5.3.3函数的最大（小）值与导数（重点练）-高二数学十分钟同步课堂专练（人教A版选择性必修第二册）_E015高中全科试卷_数学试题_选修2_01.同步练习_同步练习（第四套）

5.3.3 函数的最大（小）值与导数 重点练 一、单选题 1．若对任意的实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．若函数 在区间 上存在最大值，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．若函数 在区间 内既存在最大值也存在最小值，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数 ， ，若 ， ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知 ， ，若对 ， ，使得 ， 则实数a的取值范围为_________.6．已知函数 ，则函数 的最大值为__________． 三、解答题 7．已知函数 ，其中 . （1）当 时，求函数 在 上的最值； （2）（i）讨论函数 的单调性； （ii）若函数 有两个零点，求 的取值范围.参考答案 1．【答案】A 【解析】令 ， 则 ，令 若 时， 若 时， 所以可知函数 在 递减，在 递增 所以 由对任意的实数 恒成立 所以 故选A 2．【答案】C 【解析】因为 ， 且函数 在区间 上存在最大值， 故只需 满足 ， 所以 ， ， 解得 ． 故选C． 3．【答案】A 【解析】由 得 或 ，可以判断 在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 . 令 ，得 或 ，令 ，得 或 ， 由题意知函数 在开区间 内的最大、最小值只能在 和 处取得， 结合函数 的图象可得： ，解得 ， 故 的取值范围是 . 故选A 4．【答案】C 【解析】 ， ①， ， ②， 由①②得 ， 在 单调递增， ，则 ， ， 令 ，则 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 故 在 单调递减，在 单调递增， . 故选C. 5．【答案】 【解析】因为 在 为增函数，且 ， ， 所以 ， . 因为 ， 所以 ， ， 为增函数. ， ，故 ， . 因为对 ， ，使得 ， 所以 ，解得 . 故填 6．【答案】 【解析】 ，， 令 ， ， ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增， 函数 在 上单调递减，根据复合函数的单调性可知， 当 ，即 ， 时， ， 函数 的最大值为 ． 故填 ． 7．【答案】（1）最大值为 ，最小值为 ；（2）（i）见详解；（ii） . 【解析】（1）由 得 ，所以 ， 当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增； 所以 ；又 ， ， 所以 ； 即 在 上的最大值为 ，最小值为 ； （2）（i） ， 当 时， 恒成立；即 在定义域 上单调递增； 当 时，若 ，则 ；若 ，则 ， 所以 在 上单调递减；在 上单调递增； 综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减；在 上单调递增； （ii）由（i）知，当 时， 在定义域 上单调递增；不可能有两个零点； 当 时， ； 为使 有两个零点，必有 ，即 ； 又 ， 令 ， ，则 在 上恒成立， 即 在 上单调递增，所以 ，即 ， 所以根据零点存在性定理可得，存在 ，使得 ； 又 ， 根据零点存在性定理可得，存在 ，使得 ， 综上，当 时，函数 有两个零点.