5.4 诱导公式
模块一：基础知识 .........................................................................2
考点一：诱导公式 .......................................................................2
考点二：诱导公式的作用 ..............................................................2
考点三：一组重要公式 .................................................................2
模块二：题型分类 .........................................................................3
题型一：给角求值问题 .................................................................3
题型二：给值(式)求值问题 ............................................................5
题型三：三角函数的化简求值问题 ..................................................6
题型四：利用诱导公式证明三角恒等式 ...........................................10
题型五：诱导公式在三角形中的应用 ..............................................11
题型六：诱导公式与同角函数基本关系的应用 ..................................12
模块三：综合巩固 .......................................................................16
5.4 诱导公式
模块一：基础知识
考点一：诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
七
八
角
正弦
余弦
正切
余切
口诀
函数名不变，符号看象限.
函数名改变，符号看象限.
考点二：诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将任意角转化为0～2π 的角求值
公式二
将0～2π 的角转化为0~π 的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将
𝜋
2～π 的角转化为0～
𝜋
2的角求值
公式五
实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化
公式六
实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化
考点三：一组重要公式
(1)
(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
(2)
(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
类似地，有：
(3)
(n∈Z).
(4)
(n∈Z).
模块二：题型分类
题型一：给角求值问题
1.cos5555° = （ ）
A．cos65°
B．sin65°
C．−cos65°
D．−sin65°
【解题思路】利用诱导公式（公式一中cos(𝛼+ 𝑘⋅2π) = cos𝛼(𝑘∈Z)、公式六中cos π
2 + 𝛼= −sin𝛼）运算
即可得解.
【解答过程】由题意可得：cos5555° = cos(360° × 15 + 155°) = cos155° = cos(90° + 65°) = −sin65°，
故选：D.
2.求值：
(1)sin150；
(2) tan1020；
(3)
3π
sin(
)
4
；
(4)
sin
750
.
【答案】(1) 1
2 (2)
3
(3)
2
2
(4)
1
2
【详解】（1）解：由三角函数的诱导公式，可得
1
sin150
sin(180
30 )
sin30
2
.
（2）解：由三角函数的诱导公式，可得tan1020
tan(1080
60 )
tan(60 )
3
.
（3）解：由三角函数的诱导公式，可得
3π
3π
π
π
2
sin
sin
sin π
sin
4
4
4
4
2
.
（4）解：由三角函数的诱导公式，可得
1
sin
750
sin 720
30
sin30
2
.
3.利用公式求下列三角函数值：
(1)cos225：(2)
8π
sin 3 ；(3)
16π
sin
3
；(4)
tan
2040
.
【答案】(1)
2
2
(2)
3
2
(3)
3
2
(4)
3
【详解】（1）
cos225
cos 180
45
2
cos45
2
；
（2）
8π
2π
sin
sin 2π
3
3
2π
π
sin
sin π
3
3
π
3
sin 3
2
；
（3）
16π
16π
sin
sin
3
3
π
sin 5π
3
π
3
sin 3
2
；
（4）
tan
2040
tan 2040
tan 6 360
120
tan120
tan 180
60
tan 60
3
.
4. tan420
tan510
．
【答案】2 3
3
【详解】由三角函数的诱导公式，可得：
tan420
tan510
tan 60
2 180
tan
30
3 180
tan60
tan
30
2 3
tan60
tan30
3
．
故答案为：2 3
3
.
5.求下列各三角函数值：
(1)
π
sin
6
；(2)
2π
cos 3 ；(3)
5
tan 4
；(4)
35π
cos 6 ．
【答案】(1)
1
2
(2)
1
2
(3)1(4)
3
2
【详解】（1）
π
π
1
sin
sin
6
6
2
；
（2）
2π
π
π
1
cos
cos π
cos
3
3
3
2
；
（3）
5π
π
π
tan
tan π
tan
1
4
4
4
；
（4）
35π
π
π
3
cos
cos 6π
cos
6
6
6
2
．
6.求值：
(1)
7π
sin 6 ；(2)
11π
cos 4 ；(3)
tan
1560
.
【答案】(1)
1
2
(2)
2
2
(3)
3
【【详解】（1）
7π
π
π
1
sin
sin π
sin
6
6
6
2
.
（2）
11π
3π
3π
π
cos
cos 2π
cos
cos π
4
4
4
4
π
2
cos 4
2
.
（3）
tan
1560
tan1560
tan 4 360
120
tan120
tan 180
60
tan 60
3
.
题型二：给值(式)求值问题
1.若cos π
4 + 𝛼=
1
3，则sin π
4 −𝛼= （ ）
A．2 2
3
B．−2 2
3
C．
1
3
D．−
1
3
【解题思路】以
π
4 +𝛼为整体，结合诱导公式运算求解.
【解答过程】由题意可得：sin π
4 −𝛼= sin π
2 −π
4 + 𝛼
= cos π
4 + 𝛼=
1
3.
故选：C.
2.已知sin 𝜃+ π
6 =
1
2，则cos 𝜃+ 2π
3
= （ ）
A．−3
2
B．3
2
C．
1
2
D．−
1
2
【解题思路】以𝜃+
π
6为整体，利用诱导公式运算求解.
【解答过程】由题意可得：cos 𝜃+ 2π
3
= cos
𝜃+ π
6 + π
2 = −sin 𝜃+ π
6 = −
1
2.
