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专题5.2 导数的运算
知识储备
1．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝ex f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝ αx α － 1
f(x)＝cos x f′(x)＝ － sin _x
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝ a x ln _a
f(x)＝log x(a>0，a≠1)
a
f′(x)＝
2.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f ′ ( x )± g ′ ( x ) ；
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f ′ ( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′ ( x ) ；
(3) (g(x)≠0)．
3.复合函数导数的运算法则
概念：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那
么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝ ．
求导法则：一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝
f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝ .即y对x的导数等于 对 的导数 与对 的导
x
数的乘积．
4.常用结论
1.f′(x)代表函数f(x)在x＝x 处的导数值；(f(x))′是函数值f(x)的导数，且(f(x))′＝0.
0 0 0 0 0
2. ′＝－ .
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|
反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.能力检测
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字
笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．（2020·全国高二课时练习）对于函数 ，若 ，则实数 等于（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，
所以 ，解得 ，故选：A．
2．（2020·全国高二课时练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，得 ，则 ，故选：D．
3．（2020·全国高二课时练习）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，故A不正确；
，故B不正确；，故C正确；
，故D不正确．故选：C．
4．（2020·山西高三期中（文））已知函数 ，其中 为函数 的导
数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
所以， ，
，函数 的定义域为 ，
，
所以，函数 为偶函数，
因此， .故选：B.
5．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（理））已知 是定义在 上的偶函数，当
时， （其中 为 的导函数），若 ，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，而 知： 在 上单调减，而
，即 ，又 知： ，
∴在 上有 ，又 是定义在 上的偶函数，则 在 上为偶函数，∴
在 上单调增，即 ，可得 ，综上，有 ，故选：
A
6．（2020·湖南长沙市·长郡中学高二期中）若函数 ， 满足 ，且
，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为函数 ， 满足 ，且 ，
所以 ，则 ，
对 两边求导，
可得 ，
所以 ，因此 .故选：C.7．（2020·安徽淮北市·淮北一中高二期中）等比数列 中， ， ，函数
，则 （ ）
A．26 B．29 C．212 D．215
【答案】C
【解析】等比数列 中， ， ，
所以 ，
因为函数 ，
，
则 ．故选：C．
8．（2020·江西抚州市·临川一中高二期中（文））设函数 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 ，
当 时， ， ，满足充分性.
当 ，即 ，解得 或 ，不满足必要性 .
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：A
二、多选题
9．（2020·江苏南通市·高三期中）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全
球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日
上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数 近似模拟其信号，则下列结论中正确的
是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 的图象关于点 对称
C．对任意 ，都有
D．函数 的最小值为-3
【答案】BCD
【解析】A.因为 的周期分别是 ，其最小公倍数为 ，所
以函数函数 的最小正周期为 ，故错误；
B.因为 ，故正确；
C. ，故正确；
D. ,故正确；故选：BCD
10．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知函数 及其导数 ，若存在 ，使得
，则称 是 的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】在A中，若 ，则 ，则 ，这个方程显然有解，故A符合要求；在B中，若 ，则 ，即 ，此方程无解，故
B不符合要求；
在C中，若 ，则 ，由 ，令 ， （ ），作出两函数的
图像如图所示，由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解，故C符合要求；
在D中，若 ，则 ，由 ，可得 ，故D符合要求．故选：
ACD．
11．（2020·湖北高三月考）已知函数 ，其导函数为 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
故 ．故选：BC
12．（2020·山东高三专题练习）以下函数求导正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AC
【解析】对A， ，故A正确
对B， ，故B错
对C，
所以C正确
对D， ，故D错.故选：AC
三、填空题
13．（2020·广东中山市·高二期末）在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因
变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其
市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品
需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数
在 处偏导数的全过程：
， ，所以 ，
，由上述过程，二元函数 ，则______.
【答案】
【解析】根据题意，得到 ， ，
则 ， ，
因此 .故答案为： .
14．（2020·全国高三其他模拟（理））给出下列四个命题：
①命题“ ， ”的否定是“ ， ”；
②函数 只有两个零点，分别是一个正数和一个负数；
③对于任意实数 ，有 ，且当 时， ，则当 时， ．
其中正确命题的序号是______．（填所有正确命题的序号）
【答案】①③
【解析】①全称命题的否定是特称命题，所以①正确．
②根据 ， 的图象，知 有三个零点，
故②错误；
③ 两边对 求导数，得 ，所以 是奇函数，当 时， ，
当 时， ．所以③正确．故答案为：①③
15．（2020·全国高二课时练习）已知函数 、 满足 ， ， ，
，若 ，则 _________．
【答案】
【解析】 ， ，
由 ， ， ， ，
得 ．故答案为： .
四、双空题
16．（2020·浙江宁波市·高二期末）已知函数 和点 ，则导数
______； 的图像在点 处的切线的方程是______.
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 的图像在点 处的切线的方程是 ，即 ，
故答案为： ； .
