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专题01 空间向量及其运算
题型一：空间向量的有关概念
题型二：空间向量的加，减数乘运算
题型三：空间共面向量定理及其推论
题型四：空间向量的数量积
题型五：空间向量夹角和模
题型一：空间向量的有关概念
1．给出下列四个命题，其中正确的有（ ）
（1）若空间向量
，
，，满足
，
，则
；
（2）空间任意两个单位向量必相等；
（3）对于非零向量，由
，则
；
（4）在向量的数量积运算中
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．4 个
【答案】A
【分析】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于（1），当
时，
与不一定平行，故（1）错误；
对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误；
对于（3），取
，满足
，
且
，但是
，故（3）错误；
对于（4），因为
与
都是常数，所以
和
表示两个向量，
若
与方向不同，则
与
不相等，故（4）错误；
故选：A
2．对任意的空间向量
，下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．
C．
D．若
，则
【答案】C
【分析】根据空间向量的概念逐项判断即可.
【详解】选项A：若
，
，则
与不一定平行，如在正方体
中，
满足
，
，此时
，故A 说法错误；
选项B：
表示与共线的向量，
表示与
共线的向量，所以
与
不一定相等，B
说法错误；
选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以
，C 说法正确；
选项D：若
，则
与
模长相等，方向不一定，所以
与
不一定相等，D 说法错误；
故选：C
3．（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若
，则
或
B．若向量
是向量
的相反向量，则
C．在正方体
中，
D．若空间向量
、
、
满足
，
，则
【答案】BC
【分析】根据空间向量的概念可判断A 选项；利用相反向量的概念可判断B 选项；利用相等向量的概念可
判断C 选项；利用共线向量的定义可判断D 选项.
【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A 错误；
对于B：向量
是向量
的相反向量，则
，B 正确；
对于C：在正方体
中，四边形
是矩形，故
，C 正确；
对于D：若
，则
，
，但
、
不一定共线，D 错误.
故选：BC.
4．（多选）下列命题是假命题的是（ ）
A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．
的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合
C．若向量
，
满足
，且
与
同向，则
D．若两个非零向量
与
满足
，则
与
共线
【答案】ABC
【分析】对于A，根据空间向量的性质分析判断，对于B，根据相等向量的定义分析判断，对于C，根据向
量的性质分析判断，对于D，根据共线向量的定义分析判断.
【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A 是
假命题；
对于B，由
知，
，且
与
同向，但A 与C，B 与D 不一定重合，所以B 是假命题；
对于C，空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C 是假命题；
对于D，因为
，所以
，故
与
共线，所以D 是真命题．
故选：ABC
5．（多选）下列命题中，是真命题的为（ ）
A．设
，
是两个空间向量，则
B．若空间向量
，
满足
，则
C．若空间向量
，
，
满足
，
，则
D．在正方体
中，必有
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的相关概念和运算逐项分析判断.
【详解】对于选项A：根据数量积的定义可知：
，故A 为真命题；
对于选项B：根据向量的定义可知，
，但向量的方向无法确定，
所以
不一定成立，故B 为假命题；
对于选项C：根据向量相等的定义可知：若
，
，则
，故C 真命题；
对于选项D：在正方体
中，
，且
方向相同，
所以
，故D 为真命题.
故选：ACD.
题型二：空间向量的加，减数乘运算
6．已知空间四边形
中，连结
，设
分别是
的中点，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的减法及线性关系计算即可.
【详解】因为
分别是
的中点，
所以
，
则
.
故选：B.
7．如图，在四面体OABC 中，
为BC 的中点，
，且
为OG 的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.
【详解】由题意，
,
故选：A
8．在三棱柱
中，设
，
，
，
为
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由空间向量的线性运算法则即可求解．
【详解】连接
，如图，
因为
为
的中点，
所以
．
故选：C．
9．已知三棱柱
如图所示，其中
，若点
为棱
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得：
．
故选：D
10．已知三棱锥
分别是
的中点，
是
的中点，设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用空间向量线性运算，结合图形即可得解.
【详解】因为
分别是
的中点，
是
的中点，
所以
，
，
则
.
故选：D.
11．已知平行六面体
，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
，图示见解析；
(2)
，图示见解析.
【分析】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可.
【详解】（1）
，
设P 是线段
的中点，
则
，
向量
如图所示.
（2）
，
设Q 是线段
的中点，
则
，
向量
如图所示.
题型三：空间共面向量定理及其推论
12．已知M，A，B，C 为空间中四点，任意三点不共线，且
，若M，A，B，C 四
点共面，则
的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】利用共面向量定理的推论求解即可.
【详解】依题意，
，所以
.
故选：A
13．已知
三点不共线，点
在平面
外，点
满足
，则当点
共
面时，实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由向量减法运算可得
，再根据题设及空间向量的共面定理即可求解.
【详解】由
，可得
，
所以
，
当点
共面时，可得
，解得
.
故选：A.
14．已知
为空间任意一点，
四点共面，且任意三点不共线，若
，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项.
【详解】因为
为空间任意一点，
，
又因为A，B，C，P 满足任意三点不共线，但四点共面，
所以
，解得
．
故选：C．
15．已知点
在
所在平面内，若对于空间中任意一点
都有
，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【答案】A
【分析】根据四点共面的性质即可求解.