故选：D.
3.已知角的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与射线
2
y
x
（
0
x
）重合，则
3
sin
2
.
【答案】
5
5
【详解】由题意，tan
2
，且sin
0
，cos
0
， 则由
2
2
sin
cos
1
sin
tan
2
cos
，
解得
5
cos
5
， 则
3
5
sin
cos
2
5
.
故答案为：
5
5
.
4.若
π
3
(
,π),cos(π
)
2
5
，则tan
.
【答案】
4
3
/
1
13
【详解】由
3
cos(π
)
5
，得
3
cos
5
，解得
3
cos
5
，而
π
(
,π)
2
，则
2
4
sin
1
cos
5
=
-
=
，
所以
sin
4
tan
cos
3
.
故答案为：
4
3
5.已知
π ,π
2
，
3
sin
5
，则
cos π
.
【答案】4
5 /0.8
【详解】因为
π ,π
2
，
3
sin
5
，所以
2
4
cos
1 sin
5
，
又因为cos(
)
cos
，所以
4
cos
5
π
，
故答案为: 4
5
6.已知
1
sin
,tan
0
3
x
x
，则
π
sin 2
x
．
【答案】
2 2
3
/
2
2
3
【详解】由
π
sin
cos
2
x
x
，又
1
sin
,tan
0
3
x
x
，故
2
2 2
cos
1 sin
3
x
x
.
故答案为：
2 2
3
题型三：三角函数的化简求值问题
1.化简：
(1) 1−2sin(3−π)cos(3−π)；
(2)
1−2sin190°cos190°
cos170° +
1−cos2170°．
【解题思路】（1）（2）根据诱导公式结合同角三角函数的关系计算得到答案.
【解答过程】（1）1−2sin(3−π)cos(3−π) =
sin23 + cos23−2sin3cos3 =
(sin3−cos3)2
= |sin3−cos3|，
sin3 > 0，cos3 < 0，故sin3−cos3 > 0，
故1−2sin(3−π)cos(3−π) = sin3−cos3.
（2）
1−2sin190°cos190°
cos170° +
1−cos2170° =
(sin190°−cos190°)2
cos170° +
sin2170° =
|sin190°−cos190°|
cos170° + |sin170°|
=
|−sin10° + cos10°|
−cos10° + sin10° =
−sin10° + cos10°
−cos10° + sin10° = −1.
2.已知𝑓(𝑎) =
sin(2π−𝑎)cos π
2 −𝑎
cos 𝑎−3π
2 tan(π + 𝑎)．
(1)若𝑓(𝑎) = −
1
2，且𝑎∈(0,π)，求a 的值；
(2)若𝑓𝑎+ π
3 =
1
4，求sin2 2π
3 −𝑎+ sin π
6 −𝑎的值．
【解题思路】（1）先利用诱导公式化简，然后解三角方程可得；
（2）依题意可得cos 𝑎+ π
3 =
1
4，然后利用诱导公式和平方关系可得.
【解答过程】（1）𝑓(𝑎) =
sin(2π−𝑎)cos π
2 −𝑎
cos 𝑎−3π
2 tan(π + 𝑎) =
−sin𝑎⋅sin𝑎
−sin𝑎⋅sin𝑎
cos𝑎= cos𝑎，
因为𝑓(𝑎) = −
1
2，所以cos𝑎= −
1
2，
又𝑎∈(0,π)，所以𝑎=
2π
3 ．
（2）由（1）知𝑓𝑎+ π
3 = cos 𝑎+ π
3 ，
因为𝑓𝑎+ π
3 =
1
4，所以cos 𝑎+ π
3 =
1
4，
令𝑥= 𝑎+
π
3，则cos𝑥=
1
4，𝑎= 𝑥−
π
3，
所以sin2 2π
3 −𝑎+ sin π
6 −𝑎
= sin2(π−𝑥) + sin
π
2 −𝑥
= sin2𝑥+ cos𝑥= 1−cos2𝑥+ cos𝑥=
19
16.
3.已知在平面直角坐标系中，点
2,4
M
在角终边上，则
3
3
3
3
sin
π
cos
sin
2cos
（ ）
A．2
3
B．3
2
C．
3
5
-
D．
5
3
【答案】B
【详解】由题意可得tan
2
，
所以原式
3
3
3
3
3
3
sin
cos
tan
1
8 1
3
sin
2cos
tan
2
8
2
2
.
故选：B.
4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，钝角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与半径为1的圆相交于点
A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点B ，
2
3
OB
．
(1)求sin的值；
(2)求
2sin π
sin π
cos 2π
的值．
【答案】(1)
5
3
(2)
5
2
【详解】（1）由三角函数定义知：
2
cos
3
OB
，又为第二象限角，
2
5
sin
1 cos
3
.
（2）
5
2sin π
sin π
2sin
sin
sin
5
3
2
cos 2π
cos
cos
2
3
.
5.已知
3π
7π
cos
sin
2
2
sin
π
f
.
(1)若
1
3
f
，求tan的值；
(2)若
π
1
6
3
f
，求
5π
6
f
的值.
