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高三年级高考适应性考试
数学
试卷共 4页，19小题，满分 150分．考试用时 120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知向量a =( 3,−1 )，b =(−2,k )，且a ⊥b ，则k =
2 2
A．6 B．−6 C． D．−
3 3
2．若集合A= { 2,a,a2 } ，B={ 2,4 }，且B⊆ A，则a的值为
A．4 B．2或4 C．−2或4 D．±2或4
1
3．函数 f ( x )=2sinx− sinx 的值域为
2
5 5 3 3 3 5 5 3
A．
− ,
B．
− ,
C．
− ,
D．
− ,
2 2 2 2 2 2 2 2
4．已知等比数列{ a }的公比为q，且a a =a ，a +a =4，则q=
n 2 3 4 1 2
1
A．3 B．2 C．1 D．
3
5．某乡村合作社优化农产品种植结构，持续扩大蔬菜种植面积，统计该合作社近5年的蔬菜种植面积x（单
位：亩）依次为8，10，13，16，20，且这5年的总利润为142.5万元，由这5年的数据求得年利润y（单
位：万元）与x满足线性回归方程y =2.5x+a，则当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为
A．60万元 B．65万元 C．70万元 D．75万元
6．已知偶函数 f ( x )满足当x>0时， f ( x )= x+sin ( x−1 )，则 f ( x )的图象在x=−1处的切线方程为
A．2x+ y+3=0 B．2x− y+1=0
学科网（北京）股份有限公司C．2x− y−1=0 D．2x+ y+1=0
7．若球O 与球O 的体积之比为2a，表面积之比为a，且棱长为1的正方体的所有顶点都在球O 的表面上，
1 2 1
则球O 的表面积为
2
3π π
A．3π B． C．π D．
4 4
x2 y2
8．已知面积为 4 的正方形ABCD的顶点都在双曲线E： − =1（a>0，b>0）上，点 P 是 E 上
a2 b2
与点A，B，C，D都不重合的动点．记PA，PB，PC，PD的斜率分别为k ，k ，k ，k ，若E的虚
1 2 3 4
轴长的取值范围为( 2,4 )，则k k k k 的取值范围是
1 2 3 4
A．(
2,5
) B．(
4,25
) C．(
25,289
) D．(
5,17
)
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
5i
9．已知复数z = ，则
1−2i
A． z =1 B．z在复平面内对应的点位于第二象限
C．z =−2−i D．( z+2 )7 =i
a−log 0.1
10．若 0.4 >0，则a的值可能是
5
a−
3
1 5π 1
A．log 2 B．84 C．sin D．
0.3 3 lg2
11．已知圆C ：x2 +( y−2 )2 =4与曲线C ：x+ay− y3 =0，则
1 2
A．C ，C 恒有公共点
1 2
B．当a∈( 0,1 )时，C ，C 恰有2个公共点
1 2
3
C．当a= 时，C ，C 在y∈( 0,+∞)时的公共点有3个
2 1 2
D．当a=3时，直线x=t与C 有3个公共点的充要条件是直线x=t与圆C 相交
2 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
学科网（北京）股份有限公司( )6
12． 2x− 2 展开式中的第5项的系数为________．
13．已知抛物线C：y2 =8x的焦点为F，若点P为C在第一象限内的一点，且 PF =6，则直线PF 的斜
率为________．
14．已知数列{ a }中，a 为正整数，且 a −a =n，a =3，a <12，则当a 的值最大时，满足
n n n+1 n 1 n 5
k 6
∑(−1 )i⋅i =∑a 的k的值为________．
n
i=1 n=1
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1 b
15．（13分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC = ，且 =2cosA．
3 c
（1）求sinB；
（2）若点D为BC的中点，且b=2，求AD．
x
16．（15分）已知函数 f ( x )= +x．
ex
（1）讨论 f ( x )的单调性；
1 1
（2）若当x>0时， 1+ lnx< 1+ ax，求a的取值范围．
x eax
17．（15分）如图，四棱柱ABCD−ABC D 的所有棱长都为2 3，三棱锥C −ABC是正三棱锥．
1 1 1 1 1
（1）证明：平面BC D⊥平面ACC A ；
1 1 1
（2）求直线CA 与平面ABC 所成角的正弦值．
1 1
18．（17分）某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发
2 1
射成功的概率为 ，失败的概率为 ，发射结果相互独立，计划发射多次．
3 3
（1）若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为X，
求X的分布列与期望；
3
（2）若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为 （即
4
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修复后，系统恢复到正常发射状态），修复失败的概率为 ．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射
4
开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复，则继续进行下一次发射；若发射失
败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止．
（ⅰ）求至少发射3次的概率；
（ⅱ）定义P 为第n次发射成功的概率，是否存在实数t使得数列{ P −tP }为等比数列？若存在，求出
n n+1 n
t的值；若不存在，请说明理由．
x2 y2
19．（17 分）已知点A，A 分别是椭圆C： + =1（a>b>0）的左、右顶点， AA =4且 C 的
1 2 a2 b2 1 2
1
离心率为 ．
2
（1）求C的方程；
（2）若点P是C上与A，A 不重合的点，直线AP，A P与直线x=4分别交于点G，H，求 GH 的最
1 2 1 2
小值；
1
（3）若不过点A且斜率为 的直线与C交于M，N两点，证明：△AMN的外心恒在定直线上．
1 2 1
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