必修第二册北师大版数学教材习题答案_高中全套电子教材及答案。_02高中教材参考答案_高中数学_北师大版

教材习题答案 第一章 三角函数 写方式不唯一 ° ° °． ． ）－５８５ ，－２２５ ，１３５ －８π ４． ° 一． ４． β β ｋ ｋ Ｚ ． ８０ ； ｛ ｜ ＝ π， ∈ ｝ §1 周期变化 习题1-2 ５． ３． ３． ． ． ． ． Ａ组 （１） （２） （３）０３６２４（４）０８４１５ 练习（第 页） ２ ３ ３ １．是周期变化． １．三． ６．约 ． ２π ． ２０９ ｃｍ； ｃｍ ２．不是． ２． ｛ α ｜ α ＝ ｋ ·３６０ ° －４５７ ° ， ｋ ∈ Ｚ ｝ ． ３ ３． ． ｙ ｘ ｋ ｘ ｋ ｋ ３．第一或第三象限． ７． β １１π β是第四象限角． （１）２ （２） ＝ ｜ －２ ｜， ∈［２ －１，２ ＋ （１） ＝ ＋２π， ４． α α ｋ ° ｋ Ｚ ． ６ ｋ Ｚ． ｛ ｜ ＝ ·９０ ， ∈ ｝ １］， ∈ ５．三． β ２π β是第二象限角． 习题1-1 （２） ＝ －１０π， ３ 因为β第四象限角 所以ｋ ° ° Ａ组 ， ·３６０ －９０ β １０π β是第三象限角． β ｋ ° ｋ Ｚ 则 ｋ ° β （３） ＝ －４π， １．右边． ＜ ＜ ·３６０ ， ∈ ， － ·３６０ ＜－ ＜ ７ ｋ ° ° ｋ Ｚ 所以 ｋ ° ２． ． － ·３６０ ＋９０ ， ∈ ， － ·３６０ ＋ β ７π β是第一象限角． １８ ｓ ° ° β ｋ ° ° ｋ Ｚ （４） ＝ ＋４π， ３． 图象略 单调递增区间为 １８０ ＜１８０ － ＜－ ·３６０ ＋２７０ ， ∈ ， ３６ （１） ， ［－２，－１］ ° β是第三象限角． ８． ２． 和 单调递减区间为 和 １８０ － １０８ ｃｍ ［０，１］； ［－１，０］ ６．三 三 四 四 一 三 习题1-3 零点为 最大值为 最 ； ； ； ； ； ［１，２］； －２，０，２； １， ７． °． Ａ组 小值为 ． －４８０ ０ Ｂ组 １．三． （２） １ ４ ． １． ｛ α ｜ α ＝４５ ° ＋ ｋ ·１８０ ° ， ｋ ∈ Ｚ ｝ ． ２． －１８４５ ° ＝ ７π －１２π ． （３） 设ｘ ∈［２ ｎ －１，２ ｎ ＋１］， 则ｘ －２ ｎ ∈［－１， ２． （１）｛ α ｜４５ ° ＋ ｋ ·３６０ ° ≤ α ≤２１０ ° ＋ ｋ · ３．二． ４ ° ｋ Ｚ ． 所以ｆ ｘ ｆ ｘ ｎ ｘ ｎ ２ ｘ ３６０ ， ∈ ｝ １］， （ ）＝ （ －２ ）＝（ －２ ） ， ∈ α ° ｋ ° α ｋ ° ｋ ４． ５ ． ｎ ｎ ｎ Ｚ． （２）｛ ｜－３０ ＋ ·１８０ ≤ ≤ ·１８０ ， － π；２８８ ［２ －１，２ ＋１］， ∈ Ｚ ． ３ Ｂ组 ∈ ｝ ５．第一象限角的集合是 α ° ｋ ° α ° ｋ １．是周期函数 周期为 ． （３）｛ ｜－１２０ ＋ ·３６０ ≤ ≤３０ ＋ · { } 由题意知 顶 ， 点 Ｐ ｘ ４ ｙ 滚动过程中的 ３６０ ° ， ｋ ∈ Ｚ ｝ ． α ２ ｋ π＜ α ＜２ ｋ π＋ π ， ｋ ∈ Ｚ ； ， （ ， ） ２ 轨迹在一个周期内的图象如图所示 无 ３． ∵ 角α与 １００ °角的终边相同 ， 第二象限角的集合是 ， α ° ｋ ° ｋ Ｚ { } 论正方形沿ｘ轴正方向还是负方向滚 ∴ ＝１００ ＋ ·３６０ ， ∈ ， α ｋ π α ｋ ｋ Ｚ α ２ π＋ ＜ ＜２ π＋π， ∈ ； 动 再次使点Ｐ与ｘ轴接触时的位移为 ° ｋ ° ｋ Ｚ． ２ ， ∴ ＝５０ ＋ ·１８０ ， ∈ 第三象限角的集合是 所以ｆ ｘ 的最小正周期为 ． ２ ４， （ ） ４ 当ｋ ｎ ｎ Ｚ时 { } ① ＝２ ＋１， ∈ ， α ｋ α ｋ ３π ｋ Ｚ α ２ π＋π＜ ＜２ π＋ ， ∈ ； ° ｎ ° ° ｎ ２ ＝５０ ＋（２ ＋１）·１８０ ＝２３０ ＋ · 第四象限角的集合是 ２ ° ｎ Ｚ { } ３６０ ， ∈ ， α ｋ ３π α ｋ ｋ Ｚ ． α ２ π＋ ＜ ＜２ π＋２π， ∈ 为第三象限角 ２ ∴ ； ｌ ｌ ｌ ２ ６．因为α １ α ２ 且 α α 故 １ §2 任意角 当ｋ ｎ ｎ Ｚ时 １＝ ｒ ， ２＝ ｒ ， １＝ ２， ｒ ② ＝２ ， ∈ ， １ ２ １ α ｌ 练习（第 页） ° ｎ ° ° ｎ ° ｎ ２ ． ７ ＝５０ ＋２ ·１８０ ＝５０ ＋ ·３６０ ， ＝ ｒ １． 真． 假． 真． 假． 假． ２ ２ （１） （２） （３） （４） （５） Ｚ Ｂ组 真． 假． 假． ∈ ， （６） （７） （８） α １．如图所示 因为圆心角为 的扇形 ２． ° ′ 第四象限角． ° ′ 第 为第一象限角． ， １ ｒａｄ （１）３０５ ４２ ， （２）３５ ８ ， ∴ ｒ２ 一象限角． ° ′ 第三象限角． ２ 的面积为π １ ｒ２ 而弧长为ｌ的扇形 （３）２４９ ３０ ， α ＝ ， ° 第二象限角． 综上所述 为第一或第三象限角． ２π ２ （４）１２３ ， ， ２ 的圆心角的大小为 ｌ 所以它的面 ３． β β ° ｋ ° ｋ Ｚ ｒ ｒａｄ， （１） ｛ ｜ ＝ ６０ ＋ ·３６０ ， ∈ ｝； ° ° °． §3 弧度制 ｌ ｒ２ －６６０ ，－３００ ，６０ 积Ｓ １ ｌｒ． β β ° ｋ ° ｋ Ｚ ＝ ｒ · ＝ （２）｛ ｜ ＝ －４５ ＋ ·３６０ ， ∈ ｝； 练习（第 页） ２ ２ １２ ° ° °． －４０５ ，－４５ ，３１５ １． ３π． π． π． ７π． β β ° ′ ｋ ° ｋ Ｚ （１） （２） （３） （４）－ （３）｛ ｜ ＝１ ３０３ １８ ＋ ·３６０ ， ∈ ｝； ４ ２ ３ ３ 书 写 方 式 不 唯 一 ° ′ ２． °． °． °． °． （ ） －４９６ ４２ ， （１）３０ （２）－１２０ （３）２２０ （４）５７０ ° ′ ° ′． －１３６ ４２ ，２２３ １８ ３．时针转 ° ２π 分针转 ° β β ° ｋ ° ｋ Ｚ 书 －１２０ ＝－ ， －１ ４４０ ＝ （４）｛ ｜ ＝－２２５ ＋ ·３６０ ， ∈ ｝；（ ３ １ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等{ } ２．２πＲ ． α α ｋ π ｋ Ｚ ． ２． α ５ α ２ ． ；４ （２） ≠２ π－ ， ∈ （１）ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝ ３ ２ ３ ３ ３． 或 ． [ ] ４． ４ Ｒ２ （１ １ －ｓｉｎ１ｃｏｓ１） ． （３） ２ ｋ π－ π ３ ，２ ｋ π＋ π ３ ， ｋ ∈ Ｚ． （２）ｓｉｎ α ＝ ５ ４ ，ｃｏｓ α ＝－ ５ ３ ． [ ] ４． １ ． ． §4 正弦函数和余弦函数 （１） －１， （２）［－３，３］ α １ α ３． ２ （３）ｓｉｎ ＝－ ，ｃｏｓ ＝－ ２ ２ 的概念及其性质 ４．３ 诱导公式与对称 α １２ α ５ ． （４）ｓｉｎ ＝－ ，ｃｏｓ ＝ ４．１ 单位圆与任意角的正弦 练习（第 ２２ 页） ３． 负． 负 １３ ． 正． １３ 正． 正． （１） （２） （３） （４） （５） 函数、余数函数定义 １． ２． ３． ３． ３． 负． （１）－ （２） （３） （４） （６） ２ ２ ２ ２ 练习（第 页） １６ ４．４ ３４． １ ． ２． １ ． ３． （５） （６）－ （７） （８） １７ １． ３ ； １ ． ２ ２ ２ ２ ５． ２ ２ ２． ３ ２． － α α α ２． １０ ３ １０． １６ ｓｉｎ ｃｏｓ － ；－ ( ) １０ １０ ３． （１） 正． （２） 负． （３） 负． （４） 正． ３．点 Ｐ － １ １ ３ ２ ， １ ５ ３ 关于 ｘ 轴的对称点为 ９ ８ π －０ ． ３８２７ －０ ． ９２３９ æ ö ( ) ４． 略． ç １ ３÷． Ｐ １２ ５ 关于 ｙ 轴的对称点为 （１） （２）è－ ， ø １ － ，－ ， ５π ２ ２ ２ ２ １３ １３ － － ( ) ４ ２ ２ ５． １ ． ３． ３． １ ． Ｐ １２ ５ 关于原点的对称点为 （１）－ ２ （２）－ ２ （３）－ ２ （４）－ ２ ２ ( １３ ， １３ ) ， １１π －０ ． ９２３９ －０ ． ３８２７ （５）－１ ． （６）－１ ． Ｐ １２ －５ ． ８ ３ ， １３ １３ ３π ６． ２． －１ ０ ± 所以 α ５ α １２． ２ ２ ｓｉｎ（π－ ）＝ ，ｃｏｓ（π－ ）＝ １３ １３ ７． １ ． １３π ． ． ± α ５ α １２． －０９２３９ ０３８２７ ５ ｓｉｎ（－ ）＝－ ，ｃｏｓ（－ ）＝－ ８ １３ １３ ４．２ 单位圆与正弦函数、 α ５ α １２． ７π ２ ２ 余弦函数的基本性质 ｓｉｎ（π＋ ）＝－ １３ ，ｃｏｓ（π＋ ）＝ １３ ４ － ２ ２ 练习（第 页） α ５ α １２． １５π ． ． １９ ｓｉｎ（２π－ ）＝－ ，ｃｏｓ（２π－ ）＝－ －０３８２７ ０９２３９ [ ] １３ １３ ８ { } １． 单调递减区间为 π （１） －π，－ ２ ， ４． （１） α α ＝２ ｋ π± ３π ， ｋ ∈ Ｚ ． ２π ０ １ [ ] [ ] ４ { } π 单调递增区间为 π π ． １７π ． ． ，π ， － ， α ｋ ７π α ｋ π ｋ Ｚ ． ０３８２７ ０９２３９ ２ ２ ２ （２） ２ π－ ≤ ≤２ π＋ ， ∈ ８ ６ ６ 单调递增区间为 单调递 减 （２ 区 ） 间为 ． ［－π，０］， ４．４ 诱导公式与旋转 ９π ２ ２ ［０，π］ ４ ２ ２ [ ] 练习（第 页） 单调递减区间为 π 单调 ２５ （３） －π，－ ， ( ) １９π ． ． ２ １． α ４ α ３ π α ０９２３９ ０３８２７ [ ] ｓｉｎ ＝－ ，ｃｏｓ ＝－ ，ｓｉｎ ＋ ＝ ８ 递增区间为 π π ． ５ ５ ２ － ， ( ) ( ) ２ ６ [ ] － ３ ，ｃｏｓ π ＋ α ＝ ４ ，ｓｉｎ π － α ＝ ５ ２ π １ ０ 单调递增区间为 π 单调递 ５ ２ ５ ２ （４） － ，０ ， ( ) ３ ３ π α ４ ． ２１π ． ． [ ] － ，ｃｏｓ － ＝－ ０９２３９ －０３８２７ 减区间为 ５π ． ５ ２ ５ ８ ０， ２． ． ． ． ． ． ． ． ． ６ （１）－０ ３ （２）０ ３ （３）－０ ３ （４）－０ ３ １１π ２ ２ ２． （１） 当α ＝ ２５π时 ， ｙ ｍｉｎ＝１； 当α ＝ ９π时 ， （５）－０ ． ３ ． ４ ２ － ２ ６ ２ ３． １ ． ｙ ． ２３π ． ． ｍａｘ＝２ ３ ０３８２７ －０９２３９ 当 α 时 ｙ 当 α 时 ８ （２） ＝π ， ｍｉｎ＝－３； ＝０ ， ４． １ １ ． ｙ ｍａｘ＝３ ． － ３ ，－ ３ ３π ０ －１ ５． ． ． ６． （１）０（２）１ （３） 当α ＝－ ２ ３ π时 ， ｙ ｍａｘ＝ ４ ３ ； 当α ＝－ ５ ６ π 习题1-4 α α α Ａ组 ｓｉｎ ｃｏｓ 时 ｙ １ ． ， ｍｉｎ＝ ４ １． ２ ２． － ４π ３ － １ ３． Ｒ． － ， ３ ２ ２ （１） ２ ２ ２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等教材习题答案 ( ) ５π π ． ５π ２ ２ ∴ ｓｉｎ ＜ｓｉｎ － － － ４ ６ ４ ２ ２ ７π １ ３ － － ６ ２ ２ －π ０ －１ ５π １ ３ － － － ６ ２ ２ ５．