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高一（下）期末数学试卷
一、选择题
1. 已知角 的终边经过点 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件利用任意角的三角函数的定义,求得 的值．
【详解】解:∵角 的终边经过点 ,
∴ , , ,
则 ，
故选:B
【点睛】本题考查已知终边上一点求三角函数值,属于基础题.
2. 已知向量 ， .若 ，则实数 的值为（ ）
A. －2 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出 的值.
【详解】解：∵向量 ， ，若 ，则 ，
∴实数 ，
故选：A.
【点睛】本题考查向量垂直的求参，重在计算，属基础题.3. 在△ 中，若 ， ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用正弦定理计算得到答案.
【详解】根据正弦定理： ，故 ，解得 .
故选：B.
【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.
4. 已知三条不同的直线 ， ， 和两个不同的平面 ，下列四个命题中正确的为（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.
【详解】A. 若 ， ，则 ，或 相交，或 异面，A错误；
B. 若 ， ，则 或 ，B错误；
C. 若 ， ，则 或 相交，C错误；
D. 若 ， ，则 ，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.5. 函数 的最小正周期为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
.
化简得到 ，利用周期公式得到答案
【详解】 ，故周期 .
故选：A.
【点睛】本题考查了二倍角公式，三角函数周期，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
6. 已知 ，且 ，那么 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 ，且 得 ，再根据同角三角函数关系求解即可得答案.
【详解】解：因为 ， ，
故 ， ，
又 ，解得：
故选：B
【点睛】本题考查同角三角函数关系求函数值，考查运算能力，是基础题.
7. 函数 的最大值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用诱导公式化简整理得 ，即得最大值.
【详解】由诱导公式可得 ，
则 ，
函数 的最大值为 .
故选：A.
【点睛】本题考查了诱导公式 和三角函数最大值，属于基础题.
8. 已知直线 ， ，平面 ， ， ， ， ，那么“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理即可得到结论.【详解】若 ，则在平面 内必定存在一条直线 有 ，
因为 ，所以 ，若 ，则 ，
又 ，即可得 ，反之，若 ，
由 ， ， 可得 ，又 ，则有 .
所以“ ”是“ ”的充分必要条件.
故选：C
【点睛】本题主要考查面面垂直的判定和性质定理，以及线面平行的判定定理，属于中档题.
二、填空题
9. 已知向量 ， ，则向量 ， 夹角的大小为______.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用 ，即可能求出向量 与 的夹角大小.
【详解】∵平面向量 ， ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴向量 与 的夹角为 ，故答案为 ．
【点睛】本题考查两向量的夹角的求法，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用，是
基础题．
10. 已知向量 与 的夹角为120°，且 ，那么 的值为______.
【答案】－8【解析】
【分析】
先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解.
【详解】解： .
故答案为： -8.
【点睛】本题考查数量积的计算，此类问题一般利用数量积的运算律和定义来处理，本题属于基础题.
11. 在平面直角坐标系中，角 的终边过点 ，则 ___；将射线 （ 为坐标原点）按逆时
针方向旋转 后得到角 的终边，则 ___.
【答案】 (1). (2). ；
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式 ，求得 、 的值．
【详解】∵角 的终边过点 ，则 ，
将射线 （ 为坐标原点）按逆时针方向旋转 后得到角 的终边，
则 ，
故答案为 ， .
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，设 是一个任意角，它的终边上异于原点的一个点的坐
标为 ，那么 ， ， ，诱导公式 ，属于基础题．
12. 已知 ，则 的值为______.
【答案】－1
【解析】
【分析】
由 求得 的值，再化简并计算所求三角函数值.
【详解】解：由 ，得 ，即 ；
所以
=－1.
故答案为：－1.
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、诱导公式，需熟记公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
13. 已知函数 .若 ，则函数 的单调增区间为______.
【答案】 ，
【解析】
【分析】
由已知函数关系式可得函数周期为 ，又由已知条件可得 ， 取到最大值和最小值，进而可
求出 ，继续利用函数单调性求出单调增区间.
【详解】因为函数 ，所以函数周期为 .若 ，则 ， ，
故 ， ，
且 ， ，
即 ，
故 ，
令 ，求得 ， ，
故答案为： ， .
【点睛】本题考查三角函数的应用，重在对基础函数性质的理解，考查分析能力，属基础题.
14. 函数 图象如图，则 的值为______， 的值为______.【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据图象过点 ，结合 的范围求得 的值，再根据五点法作图求得 ，可得函数的解析式.
【详解】由函数图象过点 ，可得 ，则 ，
又 ，∴ ，
∴ .
再根据五点法作图可得， ，∴ .故答案为： ； .
【点睛】由图像确定表达式，要注意完整读出图像所给出的条件,准确求出参数值.
三、解答题
15. 函数 .
（1）求函数 的单调递增区间和最小正周期；
（2）请用“五点法”画出函数 在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数
值，再画图）；
0（3）求函数 在 上的最大值和最小值，并指出相应的 的值.
【答案】（1）单调递增区间是 ， ；最小正周期 ；（2）填表见解析；作图见解
析；（3）最大值为2，最小值为－1， 时 取得最小值， 时 取得最大值.
