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期中测试卷
（考试范围：人教A版2019选择性必修第三册）
姓名： 班级：
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的。
1．A、B、C、D四人并排站成一排，如果A与B相邻，那么不同的排法种数是（ ）。
A、24种
B、12种
48
C、 种
23
D、 种
2．某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻。现要选3人上台报告
事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告
方案共有（ ）。
80
A、 种
120
B、 种
130
C、 种
140
D、 种
3．从4件合格品和2件次品共6件产品中任意抽取2件检查，抽取的2件中至少有1件是次品的概率是
（ ）。
2
5
A、
3
5
B、
8
15
C、
2
3
D、
2
(x2 +m)⋅(x− ) 6
x x4 30
4．若 的展开式中 的系数为 ，则m的值为（ ）。
15
−
2
A、
5
−
2
B、5
2
C、
15
2
D、
5．我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水
克火，火克金。”将这五种不同属性的物质任意排成一排，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质均
不相邻”，则事件A发生的概率为（ ）。
1
24
A、
1
12
B、
1
6
C、
5
12
D、
(2−x) 7 =a +a⋅(1+x)+a⋅(1+x) 2 +¿⋅¿+a⋅(1+x) 7 a +a +a +¿⋅¿+a =
6．记 0 1 2 7 ，则 0 1 2 6 （ ）。
A、−1
B、2
129
C、
256
D、
7．
2019
年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（
COVID−19
）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很
快。因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，
武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊
的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等
“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人。在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患
者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，
则该家庭为“感染高危户”。设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（ 0<p<1 ）且相互独立，该家
庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为 f(p) ，当 p=p 0时， f(p) 最大，则 p 0 = （ ）。
√6
1−
3
A、
√6
3
B、
√3
3
C、√3
1−
3
D、
8．一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬
ξ
行n次后小虫所在位置对应的数为随机变量 n，则下列说法错误的是（ ）。
E(ξ )=0
A、 n
D(ξ )=n
B、 n
P(ξ =0)<P(ξ =2)
C、 2020 2020
P(ξ =0)<P(ξ =0)
D、 2020 2018
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．某种产品的价格x（单位：元
¿kg
）与需求量y（单位：
kg
）之间的对应数据如下表所示：
x 10 15 20 25 30
y 11 10 8 6 5
y^=b^x+14.4
数据表中的数据可得回归直线方程为 ，则以下结论正确的是（ ）。
A、变量y与x呈负相关
(20，8)
B、回归直线经过点
b^ =−0.32
C、
35 ¿kg 3.4kg
D、该产品价格为 元 时，日需求量大约为
10．下列命题中，正确的命题是（ ）。
A、数据1、2、3、4、5、6、7、8、9、 10 的 70% 分位数为7
1 4
X~B(6， ) D(X)=
3 9
B、若随机变量 ，则
P(AB¯)=P(A)⋅[1−P(B)]
C、若事件A、B满足 ，则A与B独立
X~N(2，σ2 ) P(X>1)=0.68 P(2≤X<3)=0.18
D、若随机变量 ， ，则
1 1
a∈(0， ) (0， )
11．设 3 ，随机变量X的分布列如表所示，随机变量Y=3X+2，则当a在 3 上增大时，下列
E(Y) D(Y)
关于 、 的表述正确的是（ ）。
X −2 −1 0
P 2b b−a a
E(Y)
A、 增大
E(Y)
B、 先减小后增大
D(Y)
C、 先增大后减小
D(Y)
D、 增大12．骰子通常作为桌上游戏的小道具。最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分
别写有数字1、2、3、4、5、6。现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷六面骰n
次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于
2n +n
，则算闯过第n关，
n=1、2、3、4，假定每次闯关互不影响，则（ ）。
7
A、直接挑战第2关并过关的概率为 12
5
24
B、连续挑战前两关并过关的概率为
C、若直接挑战第3关，设A= “三个点数之和等于 15 ”， B= “至少出现一个5点”，则
1
P(A|B)=
13
35
D、若直接挑战第4关，则过关的概率是 1296
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
1
X~B(n， )
13．设随机变量 4 ，Y=2X+1，若 E(Y)=4 ，则n= 。
14．某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名
的名次。甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，
“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有 种。（请用具体数字作
答）
15．已知 (x−1) 3 (x+a) 2 （a∈Z）的展开式中x的系数等于8，则展开式中 x3 的系数等于 。
16．为了抗击新冠肺炎变种奥密克戎引起的疫情，现从四川省成都市的A医院 150 人和B医院 100 人中，
按分层抽样的方法，选出5人加入“援沪医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联
络人中B医院至少有一人的概率是 ；设两名联络人中B医院的人数为X，则X 的期望为
。（本小题第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解强度D
