深圳平湖中学2026届高考考前适应性考试数学答案_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_2026年6月高中数学试题汇编_0601数学

高三年级 5 月高考大练兵
数学参考答案
1．B 2．C 3．D 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B
9．BC（每选对1个得3分） 10．ACD（每选对1个得2分） 11．ABD（每选对1个得2分）
12．240 13．2 2 14．66
b b2 +c2 −a2
15．解：（1）由余弦定理得 =2cosA= ，（1分）
c bc
整理得a=c，（3分）
所以A=C，（4分）
2
1 1 2 2
因为cosC = ，所以sinC = 1−   = ，（5分）
3 3 3
2 2 1 4 2
所以sinB=sin ( π−2C )=sin2C =2sinCcosC =2× × = ．（6分）
3 3 9
b 2
（2）由（1）知A=C，所以 =2cosA=2cosC = ，（7分）
c 3
因为b=2，所以c=a=3，（9分）
在△ACD中由余弦定理得
2
1  1
AD= b2 +  a −2b⋅ a⋅cosC （10分）
2  2
2
3 3 1
= 22 +   −2×2× × （11分）
2 2 3
17
= ．（13分）
2
x 1−x ex +1−x
16．解：（1）因为 f ( x )= +x，所以 f′( x )= +1= ，（1分）
ex ex ex
设g ( x )=ex +1−x，则g′( x )=ex −1，（2分）
所以当x∈(−∞,0 )时，g′(
x
)<0，g (
x
)单调递减，当x∈( 0,+∞)时，g′(
x
)>0，g (
x
)单调递增，（3
分）
学科网（北京）股份有限公司( )
g x
所以g ( x )≥ g ( 0 )=2>0，即 f′( x )= >0，（5分）
ex
所以 f ( x )在R上单调递增．（6分）
 1  1  lnx ax
（2）由 1+ lnx< 1+ ax，得 +lnx< +ax，
 x  eax  elnx eax
即 f ( lnx )< f ( ax )，（8分）
因为 f ( x )在R上单调递增，
lnx
所以lnx<ax，即a > ，（9分）
x
lnx 1−lnx
设h ( x )= ，则h′( x )= ，（10分）
x x2
所以当x∈(
0,e
)时，h′(
x
)>0，h (
x
)单调递增，当x∈( e,+∞)时，h′(
x
)<0，h (
x
)单调递减，（11分）
1
所以h ( x )≤h ( e )= ，（13分）
e
1 1 
所以a > ，即a的取值范围是

,+∞

．（15分）
e e 
17．（1）证明：由已知可知四边形ABCD是菱形，所以AC ⊥ BD，（1分）
设ACBD= E ，则E为AC的中点，连接C E，
1
因为三棱锥C −ABC是正三棱锥，C A=CC ，（2分）
1 1 1
所以C E ⊥ AC，（3分）
1
因为BDC E = E，所以AC ⊥平面BC D，（4分）
1 1
因为AC ⊂平面ACC A ，所以平面BC D⊥平面ACC A ．（6分）
1 1 1 1 1
（2）解：由已知可得三棱锥C −ABC是所有棱长均为2 3的正三棱锥，
1
过点C 作CO⊥ BD于点O，则OC ⊥平面ABCD，且OC =2 2，OB=2，OE =1，（7分）
1 1 1 1
以O为原点，在平面ABC内过点O与OB垂直的直线为x轴，直线OB，OC 分别为y，z轴，建立如图
1
所示的空间直角坐标系O−xyz，（8分）
学科网（北京）股份有限公司( ) ( ) ( )
则A 3,−1,0 ，B ( 0,2,0 )，C − 3,−1,0 ，C 0,0,2 2 ，（9分）
1
   
( ) ( ) ( ) ( )
所以AB= − 3,3,0 ，AC = − 3,1,2 2 ，CA= 2 3,0,0 ，CC = 3,1,2 2 ，（10分）
1 1
  
( )
所以CA =CC +CA= 3 3,1,2 2 ．（11分）
1 1


  n⋅AB=0,  − 3x+3y =0,
设平面ABC 的法向量n =( x,y,z )，则  即 （12分）
1
n⋅AC =0, − 3x+ y+2 2z =0,
1
 ( )
取x=2 3，则y =2，z = 2 ，得n = 2 3,2, 2 ，（13分）
设直线CA 与平面ABC 所成的角为θ，
1 1