【答案】(1) 2 2
(2)
1
3
【详解】（1）
3π
7π
cos
sin
sin
cos
2
2
cos
sin
π
sin
f
，
由
1
3
f
，得
2
2 2
sin
1 cos
3
，
所以tan
2 2
；
（2）由
π
1
6
3
f
，得
π
1
cos 6
3
，
则
5π
5π
π
π
1
cos
cos π
cos
6
6
6
6
3
f
.
6.已知是第三象限角，且
2
tan
2tan
3
0
，则
4sin(π
)
π
cos
cos(
)
2
．
【答案】2
【详解】由
2
tan
2tan
3
0
得
tan
1
tan
3
0
，
解得tan
1
或tan
3
，
又是第三象限角，所以tan
1
，
故
4sin π
4sin
4sin
4tan
4 1
2
π
sin
cos
sin
cos
tan
1
1 1
cos
cos
2
．
故答案为：2
7.化简：
sin π
tan 2π
cos 2π
tan π
cos π
sin π
．
【答案】1
【详解】原式
sin
tan
cos
1
tan
cos
sin
．
8.已知
2 5
sin
5
，
π ,π
2
，求
5π
sin
2
tan
π
5π
cos
2
的值.
【答案】
5
2
/ 2.5
【详解】因为
2 5
sin
0
5
且
π ,π
2
，且为第二象限角，
所以
2
5
cos
1 sin
5
，可得
sin
tan
2
cos
，
又由
5π
sin
cos
1
5
2
tan
π
tan
2
5π
sin
2
2
cos
2
.
9.（1）已知方程
sin
3π
2cos
4π
，求
sin π
5cos 2π
3π
2sin
sin
2
的值．
（2）已知
π
1
0,sin
cos
2
5
x
x
x
，求sin
cos
x
x
的值；
【答案】（1）
3
4
；（2）
7
5
【详解】（1）∵
sin
3π
2cos
4π
，
∴
sin
2cos
-
=
，
可知cos
0
，
所以
sin π
5cos 2π
sin
5cos
2cos
5cos
3
3π
2cos
sin
2cos
2cos
4
2sin
sin
2
.
（2）由
1
sin
cos
5
x
x
可得，
2
2
1
sin
cos
2sin
cos
25
x
x
x
x
，
所
24
2sin
cos
25
x
x
，
因为
π
0
2
x
，所以sin
0
x
，cos
0
x
，
则
2
24
7
sin
cos
sin
cos
1
5
2sin co
2
s
1
5
x
x
x
x
x
x
.
题型四：利用诱导公式证明三角恒等式
1.求证：
sin(2𝜋−𝛼)cos(𝜋+ 𝛼)cos 𝜋
2 + 𝛼cos 11𝜋
2 −𝛼
cos(𝜋−𝛼)sin(3𝜋−𝛼)sin(−𝜋−𝛼)sin 9𝜋
2 + 𝛼= −tan𝛼．
【解题思路】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.
【解答过程】左边=
−sin𝛼⋅(−cos𝛼)(−sin𝛼)(−sin𝛼)
(−cos𝛼) ⋅sin𝛼⋅sin𝛼⋅cos𝛼
=–tanα=右边，
∴等式成立．
2.求证：
2
3
2sin(
)cos(
) 1
2
2
1 2sin (
)
＝tan(9
) 1
tan(
) 1
．
【答案】证明见解析
【详解】左边
2
2
2
2
2
2
2
2sin(
)
sin
1
2sin
cos
sin
cos
2sin
cos
1
2
1 2sin
1 2sin
sin
cos
2sin
2
sin
cos
sin
cos
cos
sin
cos
sin
sin
cos
.
右边
sin
1
tan(
) 1
tan
1
sin
cos
cos
sin
tan(
) 1
tan
1
sin
cos
1
cos
.
∴左边＝右边，故原等式成立．
3.设
8
tan
7
m
.求证：
15
13
sin
3cos
3
7
7
20
22
1
sin
cos
7
7
m
m
.
【答案】证明见解析
【详解】证明：左边
8
8
sin
3cos
3
7
7
8
8
sin 4
cos 2
7
7
8
8
sin
3cos
7
7
8
8
sin
cos
7
7
8
tan
3
7
8
tan
1
7
把
8
tan
7
m
代入，得原式
3
1
m
m
右边，故原等式成立.
4.若k Z ，求证：
sin( π
)cos( π
)
1
sin[(
1)π
]cos[(
1)π
]
k
k
k
k
.
【答案】证明见解析
【详解】证明：若k 为偶数，则
左边
sin(
)cos
sin(π
)cos(π
)
sin
cos
( sin
)( cos
)
1
；
若k 为奇数，则
左边
sin(π
)cos(π
)
sin
cos(
)
sin
( cos
)
sin
cos
1
；
左边=右边，所以原式成立.
题型五：诱导公式在三角形中的应用
1.已知A、B、C 是△𝐴𝐵𝐶的三个内角，求证；
（1）cos(2𝐴+ 𝐵+ 𝐶) + cos𝐴= 0；
（2）tan
𝐴+ 𝐵
4
+ tan
3π + 𝐶
4
= 0.
【解题思路】(1)根据2𝐴+ 𝐵+ 𝐶= 𝜋+ 𝐴，结合诱导公式即可证明；
(2)根据
𝐴+ 𝐵
4
=
𝜋−𝐶
4 = 𝜋−
3𝜋+ 𝐶
4
，结合诱导公式即可证明.
