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热点 3-1 同角三角函数基本关系、诱导公式与三角恒等变换
基本关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考中的一个必考内容。一般以选
择题、填空题的形式出现，难度中等或偏下；但在三角函数的解答题中有时也会涉及到合并化简。
【题型1 正、余弦齐次式的计算】
满分技巧
1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
（1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；
（2）sin α，cos α的齐次分式 的问题常采用分式的基本性质进行变形．
2、切化弦：利用公式tan α＝ ，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．
【例1】（2024·四川攀枝花·统考二模）若角 的终边经过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据 的终边经过点 ，则 ，
则 故选：A
【变式1-1】（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 .故选：B【变式1-2】（2023·四川成都·统考一模）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设 ，
所以 ，且 ，
故 ，即 ，
所以 .故选：B
【变式1-3】（2023·西藏林芝·高三统考期末）若 ，且 ，则 ．
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以
.
【变式1-4】（2023·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知 ，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
所以
.
【题型2 sina±cosa与sina·cosa关系】
满分技巧
对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，
若令sin α＋cos α＝t(t∈[－ ， ])，则sin αcos α＝ ，sin α－cos α＝± (注意根据α的范围选取
正、负号)，体现了方程思想的应用．【例2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知 是三角形的一个内角，满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，两边平方得 ，
即 ，可得 ，
因为 是三角形的一个内角，且 ，所以 ，
所以 ，得 ，
又因为 ， ，
联立解得： ， ，故有： ，
从而有 ．故选：B．
【变式2-1】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知 ，且 ，则下列结果正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，故A错误；
因为 ，
又 ，所以 ，所以 ，故B正确；
，
又 ，所以 所以 ，故C错误；
联立 解得 ，所以 ，故D错误；故选：B.
【变式2-2】（2023·山东德州·高三德州市第一中学校考开学考试）已知 ，A为第四象限
角，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
可得 ，
.
.
又 A为第四象限角，
又 ，所以 ， ，所以 .故选：C.
【变式2-3】（2023·江苏连云港·高三东海县第二中学校考阶段练习）函数y＝sin x＋cos x－sin xcos x的值
域为 ．
【答案】[－ ，1]
【解析】
，
令 ，则 ， ，
因为函数 在 上单调递增， 上单调递减，
所以当 时取得最大值， ，
当 时取得最小值， ，
所以函数 的值域为 .
【变式2-4】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两根．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由已知得 ①， ②，
将①两边同时平方得 ，
则 ，所以 ；
（2）∵ ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
.
【题型3 诱导公式化简求值】
满分技巧
利用诱导公式化简求值的解题策略
1、条件求值问题的策略
（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆
向求角．
3、观察互余、互补关系：如 －α与 ＋α， ＋α与 －α， －α与 ＋α等互余， ＋θ与 －θ， ＋θ与
－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
【例3】（2023·宁夏银川·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，在 在角 终边上，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意， ，
所以 .故选：B
【变式3-1】（2023·重庆荣昌·高三重庆市荣昌中学校校考阶段练习）下列化简正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，由诱导公式得， ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D错误.故选：B.
【变式3-2】（2023·安徽·高三校联考期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，得到 ，
所以 ，故选：D.
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 ，
从而
.故选：A.
【变式3-4】（2023·上海闵行·高三文来中学校考期中）若 ，则 ．【答案】
【解析】因为 ，
所以 .
【题型4 同角关系与诱导公式综合应用】
【例4】（2023·重庆永川·高三永川北山中学校校考期中）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】由 ，即 ，
又 ，解得 ，
.故选：B.
【变式4-1】（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）已知 ，则 等于
（ ）
A．1 B．－ C． D．－
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
又因为 ，故选:D.【变式4-2】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，则 ，
所以， ，
联立 ，解得 ，
因此， ，故选：B.
【变式4-3】（2024·山西运城·高三校考期末）已知角 的终边经过点 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
因为角 的终边经过点 ，则 ，则 ，故选：C.
【变式4-4】（2023·甘肃兰州·高三校考阶段练习）已知 ，且 为第三象限角．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）因为 ，且 为第三象限角，
结合 可知 .（2）由诱导公式可知 ， ， ，
，
因此由题意有
.