n⋅CA
24 2 2
1
则sinθ=

 = = ，
n CA 3 2×6 3
1
2 2
所以直线CA 与平面ABC 所成角的正弦值为 ．（15分）
1 1 3
18．解：（1）由题知，X的所有可能取值分别为1，2，3，4，（1分）
i−1
2 1
则P ( X =i )=   × （i =1,2,3），（2分）
3 3
3
2 8
P ( X =4 )=   = ，（3分）
3 27
所以X的分布列为
X 1 2 3 4
1 2 4 8
P
3 9 27 27
（4分）
1 2 4 8 65
E ( X )=1× +2× +3× +4× = ．（5分）
3 9 27 27 27
（2）（ⅰ）记第i次发射成功为事件A，第i次发射失败后修复成功为事件B ，
i i
学科网（北京）股份有限公司则P ( A )= 2 ，P ( A ) = 1 ，P ( B )= 3 ，（6分）
i 3 i 3 i 4
记至少发射3次为事件C，则C = AA + A A B + AB A ，（7分）
1 2 1 2 2 1 1 2
所以P ( C )= P ( A ) P ( A )+P ( A ) P ( A ) P ( B )+P ( A ) P ( B ) P ( A )（8分）
1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 1 3 1 3 2 7
= × + × × + × × = ．（10分）
3 3 3 3 4 3 4 3 9
（ⅱ）第n+2次发射成功有2种情形：第n+1次、第n+2次发射成功，或第n次发射成功，第n+1次发
射失败且发射失败后修复成功，第n+2次发射成功，（11分）
2 1 3 2 2 1
所以P = P ⋅ +P ⋅ × × = P + P ，（13分）
n+2 n+1 3 n 3 4 3 3 n+1 6 n
设P −tP =s ( P −tP )，则P =( s+t ) P −stP ，（14分）
n+2 n+1 n+1 n n+2 n+1 n
 2  2+ 10  2− 10

s+t = , t = , t = ,
 3  6  6
所以 ，解得 或 （15分）
 1  2− 10  2+ 10
st =− , s = , s = ,
 6   6   6
2 2 2 1 3 2 11 2± 10
因为P = ，P = × + × × = ，所以t = 时P −tP ≠0，{ P −tP }是等比数列，（16
1 3 2 3 3 3 4 3 18 6 2 1 n+1 n
分）
2± 10
所以t = ．（17分）
6
19．（1）解：因为 AA =2a =4，所以a=2，（1分）
1 2
1 a2 −b2 4−b2 1
因为C的离心率为 ，所以 = = ，解得b2 =3，（3分）
2 a 2 2
x2 y2
所以C的方程为 + =1．（4分）
4 3
（2）解：设直线AP的方程为y =k ( x+2 )，令x=4，得G ( 4,6k )，（5分）
1
3x2
设点P ( x ,y )，其中x ≠±2，则y2 =3− P ，（6分）
P P P P 4
3x2
3− P
y y y2 3
4
则k k = P ⋅ P = P = =− ，
A 1 P A 2 P x +2 x −2 x2 −4 x2 −4 4
P P P P
学科网（北京）股份有限公司3
所以k =− ，（7分）
A 2 P 4k
3
所以直线A P的方程为y =− ( x−2 )，
2 4k
 3 
所以H4,−

，（8分）
 2k 
 3  3 3
GH = 6k−  −  =6 k + ≥2 6 k ⋅ =6，（9分）
 2k  2 k 2 k
1
当且仅当 k = 时等号成立．
2
故 GH 的最小值是6．（10分）
1
（3）证明：设M ( x ,y )，N ( x ,y )，直线MN 的方程为y = x+m（m≠1），
1 1 2 2 2
 1
y = x+m,

 2
联立 得x2 +mx+m2 −3=0，
x2 y2
+ =1,
 4 3
所以∆=12−3m2 >0，−2<m<2，且x +x =−m，x x =m2 −3，（11分）
1 2 1 2
1 3
y + y = ( x +x )+2m= m，
1 2 2 1 2 2
( )
1 1  1 m 3 m2 −1
y y =  x +m x +m = x x + ( x +x )+m2 = ．（12分）
1 2 2 1 2 2  4 1 2 2 1 2 4
设△AMN的外接圆方程为x2 + y2 +Dx+Ey+F =0，
1
把点A (−2,0 )代入圆的方程得F =2D−4．（13分）
1
因为点M，N在圆上，所以x2 + y2 +Dx +Ey +2D−4=0①，x2 + y2 +Dx +Ey +2D−4=0②，
1 1 1 1 2 2 2 2
①+②得 ( x2 +x2 ) + ( y2 + y2 ) +D ( x +x )+E ( y + y )+4D−8=0，
1 2 1 2 1 2 1 2
其中x2 +x2 =( x +x )2 −2x x =(−m )2 −2 ( m2 −3 ) =−m2 +6，
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
3  2 3 m2 −1 3 m2 +2
y2 + y2 =( y + y )2 −2y y =  m − = ，
1 2 1 2 1 2 2  2 4
( )
3 m2 +2 3m
所以−m2 +6+ −mD+ E+4D−8=0，
4 2
学科网（北京）股份有限公司3m m2 1
即( m−4 ) D− E =− − ，（14分）
2 4 2
①-②得 ( x2 −x2 ) + ( y2 − y2 ) +D ( x −x )+E ( y − y )=0，
1 2 1 2 1 2 1 2
y − y 1
易得x −x ≠0，且 1 2 = ，
1 2 x −x 2
1 2
1 1
上式两边同时除以x −x 得x +x + ( y + y )+D+ E =0，
1 2 1 2 2 1 2 2
3 1
整理得−m+ m+D+ E =0，即m=4D+2E，（15分）
4 2
3m m2 1 1  1 2
代入( m−4 ) D− E =− − 得E2 =4D2 −2D+ = 2D−  ，
2 4 2 4  2
1 1
所以E =2D− ，或E = −2D．（16分）
2 2
1
当E = −2D时，m=4D+2E =1，不满足题意，
2
1
所以E =2D− ，即−4D+2E+1=0，
2
 D E
即点

− ,−

在定直线8x−4y+1=0上，
 2 2 
所以△AMN的外心恒在定直线8x−4y+1=0上．（17分）
1
学科网（北京）股份有限公司