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高一第二学期期末数学试卷
一､选择题
1. 下列各角中，与 角终边相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
写出与 终边相同角的集合，取k值得答案.
【详解】与 角终边相同的角的集合为 ，
取 ，可得 .
∴与 角终边相同的是 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.
2. 圆柱的母线长为 ，底面半径为 ，则圆柱的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆柱的侧面积公式计算即可.
【详解】圆柱的母线长为 ，底面半径为 ，
则圆柱的侧面积为 .
故选：A
【点睛】本小题主要考查圆柱的侧面积公式，属于基础题.
3. （ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式得答案.
【详解】依题意 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查诱导公式，属于基础题.
4. 设 ，且 ，则 （ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】因为 ，且 ，
则 或 .
故选：A
【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
5. 设 ， 均为单位向量，且 ，则 （ ）
A. 3 B. C. 6 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】 ， 均为单位向量，且 ，
则 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查向量模的运算，属于基础题.
6. 下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】解：在区间 上， ， 没有单调性，故排除A.
在区间 上， ， 单调递减，故排除B.
在区间 上， 单调递增，且其最小正周期为 ，故C正确；
根据函数以 为最小正周期， 的周期为 ，可排除D.
故选：C.
【点睛】本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的关键，属于基础题.
7. 已知向量 ， 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量 ， 的夹角为（ ）A. 45° B. 60° C. 90° D. 135°
【答案】A【解析】
【分析】
根据向量的坐标表示，求得 的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．
【详解】由题意，可得 ， ，
设向量 ， 的夹角为 ，则 ，
又因为 ，所以 ．
故选：A.
【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，
利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8. 设 ， ，且 ，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦函数以及余弦函数在 上的单调性求解即可.
【详解】因 为， ，且 ，
而 在 上有增有减；故 与 大小关系不确定，
在 上单调递减；若 ，则 成立；
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用正余弦函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题.
9. 将函数 的图象向右平移 ( )个单位，得到函数 的图象.在同一坐标系中，
这两个函数的部分图象如图所示，则 （ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可知， ，根据函数图象的平移变化法则可知 ，于是推出
，即 或 ， ，再结合 ，
解之即可得 的值.
【详解】由图可知， ，
因为 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，所以 ，
所以 ，
所以 或 ， ，
解得 或 ， ，
因 为，所以 .
故选：C
【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.10. 棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台.小棱锥的体积记为y，棱台的体积记为x，
则y与x的函数图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设棱锥的体积为V，则 ，即y是关于x的一次函数，且单调递减，故而得解.
【详解】设棱锥的体积为V，则V为定值，
所以 ，即y是关于x的一次函数，且单调递减，
故选：A
【点睛】本小题主要考查函数图象，属于基础题.
二､填空题
11. 已知圆的半径为2，则 的圆心角所对的弧长为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知结合弧长公式即可直接求解.
【详解】由弧长公式可得 .故答案为：
【点睛】本小题主要考查弧长公式，属于基础题.
12. 在平面直角坐标系 中，角 和角 均以 为始边，它们的终边关于x轴对称.若 ，则
______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得 ，由此能求出结果.
【详解】∵在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于x轴对称，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本小题主要考查三角函数的对称性，属于基础题.
13. 向量 ， 满足 ， .若 ，则实数 ______.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的运算法则，可列出关于λ的方程，解之即可.
【详解】解：∵ ，∴ ，
即 ，解得 .
故答案为：1.
【点睛】本题考查了向量垂直求参数，考查了向量数量积的定义，属于基础题.14. 已知正方体 的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是
______；球的表面积是______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积.
【详解】解：正方体 的八个顶点在同一个球面上，
若正方体的棱长是2，
设外接球的半径为r，
则 ，解得 ，
故球 的直径为 .
球的表面积为 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
15. 已知函数 给出下列三个结论：
① 是偶函数；
② 有且仅有3个零点；
③ 的值域是 .
其中，正确结论的序号是______.
【答案】②③
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③.【详解】函数 ，
①由于 ，所以 是非奇非偶函数，所以①不正确；
② ，可得 ， ， ，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确；
③函数 ， 的值域是 ，正确；
正确结论的序号是：②③.
故答案为：②③.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、零点、值域.
16. 设函数 ，若 对任意的实数x都成立，则 的最小值为
______.
【答案】2
【解析】
【分析】
由题意可得 的最小值为 ，可得 ， ，解方程可得 的最小值.
