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专题02 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
题型一：一元二次方程的解
题型二：判别一元二次方程的根的个数
题型三：利用根与系数的关系计算
题型四：应用根与系数的关系求字母系数的值或范围
题型五：实根分布
题型一：一元二次方程的解
1．解方程：
(1)
；
(2)
．
2．解方程：
(1)
；
(2)
．
3．解下列方程：
(1)
；
(2)
．
4．解方程：
．
5．解方程：
(1)
(2)
题型二：一元二次方程的根的个数
6．关于
的一元二次方程
有两个实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
7．当关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根时，
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
且
D．
且
8．若关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则实数
的取值范围是
．
9．关于x 的一元二次方程方程
有实数根，则m 的取值范围是 ．
10．已知一元二次方程
，必有两个实数根，求
的取值范围．
题型三：利用根与系数的关系计算
11．已知
是方程
的两根，求下列两个代数式的值：
(1)
；
(2)
．
12．设
是方程
的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
(1)
(2)
13．设
，
是一元二次方程
的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值：
(1)
(2)
14．已知
是方程
的两个根，求下列代数式的值．
(1)
；
(2)
．
15．已知方程
的两个根分别为
，
，求下列代数式的值：
(1)
(2)
16．已知
，
是一元二次方程
的两个实数根：
(1)填空：
_____；
_____．
(2)求代数式
的值．
17．已知
是方程
的两个实数根，求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
题型四：应用根与系数的关系求字母系数的值或范围
18．已知关于x 的一元二次方程
．
(1)求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若
，
是该方程的两根，且满足
，求m 的值．
19．若关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根
，
．
(1)求
的取值范围；
(2)若
，求
的值．
20．已知关于x 的一元二次方程
．
(1)求证：无论m 取任何实数时，方程总有两个实数根．
(2)若方程的两个实数根
满足
，请求出m 的值．
21．已知关于
的一元二次方程
．
(1)当方程有两个实数根时，求
的取值范围．
(2)当方程的两个根
满足
时，求
的值．
22．已知关于
的方程
，
(1)当
取何值时，方程有两个不相等的实数根?
(2)设
、
是方程的两根，且
，求
的值．
23．已知关于
的一元二次方程
的两个根为
，若
，求
的值．
24．已知：关于x 的方程
．
(1)求证：不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根为
，
且满足
，求k 的值．
25．关于
的一元二次方程
的两根
，
满足
，求
的值．
26．已知关于
的一元二次方程
．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数
的取值范围．
(2)若方程
的两个实数根
、
满足
，求实数
值．
题型五：实根分布
27．已知关于x 的方程
有两个异号的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
28．已知关于
的一元二次方程
．
(1)求证：不论k 为何值，该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根是负数，求k 的取值范围．
29．已知关于
的一元二次方程
．
(1)求证：无论
为何值，方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个实数根大于，求
的取值范围．
30．已知关于x 的方程
的两个实数根同号，则实数m 的取值范围为 ．
31．已知a，
，证明：“
且
”是“关于x 的方程
有实数根，且两根均小于2”
的充分条件．
