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5.3.2 第二课时 函数的最大(小)值
[A级 基础巩固]
1．函数f(x)＝x4－4x(|x|<1)( )
A．有最大值，无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，有最小值
D．既无最大值，也无最小值
解析：选D f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1∉(－1,1)，
∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.
2．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为( )
A．2 B．3
C. D．2＋
解析：选B 由f′(x)＝－＝ ＝0，得x＝1，
且x∈(0,1)时，f′(x)＜0，x∈(1,5]时，f′(x)＞0，
∴x＝1时，f(x)取得极小值且为最小值，故最小值为f(1)＝3.
3．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D．10
解析：选A 令y′＝＝＝0得x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以y ＝f(e)＝e－1，
极大值
在定义域内只有一个极值，所以y ＝e－1.
max
4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．[0,1) B．(0,1)C．(－1,1) D.
解析：选B ∵f′(x)＝3x2－3a，
令f′(x)＝0，可得a＝x2，
又∵x∈(0,1)，∴0＜a＜1，故选B.
5．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )
A．－10 B．－71
C．－15 D．－22
解析：选B f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
又因为f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x) ＝k＋5＝10，得k＝5，
max
∴f(x) ＝k－76＝－71.
min
6．函数y＝－x(x≥0)的最大值为__________．
解析：y′＝－1＝，令y′＝0得x＝.
∵0＜x＜时，y′＞0；x＞时，y′＜0.
∴x＝时，y ＝－＝.
max
答案：
7．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.
解析：∵f′(x)＝3x2－3，
∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．∴f(x) ＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
min
又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．
∴f(x) ＝f(3)＝18－a＝m，
max
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
答案：20
8．设函数f(x)＝x2ex，若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：f′(x)＝xex＋x2ex＝·x(x＋2)，
令f′(x)＝0得x＝0或x＝－2.
当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2
f′(x) 0 － 0 ＋
f(x) 单调递减 极小值0 单调递增
∴当x＝0时，f(x) ＝f(0)＝0，要使f(x)＞m对x∈[－2,2]恒成立，只需m＜f(x) ，∴m＜0.
min min
答案：(－∞，0)
9．设函数f(x)＝ex－x2－x.
(1)若k＝0，求f(x)的最小值；
(2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)k＝0时，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，
在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)＝1.
(2)若k＝1，则f(x)＝ex－x2－x，定义域为R.
所以f′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，
则g′(x)＝ex－1，
由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，
所以g(x) ＝g(0)＝0，即f′(x) ＝0，故f′(x)≥0.
min min
所以f(x)在R上单调递增．
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.
(1)求a，b 的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．
解：(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，
f(1)＝3×1＋1＝4，
∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，
又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，
f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，
∴3＋2a＋b＝3，
即2a＋b＝0，
由解得
∴a＝2，b＝－4.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，
得x＝或x＝－2.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x －3 (－3，－2) －2 1
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 8 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 4
∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f＝，
又∵f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
[B级 综合运用]
11．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为(
)
A．1 B.
C. D.
解析：选D 因为f(x)的图象始终在g(x)的上方，所以|MN|＝f(x)－g(x)＝x2－ln x，设h(x)＝x2－ln x，则
h′(x)＝2x－＝，令h′(x)＝＝0，得x＝或x＝－(舍去)，所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，所以当
x＝时有最小值，故t＝.
12．(多选)设函数f(x)＝xln x，g(x)＝，则下列命题正确的是( )
A．不等式g(x)＞0的解集为
B．函数g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减
C．当x＞x＞0时，＞f(x)－f(x)恒成立，则m≥1
1 2 1 2
D．若函数F(x)＝f(x)－ax2有两个极值点，则实数a∈(0,1)
解析：选AC f(x)＝xln x的导函数为f′(x)＝1＋ln x，则g(x)＝＝，g′(x)＝，对于A，g(x)＞0，即＞
0，解得x＞，故A正确；对于B，g′(x)＝，当x∈(0,1)时，g′(x)＞0，g(x)在(0,1)上单调递增，故B错
误；对于C，＞f(x)－f(x)可化为f(x)－x＞f(x)－x.设φ(x)＝f(x)－x2，又x>x ＞0，∴φ(x)在(0，＋∞)上单
1 2 2 1 1 2调递减，∴φ′(x)＝1＋ln x－mx≤0在(0，＋∞)上恒成立，即m≥在(0，＋∞)上恒成立．又g(x)＝在(0,1)
上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g(x)在x＝1处取得最大值，g(1)＝1，∴m≥1，故C正确；对于
D，若函数F(x)＝f(x)－ax2有两个极值点，则f′(x)＝1＋ln x－2ax有两个零点，即1＋ln x－2ax＝0有两
个不等实根.2a＝，又g(x)＝在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g(1)＝1，x→＋∞时，g(x)→0，
即2a∈(0,1)，a∈，故D错误．故选A、C.
13．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.
解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1，
∴函数在(－∞，－1)上单调递增，
在(－1，＋∞)上单调递减．
若a＞－1，则最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝，
解得a＝－；
若a≤－1，则最大值为f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠.
综上知，a＝－.
答案：－
14．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)在点(1,0)处的切线方程；
(2)求函数f(x)在[1，t]上的最大值．
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f(x)的导数f′(x)＝.
(1)f′(1)＝1，所以切线方程为y＝x－1.
(2)令f′(x)＝＝0，解得x＝e.
当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当10，
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．
(2)x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a<1时，f′(x)>0，
函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，
这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相矛盾；
③当10，f(x)单调递增，
所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝.
④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)<0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是相矛盾；
⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小值是相矛盾；
综上所述，a的值为.
