4.4数学归纳法（人教A版选择性必修第二册）（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修2_01.同步练习_同步练习（第四套）

课时同步练 4.4 数学归纳法 一、单选题 1351n2n11n n 1．用数学归纳法证明 ，nN*成立.那么，“当n1时，命题成 nN* 立”是“对 时，命题成立”的（ ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B n1 nN* 【解析】“当 时，命题成立”不能推出“对 时，命题成立”， nN* n1 “对 时，命题成立”可以推出“当 时，命题成立”， n1 nN* 所以“当 时，命题成立”是“对 时，命题成立”的必要不充分/ 故选B 2．用数学归纳法证明“ ”，在验证 是否成立时，左边 应该是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】用数学归纳法证明“ ”，在验证 时，把 代入，左边 . 故选C. 3．某个命题与自然数 有关，若 时命题成立，那么可推得当 时该命题也成立，现 已知 时，该命题不成立，那么可以推得（ ）A． 时该命题不成立 B． 时该命题成立 C． 时该命题不成立 D． 时该命题成立 【答案】C 【解析】假设 时该命题成立，由题意可得 时，该命题成立，而 时，该命题不成立， 所以 时，该命题不成立.而 时，该命题不成立，不能推得 该命题是否成立． 故选C． 4．用数学归纳法证明不等式 时，以下说法正确的是（ ） A．第一步应该验证当 时不等式成立 B．从“ 到 ”左边需要增加的代数式是 C．从“ 到 ”左边需要增加 项 D．以上说法都不对 【答案】D 【解析】第一步应该验证当 时不等式成立,所以 不正确； 因为 ， 所以从“ 到 ”左边需要增加的代数式是 ，所以 不正确； 所以从“ 到 ”左边需要增加 项，所以 不正确。 故选D 5．用数学归纳法证明 ，则当 时，左端应在 的基础上加上（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2， 当n=k+1时等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+ （k+1）2． 故选C． 6．用数学归纳法证明等式， 时，由 到 时，等式左边应添加的 项是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由 到 时，等式左边增加了 ， 故选C. 7．用数学归纳法证： （ 时 ）第二步证明中从“ 到 ”左边增 加的项数是（ ） A． 项 B． 项 C． 项 D． 项 【答案】D 【解析】当 时，左边 ，易知分母为连续正整数，所以，共有 项；当 时，左边 ，共有 项； 所以从“ 到 ”左边增加的项数是 项. 故选D 8．已知n为正偶数，用数学归纳法证明 时，若已 假设 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）时等式成立 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题为真，因为n只能取偶数， 所以还需要证明n=k+2成立.、 故选B. 9．用数学归纳法证明 时，从 到 ，不等式左边需添加的项是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当 时，所假设的不等式为 ， 当 时，要证明的不等式为 ， 故需添加的项为： ，故选B. 10．用数学归纳法证明 ，则当 时，左端应在 的基础上加上 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当 时，等式左端 ， 当 时，等式左端 ， 增加了项 ． 故选C． 5n 2n 3 nk1 5k12k1 11．用数学归纳法证明“ ”能被 整除”的第二步中 时，为了使用假设，应将 变形 为（ ）  5k 2k 45k 2k 5  5k 2k 32k A． B． 52 5k 2k 5  5k 2k 35k C． D． 【答案】B 【解析】根据数学归纳法， nk1 当 时， 5  5k 2k 32k 应将5k12k1变形为 ， 5  5k 2k 此时， 和32k 都可以被3整除. 故该变形是合理的. 故选B.12．已知数列 的前 项和 ，数列 满足 ， 是数列 的前 项和，若 ，则 与 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 适合n=1,所以 . 所以 ， 所以 ， 下面利用数学归纳法证明不等式 （1）当 时，左边 ，右边 ，左边 右边，不等式成立， （2） ，即 ．即 ， ， ， 假设当 时，原式成立，即 ，那么当 时，即 ， 即 时结论成立． 根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数 都成立．所以 ， 因为0＜a＜1，所以 ， 所以 . 故选C 二、填空题 1 1 1 1    n  nN*,n1   13．用数学归纳法证明“ 2 3 2n 1 ”时，由nk(k 1)不等式成立，推证 nk1 时，则不等式左边增加的项数共______项 2k 【答案】 1 1 1 1     【解析】当nk(k 1)时，不等式左边为 2 3 2k 1， 1 1 1 1 1 1         当nk1(k 1)时，不等式左边为 2 3 2k 1 2k 2k1 1， nk(k 1) nk1 则由 不等式成立，推证 时， 2k1 12k 1 2k 则不等式左边增加的项数共 项， 2k 故填 . 