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5.3.2 函数的极值与导数
重点练
一、单选题
1．若函数 可导，则“ 有实根”是“ 有极值”的（ ）．
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若函数 的极小值点是 ，则 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
3．若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 ( )，则下列结论错误的是（ ）．
A．函数 一定存在极大值和极小值
B．若函数 在 、 上是增函数，则
C．函数 的图像是中心对称图形
D．函数 的图像在点 ( )处的切线与 的图像必有两个不同的公共点
二、填空题5． 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若函数
有极值点，则角 的范围是________.
6．函数 在其定义域内的一个子区间 内不是单调函数，则 的取值范围是
______________．
三、解答题
7．设函数 ．
（1）设 ，求 的极值点；
（2）若 时，总有 恒成立，求实数m的取值范围．参考答案
1．【答案】A
【解析】 ，但 在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时 在零点处无极值，
但 有极值则 在极值处一定等于 .
所以“ 有实根”是“ 有极值”的必要不充分条件.
故选A
2．【答案】C
【解析】由题意，函数 ，可得 ，
所以 ，解得 ，故 ，
可得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的极大值为 ．
故选C.
3．【答案】D
【解析】因为 有两个不同的极值点，
所以 在 有2个不同的零点，
所以 在 有2个不同的零点，
所以 ，
解可得， ．
故选 ．4．【答案】D
【解析】A选项， 的 恒成立，故 必有两个不等实
根，不妨设为 、 ，且 ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，所
以函数 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
所以当 时，函数 取得极大值，当 时，函数 取得极小值，A选项正确；
B选项，令 ，则 ， ，易知 ，
∴ ，B选项正确；
C选项，易知两极值点的中点坐标为 ，又 ，
∴ ，
∴函数 的图像关于点 成中心对称，C选项正确；
D选项，令 得 ， 在 处切线方程为 ，
且 有唯一实数解，即 在 处切线与 图像有唯一公共点，D选项错误.
故选D．
5．【答案】
【解析】因为函数 ，所以导函数 ，
因为函数 有极值点，
所以 ，即 ，
则 ，
因为 ，所以角 的范围是 ，
故填 .
6．【答案】
【解析】函数 的定义域为 ， .
令 ， ，可得 ，列表如下：
极小
所以，函数 在 处取得极小值，
由于函数 在其定义域内的一个子区间 内不是单调函数，
则 ，由题意可得 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .故填 .
7．【答案】（1） 是函数的极大值点，无极小值点；（2） ．
【解析】（1） ， ，
，
显然，当 时， ，当 时， ，
函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
故 是函数的极大值点；
（2）对于 可化为 ，
令 ，
，
在 上单调递减，
在 上恒成立，即 ，
又 在 上单调递增，在 上单调递减，
的最大值为 ，
，即实数m的取值范围为 ．