因为角α 的终边在直线 ｙ ＝ ｘ 上 ， 所以 角 α 的终边与单位圆的交点坐标为 ３π ２ ２ － － － 如图 所示 １３π ５π的终边与单位 æ ö æ ö ４ ２ ２ （２） ２ ， ３ ， ６ è ç ２ ， ２ ø ÷或 è ç － ２ ，－ ２ ø ÷． 圆 的 交 点 坐 标 分 别 为 ２ ２ ２ ２ － ２ ３ π － ２ ３ － ２ １ æ ç １ ３ ö ÷ æ ç ３ １ ö ÷ 当交点为 æ è ç ２ ， ２ ö ø ÷时 ，ｓｉｎ α ＋ｃｏｓ α ＝ ２ è ， ø，è－ ， ø， ２ ２ ２ π ２ ２ ２ ２ － －１ ０ ２ ． ２ １３π ３ ５π １ ＋ ＝ ２ ∴ ｓｉｎ ＝ ，ｓｉｎ ＝ ， ２ π ３ １ ３ ２ ６ ２ æ ö － － 当交点为ç ２ ２÷时 α α ３ ２ ２ １３π ５π． è－ ，－ ø ，ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ∴ ｓｉｎ ＞ｓｉｎ ２ ２ ３ ６ π ２ ２ ２ ２ ． － － － － ＝－ ２ ４ ２ ２ ２ ２ ６．因为角α的终边经过点Ｐ ｂ 所以 （－３， ）， π １ ３ － － ６ ２ ２ ｜ ＯＰ ｜＝ ９＋ ｂ２．由 ｃｏｓ α ＝ Ｏ － Ｐ ３ ＝－ ３ 得 ｜ ｜ ５ ０ ０ １ ＯＰ 即 ｂ２ 所以 ｂ ． ｜ ｜ ＝５， ９＋ ＝５， ＝±４ π １ ３ 当ｂ 时 α ４ ＝４ ，ｓｉｎ ＝ ； ６ ２ ２ ５ 当ｂ 时 α ４ ． π ２ ２ 如图 所示 ５π ２５π的终边与单 ＝－４ ，ｓｉｎ ＝－ （３） ３ ， ，－ ５ ４ ２ ２ ３ ６ ７．提示 如图 可以按阴影区域讨论．答 位 圆 的 交 点 坐 标 分 别 为 ： ， π ３ １ 案略． æ ö æ ö ３ ２ ２ ç １ ３÷ ç ３ １ ÷ è ，－ ø，è ，－ ø， ２ ２ ２ ２ π １ ０ ( ) ２ ５π １ ２５π ３ ∴ ｃｏｓ ＝ ，ｃｏｓ － ＝ ， ３ ２ ６ ２ ７． ５ ２ ５． ( ) － ，－ ５π ２５π ． ５ ５ ∴ ｃｏｓ ＜ｃｏｓ － ８． ． ３ ６ （－２，３） ９． ２α． ． ｋ． ｐ ｑ ２． §5 正弦函数、余弦函数的 （１）ｃｏｓ （２）２（３） （４）（ － ） （５）（ ａ － ｂ ） ２． 图象与性质再认识 Ｂ组 ５．１ 正弦函数的图象与 １． １ ． ３ 性质再认识 ( ) ２． ｋ π ｋ １１π ｋ Ｚ ． 练习（第 页） ２ π＋ ，２ π＋ （ ∈ ） ３３ ６ ６ １．略． ３． ２ ． ２ ． ２ ． ２． ． （１） （２） （３）－ （１）Ｃ；（２）Ｂ；（３）Ｂ ３ ３ ３ 如图 所示 ７π ７π的终边与单 （４） ４ ， ，－ ３． ４ π ． ４． 如图 所示 ５π π的终边与单位 ６ ６ （１） π；（２） ；（３）４π （１） １ ， ，－ 位 圆 的 交 点 坐 标 分 别 为 ３ ２ ４ ６ ( ) ( ) ４． π π ． æ ö æ ö æ ö ｓｉｎ － ＞ｓｉｎ － 圆的交点坐标分别为ç ２ ２÷ ç ３ １ ÷ ç ３ １ ÷ １８ １０ è－ ，－ ø， è－ ，－ ø，è－ ， ø， ５． ｋ ｋ ｋ Ｚ ． ２ ２ ２ ２ ２ ２ （２ π，２ π＋π）（ ∈ ） æ ö æ ö ( ) [ ] ç ３ １ ÷ ５π ２ ç π ÷ ７π １ ７π ３ ６．在区间 ｋ π ｋ π ｋ Ｚ 上 è ，－ ø，∴ｓｉｎ ＝－ ，ｓｉｎ è－ ø ∴ ｓｉｎ ＝－ ，ｃｏｓ － ＝－ ， ２ π－ ，２ π＋ （ ∈ ） ２ ２ ４ ２ ６ ６ ２ ６ ２ ２ ２ １ ７π ( ７π ) ． 单调递增 在区间 é ê ê ｋ π ｋ ３π ù ú ú ＝－ ， ∴ ｓｉｎ ＞ｃｏｓ － ， ë２ π＋ ，２ π＋ û ２ ６ ６ ２ ２ ３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等ｋ Ｚ 上单调递减 最小值 ． ù （ ∈ ） ； ０ π ｋ π ú ú ｋ Ｚ． ６．在区间 上单调递增 在区间 ，２ π＋ û， ∈ 当ｘ ｋ π ｋ Ｚ 时 ｙ取最大值 ［－π，０］ ， ［０， ２ ２ ＝２ π＋ ２ （ ∈ ） ， ３， π］ 上单调递减 ； 当ｘ ＝０ 时 ， ｙ取最大值 （３） 单调递增区间是 ［２ ｋ π＋π，２ ｋ π＋ 当ｘ ｋ ３π ｋ Ｚ 时 ｙ取最小值 ． ３， 当ｘ ＝－π 或 π 时 ， ｙ取最小值 －３ ． ｋ Ｚ 单调递减区间是 ｋ ｋ ＝２ π＋ （ ∈ ） ， １ 习题1-5 ２π］， ∈ ， ［２ π，２ π ２ ｋ Ｚ． [ ] ＋π］， ∈ ７．在区间 π π 上单调递增 在区间 Ａ组 单调递增区间是 ｋ ｋ ｋ － ， ， （４） ［２ π，２ π＋π］， ２ ２ １．略． Ｚ 单调递减区间是 ｋ ｋ [ ] [ ] ∈ ， ［２ π＋π，２ π＋ { } －π，－ π ２ 和 π ２ ，π 上单调递减 ； 当 ２． （１） 当 ｘ ∈ ｘ ｘ ＝２ ｋ π＋ ３ ２ π ， ｋ ∈ Ｚ 时 ， ５． ２π］ 非 ， ｋ 奇 ∈ 非 Ｚ． 偶函数． 奇函数． 偶 （１） （２） （３） ｘ ＝ π时 ， ｙ取最大值 ４； 当ｘ ＝－ π时 ， ｙ ｙ ｍａｘ＝４； { } 函数． （４） 偶函数． ２ ２ 当ｘ ｘ ｘ ｋ π ｋ Ｚ 时 ｙ ( ) 取最小值 －４ ． ∈ ＝２ π＋ ２ ， ∈ ， ｍｉｎ＝ ６． （１） ｓｉｎ － π ＝ －ｓｉｎ π ，ｓｉｎ ５π ＝ ． ７ ７ ４ ５．２ 余弦函数的图象与 －４ { } π． 性质再认识 （２） 当 ｘ ∈ ｘ ｘ ＝２ ｋ π＋ ３π ， ｋ ∈ Ｚ 时 ， －ｓｉｎ ４ ２ ( ) 练习（第 页） ｙ ｘ在 π 上单调递增 且 ３８ ｙ ４ ∵ ＝ｓｉｎ ０， ， ０ １． ． ｍａｘ＝ ； ２ （１）Ｃ；（２）Ｂ；（３）Ｄ；（４）Ａ ３ ( ) ( ) { } π π π ２． ２３π １７π ． 当 ｘ ｘ ｘ ｋ π ｋ Ｚ 时 ｙ ＜ ＜ ＜ ， ｃｏｓ － ＜ｃｏｓ － ∈ ＝２ π＋ ， ∈ ， ｍｉｎ ７ ４ ２ ５ ４ ２ ( ) π π ３． ２ ｋ π＋ π ，２ ｋ π＋ ３π （ ｋ ∈ Ｚ ） ． ＝ ３ ２ ． ∴ ｓｉｎ ７ ＜ｓｉｎ ４ ， ２ ２ ４． （１） ｙ ＝ｃｏｓ ｘ －１， ｘ ∈ Ｒ的图象如图所示． （３） 当ｘ ∈｛ ｘ ｜ ｘ ＝２ ｋ π＋π， ｋ ∈ Ｚ ｝ 时 ， ｙ ｍａｘ ∴ －ｓｉｎ π ＞－ｓｉｎ π ， ７ ４ ２ ( ) ＝ ； π ５π． ３ ∴ ｓｉｎ － ＞ｓｉｎ ７ ４ 当ｘ ｘ ｘ ｋ ｋ Ｚ 时 ｙ ２ ． ( ) ∈｛ ｜ ＝２ π， ∈ ｝ ， ｍｉｎ＝－ ｙ ｘ在 π 上单调递减 ３ （２）∵ ＝ｓｉｎ ，π ， 当 ｘ ｘ ｘ ｋ ｋ Ｚ 时 ｙ ２ （４） ∈｛ ｜ ＝２ π， ∈ ｝ ， ｍａｘ 且π ５π ７ ＜ ＜３＜π， ＝ ； ２ ６ ４ 当 ｘ ｘ ｘ ｋ ｋ Ｚ 时 ｙ ５π． 函数 ｙ ｘ ∈｛ ｜ ＝２ π＋π， ∈ ｝ ， ｍｉｎ ∴ ｓｉｎ３＜ｓｉｎ ＝ｃｏｓ －１ ６ １ ． ( ) 定义域 Ｒ ＝ １１π π π ４ （３）∵ ｃｏｓ ＝ｃｏｓ ４π－ ＝ｃｏｓ ＞ { ３ ３ ３ 值域 ３． ｘ ｘ ｘ ｋ ７π且 ｘ ｋ ( ) ［－２，０］ （１） ∈ ≠２ π＋ ≠２ π＋ 奇偶性 偶函数 } ６ ０，ｃｏｓ － ５ π ＜０， ６ １１π ｋ Ｚ ． ( ) ， ∈ 周期性 周期为 ６ １１π ５π ． ２π { ∴ ｃｏｓ ＞ｃｏｓ － ３ ６ 当ｘ ｋ ｋ ｘ ｘ ｋ π ｘ ｋ ７π ( ) ∈［（２ －１）π，２ π］ （２） ∈ ２ π－ ≤ ≤２ π＋ ， ｋ Ｚ 时 函数单调 } ６ ６ （４）ｓｉｎ １０π ＝－ｃｏｓ ３π － １０π ＝－ｃｏｓ ７π ， （ ∈ ） ， ｋ Ｚ ． ９ ２ ９ １８ 递增 ∈ ( ) æ ö 单调性 ； １０π １０π ç π ÷ 当ｘ ∈［２ ｋ π，（２ ｋ ＋１）π］ （３） ｘ ∈｛ ｘ ｜ ｘ ≠２ ｋ π， ｋ ∈ Ｚ ｝ ． ｃｏｓ － ９ ＝ｃｏｓ ９ ＝ｃｏｓ èπ＋ ９ ø ｋ Ｚ 时 函数单调 { 递 （ 减 ∈ ） ， （４） ｘ ∈ ｘ ２ ｋ π＋ π ≤ ｘ ≤２ ｋ π＋ ３π ， ＝－ｃｏｓ π ， } ２ ２ ９ 当ｘ ｋ ｋ Ｚ 时 函 ｋ Ｚ ． ( ) ＝２ π（ ∈ ） ， ∈ ｙ ｘ在 π 上单调递减 且 数取得最大值 最大值 ∵ ＝ｃｏｓ ０， ， ０ ， [ ２ 最大值与 为 ４． 单调递增区间是 ｋ π ｋ ０； （１） ２ π－ ，２ π＋ π ７π π 最小值 当ｘ ＝（２ ｋ ＋１）π（ ｋ ∈ Ｚ ） ] ２ [ ＜ ９ ＜ １８ ＜ ２ ， 时 函数取得最小值 最 π ｋ Ｚ 单调递减区间是 ｋ ， ， ２ ， ∈ ， ２ π＋ ∴ ｃｏｓ π ＞ｃｏｓ ７π ， 小值为 ] ９ １８ －２ π ｋ ３π ｋ Ｚ． ( ) ，２ π＋ ， ∈ １０π １０π ． 略． ２ ２ ∴ ｓｉｎ ＞ｃｏｓ － （２） é ９ ９ ５．在区间 ［２ ｋ π＋π，２ ｋ π＋２π］（ ｋ ∈ Ｚ ） 上单 单调递增区间是 ê ê ｋ π ｋ ７．略． （２） ë２ π＋ ，２ π＋ 调递增 在区间 ｋ ｋ ｋ Ｚ ２ Ｂ组 ， ［２ π，２ π＋π］（ ∈ ） 上单调递减 ； 当ｘ ＝２ ｋ π（ ｋ ∈ Ｚ ） 时 ， ｙ取 ３π ù ú ú ｋ Ｚ 单调递减区间是 é ê ê ｋ １． ｘ { ｘ ｋ ５π ｘ ｋ π ｋ 最大值 当ｘ ｋ ｋ Ｚ 时 ｙ取 û， ∈ ， ë２ π－ （１） ∈ ２ π－ ≤ ≤２ π＋ ， ∈ ２， ＝２ π＋π（ ∈ ） ， ２ ４ ４ ４ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等教材习题答案 } 先将正弦曲线上各点的横坐标伸长为 Ｚ ． 图略．