【解析】
【分析】
（1）根据正弦函数的图象与性质求出函数 的单调递增区间和最小正周期；
（2）列表，描点、连线，画出函数 在长度为一个周期 的闭区间上的简图；
（3）求出 时函数 的最大值和最小值，以及对应 的值.
【详解】解：（1）函数 ，
令 ， ；
解得 ， ；
即 ， ；
所以函数 的单调递增区间是 ， ；
最小正周期 ；
（2）填写表格如下；
00 2 0 －2 0 2
用“五点法”画出函数 在长度为一个周期的闭区间上的简图为；
（3） 时， ， ，
所以函数 在 上取得最大值为2，最小值为－1，
且 时 取得最小值， 时 取得最大值.
【点睛】本题考查正弦型函数的性质以及“五点法”作图，本题要掌握基础函数的性质以及整体法的应用，
同时熟悉“五点法”作图，考查分析能力以及作图能力，属中档题.
16. 如图，在四边形 中， ， ， ， ， .
（1）求 的大小；
（2）求 的长；
（3）求四边形 的面积.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】【分析】
（1）利用余弦定理求出 即得解；
（2）利用余弦定理求出 即得解；
（3）由三角形面积公式分别求得 和 的面积，即可得解.
【详解】（1）在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
因为 为三角形内角，所以 .
（2）在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
所以 .
（3） ，
，
所以四边形 的面积为 .
【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17. 如图，在三棱锥 中， ， ， ， 分别是 ， ，
的中点，求证：（1） 平面 ；
（2） 平面 ；
（3）平面 平面 ；
（4）请在图中画出平面 截三棱锥 的截面，判断截面形状并说明你的理由；
（5）若 .求出第（4）问中的截面面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）作图见解析；截面 为矩
形；答案见解析；（5）4.
【解析】
【分析】
（1）由线面垂直的判定定理即可得证；
（2）由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；
（3）推得 平面 ，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
（4）可取 的中点 ，连接 ， ，可得截面 ，由三角形的中位线定理，以及线面垂直的
性质定理，可得截面为矩形；
（5）判断截面为边长为2的正方形，可得截面的面积.
【详解】解：（1）证明：由 ，可得 ， ，
又 ，则 平面 ；
（2）证明：由 为 的中位线，可得 ，
且 平面 ， 平面 ，则 平面 ；
（3）证明：由 平面 ， 平面 ，得 ，又 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ；
（4）可取 的中点 ，连接 ， ，截面 为所求截面.
由 为 的中位线，可得 ， ，
又 ， ，所以 ，且 ，
可得四边形 为平行四边形，
由 ， ， ，可得 ，
则截面 为矩形；
（5）若 ，可得截面 为边长为2的正方形，其面积为4.【点睛】本题考查空间中线面平行、线面垂直、面面垂直的证明，三类问题的证明，都需要利用位置关系
的判断定理来考虑，后两者注意三种垂直关系的转化，本题属于中档题.
18. 如图，已知正方形 所在平面和平行四边形 所在平面互相垂直，平面 平面
， ， 是线段 上的一点且 平面 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： 是线段 的中点；
（3）求证： 平面 .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）易知 ， ，由面面平行判定定理即可得证；
（2）设 ，连接 ，由 平面 ，可推出 ，而 为 的中点，故得
证；（3）由平面 平面 ， ，可推出 平面 ，故 ；由平面
平面 ， ，可推出 平面 ，故 ；再由线面垂直的判定定理即
可得证.
【详解】证明：（1）∵平行四边形 ，∴ ，
面 ， 面 ，
面 ，
∵ 为正方形，∴ ，
面 ， 面 ，
面 ，
又 ，
∴平面 平面 .
（2）设 ，连接 ，则 为 的中点，
∵ 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
∴ .
又 为 的中点，
∴ 为线段 的中点.
（3）∵平面 平面 ，平面 平面 ， ，∴ 平面 ，∴ .
∵平面 平面 ，平面 平面 ， ，
∴ 平面 ，∴ .
又 ， 、 平面 ，
∴ 平面 .
【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理以及线面垂直的判
定定理，考查了逻辑推理能力，属于基础题.
19. 利用周期知识解答下列问题：
（1）定义域为 的函数 同时满足以下三条性质：
①存在 ，使得 ；
②对于任意 ，有 ；
③ 不是单调函数，但是它图象连续不断，
写出满足上述三个性质的一个函数 ，则 ______（不必说明理由）
（2）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分.
（i）求 的最小正周期并说明理由.
（ii）求证： 不是周期函数.
【答案】（1） （答案不唯一）；（2）答案不唯一，具体见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知条件可取 （答案不唯一）
（2）若选择（i）我们知道 与 的周期分别为： ， .让它们的整数倍相等即可得
出函数 的最小正周期.（ii）我们知道 与 的周期分别为： ，2.而 与2的整数倍不可能相等，即可证明
结论.
【详解】解：（1） （答案不唯一）.
故答案为： .
（2）若选择（i）我们知道 与 的周期分别为： ， .
取 ，则 ，而 ，
可得： 是函数 的最小正周期.
（ii）证明：我们知道 与 的周期分别为： ，2.
而 与2的整数倍不可能相等，因此 不是周期函数.
【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