【详解】由题意可知
四点共面，
故
，故
，
故选：A
16．已知O、A、B、C 为空间中不共面的四点，且
，若P、A、B、C 四点共面，则
实数的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据知O、A、B、C 是不共面的四点，则对平面
内任一点P 都存在唯一的有序实数组
，使
，其中
，即可求解.
【详解】因为
，且P、A、B、C 四点共面，
则
，解得
，
故选：C.
17．已知
四点共面，且任意三点不共线，
为平面
外任意一点，若
，
则
．
【答案】
/0.4
【分析】根据空间向量共面定理即可求得
.
【详解】∵
，
由空间向量共面定理得：
，
故答案为：
.
题型四：空间向量的数量积
18．如图，在长方体
中，设
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．
【答案】A
【分析】根据长方体的结构特征及
，应用向量数量积的运算律求值.
【详解】由长方体的性质知
，
，
，
，
，
所以
．
故选：A
19．已知正方体
的棱长为1，则
的值为 ．
【答案】1
【分析】由
及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为
，
又
，
，所以
，
所以
.
故答案为：
20．如图，平行六面体
的所有棱长均为2，
两两所成夹角均为
，点
分
别在棱
上，且
，
，则
．
【答案】
【分析】设
，连接
，根据向量的线性运算法则，化简得到
，
，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】由平行六面体
的所有棱长均为2，且
两两所成夹角均为
，
设
，则
且
，
如图所示，连接
，由
，
，
可得
，
所以
.
故答案为：
.
21．如图，已知三棱锥
的每条棱的长度都等于1，点
，
，
分别是
，
，
的中点，
则
.
【答案】
/0.25
【分析】根据线面垂直的性质可得
，再利用向量的加法法则和共线定理，结合数量积的运算律即
可求得.
【详解】
分别为
的中点，则
，
由已知三棱锥
为正三棱锥，取
中点为
，连接
，
由已知
和
为正三角形，则
，
又
，且
平面
，则
平面
，又
平面
则
，即
，
则
.
故答案为：
.
22．已知正三棱锥
，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M 满足
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设O 为
中点，先由题设得
和
，进而得点M 在以O 为球心，半径为的球上，
接着设
，再将
转化成
即可计算求解.
【详解】如图，O 为
中点，则由题意
且
，
所以
.
因为
，则
即
，
所以点M 在以O 为球心，半径为的球上，
设
，则
，
所以
.
故答案为：
.
23．如图，在空间四边形OABC 中，D 为棱BC 上一点，且满足
，E 为线段AD 的中点，设
．
(1)试用向量
表示向量
；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算法，结合
，即可求解；
（2）由
，得到
，结合向量的数量积的运算公式，
准确计算，即可求解.
【详解】（1）解：因为
，由向量的线性运算法则，
可得：
.
（2）解：由
，
所以
.
题型五：空间向量夹角和模
24．在直棱柱
中，
，且
，N 是棱
上的一点，且满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．6
C．3
D．
【答案】B
【分析】设
，
，
，将向量
分别用
表示，代入
，利
用向量数量积的运算律化简，求得
，借助于二次函数的性质即可求得
的最小
值.
【详解】
设
，
，
，
则
，
，
由
，
因
，
，则
，
代入整理得，
，显然
，故
，
因
，故当
时，
取得最大值
，
此时
取得最小值为36，故
的最小值为为6.
故选：B.
25．已知三棱柱
的各条棱长相等，且
，则异面直线
与
所
成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得
，根据空间向量的数量积运算求
，即可得结果.
【详解】不妨设棱长为2，
由题意可知：
，
因为
，
则
，
即
，
且
，
可得
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故选：C.
26．如图，在平行六面体
中，底面ABCD 是正方形，
，M 是CD 中点，
，则直线
与BM 所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】根据
、
，应用向量数量积的运算律及夹角
公式求直线
与BM 所成角的余弦值，进而求其正弦值.
【详解】设
，
，
由
，
所以
，
因为
，
所以
，
，
所以
，直线
与BM 所成角的正弦值为.
故选：C
27．如图，已知三棱锥
的侧棱
，
，且
两两所成的角均为60°．若空
间中的点D，E 满足
，
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用余弦定理求出
，再对已知式子化简可得
，
，从而可得点
D，E 分别在以AB，AC 为直径的球面上，进而可求出
的最大值.
【详解】因为
，
，且
两两所成的角均为60°，
所以
，
．
由
，得
，
所以
，
由
，得
，
所以
，所以
，
因此点D，E 分别在以AB，AC 为直径的球面上，两个球的半径分别为
，
，
设点
，
分别是AB，AC 的中点，则
，
所以DE 的最大值为
，
故选：A．
28．若
，
，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则
.
【答案】3
【分析】应用向量数量积的运算律求向量的模即可.
【详解】由
.
故答案为：3
29．在空间四边形
中，
，
，且
，
平面
，则棱
的长为
.
【答案】
【分析】根据题意可得
，且
，结合数量积的运算律
求模长.
【详解】因为
平面
，
平面
，则
，
，
且
，
，
，
可得
，
又因为
，则
，
可得
，所以
.
故答案为：
.
30．已知平行六面体
中，
．若
，则
的值为 ．
【答案】
【分析】利用向量加法和数量积求解即可.
【详解】由题意可得
，
解得：
，
所以
故答案为：
