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专题 01 空间向量及其运算 9 大考点
考点 01 空间向量的线性运算
考点 02 空间向量的坐标运算
考点 03 由空间向量共线求参数或值
考点 04 空间向量共面求参数
考点 05 用空间基底表示向量
考点 06 求空间向量的数量积
考点 07 空间向量的垂直问题
考点 08 空间向量的模长问题
考点 09 由空间位置关系求参数
考点 01 空间向量的线性运算
1．在长方体
中，
等于（
）
A．
B．
C．
D．
2．点 在平行四边形
所在平面外，
与
交于点
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）如图，已知平行六面体
，点 是
的中点，下列结论中正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
4．已知四棱锥
的底面是平行四边形，
，
交于点 ，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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5．如图，在正三棱柱
中，
是
的中点.
(1)化简
，并在图中标出化简后的结果所对应的向量；
(2)求
.
考点 02 空间向量的坐标运算
6．若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在空间直角坐标系
中，已知点
，若点 关于 轴对称的点为 ，点 关于平面
对称的点为 ，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在空间直角坐标系
中，已知
，
，若点
与点 关于平面
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若
是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组
，使
得
，我们把有序实数组
叫做基底
下向量 的斜坐标．设向量 在基底
下的斜坐标为
，则向量 在基底
下的斜坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
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10．已知点
，
，向量
，则点 的坐标为
.
考点 03 由空间向量共线求参数或值
11．已知非零空间向量
，且
，则一定共线的三点是（
）
A．
B．
C．
D．
12．设向量 ，
，
不共面，已知
，
，
，若 ， ，
三点共线，则
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
13．已知向量
，
，且
，则
．
14．已知空间三点
共线，则
．
15．已知空间中三点
与
不重合，则使
三点共线一个点 的坐标
可以是
．
考点 04 空间向量共面求参数
16．若
是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（
）
A．
，
，
B．
， ，
C．
，
，
D．
，
，
17．已知空间四点
，
，
，
构成梯形，则实数
的值为
．
18．下列命题中正确的是（
）
①若
，则 ， ， 三点共线；
②若
，则 ， ， ，
四点共面；
③若
，则 ， ， ， 四点共面．
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
19．已知
， ， ， 三点不共线， 为平面
外任意一点．若
．且 ，
， ， 四点共面，则实数
．
20．已知点 为三棱锥
的底面
所在平面内的一点，且
，其中
，
，则
的最大值为
．
21．如图，在正四棱锥
中，E，F 分别为
的中点，
．
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(1)证明：B，E，G，F 四点共面．
(2)记四棱锥
的体积为
，四棱锥
的体积为
，求
的值．
考点 05 用空间基底表示向量
22．如图，空间四边形 OABC 中，
，
，
，点 M 在
上，且满足
，点 N 为
BC 的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
23．四面体
中，
，点
为
的中点，则
（
）
A．
B．
C．
D．
24．在四棱柱
中， ，
分别在棱
，
上，且
，
，若
4 / 12
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
25．如图，在四面体
中，E 为
的中点，G 为
的重心，则
（
）
A．
B．
C．
D．
26．如图，平行六面体
中，延长
至点 ，使
，则向量
可用向量
表示为
.
27．（多选）在平行六面体
中，
是
的中点，
为平面
内一点，若
，则（
）
A．
B．
C．
D．
考点 06 求空间向量的数量积
28．在棱长为 4 的正方体
中，点
在该正方体表面上运动，球 为该正方体的内切球，
为球 的一条直径，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
29．已知四面体
的各棱长均为 1，E、F、G 分别是
、
、
的中点，则
的值为（ ）
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A．0
B．1
C．
D．
30．已知 为坐标原点，点
，点
，则
（ ）
A．13
B．15
C．17
D．19
31．在平行六面体
中，各棱长均为 2，
，则
.
32．已知正方体的棱长为 ，点 是正方体外接球的球面上一点，
为正方体内切球的球面上的两点，
若
，则
.
33．如图，在正六棱柱
中，
为
的中点．设
.
(1)用
表示向量
；
(2)若
，求
的值．
考点 07 空间向量的垂直问题
34．已知
，
，且
，则 的值为（
）
A．
B．5
C．－6
D．10
35．已知向量
，若
，则
．
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36．已知空间三点
，
，
，设
，
.
(1)求
，
；
(2)若向量
与
互相垂直，求实数 k 的值.
37．如图，在平行六面体
中，
，
分别为
，
的中点，
.
(1)求证：
平面
；
(2)若
，
，
，
为线段
的中点.求证：
.
38．如图，三棱柱
各棱的棱长都是 1，若
，点
，
分别是
的中点，记
．
(1)用向量
表示向量
，并求
的模长；
(2)用向量方法证明：
．
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考点 08 空间向量的模长问题
39．设 ，
，
，
，
且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．4
40．如图，在平行六面体
中，
，
，
则
（
）
A．1
B．3
C．
D．
41．如图，已知
是边长为 1 的小正方形网格上不共线的三个格点，点 为平面
外一点，且
，
，若
， 则
（ ）
A．
B．3
C．6
D．7
42．已知四面体
中，
，
，
，
，空间一点 M 满足
，若
四点共面，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
43．如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，二面角
的大小
为
，则
（
）
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A．
B．
C．
D．
44．已知空间向量 ， 均为单位向量，向量 满足
，
，
.
(1)证明： 在 上的投影向量为
.
(2)求
.
45．如图所示，两条异面直线
所成的角为 ，在直线
上分别取点
和点
，使得
且
.已知
，则
.
46．空间直角坐标系
中，已知
，且点 满足
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．3
C．
D．
考点 09 由空间位置关系求参数
47．如图，设动点 在棱长为 的正方体
的对角线
上（不含端点），
，当
为直角时， 的值是（
）
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A．2
B．1
C．
D．
48．如图，在正三棱柱
中 ，若
，且
与
所成角的大小为
，则
的值为
.
49．如图，在长方体
中，
，
，点 满足
，当
时，
的值为
.
50．已知动点 在正方体
的对角线
（不含端点）上．设
，若
为钝角，
则实数 的值为
．
51．如图所示，已知斜四棱柱
的底面
是菱形，且
，且
．
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(1)求证：
；
(2)当
的值为多少时，能使
平面
？请给出证明．
52．如图，三棱锥
中，
，
分别是
，
上的点，且
，
，设
，
，
．
(1)试用 ， ， 表示向量
；
(2)已知
，
，且
，若
，求 的值．
53．如图，在矩形
和
中，
，
，
，
，
，
，记
.
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(1)将
用 ， ， 表示出来，并求
的最小值；
(2)是否存在 使得
平面
？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
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