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专题02 三角函数的概念与诱导公式八大题型
题型一：终边上的点与三角函数值
题型二：圆上的动点与旋转点
题型三：同角三角函数中由条件等式求三角函数
题型四：正余弦和差与积关系的应用
题型五：正余弦齐次式的计算
题型六：诱导公式的化简求值
题型七：利用互余互补关系求值
题型八：利用诱导公式与同角三角函数关系进行证明
题型一：终边上的点与三角函数值
1．已知
是第二象限的角，
为其终边上的一点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】依题意，
，
（
为坐标原点），
则
，所以
.
故选：A
2．已知角
的终边过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由三角函数的定义可得
，
整理可得
，即
，
即
，可得
，故
.
故选：B.
3．（多选）已知点
是角
终边上的一点，则（ ）
A．当
时，
B．角
为第四象限角
C．
D．
【答案】ACD
【详解】由三角函数的定义可得
，
对于A，当
时，
，此时
，
，故A 正确，
对于B，当
时，
，
在第四象限；
当
时，
，
在第二象限，故B 错误，
对于C，根据三角函数的定义可知
，故C 正确，
对于D，
，故D 正确.
故选：ACD.
4．（多选）平面直角坐标系中，若角
的终边经过点
，且
，则下列各式的值一定大于0 的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】由三角函数的定义得
，
，
，
，
由
，得
.
故选：BD
5．已知角
终边上一点坐标
，则
.
【答案】
/
【详解】由题设
.
故答案为：
6．在平面直角坐标系
中，角
与角
均以原点为顶点，以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称，点
在角
的终边上．若
，则x= ；
= ．
【答案】
【详解】依题意，
，解得
，因此
，角
的终边过点
，
于是
，
.
故答案为：
；
题型二：圆上的动点与旋转点
7．在平面直角坐标系xOy 中，角
与角
的顶点与原点重合，它们的始边与x 轴正半轴重合，终边关于y
轴对称．若将
终边按逆时针方向旋转
恰与
终边重合，则
的一个取值为 ．
【答案】
（答案不唯一）
【详解】由题意
与
关于
轴对称，则
，
又将
终边按逆时针方向旋转
恰与
终边重合，则
，
求解得
，不妨取
时，
.
故答案为：
（答案不唯一）.
8．如图所示，在平面直角坐标系
中，动点
、
从点
出发在单位圆上运动，点
按逆时针方向
每秒钟转
弧度，点
按顺时针方向每秒钟转
弧度，则
、
两点在第4 次相遇时，点
的坐标是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】相遇时间为
秒，
故
转过的角度为
，
其对应的坐标为
，即
.
故选：C
9．在平面直角坐标系xOy 中，将向量
按顺时针方向绕原点O 旋转
后得到向量
，则ab 的值为 .
【答案】
【详解】设经过点
的终边角度为
，由根据题意，利用任意角的三角函数的定义得：
，
，则
∴
，
，
∴
.
故答案为：
10．设点
是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置
出发，沿单位圆顺时针方向旋转
角
后到达点
，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角
到达点
，若点
的纵坐标是
，则
点
的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：初始位置
在
的终边上，
所在射线对应的角为
，
所在射线对应的角为
，
由题意可知，
，
又
，
则
，解得
，
所在的射线对应的角为
，
由任意角的三角函数的定义可知，点
的坐标是
，即
．
故答案为：
．
题型三：同角三角函数中由条件等式求三角函数
11．若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，
又
，
所以
，即
，
又
，所以
，所以
，
所以
.
故选：B.
12．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
【详解】若
，则
，
所以
，即充分性成立；
若
，则
，即
，
所以
不成立，
所以“
”是“
”的充分不必要条件，
故选：A.
13．已知
是第四象限角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
，
又因为
，所以
，即
，
整理得
，
解得
或
(舍去)，
又因为
是第四象限角，所以
，故
，
所以
.
故选：C.
14．若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【详解】由
可得
，
代入
可得
，解得
或
（舍）
所以
，所以
故选：B
15．若实数
，
满足方程组
，则
的一个值可以是 .（写出满足条件的一
个值即可）
【答案】
（答案不唯一，满足
，
即可）
【详解】由
，可得
，
即
，所以
，所以
，
，
所以当k=0 时，
.
故答案为：
（答案不唯一，满足
，
即可）
题型四：正余弦和差与积关系的应用
16．在
中，若
为最大内角，且
，则三角形
为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【答案】C
【详解】由
，两边平方，
，
，
又因
，则
，故
，
可知角A 为钝角，故三角形
为钝角三角形.