周期 Ｔ ４π 定义域为 Ｒ 函 （２） ＝ ； ； ３ 原来的 倍 纵坐标缩短为原来的 ３ （２ } ） ｘ ∈ { ｘ ２ ｋ π－ π ３ ＜ ｘ ＜２ ｋ π＋ ４ ３ π ， ｋ ∈ 数ｙ ＝ｓｉｎ ３ ２ ｘ 在区间 é ë ê ê４ ｋ ３ π － π ３ ， ４ ｋ ３ π ＋ 倍 得到 ５ 函数 ， ｙ ３ １ ｘ的图象 再 ４ ， ＝ ｓｉｎ ， Ｚ ． π ù ú ú ｋ Ｚ 上单调递增 在区间 é ê ê４ ｋ π ４ ５ { ３ û（ ∈ ） ， ë ３ 将图象向左平移５π个单位长度 ， 得到 ｘ ｘ ｋ π ｘ ｋ ５π ｋ ７ （３ Ｚ ） } ∈ ． ２ π＋ ３ ≤ ≤２ π＋ ３ ， ＋ π ３ ， ４ ｋ ３ π ＋π ù û ú ú （ ｋ ∈ Ｚ ） 上单调递减 ； 当ｘ 函数ｙ ＝ ３ ｓｉｎ ( １ ｘ － π ) 的图象． ４ ５ ７ ∈ ｋ { ４ π π ｋ Ｚ时 ｙ取得最大值 当 振幅是 周期是π 初相是π． （４） ｘ ∈ ｘ ２ ｋ π－ ５π ＜ ｘ ＜２ ｋ π＋ ５π ， ｋ ∈ ＝ ３ ＋ ３ ， ∈ ， １； （３） ８， ２ ， ３ ６ ６ ｋ } ｘ ４ π π ｋ Ｚ时 ｙ取得最小值 先将正弦曲线向左平移 π 个单位长 Ｚ ． ＝ － ， ∈ ， －１； ３ ３ ３ 值域为 ． ( ) ［－１，１］ 度 得到ｙ ｘ π 的图象 再把各 ２． π ５π． π ｘ ５π． ｘ π 练习（第 页） ， ＝ｓｉｎ ＋ ， （１） ， （２） ＜ ＜ （３）０≤ ＜ ４７ ３ ４ ４ ４ ４ ４ １．将函数ｙ ｘ的图象向右平移５π个 点的横坐标缩短为原来的 １ 倍 纵坐 和５π ｘ ． ＝ｓｉｎ ， ＜ ≤２π １２ ４ ４ ( ) 标伸长为原来的 倍 得到函数 ｙ { } 单位 得到函数ｙ ｘ ５π 的图象． ８ ， ＝ 当ｘ ｘ ｋ π ｋ Ｚ 时 ， ＝ｓｉｎ － ( ) （４） ∈ ＝ π＋ ， ∈ ， １２ ｘ π 的图象． ４ ２．略． ８ｓｉｎ ４ ＋ ｘ ｘ ３ ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ； { ３． （１）Ｂ；（２）Ｄ ． 振幅是 １ 周期是２π 初相是 π． 当ｘ ｘ ｋ π ｘ ｋ ５π ｋ （４） ， ， － ∈ ２ π＋ ＜ ＜２ π＋ ， ∈ 练习（第 页） ２ ３ １０ ４ ４ ５１ } １．图略．周期Ｔ 定义域为Ｒ 单增区 先将正弦曲线向右平移 π 个单位长 Ｚ 时 ｘ ｘ ＝６π； ； ，ｓｉｎ ＞ｃｏｓ ； 间 ｋ ｋ ｋ Ｚ 单减区间 １０ ：［－３π＋６ π，６ π］， ∈ ， ： ( ) { ｋ ｋ ｋ Ｚ 当ｘ ｋ ｋ 度 得到函数ｙ ｘ π 的图象 再 当ｘ ｘ ｋ ５π ｘ ｋ ９π ｋ ［６ π，３π＋６ π］， ∈ ， ＝６ π， ∈ ， ＝ｓｉｎ － ， ∈ ２ π＋ ４ ＜ ＜２ π＋ ４ ， ∈ Ｚ时 ｙ取最大值 当ｘ ｋ ｋ １０ } ， １； ＝３π＋６ π， ∈ Ｚ 时 ｘ ｘ． Ｚ时 ｙ取最小值 值域为 ． 把各点的横坐标缩短为原来的 １ 倍 ，ｓｉｎ ＜ｃｏｓ ， －１， ［－１，１］ ， ３ ２．图略．周期Ｔ 定义域为Ｒ 单增区 ３．略． ＝４π； ； [ ] 纵坐标伸长为原来的 １ 倍 得到函数ｙ ， 间 π ｋ ５π ｋ ｋ Ｚ 单减 ２ §6 函数 ｙ Ａ ωｘ φ ： － ３ ＋４ π， ３ ＋４ π ， ∈ ， ( ) ＝ ｓｉｎ（ ＋ ） [ ] ＝ １ ｓｉｎ ３ ｘ － π 的图象． 的性质与图象 区间 ５π ｋ ８π ｋ ｋ Ｚ 当 ｘ ２ １０ ： ＋４ π， ＋４ π ， ∈ ， [ ] ３ ３ 练习（第 ４４ 页） ５π ｋ ｋ Ｚ时 ｙ取最大值 当ｘ ４． （１） 单调递增区间是 ５ ｋ － １ ５ ２ ，５ ｋ ＋ １ ２ ２ ５ ， ＝ ＋４ π， ∈ ， ３， １． ． ４ ． ３ ｋ Ｚ （１）８π（２） ∈ ， ３ π ｋ ｋ Ｚ时 ｙ取最小值 值 [ ] ＝－ ＋４ π， ∈ ， －３； 单调递减区间是 ｋ ２５ ｋ ５５ ｋ ２．周期为８π 将正弦曲线上各点的横坐 ３ ５ ＋ ，５ ＋ ， ， 域为 ． １２ １２ ３ ［－３，３］ Ｚ． ∈ 习题1-6 标伸长为原来的 ４ ３ 倍 ， 纵坐标不变 ， 得 Ａ组 （２） 单调递增区间是 é ë ê ê８ ｋ π ＋ １０π ， ８ ｋ π ＋ ３ ９ ３ 到函数ｙ ３ ｘ的图象． １． ． ＝ｓｉｎ （１）Ｄ；（２）Ｄ；（３）Ａ ù ４ ２．略． ２２π ú ú ｋ Ｚ û， ∈ ， ３． 图略．周期Ｔ π 定义域为Ｒ 函数 ９ （１） ＝ ２ [ｋ ； ｋ ； ] ３． （１） 振幅是 ５， 周期是３ ２ π ， 初相是π ８ ． 单调递减区间是 é ê ê８ ｋ π ２π ８ ｋ π ｙ ｘ 在区间 π π π π ｋ ë － ， ＋ ＝ｓｉｎ ４ － ， ＋ （ 先将正弦曲线向左平移 π 个单位长 ３ ９ ３ ２ ８ ２ ８ ù Ｚ 上单调递增 在区间 é ê ê ｋ π π ｋ π ( ) ８ １０π û ú ú ， ｋ ∈ Ｚ． ∈ ） ， ë ＋ ， 度 得到ｙ ｘ π 的图象 再把各 ９ ２ ８ ２ ， ＝ｓｉｎ ＋ ， ３π ù ú ú ｋ Ｚ 上单调递减 当 ｘ ｋ π 点的横坐标缩短为 ８ 原来的 ３ 倍 纵坐 （３） 单调递增区间是 é ë ê ê２ ｋ π － ５π ， ２ ｋ π － ＋ û（ ∈ ） ； ＝ ＋ ， ３ １２ ３ ８ ２ ４ ù π ｋ Ｚ时 ｙ取得最大值 当ｘ ｋ π 标伸长为原来的 ５ 倍 ， 得到函数 ｙ ＝ π ú ú ｋ Ｚ ， ∈ ， １； ＝ ( ) û， ∈ ， ８ ２ ３ ｘ π 的图象． １２ ５ｓｉｎ ＋ [ ｋ ｋ ] π ｋ Ｚ时 ｙ取得最大值 值域为 ４ ８ 单调递减区间是 ２ π π ２ π π － ， ∈ ， －１； － ， ＋ ， ８ 振幅是３ 周期是 初相是 π． ３ １２ ３ ４ ． （２） ， １０π， － ｋ Ｚ． ［－１，１］ ４ ７ ∈ ５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等é §8 三角函数的简单应用 （４） 单调递增区间是 ë ê ê ４ ｋ π－ ２ ３ π ，４ ｋ π＋ ３． （１） { － ３ １ ；（２）－ ３；（３） π ３ ． } 练习（第 ６７ 页） ù ４． ｘ ｋ ｘ ｋ π ｋ Ｚ ( ) ４ ３ π û ú ú ， ｋ ∈ Ｚ ， （１） ｘ ｘ π ｋ ＜ ＜ ｋ π＋ Ｚ ２ ， ∈ ； １． （１） ｙ ＝８００＋１００ｓｉｎ π ６ ｔ － ２ ３ π ． （２）｛ ｜ ＝ π， ∈ ｝； 略． é { } （２） 单调递减区间是 ê ê ｋ ４π ｋ ｘ ｋ π ｘ ｋ ｋ Ｚ ． 习题1-8 ë４ π＋ ，４ π＋ （３） π－ ＜ ＜ π， ∈ ３ ２ { ｋ } Ａ组 ù ú ５．定义域是 ｘ Ｒ ｘ π π ｋ Ｚ １０π û ú ， ｋ ∈ Ｚ． ∈ ≠ ６ ＋ ３ ， ∈ ， １． Ｔ １ ． ３ （１） ＝ ５． 使 ｙ 取得最小值的 ｘ 的集合是 周期为π ５ （１） ３ ， 当 ｔ 时 Ｉ 当 ｔ １ 时 Ｉ { } (ｋ ｋ ) （２） ＝０ ， ＝０； ＝ ， ＝ ｘ ｘ ｋ １１ ｋ Ｚ 最小值是 ３． 单调递增区间是 π π π π ｋ ２００ ＝ － ， ∈ ， － － ， ＋ ， １２ ２ ３ ６ ３ ６ π 当ｔ １ 时 Ｉ π { Ｚ． ５ｓｉｎ ； ＝ ， ＝５ｓｉｎ ； 使ｙ取得最大值的ｘ的集合是 ｘ ｘ ∈ ２０ １００ １０ ＝ ６． ° ° （１）ｔａｎ１３８ ＜ｔａｎ１４３ ； 当ｔ ３ 时 Ｉ ３π 当ｔ １ 时 Ｉ } ( ) ( ) ＝ ， ＝５ｓｉｎ ， ＝ ， ＝ ｋ ５ ｋ Ｚ 最大值是 ３ １１π １３π ． ２００ ２０ ５０ － ， ∈ ， ； （２）ｔａｎ － ＜ｔａｎ － １２ ２ ４ ５ π． 使 ｙ 取得最小值的 ｘ 的集合是 习题1-7 ５ｓｉｎ （２） ５ { ｋ } Ａ组 ｘ ｘ ４ π ｋ Ｚ 最小值是 ２． １ １ ． ＝ ５ ， ∈ ， －６， １． ． （１） ２ ；（２） π ；（３）５π １ { ３．画图略． ｔ 时 ｈ 所以开 使ｙ取得最大值的ｘ的集合是 ｘ ｘ （１） ＝０ ， （０）＝ ２， ＝ ２． α ４ １７ α １７ α ． ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝－ ，ｔａｎ ＝－４ 始时 小球在 处 ｋ } １７ { １７ } ， （０， ２） ； Ｂ ４ 组 ５ π － ２ ５ π ， ｋ ∈ Ｚ ， 最大值是 ６ ． ３．定 周期 义 是 域是 ． ｘ ∈ Ｒ ｘ ≠ π ３ ＋ ｋ π， ｋ ∈ Ｚ ， 低 （２ 位 ） 小 置 球 时 位 ｈ ＝ 于 － 最 ２ 高 ｃｍ 位 ； 置时 ｈ ＝２ ｃｍ， 最 π Ｔ { } （３） ＝２π ｓ； １．Ａ ω １ φ ５π． ４．定义域是 ｘ Ｒ ｘ ３π ｋ ｋ Ｚ ＝４， ＝ ， ＝ ∈ ≠ ＋ π， ∈ ， １ 次／ ． ２ ４ １０ （４） ｓ ( ) ( ) ２π ２．先将函数 ｙ πｘ １ 图象上各 单调递增区间是 ｋ ７π ｋ ３π ｋ Ｚ． Ｂ组 ＝２ｃｏｓ ＋ π－ ， π＋ ， ∈ ３ ２ １０ １０ ( ) ５．无数个． １．ｙ πｘ ９π 周期为 振幅 点的横坐标变为原来的 ３ 倍 纵坐标 ＝６ｓｉｎ － ＋２１， １４， ， [ ) ７ １４ π ６． ｋ π ｋ π ｋ Ｚ 为 当ｘ 时 平均气温达到最大值 æ （１） π－ ， π＋ ， ∈ ； ６， ＝８ ， 变为原来的一半 ， 得到函数 ｙ ＝ｃｏｓ ç è ｘ ＋ [ ｋ π ４ ｋ π ２ ) ｋ Ｚ． ２７ ℃， ． 当 答 ｘ 案 ＝ 不 １ 时 唯 ， 一 平均气温达到最小值 （２） π＋ ， π＋ ， ∈ １５ ℃ （ ） ö ( ３ ) ２ ( ) 复习题一 １ ÷的图象 再将图象向右平移 １ 个 ２ ø ， ２ ７． （１）ｔａｎ － π ＞ｔａｎ － ３π ； Ａ组 ５ ７ 单位长度 ， 得到函数ｙ ＝ｃｏｓ ｘ的图象． （２）ｔａｎ１５１９ ° ＞ｔａｎ１４９３ °． １． ２ ． ６２ ｒａｄ；３２ ． ７１ ｃｍ ２ ；１３ ． ０８ ｃｍ ． ３． ． Ｂ组 ２． Ｃ （１）ｃｏｓ２－ｓｉｎ２＜０； ４． ．理由略． １．略． ． Ａ （２）ｓｉｎ３ｃｏｓ４ｔａｎ５＞０ { } ２． θ ｋ π θ ｋ π ｋ Ｚ §7 正切函数 （１） π－ ＜ ＜ π＋ ， ∈ ； ３．当α为第二象限角时 α ５ α ４ ２ ，ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ { } ５ 练习（第 页） θ ｋ π θ ｋ １１π ｋ Ｚ ６４ （２） ２ π＋ ＜ ＜２ π＋ ， ∈ ； ２ ５ α １ 当 α为第四象限 ６ ６ ＝－ ，ｔａｎ ＝－ ； １． ３ ． { ５ ２ （１） ３；（２）－ ３；（３）－ ；（４）１ θ ｋ π θ ｋ π或 ｋ { ３ } （３） ２ π－ ６ ＜ ≤２ } π＋ ３ ２ π＋ 角时 ，ｓｉｎ α ＝－ ５ ，ｃｏｓ α ＝ ２ ５ ，ｔａｎ α ＝ ２． （１） 定义域是 ｘ ｘ ≠ ｋ π＋ ５π ， ｋ ∈ Ｚ ， ２π ≤ θ ＜２ ｋ π＋ ７π ， ｋ ∈ Ｚ ． ５ ５ ６ ３ ６ １ ． 