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2024-2025 学年浙江省宁波市六校高一下学期 4 月期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足z=2i+1，则z2的虚部为 ( )
A. −3 B. 2i C. 4 D. 4i
2.在 中，设 ⃗ ⃗， ⃗ ⃗， ⃗ ⃗ ， ⃗ ⃗ ，则 ⃗ ( )
△ABC
AB=a AC=b BD=2DC AE=4ED BE=
11⃗ 8 ⃗ 1⃗ 8 ⃗ 1⃗ 8 ⃗ 11⃗ 8 ⃗
A. a− b B. a− b C. − a+ b D. − a+ b
15 15 3 15 3 15 15 15
3.如图所示，用符号语言可表达为( )
A. α⋂β=m，n⊂α，m⋂n=A；
B. α⋂β=m，n∈α，m⋂n=A；
C. α⋂β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂n；
D. α⋂β=m，n∈α，A∈m，A∈n；
4.下面关于空间几何体的叙述：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②有两个面互相平行，其余各面都是
梯形的多面体是棱台；③正四棱柱都是长方体；④直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几
何体是圆锥；⑤平行六面体是六棱柱．其中叙述正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.在△ABC中，已知B=120°，AC=√19，AB=2，则BC= ( )
A. 5 B. 3 C. √2 D. 1
6.为了测量某一塔ED的高，小明在山下A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进24.4米到达山
脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，那么此塔高约为 ( )(√3≈1.7，√2≈1.4)
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1 1A. 37.54 B. 38.23 C. 39.53 D. 40.52
7.如图，△O′ A′B′是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图(图中虚线分别与x′轴和y′轴平行)，
O′B′=2O′D′=6，O′C′=8，则△OAB的面积为( )
A. 8√2 B. 12√2 C. 24 D. 48
π
8.如图，△ABC中，∠C= ，AC=2，BC=√6+√2.在△ABC所在的平面内，有一个边长为1的正方形
4
⃗ ⃗
ADEF绕点A按逆时针方向旋转(不少于1周)，则 的取值范围是 ( )
AE⋅DB
A. [−5,5] B. [−5,3] C. [−3,3] D. [−3,5]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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2 19.已知⃗ ，⃗ ，则下列结论中正确的是 ( )
a=(3,−1) b=(1,2)
A. ⃗ ⃗
|a+b|=√17
√2
B. ⃗a与⃗b的夹角余弦值为
5
C. 与 同向共线的单位向量是(√5 2√5)
⃗b ,
5 5
D. 向量 在向量 上的投影向量为(1 2)
⃗a ⃗b ,
5 5
10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是 ( )
A. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
B. 若
A
⃗
B⋅A
⃗
C=2
， a=2 ，则 b2+c2=8
C. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB
π
D. 若b=8，c=10，B= ，则△ABC解的个数为2
3
11.在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulli，于
1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个Trulli的屋顶，得到圆锥SO(其中S为顶点，O为底面圆心)，
母线SA的长为6m，C是母线SA上靠近点S的三等分点．从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，灯光
带的最小长度为2√13m.下面说法正确的是 ( )
A. 圆锥SO的侧面积为12πm2
B. 过点S的平面截此圆锥所得截面面积最大值为8√2m2
C. 圆锥SO的外接球的表面积为72πm2
D. 棱长为√3m的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i是虚数单位，则|2+i2+2i3|=________．
⃗ ⃗
13.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e ，e 分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．
1 2
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3 1⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
若向量p=OP=xe + ye ，则把有序数对(x,y)叫做向量 p 在斜坐标系Oxy中的坐标．设向量⃗a，⃗b在斜坐
1 2
⃗ ⃗
标系xOy中的坐标分别为(2,1)，(−3,2)，则 a⋅b=________．
a
14.在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若2sin2C=sin2A+sin2B，则 的取值范围
b
为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量⃗ ⃗ ⃗ ．
a=(1,−3),b=(2,x),c=(−3,x+5)
(1)
若⃗
a⊥
(⃗
a+
⃗
b
)，求|⃗
b
|；
(2) 若(⃗
a+
⃗
