时， ； 时， ； 时， ； 时， ； 时， ，所以当 时， 成立．故第一步证明中的起始值 应取5． （2）用数学归纳法证明“ ( )”时，在验证 成立时，将 代入，左边以1即 开始、以 结束，所以左边应该是 ． 三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．（2020·全国高二课时练习）已知数列 的通项公式为 ，求证：对任意的 ，不等式都成立． 【答案】证明见解析. 【解析】 由 ，得 ， 所以 , 用数学归纳法证明不等式 成立，证明如下： ①当 时，左边 ，右边 ，因为 ，所以不等式成立． ②假设当 时不等式成立，即 成立， 则当 时，左边 , , 右边． 所以当 时，不等式也成立． 由①②可得不等式 对任意的 都成立， 即原不等式成立． 19．（2020·全国高二课时练习）观察下列等式：．．．．．． 按照以上式子的规律： （1）写出第5个等式，并猜想第 个等式； （2）用数学归纳法证明上述所猜想的第 个等式成立． 【答案】（1） ； ， ；（2）证明见解析. 【解析】 （1）第5个等式为 ．第 个等式为 ， ． （2）证明：①当 时，等式左边 ，等式右边 ，所以等式成立． ②假设 时，命题成立，即 ， 则当 时， ， 即 时等式成立． 根据①和②，可知对任意 等式都成立． 20．（2020·广西高三其他模拟（理））设数列 满足 ， . （1）计算 ， .猜想 的通项公式并利用数学归纳法加以证明；（2）记 ，求数列 的前n项和 . 【答案】（1） ， ， ；证明见解析；（2） . 【解析】 （1）由题意可得 ， ， 由数列 的前三项可猜想数列 是以1为首项，2为公差的等差数列， 即 ， 证明如下： 当 时， 成立； 假设 时， 成立. 那么 时， 也成立. 则对任意的 ，都有 成立； （2）因为 . ∴ ，① ，② ①-②得： . ∴ . 21．（2020·全国高二课时练习）已知正项数列 满足 ， ． （1）求数列 的通项公式；（2）令 ，记数列 的前 项和为 ，求证： ． 【答案】（1） ， ；（2）证明见解析. 【解析】 （1）由题可得， ， ， ，从而猜想 ．用数学归纳法证明如下： ①当 时，有 ，猜想成立；②假设当 时猜想成立，即 ，则当 时， ，所以当 时，猜想也成立． 由①②可知， 对任意 都成立．∴数列 的通项公式为 ， ． （2）证明： ，由基本不等式可得 ， 所以 ， 所以 ． 22．（2020·浦东新区·上海师大附中高三期中）已知函数 . （1）当 ， 时，若存在 ， ，使得 ，求实数c的取值 范围； （2）若二次函数 对一切 恒有 成立，且 ，求 )的值； （3）是否存在一个二次函数 ，使得对任意正整数k，当 时，都有 成立，请给出结论，并加以证明. 【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， ；证明见解析. 【解析】 （1）当 ， 时， 由题意可知， 在 ， 上有两个不等实根，或 在 ， 上有两个不等实根， 则 或 ， 解得 或 即实数 的取值范围是 或 ． （2）二次函数 对一切 恒有 成立， 可得 ，解得 ， （1） ， 函数的对称轴为 ， 设函数 ， 由 （1） ， （5） ， 可得 ， ， 解得 ， ， ， ． （3）存在符合条件的二次函数． 设 ，则当 ，2，3时有：（5） ①； ②； ③． 联立①、②、③，解得 ， ， ． 于是， ． 下面证明二次函数 符合条件． 因为 ， 同理： ； ， 所求的二次函数 符合条件．