【题型5 三角恒等变换之给角求值】
满分技巧
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间
总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而
得解。
【例5】（2022·江苏常州·高三校联考阶段练习）（多选）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】对于选项A： ，故A正确；
对于选项B： ，故B正确．
对于选项C： ，故C错误．
对于选项D： ，故D错误.故选：AB．
【变式5-1】（2024·湖北·校联考模拟预测）在 中，已知 ，则
（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
得到 ，
整理得 ，所以 ，故选：A.
【变式5-2】（2024·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末） （
）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】原式
，故选：C.
【变式5-3】（2023·重庆·统考模拟预测）式子 化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原式
.故选：B.
【变式5-4】（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）求值： （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】
，
．故选：
D．
【题型6 三角恒等变换之给值求值】满分技巧
1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用;
②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：
等.
【例6】（2024下·福建·高三校联考开学考试）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，
有 ．故选：B．
【变式6-1】（2022·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得， ，
而 ，
故 ，故选：B
【变式6-2】（2023·河北邯郸·高三校考阶段练习）已知 ， 满足 ，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因 ，则 ，又 ，
则 ，得 .
因 ，则 .
又 ，则 ，
结合 ，则 ，得 ，
则 .
又注意到 ，
则
.故选：B
【变式6-3】（2024·江苏扬州·高三统考期末）已知 ，则
（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】A
【解析】已知 ，
则 ，
，
， ，
则 ， ，则 .
故选：A.
【变式6-4】（2023·广西·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，故 ，又 ，
故 ， ，
.故选：D.
【题型7 三角恒等变换之给值求角】
满分技巧
“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是：
（1）求值：求出所求角的某种三角函数值.
（2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围.
（3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.
【例7】（2023·贵州铜仁·高三思南中学校考阶段练习）已知 ，且 和 均为钝
角，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】D
【解析】∵ 和 均为钝角，
∴ ， ．
∴ ．
由 和 均为钝角，得 ，∴ ．故选：D
【变式7-1】（2024·山西太原·高三统考期末）已知 ， ，且 ， ，则 （
）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知 ，
，∴ ．故选：C．
【变式7-2】（2023·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）已知 、 是方程
的两个根，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】方程 中， ，则 ，
于是 ，显然 ，
又 ，则有 ， ，所以 .故选：B
【变式7-3】（2022·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知 ， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，则 ，因为 ，则 ，可得 ，
因为 ，则 ， ，
所以， ， ，
所以，
，
所以， .故选：A.【变式7-4】（2023·全国·模拟预测）已知 ， 均为锐角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】法一：因为 ，所以 ，
所以 ，
则 ，整理得 ，
所以 ，
又 ， 均为锐角，所以 ，所以 .
法二：因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
即 ，所以 ，
又 ， 均为锐角，所以 ，所以 ，故选：D．
【题型8 三角函数化简求值综合】
满分技巧
三角函数式的化简遵循“三看”原则
一看式中各角：通过把三角函数式中各角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公
式；
二看函数名称：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
三看结构特征：分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“整式要因式分解”、“二
次式配方”等。
【例8】（2023·河南·高三阶段练习）已知 ．
（1）求 的值；（2）已知 ，求 .
【答案】（1） ;（2）
【解析】（1）原式
，
（2）由 可知 即 ；
.
【变式8-1】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知函数 .
（1）若 ，求 的值；
（2）设 ，求函数 的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）因为 .
.
.
（2）因为： ， .
所以： .
设 ，则 ，且 ，所以： ，
当 时， .
所以 的最小值为 .
【变式8-2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数
．
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2）若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】（1）由题意知
．
故函数 的最小正周期 ．
令 ．解得 ．
所以 的单调递增区间为 ，
（2）因为 ．
又 ．所以 ，
所以 ，
所以 ．
【变式8-3】（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知
.
（1）若 ，求 的值；
（2）若 且 ，求 的值.【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由题意可得：
，
由已知 ，得 ，
所以 .
（2）由 ，可知 ，
则 .
因为 ，则 ，
且 ，可得 ，
则 ，所以 .
【变式8-4】（2023·山西太原·高三统考期中）已知函数 .
