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任意角的三角函数
课型：新授课
课时：2课时
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教学目标
1.知识与技能目标：掌握任意角的三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求角α的各三
角函数值；记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
2.过程与方法目标： 理解并掌握任意角的三角函数的定义；树立映射观点，正确理解三角
函数是以实数为自变量的函数；通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提
高学生分析、探究、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）
与比值（函数值）的一种联系方式学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精
神；
教学重点：
三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱
导公式一
教学难点：
任意角三角函数的求法．
一、复习导入新课
师：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，
你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？微信NTCECN整理
结论：在 Rt△ABC 中，设 A 对边为 a，B 对边为 b，C 对边为 c，锐角 A 的正弦，
a b a
余弦，正切依次为：sinA= ,cosA= ,tanA=
c c b
思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义.
你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.
在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离r = a2 +b2 >0.过P作x轴的垂线,垂
足为M ,则线段OM 的长度为a,线段MP的长度为b.
MP b
则sinα= = ;
OP r
OM a
cosα= = ;
OP r
MP b
tanα= = .
OM a
思考 2：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改
变呢？为什么?
根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点 P在α的终边上的位置
的改变而改变大小.
我们可以将点P取在使线段OP的长r =1的特殊位置上，这样就可
以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
MP OM MP b
sinα= =b; cosα= =a; tanα= = .
OP OP OM a
单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆.
上述P点就是α的终边与单位圆的交点, 锐角α的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.
二、探索新知
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1.任意角的三角函数的定义
结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.
如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
(1)y叫做α的正弦(sine),记做sinα,
即 sinα= y；微信NTCECN整理
（2）x叫做α的余弦(cossine),记做cosα,
即cosα= x；
y
（3） 叫做α的正切(tangent),记做tanα,
x
y
即tanα= (x≠0).
x
思考3:在上述三角函数定义中,自变量是什么?对应关系有什么特点,函数值是什么?
π
说明:(1)当α= +kπ(k∈Z)时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于
2
y
0，所以tanα= 无意义,除此情况外，对于确定的值α，上述三各值都是唯一确定的实数.
x
(2)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，
既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x,y)，从而就必然能够最终算出
三角函数值.
(3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，
我们将这种函数统称为三角函数.
2.利用定义求角的三角函数值
5π
例1.求 的正弦,余弦和正切值.
3
5π
解：在直角坐标系中，作∠AOB= ,
3
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1 3
∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为( ,− )，所以
2 2
5π 3 5π 1 5π
sin =− ,cos = ,tan =− 3
3 2 3 2 3
5π 7π
思考：如果将 变为 呢？
3 6
例2．已知角α的终边过点P(−3,−4)，求角α的正弦,余弦和正切值.
0
思考：如何根据例题1解答
思考：一般的，设角a终边上任意一点的坐标为（x,y）,它与原点的距离为r,则
y x y
sina = ,cosa = ,tana = ，你能自己给出证明吗？
r r x
思考 如果将题目中的坐标改为（-3a，-4a）,题目又应该怎么做？
3．三角函数的定义域和函数值符号微信NTCECN整理
探究：
请根据上述任意角的三角函数定义，先将正弦，余弦和正切函数在弧度制下的定义域填
入下表，再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表：
函 数 定 义 域
y =sinα R
y =cosα R
π
y =tanα {α|α≠ +kπ,k∈Z}
2
例3 求证：当下列不等式组成立时，角a为第三象限角，反之也对
sina<0
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tana>0
证明：如果sina<0成立，那么角a的终边可能位于第三或第四象限，也可能与 y轴的非
负半轴重合;如果tana>0，所以角a的终边可能位于第一或第三象限
所以，角a的终边只能位于第三象限，时第三象限角
反过来，请同学们自己证明
23π
变式训练（一）判断下列各式的符号 1. sin3400⋅cos2650 2. sin4⋅tan(− )
4
（二）求函数y = sina +tana的定义域
4. 诱导公式
由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一
组公式 sin(a+k⋅2π)=sina cos(a+k⋅2π)=cosa tan(a+k⋅2π)=tana
利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0到2π的三角函数值
例4.确定下列三角函数值的符号：微信NTCECN整理
π
（1）cos2500 （2）sin(− ) （3）tan(−6720) （4）tan3π
4
25π 15π
变式训练（一）求下列各式的值 1. cos +tan(− )
3 4
2. sin4200cos7500 +sin(−6900)cos(−6600)
三. 强化练习，巩固小结
1. 任意角的三角函数的定义
2. 三角函数的定义域及三角函数值的符号
3. 诱导公式
四 、布置作业
课本习题1.2A组第3,7,9题
五、板书设计
略
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