【解答过程】(1)cos(2𝐴+ 𝐵+ 𝐶) + cos𝐴 = cos[(𝐴+ 𝐵+ 𝐶) + 𝐴] + cos𝐴= cos(π +𝐴) + cos𝐴
= −cos𝐴+ cos𝐴 = 0.
(2)tan
𝐴+ 𝐵
4
+ tan
3π + 𝐶
4
= tan
π−𝐶
4 + tan
3π + 𝐶
4
= tan π−3π + 𝐶
4
+ tan
3π + 𝐶
4
= −tan
3π + 𝐶
4
+ tan
3π + 𝐶
4
= 0.
2. ABC
中，若sin
sin
2
2
A
B
C
，则ABC
形状为
．
【答案】直角三角形
【详解】解：
π
A
B
C
，
π
2
2
2
A
B
C
，
π
sin
sin
cos
sin
2
2
2
2
2
A
B
C
B
C
B
C
，即tan
1
2
B
C
，又
0,π
2
B
C
π
2
4
B
C
，即
π
2
A
B
C
，
则ABC
为直角三角形．
故答案为：直角三角形.
3.已知角A 为锐角，
1
sin
cos
tan
2
A
A
A
，
(1)求角A 的大小；
(2)求
2023π
sin π
cos
2
A
A
的值．
【答案】(1)
π
4
A
(2) 1
2
【详解】（1）由
2
sin
1
sin
cos
tan
sin
cos
sin
cos
2
A
A
A
A
A
A
A
A
，可得
2
1
sin
2
A
，
由角A 为锐角，则sin
0
A
，
所以
2
sin
2
A
，故
π
4
A
．
（2）∵
2
2023π
3π
3π
sin π
cos
sin
cos 1010π
sin
cos
sin
2
2
2
A
A
A
A
A
A
A
，
由（1）可得
2
1
sin
2
A
，
即
2023π
1
sin π
cos
2
2
A
A
．
4.若ABC
的内角A，B，C 满足sin
cos
tan
A
B
C
， 则A 与B 的关系为（ ）
A．
π
2
A
B
B．
π
2
A
B
C．
π
2
B
A
D．
π
3
A
B
【答案】A
【详解】因为sin
cos
A
B
，且 A，B，C 为ABC
的内角，因为sin
cos
0,
A
B
所以
π
0
,
2
B
所以
π
2
A
B
或
π
2
A
B
，
若
π
2
A
B
，则
π
2
C
，此时tanC 不存在，故舍去；
∴
π
2
A
B
.
故选：A.
题型六：诱导公式与同角函数基本关系的应用
1.已知
π
sin
cos π
sin
2
3π
sin
cos 2π
tan π
2
f
.
(1)化简
f ；
(2)若
10
10
f
，且为第四象限角，求
2
2sin
3sin cos
的值.
【答案】(1)
cos
f
(2) 9
10
【详解】（1）
π
sin
cos π
sin
cos
cos
sin
2
cos
3π
cos
cos
tan
sin
cos 2π
tan π
2
f
（2）由题知，
10
cosα
10
因为第四象限角，
2
2
10
3 10
sin
1 cos
1
10
10
，
则
2
9
3 10
10
9
2sin
3sin cos
2
3
10
10
10
10
.
2.已知tan
2
=- ，则
sin
5cos 2π
3π
3sin
sin
2
．
【答案】
3
5
/－0.6
【详解】因为tan
2
=- ，
所以
sin
5cos 2π
sin
5cos
tan
5
2
5
3
3π
3cos
sin
3
tan
3
2
5
3sin
sin
2
．
故答案为：
3
5
-
．
3.已知角的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过函数
4
2
x
f x
a
（
0
a
且
1
a ）
的定点M.
(1)求sin
2cos
的值；
(2)求
π
sin π
cos 2
tan 5π
cos 2π
sin
的值.
【答案】(1)
11
5
-
(2) 45
28
【详解】（1）∵函数
4
2
x
f x
a
（
0
a
且
1
a ）的定点M 的坐标为
4, 3
，
∴角的终边经过点
4, 3
M
，
∴
2
2
3
5
4
OM
（O 为坐标原点），
根据三角函数的定义可知
3
sin
5
，
4
cos
5
，
∴
5
3
11
sin
2cos
2
5
5
4
.
（2）
3
sin
5
，
4
cos
5
，
3
tan
4
，
π
sin π
cos
sin
sin
2sin
2
tan 5π
tan
tan
cos 2π
sin
cos
sin
cos
sin
3
3
6
3
45
4
8
3
5
4
2
5
7
2
5
4
.
4.给出下列三个条件：①角的终边经过点
(3 , 4 )(
0)
P
m
m m
；②sin
cos
1
sin
cos
7
；
③
2
3cos
4sin cos
3(
π,
Z)
k
k
．
请从这三个条件中任选一个，解答下列问题：
(1)若为第四象限角，求sin
2cos
的值；
(2)求
2
2
sin(π
)
π
sin (π
)cos(
)
sin(2π
)sin
2
的值．
【答案】(1)-2
(2)
25
21
【详解】（1）选①，
方法一：角的终边经过点
(3 , 4 )(
0)
P
m
m m
，因为为第四象限角，故
0
m
，
点P 到原点的距离为
2
2
(3 )
( 4 )
5|
| 5
m
m
m
m
，
所以
4
4
sin
5
5
m
m
，
3
3
cos
5
5
m
m
故
4
6
sin
2cos
2
5
5
方法二：角的终边经过点
(3 , 4 )(
0)
P
m
m m
，所以
4
4
tan
3
3
m
m
，
所以
2
2
4
sin
cos
3
sin
cos
1
，解得
3
cos
5
，
又为第四象限角，所以
3
4
cos
,sin
5
5
故
4
6
sin
2cos
2
5
5
选②，由sin
cos
1
sin
cos
7
得tan
1
1
tan
1
7
α
α
，
4
tan
3
，所以
2
2
4
sin
cos
3
sin
cos
1
所以
3
4
cos
,sin
5
5
故
4
6
sin
2cos
2
5
5
选③，由
2
3cos
4sin cos
3
得
2
2
4sin cos
3
3cos
3sin
，
因为
π
k
，
Z
k
，所以sin
0
，故
4
tan
3
，所以
2
2
4
sin
cos
3
sin
cos
1
解得
3
cos
5
，又为第四象限角，所以
3
5
cos
，
4
sin
5
，
故
4
6
sin
2cos
2
5
5
．
（2）方法一：由（1）得
4
tan
3
，
2
2
2
2
sin(π
)
sin
π
sin
cos
sin cos
sin (π
)cos(
)
sin(2π
)sin
2
2
1
sin cos
cos
2
2
2
2
sin
cos
tan
1
25
sin cos
cos
tan
1
21
方法二：
2
2
2
2
sin(π
)
sin
π
sin
cos
sin cos
sin (π
)cos(
)
sin(2π
)sin
2
2
1
(*)
sin cos
cos
由（1）得
4
tan
0
3
，所以为第二或第四象限角
选①②③都可得，若为第二象限角，则
3
cos
5
，
4
sin
5
．为第四象限角，则
3
5
cos
，
4
sin
5
．
所以*式
2
1
25
21
4
3
3
5
5
5
,或*式
2
1
25
21
4
3
3
5
5
5
5.（1）求
29
12
sin
π
cos
π tan4π
6
5
的值.
（2）求证：
2
2
2
2
1
tan
cos
sin
1
tan
.
【答案】（1）
1
2
；
（2）证明见解析.
【详解】（1）
29
12
sin
π
cos
π tan4π
6
5
7π
2
=sin
6π+
cos 2π
π
tan4π
6
5
π
2
=sin π+
0 cos
π
6
5
π
=
sin 6
1
=
2
；
（2）因为
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
1
1
tan
cos
sin
cos
cos
sin
sin
1
tan
cos
sin
1
cos
，
所以
2
2
2
2
1
tan
cos
sin
1
tan
.
模块三：综合巩固
1.已知的终边上有一点
(1,3)
P
，则cos(π
)
的值为（ ）
A．1
3
B．10
10
C．
10
10
D．
3 10
10
【答案】C
【详解】因为的终边上有一点
(1,3)
P
，
所以cos
2
2
1
10
10
1
3
，
10
cos(π
)
cos
10
，
故选：C
2. tan300（ ）
A．
3
3
B．
3
3
C．
3
D．
3
【答案】C
【分析】由正切的诱导公式计算．
【详解】tan300
tan(360
60 )
tan 60
3
．
故选：C．
3.已知
3π
1
sin
8
3
，则
π
cos 8
（ ）
A．
1
3
B．1
3
C．
3
3
D．
3
3
【答案】B
【分析】根据诱导公式计算.
【详解】
π
π
π
3π
1
cos
sin[
(
)]
sin(
)
8
2
8
8
3
.
故选：B．
4.在平面直角坐标系xOy 中，角和角的顶点均与原点O 重合，始边均与x 轴的非负半轴重合，它们的
终边关于直线y
x
对称，若
2
cos
3
，则sin （ ）
A．
5
3
B．
2
3
C．2
3
D．
5
3
【答案】B
【分析】由角的终边得出两角的关系，然后由诱导公式求值．
【详解】角和角的终边关于直线y
x
对称，则
π
π
=2( π
)=2 π
4
2
k
k
，
Z
k
．
π
sin
=sin[2 π
(
)]
2
k
=
π
2
sin(
)=
cos
2
3
故选：B．
5.已知
π
2
sin 6
3
，则
5π
sin
6
（ ）
A．2
3
B．
2
3
C．
5
3
D．
5
3
【答案】A
【分析】根据诱导公式求解即可.
【详解】
5π
5π
π
2
sin
sin π
sin
6
6
6
3
.
故选：A
6.已知函数
( )
sin(
)
cos(
)
4
f x
a
x
b
x
，xR ，且
(2023)
3
f
，则
(2024)
f
的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】由诱导公式可得
(2024)
4
(2023)
4
f
f
，可求
(2024)
f
的值.
【详解】∵
(2023)
sin(2023
)
cos(2023
)
4
3
f
a
b
，
∴
sin 2023π
cos 2023π
1
a
b
，
∴
2024
sin 2023π
π
cos 2023π
π
4
f
a
b
sin 2023π
cos 2023π
4
1
4
5
a
b
．
故选：C
7.已知函数
2
2
x
f x
a
（
0
a
且
1
a ）的图像过定点P ，且角的始边与x 轴的正半轴重合，终边过
点P ，则
2
11π
9π
cos
sin
2
2
sin
π
等于（ ）
A．
2
3
B．2
3
C．3
2
D．
3
2
【答案】A
【分析】先化简所要求的式子，又由于
2 2
0
2
2
2
1
2
3
f
a
a
，所以
2
2
x
f x
a
过定点
2,3
P
，进一步结合题意可以求出与有关的三角函数值，最终代入求值即可.