周期是 ３． － π； （１）（０，０），（π，０），（２π，０）； ２ { ｋ } 定义域是 ｘ ｘ π π ｋ Ｚ ｘ π和 ｘ ３π ４． ． ３＋ ３ ． （２） ≠ ＋ ， ∈ ， （２）０＜ ＜ π＜ ＜ ； （１）０；（２）１０７７；（３）－ ；（４）－１ ４ ８ ２ ２ ６ { 周期是π （３）｛０，π，２π｝； ５． ｘ ｘ ｋ π 且 ｘ ｋ π ｘ ； （１） ≠ π＋ ≠ π＋ ， ∈ ４ π ｘ 和３π ｘ ２ ４ { （４） ＜ ＜π ＜ ＜２π； } 定义域是 ｘ ｘ ｋ ２π ｋ ２ ２ Ｒ ｋ Ｚ ． （３） ≠２ π＋ ， ∈ [ ) ( ] ， ∈ ３ 在区间 π 和 ３π 上都是 } （５） ０， ，２π { Ｚ 周期是 ． ２ ２ ｘ ｘ ｋ π且ｘ ｋ ５π ｘ ， ２π 增函数． （２） ≠２ π－ ≠２ π－ ， ６ ６ ６ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等教材习题答案 } ( ) ( ) ( ) Ｒ ｋ Ｚ ． １２． ｙ ｘ π Ａ Ｔ ２π φ ｆ ２π ｆ π 的示意图如图 ∈ ， ∈ （１） ＝ｓｉｎ ５ － ， ＝１， ＝ ， ＝ ＝－ ： ６ ５ ３ ６ { } ｘ ｘ ｋ π ｘ Ｒ ｋ Ｚ ． π 说明略． （３） ≠ π＋ ， ∈ ， ∈ － ， ３ ６ Ｒ． ( ｘ ) （４） ｙ π Ａ Ｔ ６． 不成立 不成立 成立 （２） ＝２ｓｉｎ ＋ ， ＝２， ＝１２π， （１） ；（２） ；（３） ； ６ ４ ( ) （４） 不成立． φ ＝ π ， 说明略． 所以 ｆ π ３ ＝０， 且周期大于２ ３ π．因为 ７． 使 ｙ 取得最大值的 ｘ 的集合是 ４ ( ) ( ) （１） { ｘ ｘ ＝ ｋ π＋ π ， ｋ ∈ Ｚ } ， 最大值是 １３． （１）ｓｉｎ ３２ ５ π ＞ｓｉｎ ２７ ４ π ； ｆ π ２ ＝ ｆ ２ ３ π ， 所以函数的最大值在 ２ ° ° １ 使ｙ取得最小值的ｘ的集合是 （２）ｃｏｓ（ ( －２０３ ) ７ ）＞ｃ ( ｏｓ８５２ ) ； π ＋ ２π Ｔ { ２＋ π ， } （３）ｔａｎ － １８ ７ π ＞ｔａｎ － ４３ ８ π ． 两点的中点 ， 即 ２ ２ ３ ＝ ７ １ π ２ ， 所以 ４ ＝ ｘ ｘ ＝ ｋ π－ π ２ ， ｋ ∈ Ｚ ， 最小值是 １４． （１） 第二象限或第四象限 ； ７π － π ， 即Ｔ ＝π ． 第三象限或第四象限或 ｙ 轴负 １２ ３ １ ． （２） ２． 提示 画出数据的散点图 观察发 ２－ 半轴 （１） ： ， π ； 现ｙ ｆ ｘ 可以近似看成ｙ Ａ ωｔ Ｋ． 使ｙ取得最大值的ｘ的集合是 ｘ ｘ 第二象限或第三象限或第四 ＝ （ ） ＝ ｓｉｎ ＋ （２） ｛ ｜ （３） 由题表中数据可以看到 水深最大 象限 （２） ； ｋ ｋ Ｚ 最大值是 ７ ． ； 值为 最小值为 且间隔 达到 ＝２ π－π， ∈ ｝， 第二象限或第三象限或第四象限 １３， ７， １２ ｈ ２ （４） 使ｙ取得最小值的 ｘ 的集合是 ｘ ｘ 或ｘ轴负半轴或ｙ轴负半轴． 一次最大值．所以 Ｋ １３＋７ Ａ ｛ ｜ ＝ ＝ ＝１０， ＝ Ｂ组 ２ ｋ ｋ Ｚ 最小值是 １ ． ２ π， ∈ ｝， － １３－７ Ｔ ２π 解得ω π． ２ １． ５ ． ＝３， ＝ ω ＝１２， ＝ 使 ｙ 取得最大值的 ｘ 的集合是 ｒａｄ ２ ６ （３） ２ { ｋ } [ ] 所以ｆ ｔ πｔ ｔ ． ｘ ｘ ８ π ｋ Ｚ 最大值是 ２． ｙ ｙ ２ ． （ ）＝３ｓｉｎ ＋１０（０≤≤２４） ＝ ＋π， ∈ ， ３， （１） ∈［－１，５］；（２） ∈ －４， ６ ３ { { ３ } 要想船舶安全 深度 ｆ ｔ ． 即 ， （ ）≥４ ５＋７， 使ｙ取得最小值的ｘ的集合是 ｘ ｘ ３． ｘ ｋ ３π ｘ ｋ ５π ｋ Ｚ ＝ （１） ２ π＋ ≤ ≤２ π＋ ， ∈ ； ｆ ｔ ． ． ４ ６ （ ）≥１１５ ｋ } { } ８ π π ｋ Ｚ 最小值是 ． ｘ ｋ π ｘ ｋ π ｋ Ｚ ． 所以 π ｔ ． 即 π ｔ － ， ∈ ， －３ （２） π－ ≤ ≤２ π＋ ， ∈ ３ｓｉｎ ＋１０≥１１ ５， ｓｉｎ ≥ ３ ３ ３ ２ ６ ６ { } ４．略． ８． ｘ ３π ｘ ７π １ 所以 ｋ ｔ ｋ ｋ Ｚ ． （１） ＜ ＜ ； ５．略． ， １２ ＋１≤≤１２ ＋５（ ∈ ） ４ ４ ２ { } 因为 ｔ 所以当ｋ 时 ｔ ｘ π ｘ 或３π ｘ ． ６． 最小正周期为２π ． ０≤ ≤２４， ＝０ ，１≤ ≤ （２） ＜ ＜π ＜ ＜２π （１） ＝π 当ｋ 时 ｔ ． ２ ２ ２ ５； ＝１ ，１３≤≤１７ [ ] 故船 舶 安 全 进 港 的 时 间 段 为 ９． 当ｘ π 时 ｙ ｘ ｙ ｘ 令 ｋ π ｘ π ｋ π ｋ （１） ∈ ，π ， ＝ｓｉｎ ， ＝ｃｏｓ （２） ２ π－ ≤２ ＋ ≤２ π＋ ， ∈ ２ ２ ４ ２ ．又 １：００～５：００，１３：００～１７：００ １７－１＝ 都是单调递减 ； Ｚ 解得ｋ ３π ｘ ｋ π ｋ Ｚ 所以船欲当天安全离港 在港内停 [ ] ， π－ ≤ ≤ π＋ ， ∈ ， １６， ， 当ｘ π 时 ｙ ｘ 单调递 ８ ８ 留的时间最多不能超过 小时． （２） ∈ ０， ， ＝ｓｉｎ 故函数 ｆ ｘ 的单调递增区间为 １６ ２ （ ） é ù 增 ｙ ｘ单调递减． [ ] ３．êê ２úú． ， ＝ｃｏｓ ｋ ３π ｋ π ｋ Ｚ． ë－１， û ( ｘ ) π－ ， π＋ ， ∈ ２ １０． （１） 函数 ｙ ＝ ３ｃｏｓ ＋ π 在区间 ８ ８ [ ] 提 示 ： ① 化 简 ， 得 ｆ （ ｘ ） [ ] ２ ４ （３） 当 ｘ ∈ ０， π 时 ， ２ ｘ ＋ π ∈ { ｘ ｘ ｘ ４ ｋ π－ π ，４ ｋ π＋ ３π （ ｋ ∈ Ｚ ） 上单调 [ ] ２ ４ ＝ ｃｏｓ ｘ ，ｓｉｎ ｘ ≥ｃｏｓ ｘ． ， ２ ２ π ５π 故当 ｘ π ５π 即 ｘ π ｓｉｎ ，ｓｉｎ ＜ｃｏｓ [ ] ， ， ２ ＋ ＝ ， ＝ 数形结合． 递减 在区间 ｋ ５π ｋ π ｋ ４ ４ ４ ４ ２ ② ， ４ π－ ，４ π－ （ 时 函数取得最小值 且最小值为 ２ ２ ， ， ２× 第二章 平面向量及其应用 Ｚ 上单调递增 æ ö ∈ ） ； ç ２÷ ( ) è－ ø＝－１； 函数 ｙ １ ｘ ４π 在区间 ２ §1 从位移、速度、力到向量 （２） ＝ ｓｉｎ ３ － ５ ３ 当 ｘ π π 即ｘ π时 函数取得最 [ ｋ ｋ ] ２ ＋ ＝ ， ＝ ， 思考交流（第 页） ２ π ５π ２ π １１π ｋ Ｚ 上单调 ４ ２ ８ ７８ ＋ ， ＋ （ ∈ ） １．情境 反映的物理量是位移 情境 反 ３ １８ ３ １８ 大值 且最大值为 ． １ ， ２ ， ２ 递增 在区间 é ê ê２ ｋ π １１π ２ ｋ π １７π ù ú ú Ｃ组 映的物理量是速度 ， 情境 ３ 反映的物理 ， ë ＋ ， ＋ û 量是力 这三个物理量的共同特点是既 ３ １８ ３ １８ １． ． ， π ｋ Ｚ 上单调递减． 提示 满 足 条 件 ｆ ｘ 在 区 间 有大小 又有方向． （ ∈ ） ： （ ） ， １１． 偶函数 偶函数 奇函数 [ ] ( ) ２．具有类似性质的物理量还包括 加速 （１） ；（２） ；（３） ； π π 上具有单调性 且 ｆ π ： 非奇非偶函数． ， ， ＝ 度 力矩 动量等． （４） ６ ２ ２ 、 、 ７ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等练习（第 页） ３． ２． ７９ １． ３． →ＡＣ ０． （１） ；（２） ４．如图所示．→ＡＢ表示小船向正东方向行驶 ２． 了 Ｂ→Ｃ表示小船向正北方向行驶 ４． 与向量Ｏ→Ａ相等的向量为Ｅ→Ｆ Ｃ→Ｂ １０ ｋｍ， （１） ， ， 了 ． 则→ＡＣ表示小船两次位移的 Ｄ→Ｏ 与向量Ｏ→Ｂ相等的向量为Ｄ→Ｃ →ＦＡ １７３ ｋｍ， ； ， ， 合位移． Ｅ→Ｏ 与向量Ｏ→Ｃ相等的向量为Ｅ→Ｄ ， ， →ＡＢ Ｆ→Ｏ． ， 练习（第 页） 与向量Ｏ→Ｄ共线的向量为Ｄ→Ｏ Ｅ→Ｆ ８１ （２） ， ， １．不一定． Ｆ→Ｅ Ｃ→Ｂ Ｂ→Ｃ Ｏ→Ａ Ａ→Ｏ Ａ→Ｄ Ｄ→Ａ 与向量Ｏ→Ｅ ， ， ， ， ， ， ； ２． （１）✕ ． （２）✕ ． （３）√ ． （４）√ ． （５）✕ ． 共线的向量为Ｅ→Ｏ ， Ｏ→Ｂ ， Ｂ→Ｏ ， Ｄ→Ｃ ， Ｃ→Ｄ ， →ＡＦ ， ３．依题意 连接ＭＮ ＡＮ ＢＮ ＭＣ ＭＤ 则 ， ， ， ， ， ， →ＦＡ Ｅ→Ｂ Ｂ→Ｅ 与向量Ｏ→Ｆ共线的向量为 相等的向量共有 对 模长为 的向 ， ， ； ２４ ； １ Ｆ→Ｏ Ｏ→Ｃ Ｃ→Ｏ Ｅ→Ｄ Ｄ→Ｅ →ＡＢ →ＢＡ Ｆ→Ｃ Ｃ→Ｆ． 在 ＡＢＣ中 →ＡＢ Ｂ→Ｃ ． 量有 对 其中与Ａ→Ｍ同向的共有 ５． ， ， ， ， ， ， ， ， Ｒｔ△ ，｜ ｜＝１０，｜ ｜＝１７３， １８ ； ６ 所以 →ＡＣ →ＡＢ ２ →ＡＢ ２ 对 与Ａ→Ｍ反向的也有 对 与Ａ→Ｄ同向的 ｜ ｜＝ ｜ ｜ ＋｜ ｜ ≈２０， ， ６ ； Ｂ→Ｃ 共有 对 与Ａ→Ｄ反向的也有 对 模为 ＣＡＢ ｜ ｜ ３ ， ３ ； ｔａｎ∠ ＝ ≈ ３， →ＡＢ 的向量共有 对 模为 的向量有 ｜ ｜ ２ ４ ； ２ ＣＡＢ °． 对． ∴ ∠ ≈６０ ２ 答 合位移为小船向北偏东 °方向行 ４． ° °． ： ３０ １２０ ，９０ 驶 ． 因为 ＡＢＣ为正三角形 所以 ＡＢＣ ２０ ｋｍ △ ， ∠ ＝ ° 延长边ＡＢ至点 Ｄ 使 ＡＢ ＢＤ 所 ５．如图所示．→ＡＢ表示其中一个人用了 ６０ ， ， ＝ ， 以→ＡＢ ＝ Ｂ→Ｄ．所以 ∠ ＤＢＣ 为向量→ＡＢ与Ｂ→Ｃ ４５０ Ｎ 的拉力 ， →ＡＣ 表示另一人用了 的夹角 且 ＤＢＣ ° 又因为 Ｅ 为 的拉力 以 ＡＢ ＡＣ 为邻边作 ， ∠ ＝１２０ ， ６００ Ｎ ， ， ＢＣ中点 ， 所以ＡＥ ⊥ ＢＣ ， 所以→ＡＥ与Ｅ→Ｃ所 ▱ ＡＢＤＣ ， 则Ａ→Ｄ表示两人的合力． 成角为 °． 说明 答案不唯一 满足题目要 ９０ ：（３）（４） ， 习题2-1 求即可． Ａ组 Ｂ组 １． １． Ｂ． ２． Ｃ． ３． ° ． １２０ ； ３ ４．略． 在 ＡＢＤ 中 →ＡＢ Ｂ→Ｄ Ｒｔ△ ，｜ ｜ ＝４５０，｜ ｜ ＝ §2 从位移的合成到 所以 Ａ→Ｄ →ＡＢ ２ Ｂ→Ｄ ２ ． ６００， ｜ ｜＝ ｜ ｜ ＋｜ ｜ ＝７５０ 向量的加减法 答 合力的大小为 ． ： ７５０ Ｎ ２． 思考交流（第 页） ６．分析略． （１） ８５ 一般地 我们有 ａ ｂ ａ ｂ ａ λ ， ｜ ｜－｜ ｜≤｜ ＋ ｜≤｜ ｜＋ ７．合力大小为 方向北偏东 θ 且 ｂ ． ５０ Ｎ， － ， ｜ ｜ ２ 当向量ａ与ｂ共线且反向时 ａ ｂ ａ ，｜ ＋ ｜＝｜ ｜ θ ３ ． ｂ 或 ｂ ａ ． ｔａｎ ＝ －｜ ｜（ ｜ ｜－｜ ｜） ４ 当向量ａ与ｂ共线且同向时 ａ ｂ ａ 练习（第 页） ，｜ ＋ ｜＝｜ ｜ ８９ ｂ ． １．略． ＋｜ ｜ 图示略． ２． Ｃ→Ｂ →ＢＡ Ｃ→Ｄ Ｄ→Ｃ． （１） ；（２） ；（３） ；（４） （２） 练习（第 页） 习题2-2 ８７ １． Ａ组 １．