b
)
//
⃗
c
，求向量 ⃗a与⃗b 的夹角．
16.(本小题15分)
已知复数z=1+mi(i是虚数单位，m∈R)，且z⋅(3+i)为纯虚数．
m+2i
(Ⅰ)设复数z = ，求|z |；
1 1−i 1
a−i2025
(Ⅱ)设复数z = ，且复数z 所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
2 z 2
17.(本小题15分)
现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，如图所示，上部分的形状是正四棱锥P−A B C D ，下部
1 1 1 1
分的形状是正四棱柱ABCD−A B C D ，要求正四棱柱的高O O是正四棱锥的高PO 的4倍．
1 1 1 1 1 1
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4 1(Ⅰ)若AB=6m，PO =2m，则仓库的容积(含上下两部分)是多少？
1
(Ⅱ)若上部分正四棱锥的侧棱长为6m，当PO 为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
1
18.(本小题17分)
1
在①(sin A−sinC)sin(A+B)=sin2A−sin2B，②√3sinBcosB− cos2B=1，
2
√3
③bcosC=a− csinB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
3
已知a，b，c是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且________．
(Ⅰ)求B；
(Ⅱ)若b=2，求锐角△ABC的周长的取值范围．
19.(本小题17分)
对于三维向量
a
⃗
=(x ,y ,z )(x ,y ,z ∈N,k=0,1,2,…)
，定义“F变换”：
a
⃗
=F
(
a
⃗)，其中
k k k k k k k k+1 k
x =|x −y |，y =|y −z |，z =|z −x |.记⟨⃗ ⟩ ，‖⃗‖ ．
k+1 k k k+1 k k k+1 k k a =x ⋅y ⋅z a =x + y +z
k k k k k k k k
(Ⅰ) 若
a
⃗
=(3,1,2)
，求⟨
a
⃗ ⟩及‖
a
⃗‖；
0 2 2
(Ⅱ) 已知
a
⃗
=(p,2,q)(q≥p)
，‖
a
⃗‖
=2024
，
1 1
(ⅰ)求p，q的值；
(ⅱ)将⃗再经过m次F变换后，‖⃗‖最小，求m的最小值．
a a
1 m
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5 1参考答案
1.C
2.D
3.A
4.B
5.B
6.B
7.D
8.D
9.ACD
10.BC
11.ABD
12.√5
7
13.−
2
14.(2−√3,2+√3)
15.解： (1) 因为⃗
a⊥
(⃗
a+
⃗
b
)，
所以⃗ (⃗ ⃗) ，
a⋅ a+b =0
即⃗ ⃗ ⃗ ，
a2+a⋅b=0
则 ，
1+(−3) 2+1×2−3x=0
即10+2−3x=0，
所以x=4，
所以⃗ ，
b=(2,4)
所以|⃗| ；
b =√22+42=2√5
由题意可得⃗ ⃗
(2) a+b=(3,x−3)
又因(⃗
a+
⃗
b
)
//
⃗
c
，所以3(x+5)=−3(x−3) ，
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6 1解得x=−1，
所以⃗ ，
b=(2,−1)
⃗ ⃗
⟨⃗ ⃗⟩ a⋅b
所以cos a,b = ，
⃗ ⃗
|a|⋅|b|
即 ⟨⃗ ⃗⟩ 2+3 √2，
cos a,b = =
√10⋅√5 2
又因为⃗ ⃗ ，
a,b∈[0,π]
⃗ ⃗ π
所以a,b= ．
4
16.解： ， − ．
∵z=1+mi
∴z=1−mi
−
∴z⋅(3+i)=(1−mi)(3+i)
=(3+m)+(1−3m)i．
又 − 为纯虚数，
∵z⋅(3+i)
{ 3+m=0
∴ ，解得m=−3，
1−3m≠0
∴z=1−3i．
−3+2i 5 1
(Ⅰ)z = =− − i，
1 1−i 2 2
√26
∴|z |= ；
1 2
(Ⅱ)∵z=1−3i，
a−i (a+3)+(3a−1)i
∴z = = ，
2 1−3i 10
又∵复数z 所对应的点在第一象限，
2
{ a+3>0 1
∴ ，解得：a> ．
3a−1>0 3
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7 117.解：(1)∵PO =2m，正四棱柱的高O O是正四棱锥的高PO 的4倍．
1 1 1
∴O O=8m，
1
1
所以仓库的容积V = ×62×2+62×8=312m3，
3
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO =xm，
1
则 ， ， ，
O O=4xm A O =√36−x2m A B =√2√36−x2m
1 1 1 1 1
正四棱柱侧面积 ，
∴ S=4⋅4x⋅√2√36−x2=16√2x⋅√36−x2 (00，可得cosB− sinB=0，即tanB=√3，
3
π
因为02 时， ⃗ 的三个分量为 t−2,2,t 这三个数，
a
k+1
|| ⃗ || ||⃗||
所以 a = a −4 ．
k+1 k
当 t=2 时，⃗ 的三个分量为 2,2,4 ，
a
k
则 ⃗ 的三个分量为 ⃗ 的三个分量为
2,0,2
，
a 0,2,2,a
k+1 k+2
|| ⃗ || || ⃗ ||
所以 a = a =⋯=4 ．
k+1 k+2
||⃗|| || ⃗ || || ⃗ ||
所以，由
a =2024
，可得
a =8, a =4
．
1 505 506
因为
a
⃗
=(1010,2,1012)
，所以任意
a
⃗ 的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于
2
．
1 k
所以 ⃗ 的三个分量只能是
2,2,4
三个数，
a
505
⃗ 的三个分量只能是
0,2,2
三个数．
a
506
|| ⃗ || || ⃗ ||
所以当m<505 时，
a ≥8
；当m≥505 时，
a =4
．
m+1 m+1
所以m 的最小值为505．
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10 1