14．用数学归纳法证明等式， 时，由 到 时，等式左边应添加的项是_______________. 【答案】 【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由 到 时，等式左边增加了 ， 故填 . f(n) n1 f(n1) 15．凸n边形的对角线的条数为 ，则凸 边形有对角线条数 为__________. f(n)n1 【答案】 n1 【解析】在凸n边形的一边外加一点，此点与该边的两点连接可得到凸 边形，因此原凸n边形的 n1 n2 这条边变为对角线，增加的第 个顶点与原来凸n边形的 顶点的连线也是增加的对角线，共 n21n1 f(n1) f(n)n1 增加了 条，所以 ． f(n)n1 故填 ． 16．用数学归纳法证明 时，从 到 ，不等式左边需添加的项是 ______________. 【答案】 【解析】当 时，所假设的不等式为 ， 当 时，要证明的不等式为 ，故需添加的项为： ， 故填 . {a } a 1 n S 4S (a 3)2(n≥2,nN) {a } 17．已知正项数列 n 满足 1 ，前 项和 n满足 n n1 ，则数列 n 的通 a  项公式为 n ______________． 2n1 【答案】 a 1 n1 【解析】当 时， 1 ； 4S (a 3)2 16,S 4,a 3 n2 当 时， 2 1 2 2 ； 4S (a 3)2 36,S 9,a 5 n3 当 时， 3 2 3 3 ； 4S (a 3)2 64,S 16,a 7 a 2n1 n4 当 时， 4 3 4 4 ，猜想得 n ， a 2n1 故 n ，下面用数学归纳法证明： a 1 a 2n1 ① 1 ，满足 n ， nk a 2k1 S k2 ②假设 时，结论成立，即 k ，可得 k ， 4S (a 3)2 (2k2)2 4(k1)2 则 k1 k ， S (k1)2,a S S (k1)2 k2 2k1 k1 k1 k1 k 2(k1)1 a 2n1 ，也满足 n ， a 2n1 结合①②可知， n ， a 2n1 故填 n ． 1    18．已知正项数列a 的前 n 项和为 S ，数列S 的前 n 项积为 T ，若 S 2T 1 ，则数列  a  中最 n n n n n n n . 接近2019的是第______项 【答案】45 1 S T  【解析】 S 2T 1 ，可得 S 2T 1 ，且 1 1 3； n n 1 1 S 2S S S S 1 2S S S S 1S 则 n 1 2 3 n ，即 1 2 3 n n， S 2S S S S 1 2S S S S 1S n1 1 2 3 n1 ，即 1 2 3 n1 n1， 1 1S 1  n S  两式相除得：S 1S ，则 n1 2S ， n1 n1 n 1 3 S  S  由 1 3，解得 2 5 ； 3 5 S  S  由 2 5 ，解得 3 7 ；  2n1 S  猜想 n 2n1， 用数学归纳法证明， 1 2n1 S  S  当n1时， 1 3，满足 n 2n1， 2k1 假设当 nk  kN* 时，猜想成立，即 S k  2k1， 1 1 2k1 S    k1 2S 2k1 2k3 2n1 则当 时， k 2 ，满足S  ， nk1 2k1 n 2n12n1 S  故猜想成立，即 n 2n1. 2n1 2n3 4 1 a  S S    a 1 S 1  3 ， n2 时， n n n1 2n1 2n1 2n12n1 ， 4 1 a  当 n1 ， a 1  3 不满足 n 2n12n1 ， 3,n1 1  2n12n1 故 ， a n  ,n2  4 2n12n1 1 n2  由 4 4 ， 1 442  1935.75 当n44时， 4 ， 1 452  2024.75 当n45时， 4 ， 1 462  2115.75 当n46时， 4 ．  1    综上可得数列 中最接近2019的是第45项． a   n 故填45． 三、解答题 19．求证： . 【解析】当 时，左边 ，右边 ，等式成立. 假设 时等式成立，即. 那么当 时， 左边 右边. 这就是说，当 时等式仍成立. 综上可知，对一切 ，等式成立. 20．用数学归纳法证明： . 【解析】（1）当 时，左边 ，右边 ，不等式成立. （2）假设当 ， 时，不等式成立，即有 ， 则当 时，左边 ， 又 即 ，即当 时，不等式也成立. 综上可得，对于任意 ， 成立. 21．已知数列 ， ，且 ． （1）若 的前 项和为 ，求 和 的通项公式 （2）若 ，求证： 【解析】（1） 的前 项和为 ， 是等差数列， 设 ，则 ， ， ， 满足 （ ） （2） 代入 得 ， 用数学归纳法证明：时， 显然成立， 设 时， 成立， 则 时， 所以 成立 22．设数列 为前 项和为 ， ，数列 是以2为公比的等比数列． （1）求 ； （2）抽去数列 中的第1项，第4项，第7项，…，第 项，余下的项顺序不变，组成一个新 数列 ，若 的前 项和为 ，求证： ． 【解析】（1）由题意得： ， ， 已知数列 是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以有 ， ， 当 时， ，又 ， 所以 . （2）由（1）知 ， ∴数列 为 ， ， ， ， ， ，…，它的奇数项组成以4为首项，公比为8的等比数列； 偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列； ∴当 时，， ， ， ∵ ，∴ ∴当 时， ， ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ．