文档文本内容
5.4 诱导公式
模块一：基础知识 .........................................................................2
考点一：诱导公式 .......................................................................2
考点二：诱导公式的作用 ..............................................................2
考点三：一组重要公式 .................................................................2
模块二：题型分类 .........................................................................3
题型一：给角求值问题 .................................................................3
题型二：给值(式)求值问题 ............................................................4
题型三：三角函数的化简求值问题 ..................................................4
题型四：利用诱导公式证明三角恒等式 .............................................6
题型五：诱导公式在三角形中的应用 ...............................................7
题型六：诱导公式与同角函数基本关系的应用 ....................................8
模块三：综合巩固 .........................................................................9
5.4 诱导公式
模块一：基础知识
考点一：诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
七
八
角
正弦
余弦
正切
余切
口诀
函数名不变，符号看象限.
函数名改变，符号看象限.
考点二：诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将任意角转化为0～2π 的角求值
公式二
将0～2π 的角转化为0~π 的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将
𝜋
2～π 的角转化为0～
𝜋
2的角求值
公式五
实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化
公式六
实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化
考点三：一组重要公式
(1)
(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
(2)
(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
类似地，有：
(3)
(n∈Z).
(4)
(n∈Z).
模块二：题型分类
题型一：给角求值问题
1.cos5555° = （ ）
A．cos65°
B．sin65°
C．−cos65°
D．−sin65°
2.求值：
(1)sin150；
(2) tan1020；
(3)
3π
sin(
)
4
；
(4)
sin
750
.
3.利用公式求下列三角函数值：
(1)cos225：(2)
8π
sin 3 ；(3)
16π
sin
3
；(4)
tan
2040
.
4. tan420
tan510
．
5.求下列各三角函数值：
(1)
π
sin
6
；(2)
2π
cos 3 ；(3)
5
tan 4
；(4)
35π
cos 6 ．
6.求值：
(1)
7π
sin 6 ；(2)
11π
cos 4 ；(3)
tan
1560
.
题型二：给值(式)求值问题
1.若cos π
4 + 𝛼=
1
3，则sin π
4 −𝛼= （ ）
A．2 2
3
B．−2 2
3
C．
1
3
D．−
1
3
2.已知sin 𝜃+ π
6 =
1
2，则cos 𝜃+ 2π
3
= （ ）
A．−3
2
B．3
2
C．
1
2
D．−
1
2
3.已知角的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与射线
2
y
x
（
0
x
）重合，则
3
sin
2
.
4.若
π
3
(
,π),cos(π
)
2
5
，则tan
.
5.已知
π ,π
2
，
3
sin
5
，则
cos π
.
6. 已知
1
sin
,tan
0
3
x
x
，则
π
sin 2
x
．
题型三：三角函数的化简求值问题
1.化简：
(1) 1−2sin(3−π)cos(3−π)；
(2)
1−2sin190°cos190°
cos170° +
1−cos2170°．
2.已知𝑓(𝑎) =
sin(2π−𝑎)cos π
2 −𝑎
cos 𝑎−3π
2 tan(π + 𝑎)．
(1)若𝑓(𝑎) = −
1
2，且𝑎∈(0,π)，求a 的值；
(2)若𝑓𝑎+ π
3 =
1
4，求sin2 2π
3 −𝑎+ sin π
6 −𝑎的值．
3.已知在平面直角坐标系中，点
2,4
M
在角终边上，则
3
3
3
3
sin
π
cos
sin
2cos
（ ）
A．2
3
B．3
2
C．
3
5
-
D．
5
3
4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，钝角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与半径为1的圆相交于点
A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点B ，
2
3
OB
．
(1)求sin的值；
(2)求
2sin π
sin π
cos 2π
的值．
5.已知
3π
7π
cos
sin
2
2
sin
π
f
.
(1)若
1
3
f
，求tan的值；
(2)若
π
1
6
3
f
，求
5π
6
f
的值.
6.已知是第三象限角，且
2
tan
2tan
3
0
，则
4sin(π
)
π
cos
cos(
)
2
．
7.化简：
sin π
tan 2π
cos 2π
tan π
cos π
sin π
．
8.已知
2 5
sin
5
，
π ,π
2
，求
5π
sin
2
tan
π
5π
cos
2
的值.