【详解】
2
2
2
π
π
π
π
11π
9π
cos 6π
sin 4π
cos
sin
cos
sin
2
2
2
2
2
2
sin
π
sin
π+
sin
π
又因为
π
π
cos
cos
sin
2
2
，sin
os
π
2
c
，
2
2
sin
π
sin
，
故原式=
2
sin
cos
1
sin
tan
;又
2
2
x
f x
a
过定点
2,3
P
,所以
3
tan
2
，代入原式得原式=
1
2
tan
3
.
故选：A .
8.已知
π
3
sin 6
3
，且
π π
,
4 4
，则
π
sin 3
（ ）
A．
3
3
B．
3
3
C．
2
3
D．
6
3
【答案】D
【详解】因为
π π
,
4 4
，所以π
π
5π
,
6
12 12
，又
π
3
sin
0
6
3
，所以
2
π
π
π
π
π
6
sin
sin
cos
1 sin
.
3
2
6
6
6
3
故选：D
9.已知tan
2
，则
3π
sin
sin
2
.
【答案】
2
5
/
0.4
【详解】因为tan
2
，
所以原式
2
2
2
sin
cos
tan
2
sin
cos
sin
cos
tan
1
5
故答案为：
2
5
.
10.已知
3π
sin π
cos 2π
cos
2
π
cos
sin
π
2
f
.
(1)化简
f ；
(2)若是第三象限角，且
1
sin
π
5
，求
f 的值.
【答案】(1)
α
cosα
f
；
(2) 2 6
5
.
【详解】（1）根据诱导公式
3π
sin π
cos 2π
cos
2
π
cos
sin
π
2
f
sin
cos
sin
cos
sin
sin
，
所以
cos
f
;
（2）由诱导公式可知
1
sin
π
sin
5
，即
1
sin
5
，
又是第三象限角，
所以
2
2 6
cos
1 sin
5
，
所以
2 6
cos
5
f
.
11.求证：2sin(𝜃−3𝜋
2 )cos(𝜃+ 𝜋
2 )−1
1−2sin2𝜃
=
tan(9𝜋+ 𝜃) + 1
tan(𝜋+ 𝜃)−1 .
【解题思路】左边由诱导公式平方关系化简变形，右边用诱导公式，商数关系化简变形可证．
【解答过程】左边=
−2cos𝜃⋅sin𝜃−1
sin2𝜃+ cos2𝜃−2sin2𝜃=
−(sin𝜃+ cos𝜃)2
(cos𝜃+ sin𝜃)(cos𝜃−sin𝜃)=
sin𝜃+ cos𝜃
sin𝜃−cos𝜃，
右边=
tan(8𝜋+ 𝜋+ 𝜃) + 1
tan(𝜋+ 𝜃)−1
=
tan(𝜋+ 𝜃) + 1
tan(𝜋+ 𝜃)−1 =
tan𝜃+ 1
tan𝜃−1 =
sin𝜃
cos𝜃+ 1
sin𝜃
cos𝜃−1 =
sin𝜃+ cos𝜃
sin𝜃−cos𝜃，
所以等式成立.
12.（多选）已知锐角三角形ABC 中，设
tan
tan
a
A
B
，
( )
loga
f x
x
则下列判断正确的是（ ）
A．sin
cos
A
B
B．
1
a
C．sin
sin
2
cos
cos
A
B
B
A
D．
(cos
)
(sin
)
f
A
f
B
【答案】ABC
【详解】解：因为三角形ABC 为锐角三角形，所以
2
A
B
，则π
π
0
2
2
A
B
，
所以sin
sin
cos
0
π
2
A
B
B
，A 选项正确；
同理sin
cos
0
B
A
，则sin
1
cos
A
B ，
1
co
sin
s
B
A ，
因此
sin
sin
tan
tan
1
cos
cos
A
B
A
B
B
A
，sin
sin
2
cos
cos
A
B
B
A
，B，C 选项正确；
由于
1
a ，所以
( )
loga
f x
x
在(0,
)
是增函数，
又sin
cos
0
B
A
，所以
(sin
)
(cos )
f
B
f
A
，D 选项错误．
故选：ABC．
13．（多选）以下各式化简结果正确的是（ ）
A．sin
cos
cos
tan
1
B．1
2sin 20 cos20
cos20
sin 20
C．
sin
36
cos54
0
D．sin
cos
sin cos
2
2
【答案】ABC
【分析】根据三角函数的同角基本关系和诱导公式逐一判断即可.