ａ ｂ的意义是向北 ｂ ｂ的意义是 ＋ ５ ｋｍ， ＋ 向南 ａ ｃ的意义是向北偏西 ° １０ｋｍ， ＋ ４５ 方向 ａ ｂ ｂ的意义是原地不 １０ ２ ｋｍ， ＋ ＋ 动 ａ ｄ ｄ的意义是向北偏东 °方向 ， ＋ ＋ ４５ ． １０ ２ ｋｍ ８ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等教材习题答案 ２．如图所示．Ｏ→Ａ表示电线ＡＯ所受拉力Ｆ １ 在 Ｒｔ△ ＡＢＣ中 ，｜ →ＡＢ ｜＝３，｜ Ｂ→Ｃ ｜＝４， 度的 ２ 倍． ＝２４ Ｎ， Ｏ→Ｂ表示绳 ＢＯ 所受拉力 Ｆ ２ ＝ 所以 ｜ →ＡＣ ｜＝ ｜ →ＡＢ ｜ ２ ＋｜ Ｂ→Ｃ ｜ ２ ＝５， （２） Ｅ→Ｆ与ａ方向相反 ， 长度是向量ａ长 以 ＯＡ ＯＢ 为邻边作 ＯＡＣＢ 则 １２ Ｎ， ， ▱ ， Ｂ→Ｃ 度的 ２ 倍． ＣＡＢ ｜ ｜ ４ ＣＡＢ °． Ｏ→Ｃ表示Ｆ 和Ｆ 的合力． ｔａｎ∠ ＝ ＝ ，∠ ≈５３ ３ １ ２ →ＡＢ ３ ｜ ｜ Ｏ→Ｐ ７ ａ Ｏ→Ｐ与 ａ 方向相同 长度 雨滴将以 ． 的速度着地 方向是 （３） ＝ ， ， ５０ ｍ／ｓ ， ６ 斜向下 与地面所成角的正切值是 ４ ． 是向量ａ长度的 ７ 倍． ， ３ ６ ３． （１） 如图所示．Ａ→Ｄ表示小汽艇在静水中 ２． （１）４（２ ａ ＋３ ｂ ）＋３（ ａ － ｂ ）－ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ｂ 的速度 →ＡＢ表示河水的流速 以ＡＤ ＡＢ ＝８ ＋１２ ＋３ －３ － ， ， ， ａ ｂ． 根据勾股定理的逆定理知 ＢＯＣ为直 为邻边作 ＡＢＣＤ 则→ＡＣ表示小汽艇在 ＝１１ ＋８ ，△ ▱ ， 角三角形 在 ＢＯＣ 中 Ｏ→Ｂ 河水中的实际运动速度． （２） １ （ ａ ＋２ ｂ ）－ ２ （３ ａ －２ ｂ ）－ ａ ， Ｒｔ△ ，｜ ｜ ＝１２， ４ ３ ｜ Ｂ→Ｃ ｜＝２４， 所以 ｜ Ｏ→Ｃ ｜＝ ｜ Ｂ→Ｃ ｜ ２ －｜ Ｏ→Ｂ ｜ ２ １ ａ １ ｂ ａ ４ ｂ ａ ＝ ＋ －２ ＋ － ． ４ ２ ３ ＝１２ ３ ３．略． １１ａ １１ｂ． ＝－ ＋ ４．略． ４ ６ ３． ｘ ｘ ａ ０ 即 ｘ ｘ ａ ０ ５． ｃ ｆ ｆ ｇ． （１）３ －２（ － ）＝ ， ３ －２ ＋２ ＝ ， （１） ；（２） ；（３） ；（４） 所以ｘ ａ． ６． Ａ→Ｄ →ＡＦ ０ Ａ→Ａ ． ＝－２ （１） ；（２） ；（３） ；（４） １ ｎ ａ ｂ ｂ ｘ ０ 即 ｘ ａ ７．不一定 有可能 Ａ Ｂ Ｃ 三点在一条直 在 ＡＢＣ中 →ＡＢ Ｂ→Ｃ 所 （２）３（ ＋２ ）－４（ － ）＝ ， ４ ＝－３ － ， ， ， Ｒｔ△ ，｜ ｜＝６，｜ ｜＝１２， 线上 此时 构不成三角形． ｂ 所以ｘ ３ ａ １ ｂ． ， ， 以 →ＡＣ →ＡＢ ２ Ｂ→Ｃ ２ ２ ， ＝－ － ｜ ｜＝ ｜ ｜ ＋｜ ｜ ＝６ ５， ４ ２ ８． （１） 如图所示．Ａ→Ｄ表示船速 ， →ＡＢ表示水 Ｂ→Ｃ ４．在 ＡＣＢ中 Ｍ为边ＡＢ的中点 Ｎ为边 ＣＡＢ ｜ ｜ ． △ ， ， 速 表示 ， 以 船 Ａ 实 Ｄ 际 ， Ａ 航 Ｂ 行 为 的 邻 速 边 度 作 ． ▱ ＡＢＣＤ ， 则→ＡＣ ｔａｎ∠ ＝ ｜ →ＡＢ ｜ ＝２ ＡＣ的中点 ， 答 小汽艇在河水中的实际运动速度是 ： 方向与水流方向成α角 其中 ６５ ｋｍ／ｈ， ， α ． ｔａｎ ＝２ 如图所示．Ａ→Ｄ表示小汽艇在静水中 （２） 的速度 →ＡＢ表示河水的流速 以ＡＤ ＡＢ ， ， ， 为邻边作 ＡＢＣＤ 则→ＡＣ表示小汽艇在 ▱ ， （２） 在 Ｒｔ△ ＡＢＣ 中 ，｜ →ＡＢ ｜ ＝２，｜ Ｂ→Ｃ ｜ ＝ 河水中的实际运动速度． 所以Ａ→Ｍ ＝ １→ＡＢ ， Ａ→Ｎ ＝ １→ＡＣ． ２ ２ ２ ３， 所以Ｍ→Ｎ Ａ→Ｎ Ａ→Ｍ １ →ＡＣ １ →ＡＢ ＝ － ＝ － ＝ 所以 ｜ →ＡＣ ｜＝ ｜ →ＡＢ ｜ ２ ＋｜ Ｂ→Ｃ ｜ ２ ＝４， ２ ２ Ｂ→Ｃ １ →ＡＣ →ＡＢ １ Ｂ→Ｃ ＣＡＢ ｜ ｜ 故 ＣＡＢ °． （ － ）＝ ， ｔａｎ∠ ＝ →ＡＢ ＝ ３， ∠ ＝６０ ２ ２ ｜ ｜ 船实际航行速度大小约为 方 所以Ｍ→Ｎ １ Ｂ→Ｃ． ４ ｋｍ／ｈ， ＝ 向与江水的流速方向的夹角为 °． ２ Ｂ组 ６０ 在 Ｒｔ△ ＡＢＣ中 ，｜ →ＡＢ ｜＝６，｜ Ｂ→Ｃ ｜＝１２， ５．如图 因为 →ＡＢ →ＡＣ 分别表示与→ＡＢ ， ， ， →ＡＢ →ＡＢ →ＡＣ １． 足球的位移是→ＡＢ Ｂ→Ｃ →ＡＣ． ＡＢＣ ｜ ｜ １ ｜ ｜ ｜ ｜ （１） ＋ ＝ ｃｏｓ∠ ＝ ＝ ， （２） 中场队员的位移与球的位移相等 ， ｜ Ｂ→Ｃ ｜ ２ →ＡＣ方向相同的单位向量 记 →ＡＢ →ＡＢ′ 所以 ＡＢＣ °． ， ＝ ， 都等于→ＡＣ． ∠ ＝６０ ｜ →ＡＢ ｜ 要使小汽艇沿垂直河岸方向到达对岸 ２．如图所示．Ａ→Ｄ表示无风时雨滴下落的速 →ＡＣ 码头 船头方向应该逆流向上 与水流 →ＡＣ′ ， ， ＝ ， 度 ， →ＡＢ表示风使雨滴以 ３ ． ０ ｍ／ｓ 的速度 成 °角． ｜ →ＡＣ ｜ １２０ 水平向东移动 以 ＡＤ ＡＢ 为邻边作 ， ， ４．向量→ＡＢ是向量Ａ→Ｄ与Ｄ→Ｂ的和 向量Ｄ→Ｂ与 ＡＢＣＤ 则→ＡＣ表示雨滴的实际运动 ， ▱ ， Ｄ→Ａ的差 答案不唯一 ． 速度． （ ） ５． ． °． （１）３；１（２）９０ §3 从速度的倍数到 →ＡＢ →ＡＣ 则 →ＡＢ′ →ＡＣ′ Ａ→Ｑ′ Ａ→Ｑ′表 向量的数乘 →ＡＢ ＋ →ＡＣ ＝ ＋ ＝ ， ｜ ｜ ｜ ｜ 练习（第 ９４ 页） 示以单位向量→ＡＢ′ →ＡＣ′为邻边的平行四 ， １． →ＡＢ与ａ方向相同 长度是向量ａ长 边形的对角线 ＡＣ′Ｑ′Ｂ′是菱形 则 （１） ， ，▱ ， ９ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等Ａ→Ｑ′平分 ∠ Ｂ′ＡＣ′ ， 即Ａ→Ｑ′平分 ∠ ＢＡＣ． →ＡＤ ＝ ｂ ， ｂ ）－ ２ ｂ ＝２ ａ － ５ ｂ． 由Ａ→Ｑ′与→ＡＱ同向共线可得 ， →ＡＱ ＝ λＡ→Ｑ′ （ λ Ｍ→Ｃ ＝ Ｍ→Ｂ ＋ Ｂ→Ｃ ＝ １ ａ ＋ ｂ ， ３ ３ æ →ＡＢ →ＡＣ ö ２ §4 平面向量基本定理及 ≥０）， 于是有→ＡＱ ＝ λ è ç →ＡＢ ＋ →ＡＣ ø ÷ （ λ ≥ Ｍ→Ｎ ＝ Ｍ→Ｂ ＋ Ｂ→Ｎ ＝ １ ａ － １ ａ ＋ １ ｂ ＝ 坐标表示 ｜ ｜ ｜ ｜ ２ ３ ３ ． ( ) 练习（第 页） ０） １ １ ａ ｂ １０１ 命题得证． ＋ ， １．略． ３ ２ 思考交流（第 页） ９７ 所以Ｍ→Ｎ １ Ｍ→Ｃ Ｍ→Ｎ Ｍ→Ｃ 又 Ｍ 为公 ２．→ＡＢ ｅ ｅ Ｃ→Ｄ ｅ ｅ ＝ ， ∥ ， ＝２ ２－２ １； ＝３ １＋３ ２； 当 练习 ｔ ＝ （第 ２ １ 时 ， Ｐ 页 是 ） ＡＢ的中点． Ｂ 共 组 点 ， 故Ｍ ， ３ Ｎ ， Ｃ三点共线． ３． { Ｅ→ ３ Ｆ ｘ ＝ ＝ ２ ４ ｅ ｙ ２ ＋ － ４ ３ ， ｅ 解 １； Ｇ 得 →Ｈ { ＝ ｘ ６ ＝ ｅ ４ １ ． －３ ｅ ２ ． ９７ １． ａ ｂ 向量共线． ａ ｂ 向量共线． １．不一定能构成三角形 当三个向量不共 １０－ ｙ ＝２ ｘ ， ｙ ＝２ ． （１） ， （２） ， ， ａ ｂ向量不共线． 线时能构成三角形 当三个向量中有两 ４．Ｏ→Ｃ ａ Ｏ→Ｄ ｂ Ｄ→Ｃ ｂ ａ Ｂ→Ｃ ａ ｂ． （３） ， ， ＝－ ， ＝－ ， ＝ － ， ＝－ － ２． 点Ｍ在直线ＡＢ上． Ｎ不在直线 个向量共线时不能构成三角形． 练习（第 页） （１） （２） １０４ ＡＢ上． 点Ｇ不在直线ＡＢ上． １． ａ ｂ ａ ｂ （３） ２．因为Ｅ为ＡＤ的中点 所以→ＡＥ １ Ａ→Ｄ． （１） ＋ ＝（０，７）， － ＝（－４，１）； ３． 若Ａ Ｂ Ｃ三点共线 ， ＝ ａ ｂ ａ ｂ （１） ， ， ， ２ （２） ＋ ＝（２，１１）， － ＝（６，－５）； 又Ｆ是ＢＣ的中点 ａ ｂ ａ ｂ 则→ＡＢ λＣ→Ｂ λ ， （３） ＋ ＝（０，０）， － ＝（４，６）； ＝ （ ≠０）， ａ ｂ ａ ｂ ． 所以 ｅ ｋｅ λ ｅ ｅ 所以→ＡＦ １ →ＡＢ →ＡＣ ． （４） ＋ ＝（２，７）， － ＝（２，１） ２ １＋ ２＝ （ １＋３ ２）， ＝ （ ＋ ） ２． ａ ｂ ａ ｂ ． 所以 λ ｋ λ 所以ｋ ． ２ ２ －３ ＝（７，５），４ ＋２ ＝（６，１８） （２） 若 ２＝ Ａ ， Ｂ ， ， Ｄ ＝３ 三点 ， 共线 ， ＝６ 又→ＡＣ ＝ Ａ→Ｄ ＋ Ｄ→Ｃ ， ３． （１） →ＡＢ ＝（－１，－４）， →ＢＡ ＝（１，４）； 则→ＡＢ ＝ λＢ→Ｄ （ λ ≠０）， 所以→ＡＦ ＝ １ （ →ＡＢ ＋ Ａ→Ｄ ＋ Ｄ→Ｃ ）＝ １ （ →ＡＢ ＋ （２） →ＡＢ ＝（９，－１）， →ＢＡ ＝（－９，１）； ２ ２ Ｂ→Ｄ ＝ Ｃ→Ｄ － Ｃ→Ｂ ＝２ ｅ １－ ｅ ２－ ｅ １－３ ｅ ２＝ ｅ １－４ ｅ ２， Ｄ→Ｃ １ Ａ→Ｄ． （３） →ＡＢ ＝（０，２）， →ＢＡ ＝（０，－２）； 所以 ｅ ｋｅ λ ｅ ｅ ）＋ →ＡＢ →ＢＡ ． ２ １＋ ２＝ （ １－４ ２）， ２ （４） ＝（－１，０）， ＝（１，０） 所以 λ ｋ λ 所以ｋ ． ４．Ｆ ． ２＝ ， ＝－４ ， ＝－８ 故Ｅ→Ｆ →ＡＦ →ＡＥ １ →ＡＢ Ｄ→Ｃ ． ＝（１，２） 习题2-3 ＝ － ＝ ２ （ ＋ ） ５．因为→ＡＢ Ｂ→Ｃ Ｂ→Ｃ ＝（１，２）， ＝（２，４）， ＝ Ａ组 →ＡＢ 所以Ｂ→Ｃ与→ＡＢ共线． ２ ， １． ａ表示沿东北方向行驶 １ ａ表 习题2-4 ３ ６ ｋｍ，－ ２ Ａ组 示沿西南方向行驶 ． １ ｋｍ １． 如图所示 延长ＡＤ至点Ｅ 使ＤＥ （１） ， ， ＝ ２． ＡＤ 连接ＢＥ ＣＥ． ， ， ３． （１） ｘ ＝３ ａ － ｂ． ３． （１） 因为→ＡＢ ＝ ｅ １＋ ｅ ２， Ｂ→Ｃ ＝２ ｅ １＋８ ｅ ２， Ｃ→Ｄ ＝ 因为ＢＤ ＝ ＤＣ ， ｘ ７ ａ． ｅ ｅ 所以四边形ＡＢＥＣ为平行四边形 （２） ＝ ３（ １－ ２）， ， ８ 所以Ｂ→Ｄ Ｂ→Ｃ Ｃ→Ｄ ｅ ｅ ｅ ｅ 故→ＡＥ →ＡＢ →ＡＣ （３） ｘ ＝２ ｂ ＋ ｃ － ａ． ＝ ＋ ＝２ １＋８ ２＋３ １－３ ２＝ ＝ ＋ ， ４． （１） 共线 ；（２） 共线 ；（３） 共线． ５（ ｅ １＋ ｅ ２）＝５ →ＡＢ． 即 ２ Ａ→Ｄ ＝ ａ ＋ ｂ ， Ａ→Ｄ ＝ １ （ ａ ＋ ｂ ） ． ５． （１） 因为Ｂ→Ｃ ＝６ ｅ １＋２３ ｅ ２， Ｃ→Ｄ ＝４ ｅ １－８ ｅ ２， 所以→ＡＢ ， Ｂ→Ｄ共线 ， ２ 又有公共点Ｂ 故Ａ Ｂ Ｄ三点共线． 所以Ｂ→Ｄ Ｂ→Ｃ Ｃ→Ｄ ｅ ｅ ｅ ， ， ， ＝ ＋ ＝（６ １＋２３ ２）＋（４ １－ ｋｅ ｅ 与ｅ ｋｅ 共线 ｅ ｅ ｅ ． （２） １＋ ２ １＋ ２ ， ８ ２）＝１０ １＋１５ ２ 存在λ 使ｋｅ ｅ λ ｅ ｋｅ λｅ λｋｅ 又→ＡＢ ＝２ ｅ １＋３ ｅ ２， 所以Ｂ→Ｄ ＝５ →ＡＢ ， 则 （ ｋ － ， λ ） ｅ １＝ １＋ （ λ ２ ｋ ＝ －１ （ ） ｅ １＋ ２ ． ２）＝ １＋ ２， 又→ＡＢ Ｂ→Ｄ共线 且有公共点Ｂ {ｋ λ ， ， ， 由于ｅ 与ｅ 不共线 所以 － ＝０， 故Ａ Ｂ Ｄ三点共线． １ ２ ， λｋ ， ， －１＝０， （２ ｂ ） 因为→ＡＢ ＝ Ｏ→Ｂ － Ｏ→Ａ ＝（ ａ ＋２ ｂ ）－（ ａ ＋ ｂ ） ４． 