9.（1）已知方程
sin
3π
2cos
4π
，求
sin π
5cos 2π
3π
2sin
sin
2
的值．
（2）已知
π
1
0,sin
cos
2
5
x
x
x
，求sin
cos
x
x
的值；
题型四：利用诱导公式证明三角恒等式
1.求证：
sin(2𝜋−𝛼)cos(𝜋+ 𝛼)cos 𝜋
2 + 𝛼cos 11𝜋
2 −𝛼
cos(𝜋−𝛼)sin(3𝜋−𝛼)sin(−𝜋−𝛼)sin 9𝜋
2 + 𝛼= −tan𝛼．
2.求证：
2
3
2sin(
)cos(
) 1
2
2
1 2sin (
)
＝tan(9
) 1
tan(
) 1
．
3.设
8
tan
7
m
.求证：
15
13
sin
3cos
3
7
7
20
22
1
sin
cos
7
7
m
m
.
4.若k Z ，求证：
sin( π
)cos( π
)
1
sin[(
1)π
]cos[(
1)π
]
k
k
k
k
.
题型五：诱导公式在三角形中的应用
1.已知A、B、C 是△𝐴𝐵𝐶的三个内角，求证；
（1）cos(2𝐴+ 𝐵+ 𝐶) + cos𝐴= 0；
（2）tan
𝐴+ 𝐵
4
+ tan
3π + 𝐶
4
= 0.
2. ABC
中，若sin
sin
2
2
A
B
C
，则ABC
形状为
．
3.已知角A 为锐角，
1
sin
cos
tan
2
A
A
A
，
(1)求角A 的大小；
(2)求
2023π
sin π
cos
2
A
A
的值．
4.若ABC
的内角A，B，C 满足sin
cos
tan
A
B
C
， 则A 与B 的关系为（ ）
A．
π
2
A
B
B．
π
2
A
B
C．
π
2
B
A
D．
π
3
A
B
题型六：诱导公式与同角函数基本关系的应用
1.已知
π
sin
cos π
sin
2
3π
sin
cos 2π
tan π
2
f
.
(1)化简
f ；
(2)若
10
10
f
，且为第四象限角，求
2
2sin
3sin cos
的值.
2.已知tan
2
=- ，则
sin
5cos 2π
3π
3sin
sin
2
．
3.已知角的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过函数
4
2
x
f x
a
（
0
a
且
1
a ）
的定点M.
(1)求sin
2cos
的值；
(2)求
π
sin π
cos 2
tan 5π
cos 2π
sin
的值.
4.给出下列三个条件：①角的终边经过点
(3 , 4 )(
0)
P
m
m m
；②sin
cos
1
sin
cos
7
；
③
2
3cos
4sin cos
3(
π,
Z)
k
k
．
请从这三个条件中任选一个，解答下列问题：
(1)若为第四象限角，求sin
2cos
的值；
(2)求
2
2
sin(π
)
π
sin (π
)cos(
)
sin(2π
)sin
2
的值．
5.（1）求
29
12
sin
π
cos
π tan4π
6
5
的值.
（2）求证：
2
2
2
2
1
tan
cos
sin
1
tan
.
模块三：综合巩固
1.已知的终边上有一点
(1,3)
P
，则cos(π
)
的值为（ ）
A．1
3
B．10
10
C．
10
10
D．
3 10
10
2. tan300（ ）
A．
3
3
B．
3
3
C．
3
D．
3
3.已知
3π
1
sin
8
3
，则
π
cos 8
（ ）
A．
1
3
B．1
3
C．
3
3
D．
3
3
4.在平面直角坐标系xOy 中，角和角的顶点均与原点O 重合，始边均与x 轴的非负半轴重合，它们的
终边关于直线y
x
对称，若
2
cos
3
，则sin （ ）
A．
5
3
B．
2
3
C．2
3
D．
5
3
5.已知
π
2
sin 6
3
，则
5π
sin
6
（ ）
A．2
3
B．
2
3
C．
5
3
D．
5
3
6.已知函数
( )
sin(
)
cos(
)
4
f x
a
x
b
x
，xR ，且
(2023)
3
f
，则
(2024)
f
的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
7.已知函数
2
2
x
f x
a
（
0
a
且
1
a ）的图像过定点P ，且角的始边与x 轴的正半轴重合，终边过
点P ，则
2
11π
9π
cos
sin
2
2
sin
π
等于（ ）
A．
2
3
B．2
3
C．3
2
D．
3
2
8.已知
π
3
sin 6
3
，且
π π
,
4 4
，则
π
sin 3
（ ）
A．
3
3
B．
3
3
C．
2
3
D．
6
3
9.已知tan
2
，则
3π
sin
sin
2
.