故选：C.
17．已知
是关于
的一元二次方程
的两根，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】已知
是关于
的一元二次方程
的两根，
则有
，
又由
，
得
，解得
.
故选：B
18．已知关于x 的方程
的两个根为
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由韦达定理得
，
又
，故
，解得
，
故
.
故选：C
19．（多选）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】∵
，
∴
，即
，
∴
，D 错误；
∵
，∴
，∴
，
∴
，
∴
，C 正确；
由
，
得
，
则
，选项A 正确，选项B 正确.
故选：ABC
20．如果角
满足
，那么
的值是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【详解】
，
，即
，
那么
，即D 正确.
故选：D．
21．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如
图所示，直角三角形中最小的一个角为
，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设大正方形的边长为
，则小正方形的边长为
，
依题意可得
，故
，
即
，
解得
或
.
因为
，则
，故
.
故选：B
题型五：正余弦齐次式的计算
22．已知
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【详解】解：
，
即
，
解得
．
故选：D．
23．已知
，则
.
【答案】
【详解】由题意分式的分子与分母都除以
，
可得
，
又
，
∴
.
故答案为：
.
24．已知
，则
．
【答案】
/
【详解】已知
，
则
故答案为：
25．已知
，
，则
．
【答案】
【分析】
【详解】解法1：由
，
得
，则
是方程
的两根，
该方程可化为
，解得
．
又
时，
，从而
，
．
所以
．
解法2：由方法1，
，则
.
又
，又
，
得
，从而
，得
，
所以
．
故答案为：
26．已知
，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【详解】因
，
故当
时，
的最小值为
．
故答案为：
.
题型六：诱导公式的化简求值
27．化简：
．
【答案】
【详解】化简：
,
故答案为：
28．已知角
（
）终边上
点坐标为
，则
.
【答案】
【详解】由已知
，
，
所以
，
所以点
到原点
的距离
，
则由三角函数定义可知
，且
为第三象限角，
又
，所以
，
故答案为：
.
29．若
为第二象限角，且
，则
的值是 ．
【答案】
【详解】由
得
，
因为
为第二象限角，则
，
则
．
故答案为：
．
30．已知
(1)化简
；
(2)若
是第三象限角，且
，求
的值；
(3)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）由题意得
，
（2）因为
是第三象限角，且
，
由诱导公式得
，故
，
所以
，故
，
因此
．
（3）当
时，将其代入原函数，
可得
．
31．求
的值．
【答案】0
【详解】设
，而
，
所以
，
所以
.
32．化简：
(1)
，
；
(2)
，
．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）当
为偶数时，原式
；
当
为奇数时，原式
．
综上，当
时，原式
．
（2）当
，
时，原式
；
当
，
时，原式
；
当
，
时，原式
；
当
，
时，原式
．
综上，当
时，原式
．
33．已知
(1)化简
；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）因为
所以
，
所以
，
，
又因为
所以
所以
.
题型七：利用互余互补关系求值
34．已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
则
.
故选：A.
35．已知
，且
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，可得
，
因为
，可得
，
所以
，
，
所以
.
故选：C.
36．已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，得
，即角
的终边位于第二、三象限或
轴负半轴，
而
，则
为第二象限角，
则
，
故
.
故选：A.
37．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
所以
，
故选：D
38．已知
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，则
，
又因为
，则
，且
，
所以
.
故选：D.
39．已知
，且
为第二象限角，则
.
【答案】
/
【详解】
，
因为
，
为第二象限角，
所以
，所以
.
故答案为：
.
题型八：利用诱导公式与同角三角函数关系进行证明
40．证明：
．
【答案】证明见解析
【详解】
，
，
故等式左边
，等式成立．
41．证明：
．
【答案】证明见解析
【详解】左边
右边，
所以
．
42．三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．现有
如下两个恒等式：
（1）
；（2）
．
根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明．
【答案】
，证明见详解.
【详解】猜想
.
证明：由诱导公式可得
，
所以
.
43．求证：
．
【答案】证明见解析
【详解】左边
右边，
∴原等式成立．
44．已知A、B、C 是
的三个内角，求证；
（1）
；
（2）
.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【分析】
【详解】(1)
.
(2)
.
45．求证：
.
【答案】证明见解析
【详解】左边＝
＝右边．
故原式得证．
【点睛】本题考查诱导公式的综合运用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数符号的正负.
