文档文本内容
专题02 位置关系、空间角与距离的计算7 大考点
考点01 平行、垂直问题
考点02 异面直线问题
考点03 直线与平面夹角问题
考点04 平面与平面夹角问题
考点05 空间距离问题
考点06 翻折问题
考点07 动点的存在性问题
考点01 平行、垂直问题
1．已知直线l 的一个方向向量为
，平面
的一个法向量为
，若
，则
．
2．（多选）在如图所示的正方体中，已知
分别是所在棱的中点，则（ ）
A．
平面
B．
平面
C．
D．
3．（多选）在正三棱柱
中，
，
为
中点，点
是线段
上的动点，则（ ）
A．
B．有且仅有一个点
，使得
C．有且仅有一个点
，使得
D．有且仅有一个点
，使得平面
平面
4．已知
为空间内三个不共面的向量，平面
和平面
的法向量分别为
和
，若
，则
5．正四棱柱
中，底面
的边长为2，
，P 为
上一点．
(1)若P 为
中点，求证：
平面
．
(2)若
，求证：
．
6．如图，在长方体
中，
，
，点
在棱
上运动.
(1)证明：
；
(2)设
为棱
的中点，在棱
上是否存在一点
，使得
平面
，若存在，求
的值，若不
存在，说明理由.
7．在正四棱柱
中，
，P 为
的中点.
(1)取
中点
，
中点
，求证：
平面
.
(2)求证：平面
平面
考点02 异面直线问题
8．已知直线的一个方向向量为
，直线
的一个方向向量为
，若直线、
所成的
角等于
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知平行六面体
的六个面都是菱形，且
，直线
与直
线
所成的角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在直三棱柱
中，
，
，点
为
的中点，则异面直线
与
所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图所示，可以将钟楼看作一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从8：00 到10：00 这段时间内，
相邻两面钟的分针所成角为
的次数为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
12．如图，长方体
中，
是底面中心，
.
(1)证明:
；
(2)若直线
与直线
所成角的余弦值为
，求
的长.
13．如图，在棱长都为
的正三棱柱
中，
为侧面
的中心，
为
的中点，点
为
棱
上一动点（不包含端点）.
(1)证明：
平面
；
(2)若直线
与直线
所成角的余弦值为
，求
.
14．如图，圆柱
的轴截面ABCD 是边长为4 的正方形，点F 在底面圆O 上，
，点G 在线段BF
上运动．
(1)当
平面DAF 时，求线段
的长度；
(2)设
，当
与平面DAF 所成角的正弦值为
时，求
的值．
考点03 直线与平面夹角问题
15．如图，长方体
中，
，过点B，D 作平面
与直线
平行，且与
棱
交于点E，点F 是线段
上靠近
的三等分点.
(1)直接给出
的值（不必说明理由），并求平面
截长方体所得截面的面积；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
16．如图，在三棱锥
中，底面
是等腰直角三角形，
底面
是
的中点，
是
的中点，且
．
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
17．如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，
，
是棱
上的点．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若平面
平面
，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的长．
18．如图，菱形
与矩形
所在的平面垂直，
，
，
，
为
的中
点．
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
19．如图，在圆锥
中，
为底面圆的直径，点
为
的中点，点
在劣弧
上，线段
交于点
，且
．
(1)证明：
；
(2)若
，求直线
和平面
所成角的正弦值．
20．如图，在正四棱柱
中，
，
，
，
，
是直
线
上的点．
(1)若
，
，
，
四点共面，证明：
.
(2)设直线
与平面
所成角为
，是否存在点
，使得
，若存在，求
的长；若不存
在，请说明理由．
21．如图，在三棱台
中，
，平面
平面
为
的中点.
(1)求证：平面
平面
；
(2)当直线
与平面
所成的角最大时，求三棱台
的体积.
考点04 平面与平面夹角问题
22．如图，在斜三棱柱
中，
，O 是BC 的中点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
底面ABC，且直线
与底面ABC 所成角为
，D 是棱
的中点，求平面
与平面ABC
夹角的余弦值．
23．如图，正四棱台
中，
，侧棱与面
的夹角为
分别为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的大小．
24．如图，在正三棱柱
的底面边长为2，侧棱长为3，D 为棱
的中点，E 是棱
上的动
点（不与B、
重合），连接BD．
(1)证明：
．
(2)已知直线
与平面
所成角的正弦值为
，求平面
与平面ABC 夹角的余弦值.
25．如图,在四棱锥
中,四边形
是梯形,
,
,
,
,
,
,
是棱
的中点.
(1)证明：
平面
.