（单位：分贝）与声音能量I （单位：
W/cm2
）之间的关系，将测量得到的声音强度
D
i和声音能量
I
i（
i=1、2、…、 10 ）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。10 10 10 10
I D W ∑(I −I)2 ∑(W −W)2 ∑(I −I)(D−D) ∑(W −W)(D−D)
i i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
1.04×10−11 45.7 −11.5 1.56×10−21 0.51 6.88×10−11 5.1
10
1
W= ∑W
W =lgI 10 i
表中 i i， i=1 。
（1）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I 的回归方程
D^ =a^+b^ ⋅lgI
；
（2）当声音强度大于 60 分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两
1 4
+
=1010
I I I I I I
个声源的声音能量分别是 1和 2，且 1 2 。已知点P的声音能量等于声音能量 1与 2之和，请根
据（1）中的回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由。
(u ，v ) (u ，v ) (u ，v ) ν^=α^+β^ u
附：对于一组数据 1 1 ， 2 2 ，……， n n ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘
n
∑(u−u)(v−v)
i i
β^=i=1
n
估计分别为： ∑(u i −u)2 ， α^=v−β^ ⋅u 。
i=1
18．（本小题满分12分）习近平总书记曾提出，“没有全民健康，就没有全面小康”。为响应总书记的号
召，某社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动。运动分为徒手运动和器械运动两大类．该社区
1200 650 550
对参与活动的 人进行了调查，其中男性 人，女性 人，所得统计数据如表所示：（单位：人）。
徒手
性别 器械类 合计
类
男性 590
女性 240
合计 900
99%
（1）请将题中表格补充完整，并判断能否有 把握认为“是否选择器械类与性别有关”？（2）为了检验活动效果，该社区组织了一次竞赛活动。竞赛包括三个项目，一个是器械类，两个是徒手
4
5
类，规定参与者必需三个项目都参加。据以往经验，参赛者通过器械类竞赛的概率是 ，通过徒手类竞赛
3
4 ξ
的概率都是 ，且各项目是否通过相互独立。用 表示某居民在这次竞赛中通过的项目个数，求随机变量
ξ
的分布列和数学期望。
（参考数据：
12302 =1518900
，
65×65×9=32175
，
1518900÷32175≈47
）
n(ad−bc) 2
K2
=
(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)
附： 。
P(K2 >k) 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．（本小题满分12分） 2020 年11月22日，第 29 届全国中学生数学奥林匹克决赛举行，若将本次成绩
转化为百分制，现从中随机抽取了
100 名学生的成绩，经统计这批学生的成绩全部在[60，100]之内，将数
据按照[60，70)、[70，80)、[80，90)、 [90，100] 的分组作出频率分布直方图，如图所示，已知a、b、c成等
差数列且a−c=0.008
。
（1）求频率分布直方图中a、b、c的值；
100
（2）并估计这 名学生成绩的众数；
（3）若按照分层抽样从成绩在[70，80)、[80，90)的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记X
为3人中成绩在[80，90)的人数，求X的分布列和数学期望。20．（本小题满分12分）北京时间 2021 年11月7日凌晨1点。来自中国赛区的 EDG 战队，捧起了英雄联
盟S11
全球总决赛的冠军奖杯，据统计，仅在
bilibili 平台，S11 总决赛的直播就有3.5亿人观看，电子竞
技作为正式体育竞赛项目已经引起越来越多的年轻人关注，已知该项赛事的季后赛后半段有四支战队参加，
采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：
第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组。
第二轮：胜者组两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜名组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮
落入败者组两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组。
第三轮：败者组两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军），获胜队伍成为败者组第一名。
第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军。
假设每场比赛双方获胜的率均为0.5，每场比赛之间相独立。问：
（1）若第一轮队伍A和队伍D对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？
（2）已知队伍B在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B获智亚军的
概率。
21．（本小题满分12分）现有甲、乙、丙、丁四名同学，分别带着A、B、C、D四个不同的礼物参加
派对进行“礼物交换”游戏，将四个礼物放入袋中，每个同学分别抽取一个礼物。（1）求四位同学都没有拿到自己所带的礼物的概率；
（2）记X 为未拿到自己所带的礼物的同学的人数，求X的分布列和数学期望。
22．（本小题满分12分）条件概率和条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，随着人们对随机现
象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛的利用到日常生产生活中。我们可以进行定义：设
X、 Y 是 离 散 型 随 机 变 量 ， 则 X 在 给 定 事 件 Y=y 条 件 下 的 期 望 为 ：
n
E(X|Y=y)=∑x⋅P(X=x|Y=y)=
i i
i=1
n P(X=x，Y=y)
∑x⋅ i
i=1 i P(Y=y) ，其中 {x 1 ，x 2 ，⋅¿⋅，x n } 为X的所有可能取值集合。 P(X=x，Y=y)表示事件“
X=x”与事件“ Y=y ”都发生的概率。
某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p（ 0<p<1 ），射击进行到击中目标两次时
停止。设 ξ 表示第一次击中目标时的射击次数，η表示第二次击中目标时的射击次数。
（1）求
P(ξ=2，η=5)， P(η=5)；
（2）求
E(ξ|η=5)
，
E(ξ|η=n)（n≥2）。