【详解】
sin
cos
sin
cos
=
cos
sin
tan
1
1
cos
，故A 正确；
2
1 2sin 20 cos20
sin 20
cos20
cos20
sin 20
，故B 正确；
sin
36
cos54
sin36
cos54
sin36
sin36
0
，故C 正确；
sin
cos
cos
sin
sin
cos
2
2
，故D 错误；
故选：ABC
14．（多选）已知角的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，它的终边过点
3 4
,
5 5
P
，角
的终边与角的终边关于y 轴对称，将OP 绕原点逆时针旋转π
2 后与角的终边重合，则（ ）
A．
4
sin
5
=
B．
π
C．cos
cos
0
D．sin
cos
0
【答案】ACD
【分析】A 选项，由三角函数的定义得到
4
sin
5
=
；B 选项，由位置关系得到
π
2 π
k
，
Z
k
；C
选项，利用诱导公式得到答案；D 选项，先求出
π
2
，由诱导公式得到D 正确.
【详解】A 选项，由题意得
2
2
4
4
5
sin
5
3
4
5
5
，A 正确；
B 选项，角的终边与角的终边关于y 轴对称，故
π
2 π
k
，
Z
k
，
故
π
2 π
k
，
Z
k
，B 错误；
C 选项，由B 可知
2
c
π
os
co
o
π
s
c s
k
，故cos
cos
0
，C 正确；
D 选项，
π
2
，故
2
cos
cos
sin
π
，故sin
cos
0
，D 正确.
故选：ACD
15.已知函数
π
3π
sin
+
cos
-
tan π-
2
2
tan π+
sin 2π-
f
.
(1)化简
f
(2)若
3π
3
2
8
f
f
，且
π
3π
4
2
，求
3π
2
f
f
的值.
【答案】(1)-cos
(2)
1
2
【详解】（1）由题意得
cos
sin
tan
cos
tan
sin
f
.
（2）由（1）知
3π
3π
π
cos
cos
sin
2
2
2
f
．
∵
3π
3
2
8
f
f
，
∴
3
cos sin
8
，
∴
2
sin
cos
1
2co
i
1
s s n
4
.
又
π
3π
4
2
，
∴cos
sin
，
∴
1
sin
cos
2
.
∴
3π
1
cos
sin
2
2
f
f
.
16.设𝑎= cos 3
5 π ，𝑏= sin −9
5 π ，𝑐= tan −3
4 π ，则（ ）
A．𝑎> 𝑏> 𝑐
B．𝑏> 𝑐> 𝑎
C．𝑐> 𝑏> 𝑎
D．𝑐> 𝑎> 𝑏
【解题思路】根据三角函数的性质和诱导公式，分别求得𝑎< 0,0 < 𝑏< 1,𝑐= 1，即可求解.
【解答过程】由𝑏= sin −9
5 π = −sin 9
5 π = −sin(−
π
5) = sin
π
5 = cos
3π
10，可得0 < 𝑏< 1，
又由𝑎= cos 3
5 π < 0，𝑐= tan −3
4 π = −tan
3π
4 = 1，
所以𝑐> 𝑎> 𝑏.
故选：C.
17.已知函数𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−2 +2（𝑎> 0且𝑎≠1）的图像过定点𝑃，且角𝛼的始边与𝑥轴的正半轴重合，终边过点
𝑃，则cos 11π
2 −𝛼sin 9π
2 + 𝛼
sin2(−π−𝛼)
等于（ ）
A．−
2
3
B．
2
3
C．
3
2
D．−
3
2
【解题思路】先化简所要求的式子，又由于𝑓(2) = 𝑎2−2 +2 = 𝑎0 +2 = 1 + 2 = 3，所以𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−2 +2过定
点𝑃(2,3)，进一步结合题意可以求出与𝛼有关的三角函数值，最终代入求值即可.
【解答过程】cos 11π
2 −𝛼sin 9π
2 + 𝛼
sin2(−π−𝛼)
= cos 6π−𝛼+ π
2
sin 4π + 𝛼+ π
2
[−sin(𝛼+ π)]2
= cos −𝛼+ π
2
sin 𝛼+ π
2
sin2(π + 𝛼)
又因为cos −𝛼+ π
2
= cos 𝛼+ π
2 = −sin𝛼，sin 𝛼+ π
2 = cos𝛼，sin2(π + 𝛼) = sin2𝛼，
故原式=
−sin𝛼⋅cos𝛼
sin2𝛼
= −
1
tan𝛼;又𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−2 +2过定点𝑃(2,3),所以tan𝛼=
3
2，代入原式得原式=−
1
tan𝛼= −
2
3.
故选：A.
18.如图，在平面直角坐标系内，角𝛼的始边与𝑥轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点𝑃1
3
5 , 4
5 ，若线段𝑂
𝑃𝑛−1绕点𝑂逆时针旋转
π
4得𝑂𝑃𝑛（𝑛≥2，𝑛∈N），则点𝑃2023的纵坐标为（ ）
A．−
4
5
B．−
3
5
C．
3
5
D．
4
5
【解题思路】根据三角函数的定义求出sin𝛼，cos𝛼，设点𝑃2023为角𝛽的终边与单位圆的交点，依题意可得
𝛽= 𝛼+ 2022 ×
π
4，利用诱导公式求出sin𝛽的值，即可得解.
【解答过程】因为角𝛼的终边与单位圆交于点𝑃1
3
5 , 4
5 ，所以sin𝛼=
4
5，cos𝛼=
3
5，
设点𝑃2023为角𝛽的终边与单位圆的交点，则𝛽= 𝛼+ 2022 ×
π
4，
所以sin𝛽= sin 𝛼+ 2022 × π
4 = sin 𝛼+ 1011π
2
= −cos𝛼= −
3
5，
所以点𝑃2023的纵坐标为−
3
5.
