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第23课 降幂及辅助角公式（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式结合二倍角的正弦公式可求得 的值.
【详解】由题意可得 ，
因此， .
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知及所求，先利用二倍角公式及三角函数的基本关系得到 ，然后利
用角的拆分以及两角差的正弦公式即可得解.
【详解】解：由已知可得 ，
， ， ，
.
故选：A.
3．（2013·浙江·高考真题）函数ƒ(x)＝sin xcos x＋ cos 2x的最小正周期和振幅分别是（ ）A．π，1 B．π，2
C．2π，1 D．2π，2
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换化简 ，再求最小正周期和振幅即可.
【详解】ƒ(x)＝ sin 2x＋ cos 2x＝sin ，
所以振幅为1，最小正周期为T＝ ＝ ＝π，
故选：A．
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，涉及其性质的求解，属综合基础题.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 的图象在区间 上
有且只有1个最低点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简可得 ，根据x的范围，可求得 的范围，根据题意，
分析可得 ，计算即可得答案.
【详解】由题意得 ，
因为 ，
所以 ，
因为 有且只有1个最低点，所以 ，解得 .
故选：D
二、多选题
5．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考期末）若关于 的方程 在区间
上有且只有一个解，则 的值可能为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】AC
【分析】整理换元之后，原问题转化为 在区间 上有且只有一个解，即 的图象和
直线 只有1个交点. 作出简图，数形结合可得结果.
【详解】 整理可得 ，
令 ，因为 ，则 .
所以 在区间 上有且只有一个解，即 的图象和直线 只有1个交点.
由图可知， 或 ，解得 或 .
故选：AC.6．（2023春·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考期中）已知函数 ，
则（ ）
A． 与 均在 单调递增
B． 的图象可由 的图象平移得到
C． 图象的对称轴均为 图象的对称轴
D．函数 的最大值为
【答案】AD
【分析】根据二倍角正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性、平移的性质、对称性、换元法逐
一判断即可.
【详解】 ，
当 时， ， ，显然 、 都是 的子集，所以函数 与
均在 单调递增，因此选项A正确；
函数 的最小正周期为 ，函数 的最小正周期为 ，因为左右、上下平移不改变正弦型函数
的最小正周期，故选项B不正确；
由 ，所以函数 的对称轴为 ，
函数 的对称轴为 ，
显然当 为奇数时， 图象的对称轴不为 图象的对称轴，因此选项C不正确；
令 ，
所以 ，因为 ，所以当 时，该函数有最大值 ，因此选项D正确，
故选：AD
7．（2022春·云南曲靖·高一会泽县实验高级中学校校考阶段练习）已知函数 ，则下列
说法正确的是（ ）
A．函数 的周期为 B．函数 的最大值为2
C． 在区间 上单调递增 D． 是函数 的一个零点
【答案】ACD
【分析】根据题意得 ，显然最大值为 ；代入 计算周期； ，则
结合正弦函数判断单调性；直接代入计算 判断零点．
【详解】
函数 的周期为 ，A正确；
函数 的最大值为 ，B不正确；
∵ ，则 ，则 在 上单调递增，C正确；
，D正确；
故选：ACD．
三、填空题
8．（2019·山东临沂·统考一模）已知 ．
【答案】
【分析】根据降幂公式，化简 ；将 两边平方，化简即可求得，代入式中即可求值．
【详解】因为
两边同时平方得
即
由降幂公式可知
【点睛】本题考查了降幂公式与同角三角函数关系式的应用，二倍角公式的应用，属于基础题．
9．（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）若 ，则 ．
【答案】
【分析】利用降幂公式，将所求式子化简，再结合已知条件，即可求出答案.
【详解】解：由降幂公式得： ，
又∵
∴ .
故答案为：
【点睛】本题考查了降幂公式和诱导公式，属于基础题.四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ，且函数
的两个相邻零点间的距离为 ，
(1)求 的值及函数 的对称轴方程；
(2)在 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1) ，对称轴方程为： ；
(2) .
【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的零点性质、周期公式、对称轴方程进行求
解即可；
（2）根据正弦定理、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1） ，
，
因为函数 的两个相邻零点间的距离为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，因为 ，
所以 ，即 ，
令 ，所以对称轴为 ；
（2）由 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以由正弦定理可知： ，
所以三角形的周长为 ，
，
因为 ，所以 ，因此 ，
所以 周长的取值范围为 .
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测） （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果.
【详解】
.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，将函数 的图象向左平移
个单位长度后得函数 的图象，则 图象的一个对称中心为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过降幂公式以及辅助角公式将 化为 ，通过平移规律可得 的
解析式，再根据正弦函数的性质可得结果.
【详解】因为
将函数 的图象向左平移 个单位长度后得函数 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 图象的一个对称中心为 ，
故选：B.
二、多选题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．若曲线 经过点 ，
且关于直线 对称，则（ ）
A． 的最小正周期为 B．C． 的最大值为2 D． 在区间 上单调递增
【答案】ABD
【分析】由题知 ，进而得 ， ，再结合题意得 ，进而再讨论
各选项即可得答案.
【详解】解：因为曲线 关于直线 对称，
所以 ，即 ，解得 ，
所以， ，
所以， 的最小正周期为 ，故A选项正确；
因为曲线 经过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，故B选项正确；
所以， 的最大值为 ，故C选项错误；
当 时， ，
所以 在区间 上单调递增，故D选项正确.
故选：ABD
三、解答题
4．（2023春·山东淄博·高一校考期中）已知函数 的最小正周期为
8．
(1)求 的值及函数 的单调减区间；(2)若 ，且 ，求 的值．
【答案】(1) ，[ ](k∈Z)；
(2) ．
【分析】(1)化简f(x)，根据最小正周期求出ω，再求f(x)单调减区间；
(2)由 求出 ，在结合 求出 ，最后利用正弦的和角公式
求 ﹒
【详解】（1）由已知可得， ，
∵ 的最小正周期 ，∴ ，
∴ ，
由 得 ，
∴f(x)的单调递减区间为[ ](k∈Z)；
（2）∵ ，由(1)有 ，
即 ，
由 ，知 ；
∴ ，故
﹒
【三层练能力】
一、多选题
1．（2023春·高一单元测试）已知函数 ，下列关于此函数的论述正确的是（ ）
A． 为函数 的一个周期 B．函数 的值域为
C．函数 在 上单调递减 D．函数 在 内有4个零点
【答案】CD
【分析】A选项，举出反例即可；BD选项，从函数奇偶性和 得到周期性入手，
得到函数的图象性质，得到零点和值域；C选项，代入检验得到函数单调性，判断C选项.
【详解】选项A：因为 ，所以A错误；
选项B、D：函数 定义域为R，并且 ，所以函数为偶函数；因为
，为周期函数，
故仅需研究函数 在区间 上的值域及零点个数即可，因为 时，
；
时， ；
当 时，令 ，则 ，可得 且仅一个零点；
当 时，令 ，则 ，
可得 且仅一个零点；
所以函数 的值域为 且在 上有4个零点．故选项B错误，选项D正确．
选项C：函数 在 上，有 ，所以 ，则得函数
在该区间上为单调减函数．故选项C正确．
故选：CD．
二、填空题
2．（2021·浙江·模拟预测）若向量 满足 ，则 的最大值是 .
【答案】
【分析】设 ，再利用基本不等式的推广形式，即可求解.
【详解】解：设
，
令 ，得：
，等号在 时取到.故 ，
故答案为：
