文档内容
热点 3-1 同角三角函数基本关系、诱导公式与三角恒等变换
基本关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考中的一个必考内容。一般以选
择题、填空题的形式出现，难度中等或偏下；但在三角函数的解答题中有时也会涉及到合并化简。
【题型1 正、余弦齐次式的计算】
满分技巧
1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
（1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；
（2）sin α，cos α的齐次分式 的问题常采用分式的基本性质进行变形．
2、切化弦：利用公式tan α＝ ，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．
【例1】（2024·四川攀枝花·统考二模）若角 的终边经过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·四川成都·统考一模）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·西藏林芝·高三统考期末）若 ，且 ，则 ．【变式1-4】（2023·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知 ，则 ．
【题型2 sina±cosa与sina·cosa关系】
满分技巧
对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，
若令sin α＋cos α＝t(t∈[－ ， ])，则sin αcos α＝ ，sin α－cos α＝± (注意根据α的范围选取
正、负号)，体现了方程思想的应用．
【例2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知 是三角形的一个内角，满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知 ，且 ，则下列结果正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·山东德州·高三德州市第一中学校考开学考试）已知 ，A为第四象限
角，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·江苏连云港·高三东海县第二中学校考阶段练习）函数y＝sin x＋cos x－sin xcos x的值
域
为 ．
【变式2-4】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知 ， 是关于 的一元二次
方程 的两根．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．【题型3 诱导公式化简求值】
满分技巧
利用诱导公式化简求值的解题策略
1、条件求值问题的策略
（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆
向求角．
3、观察互余、互补关系：如 －α与 ＋α， ＋α与 －α， －α与 ＋α等互余， ＋θ与 －θ， ＋θ与
－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
【例3】（2023·宁夏银川·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，在 在角 终边上，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·重庆荣昌·高三重庆市荣昌中学校校考阶段练习）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2023·安徽·高三校联考期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【变式3-4】（2023·上海闵行·高三文来中学校考期中）若 ，则 ．
【题型4 同角关系与诱导公式综合应用】【例4】（2023·重庆永川·高三永川北山中学校校考期中）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C．3 D．
【变式4-1】（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）已知 ，则 等于
（ ）
A．1 B．－ C． D．－
【变式4-2】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·山西运城·高三校考期末）已知角 的终边经过点 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【变式4-4】（2023·甘肃兰州·高三校考阶段练习）已知 ，且 为第三象限角．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【题型5 三角恒等变换之给角求值】
满分技巧
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间
总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解。
【例5】（2022·江苏常州·高三校联考阶段练习）（多选）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2024·湖北·校联考模拟预测）在 中，已知 ，则
（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【变式5-2】（2024·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末） （
）
A．1 B． C． D．2
【变式5-3】（2023·重庆·统考模拟预测）式子 化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）求值： （ ）
A． B． C．1 D．
【题型6 三角恒等变换之给值求值】
满分技巧
1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用;
②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：
等.【例6】（2024下·福建·高三校联考开学考试）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·河北邯郸·高三校考阶段练习）已知 ， 满足 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·江苏扬州·高三统考期末）已知 ，则
（ ）
A．0 B． C． D．1
【变式6-4】（2023·广西·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【题型7 三角恒等变换之给值求角】
满分技巧
“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是：
（1）求值：求出所求角的某种三角函数值.
（2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围.
（3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.
【例7】（2023·贵州铜仁·高三思南中学校考阶段练习）已知 ，且 和 均为钝
角，则 的值为（ ）A． B． C． 或 D．
【变式7-1】（2024·山西太原·高三统考期末）已知 ， ，且 ， ，则 （
）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2023·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）已知 、 是方程
的两个根，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【变式7-3】（2022·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知 ， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】（2023·全国·模拟预测）已知 ， 均为锐角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【题型8 三角函数化简求值综合】
满分技巧
三角函数式的化简遵循“三看”原则
一看式中各角：通过把三角函数式中各角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公
式；
二看函数名称：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
三看结构特征：分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“整式要因式分解”、“二
次式配方”等。
【例8】（2023·河南·高三阶段练习）已知 ．（1）求 的值；
（2）已知 ，求 .
【变式8-1】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知函数 .
（1）若 ，求 的值；
（2）设 ，求函数 的最小值.
【变式8-2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数
．
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2）若 ，且 ，求 的值．
【变式8-3】（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知
.
（1）若 ，求 的值；
（2）若 且 ，求 的值.
【变式8-4】（2023·山西太原·高三统考期中）已知函数 .
（1）求 的单调递增区间和对称中心；
（2）当 时， ，求 的值.
（建议用时：60分钟）
1．（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）若 ，则 （ ）A． B． C． D．
2．（2024·甘肃·高三统考阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山西吕梁·高三校联考阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）已知 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习） （ ）
A． B．1 C． D．2
7．（2022·河南·高三专题练习）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2024·河北·高三校联考期末）设 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·全国·模拟预测）若 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·河北石家庄·高三校考阶段练习）（多选）已知 ， ，则（ ）A． B． C． D．
12．（2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）（多选）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）（多选）已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023·安徽安庆·高三安庆市第九中学校考阶段练习）（多选）下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023·江西宜春·高三上高二中校考阶段练习）已知 ，则
16．（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知 ， ， ， ，则
.
17．（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）若 ，则
.
18．（2023·四川泸州·统考一模）已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）将函数 图象向右平移 个单位长度得到 的图象，若 ， ，求
的值．
19．（2023·天津·高三校联考期中）已知函数 ， 图象的两条
相邻对称轴之间的距离为 ．
（1）求 的单调递减区间；
（2）若 ，且 ，求 的值．20．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知 是方程 的根.
（1）求 的值；
（2）若 是第四象限角， ，求 的值.