【详解】解：若 对任意的实数x都成立，
可得 的最小值为 ，
可得 ， ，
即有 ， ，
由 ，
可得 的最小值为2，此时 .
故答案为：2.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
三､解答题
17. 已知 ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由已知利用同角三角函数基本关系式求得 ，再由商的关系求得 ；
（2）直接利用二倍角的正弦公式、降次公式求解.
【详解】（1）∵ ，且 ，
∴ ，
则 ；
（2）∵ ， ，
∴
.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式.
18. 如图，正三棱锥 的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥 的表面积；
（2）求正三棱锥 的体积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）取 的中点D，连接 ，利用勾股定理求得 ，可得三角形 的面积，进一步可得正三棱
锥 的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥 的表面积可求；
（2）连接 ，设O为正三角形 的中心，则 底面 .求解 ，再由棱锥体积公式求解.
【详解】（1）取 的中点D，连接 ，
在 中，可得 .
∴ .
∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，
∴正三棱锥 的侧面积是 .
∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴ .则正三棱锥 的表面积为 ；
（2）连接 ，设O为正三角形 的中心，则 底面 .
且 .
在 中， .
∴正三棱锥 的体积为 .【点睛】本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题.
19. 在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先根据 求得 的值，再由 得到 ，根据两角和与差的
公式可求得 即可；
（2）由 可求得 的值，进而根据正弦定理可求得a，c的关系，再由 可求出
a，c的值，最后利用三角形的面积公式即得结果.
【详解】解：（1）因为 ， ，所以 .
由已知得 .
所以 .
（2）由（1）知 ，所以 且 .
由正弦定理得 .又因为 ，所以 ， .
所以 .【点睛】本题考查了三角形的正弦定理和面积公式，考查了同角三角关系和两角和与差的正弦公式，属于
中档题.
20. 已知函数 .
（1）求 的定义域；
（2）求 在区间 上的最大值；
（3）求 的单调递减区间.
【答案】（1） ；（2）1；（3） .
【解析】
【分析】
（1）由分母不为零得到 ，即 求解.
（2）利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为 ，再利用余弦函数的性质求解.
（3）由（2）知 ，利用余弦函数的性质，令 求解.
【详解】（1）因 为，即 ，
解得 ，
所以 的定义域是
（2）因为 ，
，又 ，
所以 ，
，
所以 区间 上的最大值是1；
（3）令 ，
解得 ，
所以 的单调递减区间.是
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，二倍角公式，辅助角法以及三角函数的性质，还考查了转化求
解问题的能力，属于中档题.
21. 如图，在正方体 中，E为 的中点.（1）在图中作出平面 和底面 的交线，并说明理由；
（2）平面 将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比.
【答案】（1）答案见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）在正方形 中，直线 与直线 相交，设 ，连接 ，可证 平面
且 平面 ，得到平面 平面 ；
（2）设 ，连接 ，证明 ，则平面 将正方体分成两部分，其中一部分是三
棱台 .设正方体 的棱长为2.求出棱台 的体积，由正方体体积
减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案.
【详解】（1）在正方形 中，直线 与直线 相交，
设 ，连接 ，
∵ ， 平面 ，则 平面 ，∵ ， 平面 ，∴ 平面 .
∴平面 平面 .
（2）设 ，连接 ，
由E为 的中点，得G为 的中点，
∴ ，则平面 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台 .
设正方体 的棱长为2.
.
∴另一部分几何体的体积为 .
∴两部分的体积比为【点睛】本小题主要考查面与面 的位置关系，考查几何体体积的求法.
22. 如图，在扇形 中， ，半径 ，P为弧 上一点.
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的最小值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先通过倒角运算得出 ， ，再在 中，由余弦定理可求得
，然后根据平面向量数量积的定义 ，代入数据进行运算即
可得解；
（2）以O为原点， 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设 ，其中 ，
结合平面向量数量积的坐标运算，用含有 的式子表示出 ，再利用三角恒等变换公式和正弦函数
的图象即可得解.
【详解】（1）当 时，如图所示，∵ ，∴ ， ，∴
，
在 中，由余弦定理，得
，
∴ ，
又 ，
∴
（2）以O为原点， 所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，
∵ ， ，∴ ，设 ，其中 ，
则
.
∵ ，∴ ， ，
∴当 ，即 时， 取得最小值为 .
【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与
性质，属于中档题．