故 因为 ｋ ＝ Ｆ ±１ Ｇ ． 分别是ＡＢ ＡＣ的中点 则 （２） ｜ Ａ 点 Ｇ ｜ Ｇ ∶ 是 ｜ Ｇ △ Ｄ Ａ ｜ Ｂ ＝ Ｃ ２ 的 ∶ １ 重 ， 心 ， ， ， ， ＝ ， 所以 ＡＧ ＡＤ →ＡＣ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ａ ａ ｂ ａ ｂ ｂ 所以Ｆ→Ｇ １ Ｂ→Ｃ．同理Ｅ→Ｈ １ Ｂ→Ｃ． ｜ ｜ ∶ ｜ ｜＝２ ∶ ３， ＝ － ＝（ ＋３ ）－（ ＋ ）＝２ ， ＝ ２ ＝ ２ 故→ＡＧ ２ Ａ→Ｄ １ ａ ｂ ． 故有→ＡＣ →ＡＢ． ＝ ＝ （ ＋ ） ＝２ 所以Ｆ→Ｇ Ｅ→Ｈ． ３ ３ ＝ 因为→ＡＣ →ＡＢ 且有公共点Ａ 所以Ａ Ｂ 所以四边形ＥＦＧＨ为平行四边形． →ＡＧ １ →ＡＢ →ＡＣ ∥ ， ， ， ， （３） ＝ （ ＋ ）， Ｃ三点共线． ５．由题意 得Ａ是ＢＣ的中点 ３ ， ， 同理Ｂ→Ｇ １ →ＢＡ Ｂ→Ｃ ６．设→ＡＢ ａ Ａ→Ｄ ｂ 由平行四边形法则 得Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ａ． ＝ （ ＋ ）， ＝ ， ＝ ， ， ＋ ＝２ ３ 则Ｂ→Ｄ ＝ →ＢＡ ＋ Ａ→Ｄ ＝－ ａ ＋ ｂ ， 故Ｏ→Ｃ ＝２ Ｏ→Ａ － Ｏ→Ｂ ＝２ ａ － ｂ． Ｃ→Ｇ ＝ １ （ Ｃ→Ｂ ＋ →ＣＡ ）， ３ Ｂ→Ｎ １Ｂ→Ｄ １ ａ １ ｂ Ｍ→Ｂ １ ａ →ＢＣ 又Ｏ→Ｄ ２ Ｏ→Ｂ 所以Ｄ→Ｃ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ｄ ａ ＝ ＝－ ＋ ， ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ － ＝（２ － 所以→ＧＡ Ｇ→Ｂ Ｇ→Ｃ ０． ３ ３ ３ ２ ３ ＋ ＋ ＝ １０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等教材习题答案 ２．如图所示 在 ＡＢＣＤ中 ° ， ▱ ， ＝３０ ， ∴ Ｏ→Ａ ＝（０，５）， Ｏ→Ｂ ＝（４，３） ． 可得 ＦＣＧ °． ( ) ∠ ＝６０ Ｏ→Ｃ １ Ｏ→Ａ ５ ∴ ＝ ＝ ０， ， 所以 Ｃ→Ｅ Ｃ→Ｇ ° ３ ４ ４ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ｃｏｓ ３０ ＝１００× ＝ ( ) ２ 点Ｃ的坐标为 ５ ． ∴ ０， ５０ ３（Ｎ）， ４ ( ) →ＡＢ ＝ Ａ→Ｏ ＋ Ｏ→Ｂ ＝ １→ＡＣ － １ Ｂ→Ｄ ＝ １ （ ａ － ｂ ）， ｜ Ｃ→Ｆ ｜＝｜ Ｃ→Ｇ ｜ｃｏｓ６０ ° ＝１００× ２ １ ＝５０（Ｎ） ． 同理可得点Ｄ的坐标为 ２， ３ ２ ． ２ ２ ２ 所以Ａ处所受力大小为 Ｂ 处 设点Ｍ （ ｘ ， ｙ ）， ５０ ３ Ｎ， Ｂ→Ｃ ＝ →ＡＣ － →ＡＢ ＝ ａ － ２ １ （ ａ － ｂ ）＝ ａ － ２ １ ａ ＋ 所受力大小为 ５０ Ｎ ． 则Ａ→Ｍ ( ＝（ ｘ ， ｙ －５）， ) ( ) ６． ． ２ １ ｂ ＝ ２ １ （ ａ ＋ ｂ ） ． ７． （ － ０ ４ ， ０ ０ ｉ ＋ ） ２ ， ６ （ ｊ － ． ２，４），（－５，１０） Ａ→Ｄ ＝ ２－０， ３ ２ －５ ＝ ２，－ ２ ７ ． ３．如图 设→ＡＣ表示飞机速度 →ＡＢ Ａ→Ｄ分别 ８． （－６，２） ． 因为Ａ ， Ｍ ， Ｄ共线 ， 所以Ａ→Ｍ与Ａ→Ｄ共线 ， ， ， ， ９．如图所示 设ａ ａ ａ ｂ ｂ ｂ 表示飞机水平方向和竖直方向的速度 ， ｃ ｃ ｃ ， ｄ ＝ ｄ （ １ ｄ ， ２ ． ）， ＝（ １， ２）， 则 － ７ ｘ －２（ ｙ －５）＝０， 即 ７ ｘ ＋４ ｙ ＝２０ ． ① 则 ｜ →ＡＣ ｜＝８０， 且→ＡＣ ＝ →ＡＢ ＋ Ａ→Ｄ ， ＝（ １， ２）， ＝（ １， ２） ２ ( ) 易得Ｃ→Ｍ ｘ ｙ ５ ＝ ， － ， ４ ( ) ( ) Ｃ→Ｂ ５ ７ ＝ ４－０，３－ ＝ ４， ， ４ ４ 因为Ｃ Ｍ Ｂ共线 所以Ｃ→Ｍ与Ｃ→Ｂ共线． ， ， ， ( ) 故 ７ ｘ ｙ ５ 在 ＡＢＣ中 ＢＡＣ ° →ＡＢ －４ － ＝０， Ｒｔ△ ，∠ ＝３０ ，｜ ｜ ＝８０ ４ ４ 即 ｘ ｙ ． ３ ７ －１６ ＝－２０② × ＝４０ ３， ａ ａ ° ３ ３ ３ ２ （１） １＝｜ ｜ｃｏｓ３０ ＝３× ２ ＝ ２ ， 联立 ①② 解得ｘ ＝ １２ ， ｙ ＝２ ． ｜ Ａ→Ｄ ｜＝｜ Ｂ→Ｃ ｜＝８０× １ ＝４０ ． ａ ａ ° １ ３ ( ７ ) ２ ２＝｜ ｜ｓｉｎ３０ ＝３× ２ ＝ ２ ， 故点Ｍ的坐标为 １２ ． 故飞机起飞时沿水平和垂直方向的速 ，２ æ ö ７ 所以ａ ç３ ３ ３ ÷． 度分别为 和 ． ＝è ， ø ４． →ＡＢ ４０ ３ ｍ／ｓ ４０ ｍ／ｓ ２ ２ （１） ＝（４，１）－（０，１）＝（４，０）， ４．Ｂ→Ｄ Ａ→Ｄ →ＡＢ ｂ ａ æ ö →ＡＣ ＝ － ＝ － ， ｂ ｂ ° ç ２÷ ＝（－１，２）－（０，１）＝（－１，１）， （２） １＝｜ ｜ｃｏｓ１３５ ＝４×è－ ø＝－２ ２， ２ 因为 所以→ＡＢ与→ＡＣ不 ４×１－（－１）×０≠０， 共线 即Ａ Ｂ Ｃ三点不共线． ｂ ｂ ° ２ ， ， ， ２＝｜ ｜ｓｉｎ１３５ ＝４× ＝２ ２， ２ Ｄ→Ｅ Ｄ→Ｆ 所以ｂ ． （２） ＝（－１，５）－（１，１）＝（－２，４）， ＝（－２ ２，２ ２） ( ) ＝（３，－３）－（１，１）＝（２，－４）， 因为Ｏ是ＢＤ的中点 ， Ｇ是ＤＯ的中点 ， （３） ｃ １＝｜ ｃ ｜ｃｏｓ２４０ ° ＝３× － １ ＝－ ３ ， 因为 －２×（－４）－２×４＝０， 所以Ｄ→Ｅ ∥ Ｄ→Ｆ ， ２ ２ 即Ｄ Ｅ Ｆ三点共线． 所以Ｂ→Ｇ ３ Ｂ→Ｄ ３ ｂ ａ æ ö ， ， ＝ ＝ （ － ）， ｃ ｃ ° ç ３÷ ３ ３ ４ ４ ２＝｜ ｜ｓｉｎ２４０ ＝３×è－ ２ ø＝－ ２ ， （３） Ｇ→Ｈ ＝（３，５）－（１，１）＝ （２，４）， →ＧＬ ＝ 所以→ＡＧ ＝ →ＡＢ ＋ Ｂ→Ｇ ＝ ａ ＋ ３ （ ｂ － ａ ）＝ １ ａ ＋ æ ö （－２，－５）－（１，１）＝（－３，－６）， ４ ４ 所以ｃ ç ３ ３ ３÷． ＝è－ ，－ ø 因为 故Ｇ→Ｈ →ＧＬ ３ ｂ． ２ ２ ２×（－６）－（－３）×４＝０， ∥ ， 即Ｇ Ｈ Ｌ三点共线． ４ ｄ ｄ ° ２ ， ， ５．如图所示 设Ｃ→Ｅ Ｃ→Ｆ分别表示Ａ Ｂ处所 （４） １＝｜ ｜ｃｏｓ（－４５ ）＝４× ２ ＝２ ２， ， ， ， §5 从力的做功到 æ ö 受的力 重力用Ｃ→Ｇ Ｇ 与 Ｗ 重合 表示 ｄ ｄ ° ç ２÷ ， （ ） ２＝｜ ｜ｓｉｎ（－４５ ）＝４×è－ ø＝－２ ２， 向量的数量积 为 则Ｃ→Ｅ Ｃ→Ｆ ２ １０ ｋｇ×１０ Ｎ／ｋｇ＝１００ Ｎ， ＋ 所以ｄ ． 练习（第 页） ＝（２ ２，－２ ２） １０９ ＝ Ｃ→Ｇ． Ｂ组 １． 或 ． ２ －２ １．ａ ｂ λ λ ２． 或 ． ＋２ ＝（１，２）＋２（ ，１）＝（１＋２ ，４）， （１）－４；（２）０；（３）８ －８ ａ ｂ λ λ ３．钝角三角形． ２ －２ ＝２（１，２）＋２（ ，１）＝（２－２ ，２）， 又ａ ｂ与 ａ ｂ共线 [ (ａ ａ) ] ＋２ ２ －２ ， ４．因为 ａ ｃ ａ ａ · ｂ ａ２ · ＝ · － ａ ｂ ＝ － λ λ λ １ ． · ∴２（１＋２ ）－４（２－２ ）＝０，∴ ＝ (ａ ａ) ２ · ａ ｂ ａ２ ａ ａ 而且ａ ｂ ｃ ａ ｂ · ＝ － · ＝０， ， ， ２．因为→ＡＣ →ＡＢ Ａ→Ｄ · 因为 ＡＣＧ ° ＢＣＧ ° ＝ ＋ ， ａ ｃ 所以 ∠ ∠ ＢＣＥ ＝ ＝ １ ∠ ５０ ＡＣ ， Ｂ ∠ ＝３６０ ° ＝ － １ １ ２ ５ ０ ０ ° ， －１２０ ° 所以Ａ→Ｄ ＝ →ＡＣ － →ＡＢ ＝（－１，－１）， 均为非零向量 ， 所以 ｃｏｓ􀎮 ａ ， ｃ 􀎯＝ ｜ ａ · ｜｜ ｃ ｜ ° Ｂ→Ｄ Ａ→Ｄ →ＡＢ ． ＝９０ ， ＝ － ＝（－３，－５） ．即向量 ａ 与 ｃ 的夹角为 π 所以 故 ＥＣＧ ＢＣＧ ＢＣＥ ° ° ３． Ｏ Ａ Ｂ ＝０ ， ∠ ＝∠ －∠ ＝１２０ －９０ ∵ （０，０）， （０，５）， （４，３）， ２ １１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等ａ ｃ． ７．略． 思考交流（第 页） ⊥ １１９ 练习（第 页） Ｂ组 略． １１１ １． 不垂直 垂直 不垂直 １． °． 通过画图 直观判断 练习（第 页） （１） ；（２） ；（３） ； ３０ （ ， ） １２０ 垂直． ２．两向量的数量积大于 时 它们的夹角 （４） ０ ， １．π． ２． °． 在 ° 之间 两向量的数量积等于 ６０ ［０，９０ ） ， ０ ６ 时 它们的夹角为 ° 两向量的数量积 ２． ． ３．→ＡＢ ＝（－１，１）， →ＡＣ ＝（－３，３）， →ＡＢ · →ＡＣ ＝３ ， ９０ ， Ｄ 小于 时 它们的夹角在 ° ° ． ３．边长为 Ｒ 半径为Ｒ． 所以→ＡＢ →ＡＣ 即 ＡＢ ＢＣ 所以 ０ ， （９０ ，１８０ ］ ３ ， －３＝０， ⊥ ， ⊥ ， 可以利用平面向量的数量积求功等． ＡＢＣ为直角三角形． ４．３１． △ ２ ４ 练 ． 习 ２ （第 １１３ 页） ３ ４ ． ． （ 令 １） μ － ３ ２ ａ ；（ ｂ ２） １ ３ υ １ ；（３ ｃ ） ３ ｄ ± ２ θ １ 为 ３． 向量 μ υ １ 练 ．证 习 明 （第 略 １ ． ２２ 页） １． １２０ °． 的夹 ＝ 角 （ ， ）， ＝（ ， ）， ， 提示 ： 分别在 △ ＡＢＤ ，△ ＡＢＣ 中使用余 ２． （１）２０；（２）８４ ． 则μ υ ， μ υ θ 弦定理． ３． ａ ｂ 已知平行四边形两条对角 · ＝｜ ｜｜ ｜ｃｏｓ ， 练习（第 页） （１） · ＝１， ａｃ ｂｄ ａ２ ｂ２ ｃ２ ｄ２ θ １２３ 线的长． ∴ ＋ ＝ ＋ · ＋ ·ｃｏｓ ， １． ． ． ａｃ ｂｄ ２ ａ２ ｂ２ ｃ２ ｄ２ ２θ． ５９８２ ａ ｂ 已知平行四边形两条对角 ∴ （ ＋ ） ＝（ ＋ ）（ ＋ ）·ｃｏｓ 练习（第 页） （２） · ＝２， ２θ １２５ 线的长之比为 所以对角线互相 ∵ ｃｏｓ ≤１， １． 约 ． 约 ． 约 ３， ａｃ ｂｄ ２ ａ２ ｂ２ ｃ２ ｄ２ （１） １０ ４ ｃｍ；（２） ２７ ５ ｃｍ；（３） 垂直． ∴ （ ＋ ） ≤（ ＋ ）（ ＋ ）， ． 约 ． ． 当且仅当 ２θ 即θ 或θ 即 ４３９ ｃｍ；（４） ２２５ ｃｍ ａ ｂ 矩形对角线互相相等． ｃｏｓ ＝１， ＝０ ＝π， ２． ． （３） · ＝０， μ υ时等号成立． １５ ｋｍ 习题2-5 ∥ 练习（第 页） １２７ Ａ组 §6 平面向量的应用 １．已知 ： ＥＦ为梯形ＡＢＣＤ的中位线．求证 １． 不一定． 