10.已知
3π
sin π
cos 2π
cos
2
π
cos
sin
π
2
f
.
(1)化简
f ；
(2)若是第三象限角，且
1
sin
π
5
，求
f 的值.
11.求证：2sin(𝜃−3𝜋
2 )cos(𝜃+ 𝜋
2 )−1
1−2sin2𝜃
=
tan(9𝜋+ 𝜃) + 1
tan(𝜋+ 𝜃)−1 .
12.（多选）已知锐角三角形ABC 中，设
tan
tan
a
A
B
，
( )
loga
f x
x
则下列判断正确的是（ ）
A．sin
cos
A
B
B．
1
a
C．sin
sin
2
cos
cos
A
B
B
A
D．
(cos
)
(sin
)
f
A
f
B
13．（多选）以下各式化简结果正确的是（ ）
A．sin
cos
cos
tan
1
B．1
2sin 20 cos20
cos20
sin 20
C．
sin
36
cos54
0
D．sin
cos
sin cos
2
2
14．（多选）已知角的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，它的终边过点
3 4
,
5 5
P
，角
的终边与角的终边关于y 轴对称，将OP 绕原点逆时针旋转π
2 后与角的终边重合，则（ ）
A．
4
sin
5
=
B．
π
C．cos
cos
0
D．sin
cos
0
15.已知函数
π
3π
sin
+
cos
-
tan π-
2
2
tan π+
sin 2π-
f
.
(1)化简
f
(2)若
3π
3
2
8
f
f
，且
π
3π
4
2
，求
3π
2
f
f
的值.
16.设𝑎= cos 3
5 π ，𝑏= sin −9
5 π ，𝑐= tan −3
4 π ，则（ ）
A．𝑎> 𝑏> 𝑐
B．𝑏> 𝑐> 𝑎
C．𝑐> 𝑏> 𝑎
D．𝑐> 𝑎> 𝑏
17.已知函数𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−2 +2（𝑎> 0且𝑎≠1）的图像过定点𝑃，且角𝛼的始边与𝑥轴的正半轴重合，终边过点
𝑃，则cos 11π
2 −𝛼sin 9π
2 + 𝛼
sin2(−π−𝛼)
等于（ ）
A．−
2
3
B．
2
3
C．
3
2
D．−
3
2
18.如图，在平面直角坐标系内，角𝛼的始边与𝑥轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点𝑃1
3
5 , 4
5 ，若线段𝑂
𝑃𝑛−1绕点𝑂逆时针旋转
π
4得𝑂𝑃𝑛（𝑛≥2，𝑛∈N），则点𝑃2023的纵坐标为（ ）
A．−
4
5
B．−
3
5
C．
3
5
D．
4
5
19.已知角𝐴、𝐵、𝐶为△𝐴𝐵𝐶的三个内角，若sin 𝐴+ 𝐵−𝐶
2
= sin 𝐴−𝐵+ 𝐶
2
，则△𝐴𝐵𝐶一定是（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
20.如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，点𝑀是斜边𝐴𝐵的中点，点𝑁在边𝐵𝐶上，且𝑀𝑁⊥𝐴𝐵，𝑀𝑁=
3，𝐶𝑁= 1，则sin
𝐴= （ ）
A．
2
3
B．
3
3
C．
6
3
D．
7
3
21.在平面直角坐标系xOy 中，角以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点
,
P m n .
(1)若
12
13
n
，求tan及
2sin π
cos
π
cos
2cos
2
的值；
(2)若
1
sin
cos
5
，求点P 的坐标.
22.（1）已知
1
1
sin
sina
且
lg cos有意义，若角的终边与单位圆相交于点
3,
5
M
m
，求m 的值及
sina 的值；
（2）是否存在角
π π
,
,
0,π
2 2
，使等式
π
sin 3π
2 cos 2
3 cos
2 cos π
同时成立.若存在，求出,
的值；若不存在，说明理由.（注：对任意角x ，有
2
2
sin
cos
1
x
x
成立）