(2)求二面角
的正弦值.
26．如图，在三棱锥
中，
平面ABC，
，
，点E 是PC 的中点．
(1)求证：
平面PBC；
(2)设点F 是棱PB 上的动点（不含端点），且使平面AEF 与平面ABC 所成角的余弦值为
．求三棱锥
的体积．
27．如图，在四棱锥
中，
底面
，底面
为菱形，且
，
，点
为棱
的中点.
(1)在棱
上是否存在一点
，使得
平面
？如果存在，确定点N 的位置，如果不存在，请说明
理由；
(2)若二面角
的余弦值为
时，求棱
的长度.
28．四棱锥
，平面
平面
，
，
是
中点，
(1)求证：
平面
；
(2)若平面
与平面
的夹角的余弦值为
，求线段
的长.
考点05 空间距离问题
29．在长方体
中，
，
，点M 满足
，则点M 到直线
的距
离为 .
30．如图，在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面
与平面
的距离为 ．
31．如图，四棱锥
中，
底面
，
，
平面
，
．
(1)证明：
；
(2)若点B 到平面
的距离为1，求平面
与平面
夹角的余弦值．
32．如图，四棱锥
，
平面ABCD，
，
，
．若E 点满
足
，平面
交线段PD 于F 点．
(1)求证：
；
(2)若平面
与平面
夹角的余弦值为
，求D 点到平面
的距离．
33．已知多面体ABCDEF 如图所示，其中四边形ABCD 为矩形，
，
平面
ABCD．
(1)求证：
平面BCF；
(2)若
，点A 到平面BDF 的距离为
，求
的值．
34．如图，
平面
，
，
，
，
，点
，
，
分别为
，
，
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的正弦值；
(3)若
为线段
上靠近
点的三等分点，求
到平面
的距离．
考点06 翻折问题
35．如图1，在平面四边形
中，
，
，
，
，将
沿
翻折到
的位置，使得平面
平面
，如图2 所示.
(1)求证：
平面
；
(2)设线段
的中点为
，求平面
与平面
所成的二面角的余弦值.
36．如图，四边形
中，
，
，
为
中点，点
在
上，
，
.将四边形
沿
翻折至四边形
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，求点
到平面
的距离.
37．如图甲所示，四边形
为正方形，
，S 为
的中点.将
沿直线
翻折使得
平面
，如图乙所示.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
所成二面角的余弦值.
38．如图，在等腰梯形
中，
为边
上靠近点
的三等分点，现将三
角形
沿
翻折，得到四棱锥
，使得
为棱
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值.
39．如图，在梯形
中，
，
，
，
，
是
的中点，将
沿
翻折至
，使得
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
40．如图，在矩形
中，
，
，
，将
沿
翻折得到四棱锥
，
且二面角
为直二面角.
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正切值.
41．如图1，在平面多边形
中，
为直角三角形，
，
，如图2，现将
沿AB 向上翻折到图中的
处，此时
，
.
(1)证明：
平面MAC；
(2)求平面MAC 与平面
所成角的余弦值.
考点07 动点的存在性问题
42．如图，在四棱锥
中，侧面
底面
，侧棱
，底面
为直角梯
形，其中
为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)线段
上是否存在
，使得它到平面
的距离为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明
理由.
43．如图，四棱锥
的底面
是正方形，
平面
.已知
，
分别为
的中点，平面
与棱
交于点
.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的正弦值；
(3)判断线段
上是否存在一点
，使得点
到平面
的距离为
？若存在，请求出点
的位置；
若不存在，请说明理由.
44．如图1，在边长为2 的菱形
中，
于点
，将
沿
折起到
的位置，使
，如图2．
(1)求证：
平面
；
(2)求点B 到平面
的距离；
(3)在线段
上是否存在点
，使平面
平面
？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
45．如图，在三棱柱
中，底面是边长为
的等边三角形，
，
分别是线段
的中点，
在平面
内的射影为
.
(1)求证：
平面
；
(2)若点
为棱
的中点，求点
到平面
的距离；
(3)在棱
上是否存在点
，使得平面
与平面
所成的角为
？若存在，求出
的长；若不存
在，请说明理由.
46．在四棱锥
中，底面
是正方形，
平面
是
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若点
在棱
上，且
，在棱
上求一点
，使得
平面
.
47．如图：在直三棱柱
中，
，
，
，M 是
的中点，N 是
的中点．
(1)求证：
∥平面
；
(2)求：二面角
的余弦值；
(3)在线段
上是否存在点P，使得点P 到平面MBC 的距离为
，若存在求此时
的值，若不存在请
说明理由．