因 （１ 为 ） ａ ｂ ａ ｃ 所以 ａ ｂ α 思考交流（第 １１６ 页） ＥＦ ＝ ２ １ （ ＡＢ ＋ ＤＣ ） ． · ＝ · ， ｜ ｜ ｜ ｜ｃｏｓ ＝ 延长ＤＣ交ＡＢ的延长线于Ｅ． 证明 如图所示． ａ ｃ β 其中α β分别为ａ与ｂ ａ ： ｜ ｜｜ ｜ｃｏｓ （ ， ， 与ｃ的夹角 ． ） 如果 ａ 那么无论 ｂ ｃ 是否相 ① ｜ ｜ ＝０， ， 等 等式均成立 ， ； 如果 ａ 那么 ｂ α ｃ ② ｜ ｜≠０， ｜ ｜ｃｏｓ ＝｜ ｜· β． ｃｏｓ Ｅ→Ｂ →ＥＡ →ＡＢ Ｅ→Ｃ Ｅ→Ｄ Ｄ→Ｃ． 因为 α与 β不一定相等 因为ＢＣ ＡＢＣ ° ＢＥＣ °． ＝ ＋ ， ＝ ＋ ｃｏｓ ｃｏｓ ， ＝１，∠ ＝９０ ，∠ ＝４５ 因为Ｅ为ＡＤ的中点 →ＥＡ Ｅ→Ｄ ０ 所以 ｂ 与 ｃ 不一定相等． 所以ＢＥ ＣＥ ． ， ＋ ＝ ， ｜ ｜ ｜ ｜ ＝１， ＝ ２ 故ｂ与ｃ也不一定相等． ＢＤ２ ＢＥ２ ＤＥ２ ＢＥ ＤＥ ° 所以Ｅ→Ｂ ＋ Ｅ→Ｃ ＝ →ＡＢ ＋ Ｄ→Ｃ ， ＝ ＋ －２ · ·ｃｏｓ４５ （２） 若三个向量中至少有一个为零向 ＝１＋１＋２ ２＋２－ ２×（ ２＋１） Ｆ为ＢＣ的中点 ， 故Ｅ→Ｆ ＝ １ （ Ｅ→Ｂ ＋ Ｅ→Ｃ ）＝ 量 那么等式成立 ２ ， ； 若三个向量均为非零向量 设向量ａ与 ＝４＋２ ２－２－ ２ １ →ＡＢ Ｄ→Ｃ ． ， ． （ ＋ ） ｂ夹角为α 向量ｂ与ｃ的夹角为β ＝２＋ ２ ２ 由向量数量 ， 积运算公式得 ａ ｂ ， 所以ＢＤ ≈１ ． ８， ＡＢ ∥ ＤＣ ，ｃｏｓ􀎮 →ＡＢ ， Ｄ→Ｃ 􀎯≥１ ． （｜ ｜ ｜ ｜· 在 ＡＣＤ 中 ＡＣ ＤＣ ＡＤ ｃｏｓ α ） ｃ ＝ ａ （｜ ｂ ｜｜ ｃ ｜·ｃｏｓ β ）， Ａ △ ＣＤ ° ， ＝ ２， ＝１， ＝ ３， Ｅ→Ｆ ＝ １ （｜ →ＡＢ ｜ ２ ＋｜ Ｄ→Ｃ ｜ ２ ＋２｜ →ＡＢ ｜｜ Ｄ→Ｃ ｜） 所以 ａ α ｃ ａ ｃ β ． ∠ ＝９０ ， ４ （｜ ｜ｃｏｓ ） ＝ （｜ ｜ｃｏｓ ） 上式相等只有两种可能 ， ＡＣＤ １ ３ ． ＝ １ （｜ →ＡＢ ｜＋｜ Ｄ→Ｃ ｜） ２ ， ｃ向量与ａ向量共线且方向相同 假 ｃｏｓ∠ ＝ ＝ ≈０５５７４， ４ ① ， ３ ３ 设ｃ λａ λ 所以 ＡＤＣ ° 所以Ｅ→Ｆ １ →ＡＢ Ｄ→Ｃ ＝ ， ＞０， ∠ ≈５５ ， ＝ （｜ ｜＋｜ ｜）， 则左边 ａ ｂ ｃ ａ ｂ α 所以 ＤＡＢ ° ＡＤＣ ＡＥＣ °． ２ ＝（ · ）· ＝（｜ ｜｜ ｜ｃｏｓ ）· ∠ ＝１８０ －∠ －∠ ≈８０ λａ 右边 ａ ｂ λａ α 练习（第 页） 即ＥＦ ＝ １ （ ＡＢ ＋ ＤＣ ） ． ， ＝ （｜ ｜·｜ ｜·ｃｏｓ ）， １１６ ２ 故左边 右边 １． ． ２．因为Ｍ为ＢＣ的中点 ＝ ； ３ ， α 且 β 即向量ａ与 ｂ ２．最大角为 °． ②ｃｏｓ ＝０， ｃｏｓ ＝０， １２０ 所以Ａ→Ｍ １ →ＡＢ →ＡＣ 垂直 同时向量ｂ与ｃ垂直． ３．ａ ． Ｂ ° ′ Ｃ ° ′． ＝ （ ＋ ）， ， ≈３６９６， ≈３９ ２ ， ≈８２ ８８ ２ ２． （１） ａ · ｂ ＝２，８８ ° ；（２） ａ · ｂ ＝０，９０ °． 练习（第 １１８ 页） 又Ｂ→Ｃ ＝ →ＡＣ ＋ →ＡＢ ， 在等腰三角形ＡＢＣ中 ， ３． ＡＢＣ是直角三角形． １．ｃ ． ． ＡＢ ＡＣ （１）△ ≈１１１３９ ＝ ， ＡＢＣ是锐角三角形． （２）△ ２． ２． 所以Ａ→Ｍ →ＢＣ １ →ＡＢ →ＡＣ →ＡＣ →ＡＢ ＡＢＣ是直角三角形． · ＝ （ ＋ ）·（ － ）＝ （３）△ ４ ２ ４．Ｄ 或Ｄ ． 思考交流（第 页） （－２，３） （２，１） １１９ １ →ＡＣ ２ →ＡＢ ２ ５． ． 对于锐角三角形 钝角三角形结论仍然 （｜ ｜ －｜ ｜ ）＝０， －５ 、 ２ ６． ． 成立． 故Ａ→Ｍ Ｂ→Ｃ 即ＡＭ ＢＣ． （ ５，２ ５），（－ ５，－２ ５） ⊥ ， ⊥ １２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等教材习题答案 ３．选 →ＡＢ Ａ→Ｄ 为基． －８＋９＝１（Ｊ） ． 由 Ｂ Ｄ 得４０－ ＡＣ２ ３２－ ＡＣ２ ｛ ， ｝ 即力Ｆ对物体所做的功为 ． ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ＝０ ＋ 设→ＡＲ ｍ→ＡＣ ＡＴ ｎ→ＡＣ １ Ｊ ２４ ３２ ＝ ， →＝ ， ５． ． Ｗ Ｆ ｓ Ｆ ｓ Ｆ ｓ ３００ ＝ · ＝｜ ｜｜ ｜ｃｏｓ􀎮 ， 􀎯＝６× ＝０， 则Ｂ→Ｒ ＝ →ＡＲ － →ＡＢ ＝ ｍ→ＡＣ － →ＡＢ ° ． １００×ｃｏｓ６０ ＝３００（Ｊ） 即ＡＣ２ ２５６ Ｂ １ Ｂ ４ ３ ｍ →ＡＢ Ａ→Ｄ →ＡＢ 习题2-6 ＝ ，ｃｏｓ ＝ ，ｓｉｎ ＝ ， ＝ （ ＋ ）－ ７ ７ ７ ｍ →ＡＢ ｍＡ→Ｄ Ａ组 ＝（ －１） ＋ ， Ｄ ４ ３． １． ． ｓｉｎ ＝ Ｂ→Ｅ →ＡＥ →ＡＢ →ＡＢ １ Ａ→Ｄ． Ｃ ７ ＝ － ＝－ ＋ ２． ． ２ Ｃ 所以 Ｓ Ｓ Ｓ １ ＢＡ 四边形ＡＢＣＤ＝ △ ＡＢＣ＋ △ ＡＤＣ＝ （ 因为Ｂ→Ｒ与Ｂ→Ｅ共线 所以 ｍ １ ３．ＡＢ ５ ６． ２ ， （ －１）× － ＝ ＢＣ ＤＡ ＤＣ Ｂ ． ２ ２ · ＋ · ）ｓｉｎ ＝８ ３ （－１）× ｍ ＝０， ４．ＡＣ ＝ ２－１ ． ３．约 ２８ ｋｍ／ｈ ． 解得ｍ １ ． ４．设Ｏ→Ａ ａ Ｏ→Ｂ ｂ Ｏ→Ｃ ｃ ＝ ５．ＢＣ ６ ５ ＡＣＢ ２ ５． ＝ ， ＝ ， ＝ ， ３ ＝ ，ｃｏｓ∠ ＝ ５ ５ 则Ｂ→Ｃ ｃ ｂ →ＣＡ ａ ｃ →ＡＢ ｂ ａ 同理解得ｎ ２ ．故ＡＲ ＲＴ ＴＣ． ６．Ｓ ． ＝ － ， ＝ － ， ＝ － ， ＝ ３ ＝ ＝ ７． △ ． ＡＢＤ＝３ ２ 因为 ｜ Ｏ→Ａ ｜ ２ ＋｜ Ｂ→Ｃ ｜ ２ ＝ ｜ Ｏ→Ｂ ｜ ２ ＋｜ →ＣＡ ｜ ２ ＝ 练习（第 １２９ 页） ８． Ｂ ． ° ． °． ｜ Ｏ→Ｃ ｜ ２ ＋｜ →ＡＢ ｜ ２ ， １． ｜ Ｇ ｜＝２×５ｃｏｓ ３０ ° ＝５ ３（Ｎ）， 即物体的 ９． ６ 高 ６ 约 ５５ 为 ，６７９ ． 即ａ２ ＋（ ｃ － ｂ ） ２ ＝ ｂ２ ＋（ ａ － ｃ ） ２ ＝ ｃ２ ＋（ ｂ － 质量为 ５ ３ Ｎ ． １０．因为Ｐ ４ 为 ６８ ｍ ＡＢＣ中线ＡＭ上任意一点 ａ ） ２ ， ２．如图 设水的速度为ｖ 风的速度为ｖ △ ， 展开得ａ２ ｃ２ ｃ ｂ ｂ２ ｂ２ ａ２ ａ ｃ ， １， ２， 则→ＡＰ与Ａ→Ｍ共线． ＋ －２ · ＋ ＝ ＋ －２ · ｖ １＋ ｖ ２＝ ａ． ＋ ｃ２ ＝ ｃ２ ＋ ｂ２ －２ ｂ · ａ ＋ ａ２ ， 所以ｃ ｂ ａ ｃ ｂ ａ． · ＝ · ＝ · 由ｃ ｂ ａ ｃ得 ｂ ａ ｃ · ＝ · （ － ）· ＝０， 所以 ｂ ａ ｃ 即→ＡＢ Ｏ→Ｃ （ － ）⊥ ， ⊥ ， 同理可得Ｃ→Ｂ Ｏ→Ａ →ＣＡ Ｏ→Ｂ ⊥ ， ⊥ ， 设→ＡＰ ＝ ｔＡ→Ｍ ，０≤ ｔ ≤１， 所以点Ｏ是三条高线的交点． 易求得ａ的方向是北偏东 ３０ ° ， ａ的大小 即→ＡＰ ＝ ｔ （ Ｏ→Ｍ － Ｏ→Ａ ） ５． （１） 木块受三个力作用 ， 重力Ｇ ， 拉力Ｆ 是 ．设船的实际航行速度为ｖ 方 [ ] 和支持力Ｆ 如图所示． ３ ｋｍ／ｈ ， ｔ １ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ａ Ｎ， 向由南向北 大小为 船本身 ＝ （ ＋ ）－ ， ２ ３ ｋｍ／ｈ， ２ 的速度为ｖ 则ａ ｖ ｖ 即ｖ ｖ ａ 数 ｔ 形结合知ｖ ３， 的方向 ＋ 是 ３＝ 北 ， 偏西 ３＝ ° － 大 ， 小 ＝ ２ （ Ｏ→Ｂ ＋ Ｏ→Ｃ ）－ ｔＯ→Ａ ，０≤ ｔ ≤１ ． ３ ６０ ， １１．设物体下落和反弹时重力所做的功分 是 ． ． ３ ｋｍ／ｈ≈１７３ ｋｍ／ｈ 别为Ｗ 和Ｗ 则在整个过程中重力 ３．如图所示 依题意 得→ＡＢ的方向是北偏 １ ２， ， ， 对球所做的功为Ｗ Ｗ Ｗ ． ＝ １＋ ２ 西 ° →ＡＢ →ＡＣ的方向是南 因为 Ｇ ｈ Ｇ ｈ ° ． ６０ ，｜ ｜＝１０００ ｋｍ； Ｗ１＝ · １＝｜ ｜｜ １｜ｃｏｓ０ ＝０１ 偏 ＝６ 西 ０ ° ６ ， ０ 过 ° ， 点 ｜ →ＡＣ Ｂ ｜ 作 ＝２ 东 ０ 西 ００ 方 ｋｍ 向 ， 所 的 以 垂 ∠ 线 Ｂ ， Ａ 交 Ｃ Ｗ ×９ ２ ． ＝ ８× Ｇ １ · ． ８ ｈ × ２ １ ＝ ＝ ｜ ０ Ｇ ． ９ ｜ ８ ｜ × ｈ １ ２ ． ８ ｜ｃ ， ｏｓ １８０ ° ＝０ ． １× 拉 块 力 做的 Ｆ 功 与位 Ｗ Ｆ 移 ＝ Ｆ ｓ的 · 方 ｓ ＝ 向 ｜ Ｆ 相 ｜｜ 同 ｓ ｜ ， ｃ 拉 ｏｓ 力 ０ ° 对 ＝ 木 １０ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 于 ＝ Ｃ 点 Ｄ ＝ Ｄ ， １ 则 ００ △ ０ Ａ ｋ Ｂ ｍ Ｄ ， 为 ∠ 正 ＣＢ 三 Ｄ 角 ＝∠ 形 Ｂ ， Ｃ 所 Ｄ 以 ＝ 所 ９ ． ８ 以 ×１ Ｗ ． ２５ ＝ × ０ （ ． － ９８ １） × ＝ （１ － ． ０ ８ ． ９ － ８ １ × ． １ ２ ． ５ ２ ） ５， ＝ ０ ． ９８× 支 ×２ 持 ． ０ 力 ＝２ Ｆ ０（ Ｎ Ｊ 与 ） ． 位移 ｓ的方向垂直 ， 支持 ． ． ． １ ∠ ＢＤＡ ＝３０ ° ， 所以 ∠ ＡＢＣ ＝９０ ° ， 故 故 ０５ 在 ５＝ 整 ０ 个 ５３ 过 ９（ 程 Ｊ） 中重力对球所做的功为 力不做功 ， 即Ｗ Ｎ＝ Ｆ Ｎ· ｓ ＝０ ． ２ 重力Ｇ与位移ｓ的夹角α ° θ ． ． ＝９０ ＋ ， ｜ Ｂ→Ｃ ｜＝｜ →ＡＣ ｜·ｓｉｎ６０ ° ＝２ ０００ ｋｍ× ３ ＝ Ｂ组 ０５３９ Ｊ 则重力做的功 Ｗ Ｇ＝ Ｇ · ｓ ＝ ｜ Ｇ ｜ ｜ ｓ ｜· ２ ° θ １．因为Ｓ Ｓ Ｓ ｃｏｓ （９０ ＋ ） １０００ ３ ｋｍ， 即飞机从 Ｂ 地到 Ｃ 地的 △ ＰＡＢ＝ △ ＰＡＣ＋ △ ＰＢＣ， ＝－｜ Ｇ ｜｜ ｓ ｜ｓｉｎ θ 位移大小是 方向是南偏 所以 １ ＰＡ ＰＢ α β １ ＰＡ １ ０００ ３ ｋｍ， · ｓｉｎ（ ＋ ）＝ · ． ． ． １ 西 °． ２ ２ ＝－２０×９８×２０× ３０ α β ２ ＰＣ α １ ＰＢ ＰＣ β 即ｓｉｎ（ ＋ ） ． ． ｓｉｎ ＋ · ｓｉｎ ， ＰＣ ＝－１９６（Ｊ） ２ 在这一过程中 物体所受各个力对 α β （２） ， ｓｉｎ ｓｉｎ ． 物体做功的代数和为Ｗ Ｗ Ｗ Ｗ ＝ ＰＢ ＋ ＰＡ ＝ Ｆ＋ Ｎ＋ Ｇ＝ ． ． ＢＡ２ ＢＣ２ ＡＣ２ ０４（Ｊ） ２． 连 接 ＡＣ Ｂ ＋ － 物体所受合外力大小为 Ｆ Ｆ ， ｃｏｓ ＝ ＢＡ ＢＣ （３） ｜ 合｜＝｜ ｜ ２ · ＝ ４０－ ＡＣ２ ， －｜ Ｇ １｜＝１０－２ ． ０×９ ． ８× １ ＝０ ． ２（Ｎ） ． ２ ４．