故选：B.
19.已知角𝐴、𝐵、𝐶为△𝐴𝐵𝐶的三个内角，若sin 𝐴+ 𝐵−𝐶
2
= sin 𝐴−𝐵+ 𝐶
2
，则△𝐴𝐵𝐶一定是（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
【解题思路】根据诱导公式以及内角和定理得出𝐵= 𝐶，从而判断三角形的形状.
【解答过程】由sin 𝐴+ 𝐵−𝐶
2
= sin 𝐴−𝐵+ 𝐶
2
可得sin 𝜋−2𝐶
2
= sin 𝜋−2𝐵
2
，sin 𝜋
2 −𝐶= sin 𝜋
2 −𝐵，cos𝐶= cos
𝐵，即𝐵= 𝐶，故该三角形一定为等腰三角形.
故选：C.
20.如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，点𝑀是斜边𝐴𝐵的中点，点𝑁在边𝐵𝐶上，且𝑀𝑁⊥𝐴𝐵，𝑀𝑁=
3，𝐶𝑁= 1，则sin
𝐴= （ ）
A．
2
3
B．
3
3
C．
6
3
D．
7
3
【解题思路】设出𝐵𝑁= 𝑥，利用sin𝐴= cos𝐵列出方程，求出𝑥，进而求出答案.
【解答过程】因为𝑀𝑁⊥𝐴𝐵，点𝑀是斜边𝐴𝐵的中点，
设𝐵𝑁= 𝑥，则𝐵𝐶= 𝑥+ 1，
由勾股定理得：𝐵𝑀= 𝐴𝑀=
𝑥2−3，
因为在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，
所以sin𝐴=
𝐵𝐶
𝐴𝐵=
1 + 𝑥
2 𝑥2−3，
而cos𝐵=
𝐵𝑀
𝑁𝐵=
𝑥2−3
𝑥
，因为sin𝐴= cos𝐵，
所以
1 + 𝑥
2 𝑥2−3 =
𝑥2−3
𝑥
，解得：𝑥= 3或−2（舍去），
所以sin𝐴=
4
2 6 =
6
3
故选：C
21.在平面直角坐标系xOy 中，角以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点
,
P m n .
(1)若
12
13
n
，求tan及
2sin π
cos
π
cos
2cos
2
的值；
(2)若
1
sin
cos
5
，求点P 的坐标.
【答案】(1)
12
5
，29
22
(2)
3 4
,
5 5
【分析】（1）根据三角函数定义以及三角函数诱导公式直接计算求解即可；
（2）根据同角三角函数关系的转化求得sin
cos
进而求解即可.
【详解】（1）若角以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点
,
P m n ，
若
12
13
n
，则
2
12
5
1
13
13
m
，则
12
tan
5
n
m
，
可得
24
1
2sin π
cos
2sin
cos
1 2tan
29
5
12
π
sin
2cos
2
tan
22
2
cos
2cos
5
2
（2）由题意知，sin
0
cos
0
，
，
又
1
sin
cos
5
，①
两边平方，可得
1
1
2sin
cos
25
，可得
24
2sin
cos
25
，
可得
2
24
7
sin
cos
sin
cos
1
2sin cos
1
25
5
，②
联立①②，可得
4
3
sin
cos
5
5
，
，
所以点P 的坐标为
3 4
,
5 5
22.（1）已知
1
1
sin
sina
且
lg cos有意义，若角的终边与单位圆相交于点
3,
5
M
m
，求m 的值及
sina 的值；
（2）是否存在角
π π
,
,
0,π
2 2
，使等式
π
sin 3π
2 cos 2
3 cos
2 cos π
同时成立.若存在，求出,
的值；若不存在，说明理由.（注：对任意角x ，有
2
2
sin
cos
1
x
x
成立）
【答案】（1）
4
4
,sin
5
5
m
；（2）存在，
= 4
，
= 6
【详解】（1）因为
1
1
sin
sin
，所以sin
0
，
所以是第三或第四象限角或y 轴的非正半轴上的角，
因为
lg cos有意义，所以cos
0
，
所以是第一或第四象限或x 轴的非负半轴上的角，
综上可知，角是第四象限角，
因为点
3,
5
M
m
在单位圆上，所以
2
2
3
1
5
m
，解得
4
5
m
，
又是第四象限角，故
0
m
，从而
4
5
m
，
根据正弦函数的定义，可知
4
sin
5
；
（2）因为等式
π
sin 3π
2 cos 2
3 cos
2 cos π
同时成立，
利用诱导公式化简得
sin
2 sin
3 cos
2 cos
，两式平方后相加得
2
2
sin
3cos
2
，
因为
2
2
sin
cos
1
，所以可得
2
1
cos
2
，即
2
cos
2
，
因为
π π
,
2 2
，所以
π
4
或
π
4
.
当
π
4
时，代入
3 cos
2 cos
得
3
cos
2
，
又
0,π
，所以
π
6
，此时也符合等式sin
2 sin
；
当
π
4
时，代入
3 cos
2 cos
得
3
cos
2
，
又
0,π
，所以
π
6
，显然此时不符合等式sin
2 sin
，
综上所述，存在
π
4
，
π
6
满足条件.