（1）求 的单调递增区间和对称中心；
（2）当 时， ，求 的值.
【答案】（1）递增区间为 （ ），对称中心为 （ ）；（2）
【解析】（1） ，
由 （ ）得 ，
所以 的单调递增区间为 （ ）；
由 （ ）得 ，
所以 的对称中心为 （ ）；（2）由（1）可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
（建议用时：60分钟）
1．（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
.故选：A
2．（2024·甘肃·高三统考阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 .故选：B
3．（2023·山西吕梁·高三校联考阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ．故
选：B
4．（2023·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）已知 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】已知 ，则 ，则 ，
又 ，则 ，即 ，
又 ， ，则 ．故选：C．
5．（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，即 ，
整理可得 ，解得 ，且有
因此， .故选：A.
6．（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习） （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】
，故选：B.
7．（2022·河南·高三专题练习）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得 ，即 ，解得 或 （舍
去），
又 ，得 ，故 ．
（另解：由已知得 ，解得 或 （舍去），
又 ，则 ，故 ．）故选：D．
8．（2024·河北·高三校联考期末）设 ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得 ，故 ，
因为 ，所以 ，
故 ，解得 ，故选：C．
9．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
对于A：若 ，则 ，故A错误；
对于B：因为 ， ，故B错误；
对于C：因为 ，故C错误；
对于D：因为 ，故D正确.故选：D.
10．（2024·全国·模拟预测）若 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知，得 ， ．
又 ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．故选：C．
11．（2023·河北石家庄·高三校考阶段练习）（多选）已知 ， ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由 得， ，则 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
由 ，解得 ，
对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，则 ，
，即 ，
解得 或 （舍去），故C正确；
对于D， ，故D错误，故选：BC．
12．（2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）（多选）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，因为 ，
所以 ，
所以 ，故A错误；
对于B，因为 ，
所以 ，故B正
确；对于C，设 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，故C正
确；
对于D， ，故D正确，
故选：BCD．
13．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）（多选）已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为 ，所以 ，所以 为第一象限角或第三象限角．
当 为第一象限角时， ， ；
当 为第三象限角时， ， ，所以 ，故A项正确；
；故B项错误；
，故C项正确；
，
当 为第一象限角时，原式 ；
当 为第三象限角时，原式 ，故D项错误．故选：AC
14．（2023·安徽安庆·高三安庆市第九中学校考阶段练习）（多选）下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB【解析】对于选项A： ，故A正确；
对于选项B： ，故B正确；
对于选项C： ，故C错误；
对于选项D： ，故D错误；故选：AB.
15．（2023·江西宜春·高三上高二中校考阶段练习）已知 ，则
【答案】
【解析】由诱导公式得 ，故 ，
由两角正切的和差公式得
16．（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知 ， ， ， ，则
.
【答案】
【解析】解法一 ：因为 ， ，所以 ，
，得 ，
因为 ，所以 ，得 .
解法二：因为 ， ，所以 ， ，
，得 ，
得 .
17．（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）若 ，则
.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
所以 .
18．（2023·四川泸州·统考一模）已知函数 ．（1）求函数 的最小正周期；
（2）将函数 图象向右平移 个单位长度得到 的图象，若 ， ，求
的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）因为
，
所以 的最小正周期 .
（2）将函数 图象向右平移 个单位长度得到
，
则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
19．（2023·天津·高三校联考期中）已知函数 ， 图象的两条
相邻对称轴之间的距离为 ．
（1）求 的单调递减区间；
（2）若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由
，
因为 图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ，可得 ，即 ，
所以 ，可得 ，
令 ，解得 ，所以函数 的单调递增区间为 .
（2）由 ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
所以 .
20．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知 是方程 的根.
（1）求 的值；
（2）若 是第四象限角， ，求 的值.
【答案】（1） 或 ；（2）
【解析】（1）因为 是方程 的根，所以 或 （舍），
则原式
，
由 ，所以 是第三象限或第四象限角，
若 是第三象限角，则 ，此时 ；
若 是第四象限角，则 ，此时 .
故所求式子的值为 或 .
（2）由（1）知，当 是第四象限角时， ，
由 ，得 ，
所以 .
