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5.3.1函数的单调性
[A级 基础巩固]
1．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．函数f(x)在区间(－2,1)上单调递增
B．函数f(x)在区间(1,3)上单调递减
C．函数f(x)在区间(4,5)上单调递增
D．函数f(x)在区间(－3，－2)上单调递增
解析：选C 由图知当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(4,5)上单调递增．
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
解析：选D ∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x>0时，f′(x)<0，当x<0时，f′
(x)<0，故选D.
3．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1)
C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)
解析：选A ∵y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－，令y′<0，即x－<0，
解得00，
∴y＝xex在(0，＋∞)内为增函数．
5．若f(x)＝，ef(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)1
解析：选A 由f′(x)＝<0，解得x>e，
∴f(x)在(e，＋∞)上为减函数，
∵ef(b)．
6．已知函数f(x)＝kex－1－x＋x2(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则f(x)的单调递
减区间为________．
解析：f′(x)＝kex－1－1＋x.
∵曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，
∴f′(0)＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，
故f′(x)＝ex＋x－1.
令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)的单调递减区间为(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
7．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为________．解析：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.
要使f(x)在(－1,1)上单调递减，
则f′(x)≤0在x∈(－1,1)上恒成立，
则3x2－a≤0，
故a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立，
在x∈(－1,1)上，3x2<3，即a≥3，
∴a的取值范围为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
8．如图为函数f(x)的图象，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为________．
解析：由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，f′(x)<0，
当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故不等式<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．
答案：(－3，－1)∪(0,1)
9．已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0,1]．若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围．
解：由已知，得f′(x)＝2a＋.
∵f(x)在(0,1]上单调递增，
∴f′(x)≥0，即a≥－在(0,1]上恒成立．
而g(x)＝－在(0,1]上是增函数，
∴g(x) ＝g(1)＝－1，∴a≥－1.
max
当a＝－1时，f′(x)＝－2＋，
对x∈(0,1]有f′(x)≥0，∴当a＝－1时，f(x)在(0,1]上是增函数．
综上，若f(x)在(0,1]上为增函数，a的取值范围是[－1，＋∞)．
10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图，f(x)＝6ln x＋h(x)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．
解：(1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，
其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，
把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，
解得
∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x －8，
∴f(x)＝6ln x＋x2－8x＋2.
(2)∵f′(x)＝＋2x－8＝(x>0)．
∴当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 单调递减 单调递增
∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，
f(x)的单调递减区间为(1,3)．
要使函数f(x)在区间上是单调函数，
则解得0，且g(－3)＝
0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：选D 当x<0时，[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
令F(x)＝f(x)g(x)，
则当x<0时，F(x)为增函数．
∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)．
∴F(x)为奇函数．
故当x>0时，F(x)仍为增函数．根据F(x)＝f(x)g(x)的性质，可作出F(x)的示意图．
∴f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．
13．定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，f′(x)<2，则满足f(x)>2x－1的x的取值范围是________．
解析：令g(x)＝f(x)－2x＋1，
则g′(x)＝f′(x)－2<0，
又g(1)＝f(1)－2×1＋1＝0，
当g(x)>g(1)＝0时，即x<1时f(x)－2x＋1>0，
即f(x)>2x－1的解集为(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
14．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＝－1时，证明：当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋2>0.
解：(1)根据题意知，f′(x)＝(x>0)，
当a>0时，则当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单
调递减区间为(1，＋∞)；
同理，当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；
当a＝0时，f(x)＝－3，不是单调函数，无单调区间．
(2)证明：当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x－3，
所以f(1)＝－2，
由(1)知f(x)＝－ln x＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0.
[C级 拓展探究]
15．(1)已知函数f(x)＝axekx－1，g(x)＝ln x＋kx.当a＝1时，若f(x)在(1，＋∞)上为减函数，g(x)在(0,1)上
为增函数，求实数k的值；
(2)已知函数f(x)＝x＋－2ln x，a∈R，讨论函数f(x)的单调区间．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝xekx－1，
∴f′(x)＝(kx＋1)ekx，g′(x)＝＋k.
∵f(x)在(1，＋∞)上为减函数，
则∀x>1，f′(x)≤0⇔k≤－，∴k≤－1.
∵g(x)在(0,1)上为增函数，
则∀x∈(0,1)，g′(x)≥0⇔k≥－，∴k≥－1.
综上所述，k＝－1.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝1－－＝.
①当Δ＝4＋4a≤0，即a≤－1时，得x2－2x－a≥0，则f′(x)≥0.
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当Δ＝4＋4a>0，即a>－1时，
令f′(x)＝0，得x2－2x－a＝0，
解得x＝1－，x＝1＋>0.
1 2
(ⅰ)若－10，则x<0，当x∈(0,1＋)时，f′(x)<0，当x∈(1＋，＋∞) 时，f′(x)>0，
1
∴函数f(x)在区间(0,1＋)上单调递减，
在区间(1＋，＋∞)上单调递增．