→ＡＢ ２４ 其方向沿斜面向上 合外力对物体所做 ＝（－４，３）， Ｄ ＡＤ２ ＋ ＤＣ２ － ＡＣ２ ３２－ ＡＣ２ ， Ｗ ＝ Ｆ · ｓ ＝ Ｆ · →ＡＢ ＝（２，３）·（－４，３）＝ ｃｏｓ ＝ ２ ＡＤ · ＤＣ ＝ ３２ ， 的功为Ｗ ＝ Ｆ 合· ｓ ＝｜ Ｆ 合｜｜ ｓ ｜ｃｏｓ θ ＝０ ． ２ １３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等×２． ． ． 由正弦定理可得 Ａ Ｂ { ｘ ｙ { ｘ ｙ ０×１＝０４（Ｊ） （６） ｓｉｎ ∶ ｓｉｎ ∶ 所以 －２ ＋３ ＝０， 即 ２ ＝３ ， 上述计算表明 ， 物体所受合外力对物体 ｓｉｎ Ｃ ＝ ａ ∶ ｂ ∶ ｃ ， ｘ２ ＋ ｙ２ ＝２ １３， ｘ２ ＋ ｙ２ ＝５２， 所做的功 ， 与物体所受各个力对物体做 ∴ ａ ∶ ｂ ∶ ｃ ＝７ ∶ ８ ∶ １３， 解得 {ｘ ＝６，或 {ｘ ＝－６， 功的代数和是相等的． 设ａ ＝７ ｋ ， ｂ ＝８ ｋ ， ｃ ＝１３ ｋ （ ｋ ＞０）， ｙ ＝４ ｙ ＝－４ ． ６ ７ ． ． 略 略 ． ． 由余弦定理的推论得 ｃｏｓ Ｃ ＝ ａ２ ＋ ｂ ａ ２ ｂ － ｃ２ 所以 ( ａ ＝（６，４ ) ） 或 （－６，－４） ． ２ １０．ｃ ３ ２２ ． 复习题二 ４９ ｋ２ ＋６４ ｋ２ －１６９ ｋ２ １ ． ＝ ， Ａ组 ＝ １１２ ｋ２ ＝－ ２ 设向量 ７ ｃ ７ 的坐标为 ｘ ｙ ． （ ， ） ° Ｃ ° １． ． ∵０ ＜ ＜１８０ ， 因为ａ ｃ ｂ ｃ （１）√ · ＝４， · ＝９， Ｃ °． （２）✕， 向量是矢量 ， 不可以比较大小 ， ∴ ＝１２０ ì ïｘ ３ 它的模可以比较大小． ４．从点Ｄ向南偏西 °飞行 ．作 { ｘ ｙ ï ＝ ， ３０ ５０ ３ ｋｍ 所以 ２ ＋ ＝４， 即í ７ 质量 功是标量 动量 加速度 出平面直角坐标系 上北右东 依次作 ｘ ｙ ï （ 是 ３ 矢 ）✕ 量 ， ． 、 ， 、 出图象． ， ， － ＋３ ＝９， î ïｙ ＝ ２ ７ ２． ( ) ( ) （４）✕，“ 向量共线 ” 是 “ 这四点共线 ” 的 ５． （３ ａ －２ ｂ ）－２ ａ ＋ １ ｂ ＝３ ａ －２ ａ －２ ｂ － ｂ ＝ 所以ｃ ＝ ３ ， ２２ ． 必要不充分条件． ２ ７ ７ 零向量的方向是任意的 零向 ａ －３ ｂ．作图 ， 选取平面内任意一点Ｏ ， 作 １１． １００ ２ Ｎ ． （５）✕， ， 量与任意向量共线． Ｏ→Ａ ａ Ｏ→Ｂ ｂ Ｏ→Ｃ ｂ 利用向量的减 １２．ｍ 作用在Ｏ→Ｂ方向上的力为 ＝ ， ＝ ， ＝－３ ， ＝５０００ ｇ， （６）√ ． 法法则作出→ＣＡ ＝ ａ －３ ｂ即可． ５０ ３ Ｎ ． 答案是 ａ ｂ 考查向量减法的 ６． ．设 ＡＢＣＤ的顶点Ｄ的坐标是 分析 竖直方向上的分力大小是 （７）✕， ： － ， （－４，２） ▱ ： ５０ Ｎ， 三角形法则． ｘ ｙ 所以砝码受到的重力也是 由Ｇ （ ， ）， ５０ Ｎ， （８）√ ． 还有可能ａ ｂ． 则由→ＡＢ ∥ Ｄ→Ｃ得→ＡＢ ＝ Ｄ→Ｃ ， 方 ＝ ｍ 向 ｇ ＝ 的 ５０ 分 可 力 得 大 ， ｍ 小 ＝ 是 ５ ｋｇ＝５０００ ｇ ．水 ° 平 （９）✕， ⊥ 又因为→ＡＢ Ｄ→Ｃ ｘ ｙ １００×ｃｏｓ ３０ ＝ 还有可能ｂ ｃ． ＝（１，－２）， ＝（－３－ ，－ ）， （１０）✕， 向量ａ在ｂ ⊥ 方向的射影是下个 则得 { －３－ ｘ ＝１，所以 {ｘ ＝－４， １００× ３ ＝５０ ３（Ｎ）， 所以作用在Ｏ→Ｂ方 （１１）✕， ｙ ｙ ． ２ 标量 可正 可负 可为零． － ＝－２， ＝２ ， 无 、 论ａ与 、 ｂ是不是零向量 左 所以顶点Ｄ （－４，２） ． 向的力的大小是 ５０ ３ Ｎ ． （ 边 １２ 可 ）√ 以 ， 推证右边 ， 右边也可以推 ， 证 ７． æ è ç ５ ，－ ２ ５ ö ø ÷或 æ è ç － ５ ， ２ ５ ö ø ÷． １ １ ３ ４ ． ． ３ 直 ６ 角 Ｎ ． 三角形． 左边． ５ ５ ５ ５ 设与ａ垂直的单位向量ｅ ｘ ｙ 易得 →ＡＢ →ＡＣ ２． ＝（ ， ）， ： ＝（３，４）， ＝（－８，６）， ３． （ （ １ ７ ） ）Ａ 圆 Ｄ ． ． （ ． （ 分 ８ ２ ） ） 析 Ｃ Ｄ ． ． 单 （３ 位 ）Ｄ 向 ．（ 量 ４ 起 ）Ｂ 点 ．（ 相 ５） 同 Ｂ． 时 （６ 终 ） 点 Ｃ． 所 因 以 为 ｙ ａ ⊥ ＝－ ｅ ２ ， ｘ 所 ， 又 以 因 ａ · 为 ｅ ＝ ｅ ０ 是 ， 即 单位 ４ ｘ ＋ 向 ２ 量 ｙ ＝ ， ０ 所 ， 所 因 以 为→ △ ＡＢ Ａ · ＢＣ →ＡＣ 是 ＝ 直 ０， 角三角形． （１） ： 以ｘ２ ｙ２ ． Ｂ组 的轨迹 即是单位圆 半径是一个单位 ＋ ＝１ 长度 圆 ， 心是点Ｏ． ， {ｙ ＝－２ ｘ ， 代入消元可得 １．物体所受力有竖直方向的重力Ｇ ， 斜面 ， ｘ２ ｙ２ ． 给物体的摩擦力ｆ 以及斜面给物体的 ．Ｂ→Ｃ →ＡＣ →ＡＢ ＋ ＝１ ， （２）（－６，２） ． ＝ － ＝（－４，１）－（２， ì ï ｘ ５ ì ï ｘ ５ 支持力 Ｎ ， 受力分析后 ， 可得到 ： Ｗ Ｇ＝ －１）＝（－６，２） ï ＝ ， ï ＝－ ， ｍｇｈ í ５ 或í ５ ＝５×１０×２＝１００（Ｊ）， １ ｂ ａ ．作图 根据向量减法的三 ï ï ｈ （３） （ － ） ， ïｙ ２ ５ ïｙ ２ ５ Ｗ Ｇ ° ２ î ＝－ î ＝ ， ｆ＝ ×ｃｏｓ３７ × °×（－１）＝－５×１０ 角形法则可得． ５ ５ ｓｉｎ３７ 所以与 ａ 垂直的单位向量的坐标是 ４ １０ ２００ ２π． æ ö æ ö × × ＝－ （Ｊ）， （ ａ ４） ｂ ３ ２ ａ ｂ ２ ａ２ ａ ｂ è ç ５ ５ ，－ ２ ５ ５ ø ÷或 è ç － ５ ５ ， ２ ５ ５ ø ÷． Ｗ Ｎ ５ ＝０ ３ （Ｊ） ． ３ ｜ ＋ ａ ｜ ｂ ＝（ ｂ２ ＋ ） ＝ ＋２｜ ｜·｜ ｜· ８． （１）① 当ａ与ｂ同向共线时 ， ａ · ｂ ＝｜ ａ ｜· ２．因为Ａ→Ｄ ＝ →ＡＢ ＋ Ｂ→Ｃ ＋ Ｃ→Ｄ ＝（６，１）＋（ ｘ ， ｙ ）＋ ｃｏｓ􀎮 ， 􀎯＋ ｂ ° ｘ ｙ ａ ２ ａ ｂ ｂ ２ ｜ ｜·ｃｏｓ０ ＝２×４＝８； （－２，－３）＝（４＋ ，－２＋ ）， ＝｜ ｜ ＋２×２×１×ｃｏｓ􀎮 ， 􀎯＋｜ ｜ 当ａ与ｂ反向共线时 ａ ｂ ａ ＝４＋４ｃｏｓ􀎮 ａ ， ｂ 􀎯＋１ ② ｂ ° ， · ＝｜ ｜· 所以Ｄ→Ａ ＝（－４－ ｘ ，２－ ｙ ）， ＝５＋４ｃｏｓ􀎮 ａ ， ｂ 􀎯＝３， ｜ ｜· 当 ｃ ａ ｏｓ 与 １８ ｂ ０ 垂 ＝ 直 ２× 时 ４×（ ａ －１） ｂ ＝－８ ａ ； ｂ 又因为Ｂ→Ｃ ∥ Ｄ→Ａ ， Ｂ→Ｃ ＝（ ｘ ， ｙ ）， 所以 ａ ｂ 所以 ａ ｂ （２） ， · ＝｜ ｜·｜ ｜ 所以 ｘ ｙ ｘ ｙ ４ｃｏｓ􀎮 ， 􀎯＝－２， ｃｏｓ􀎮 ， 􀎯＝ ° （－４－ ） － （２－ ）＝０， ·ｃｏｓ９０ ＝２×４×０＝０； 所以 ｙ ｘｙ ｘ ｘｙ １ 所以 ａ ｂ ２π． 当ａ与ｂ的夹角为 °时 ａ ｂ －４ － －２ ＋ ＝０， － ， 􀎮 ， 􀎯＝ （３） １３５ ， · ＝ 所以ｘ ｙ． ２ ３ æ ö ＝－２ （５）±３ ．由向量垂直的坐标表示 ， 得ａ ⊥ ｜ ａ ｜·｜ ｂ ｜·ｃｏｓ １３５ ° ＝２×４×è ç － ２ ø ÷ ＝ ３．因为 （ ａ ＋ ｋ · ｂ ）⊥（ ａ － ｋ · ｂ ）， 所以 （ ａ ＋ ｋ ｂ ｘ ｘ ｙ ｙ ． ２ ｂ ａ ｋ ｂ ⇔ １· ２＋ １· ２＝０ · ）·（ － · ）＝０， （ ａ ＋ λｂ ）⊥（ ａ － λｂ ）⇔（３＋ λ ，３－ λ ）⊥（３－ －４ ２ ． 即ａ２ － ｋ２ · ｂ２ ＝０， λ ，３＋ λ ）⇔（３＋ λ ）（３－ λ ）＋（３－ λ ）（３＋ λ ） ９． （６，４） 或 （－６，－４） ． 所以 ｜ ａ ｜ ２ － ｋ２ ·｜ ｂ ｜ ２ ＝０， ＝２×（９－ λ２ ）＝０ 设向量ａ的坐标为 （ ｘ ， ｙ ）， 因为 ａ ⊥ ｂ ， 所以 ｋ２ 所以ｋ ３ ． λ２ λ ． ａ ９－ ·１６＝０， ＝± ⇔９－ ＝０⇔ ＝±３ ｜ ｜＝２ １３， ４ １４ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等教材习题答案 ４．证法一 几何法 ２θ ２θ （ ）： 因为 ２α ２α 所以 ２５ ２α ｃｏｓ －ｓｉｎ ． 设Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ分别为ＡＢ ＢＣ ＣＤ ＤＡ的 ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１， ｃｏｓ ＋ ２θ ２θ＝１ ， ， ， ， ， ， １４４ ｃｏｓ －ｓｉｎ 中点 ， ２α 即 ２α １４４ ２． （１） 等式左边 ＝（ｓｉｎ ２α ＋ｃｏｓ ２α ）（ｓｉｎ ２α － 证明 ： 如图 ， 连接ＢＤ ， ＡＣ ， ｃｏｓ ＝１， ｃｏｓ ＝ １６９ ， ｃｏｓ ２α ） Ｈ ， Ｅ ， Ｇ ， Ｆ 分别是 ＡＤ ， ＡＢ ， ＤＣ ， ＢＣ 的 因为α为第二象限角 ， ＝１·（ｓｉｎ ２α －ｃｏｓ ２α ） 中点 ， 所以 ｃｏｓ α ＝－ １２ ，ｓｉｎ α ＝ｃｏｓ α ·ｔａｎ α ＝ｓｉｎ ２α －ｃｏｓ ２α ＝ 等式右边 ， １３ 所以等式成立． ５ ． 等式左边 ２ｘ ２ｘ ２ｘ ＝ （２） ＝ ｓｉｎ （ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ） １３ ２ｘ ＋ｃｏｓ ２．因为 α １ 所以 ２α ２α ２ｘ ２ｘ 等式右边 ｓｉｎ ＝－ ， ｃｏｓ ＝１－ｓｉｎ ＝ ＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１＝ ， ３ 所以等式成立． ８ 故 α ２ ２． 等式左边 ＨＥ是 ＡＢＤ的中位线 ， ｃｏｓ ＝± （３） △ ， ９ ３ α α α α ｃｏｓ （１＋ｃｏｓ ）－ｓｉｎ （１＋ｓｉｎ ） 故ＨＥ ＢＤ ＨＥ １ ＢＤ． 当 α ２ ２时 α ２ ＝ α α ∥ ， ＝ ｃｏｓ ＝ ，ｔａｎ ＝－ ； （１＋ｓｉｎ ）（１＋ｃｏｓ ） ２ ３ ４ α ２α α ２α ｃｏｓ ＋ｃｏｓ －ｓｉｎ －ｓｉｎ 同理ＧＦ ＢＤ ＧＦ １ ＢＤ． ＝ α α ∥ ， ＝ 当 α ２ ２时 α ２． （１＋ｓｉｎ ）（１＋ｃｏｓ ） 所以ＨＥ ＧＦ ＨＥ Ｇ ２ Ｆ． ｃｏｓ ＝－ ３ ，ｔａｎ ＝ ４ （ｃｏｓ α －ｓｉｎ α ）（１＋ｃｏｓ α ＋ｓｉｎ α ）． ∥ ， ＝ ３．因为 α ｍ ｍ 所以 ２α ＝ α α 故平行四边形ＥＦＧＨ是平行四边形． ｃｏｓ ＝ （ ≠０）， ｓｉｎ ＝１－ （１＋ｓｉｎ ）（１＋ｃｏｓ ） 证法二 向量法 ｃｏｓ ２α ＝１－ ｍ２ ，ｓｉｎ α ＝± １－ ｍ２． 要证左边 ＝ 右边 ， （ ）： α α ｍ２ 即证 １＋ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ２ 由图可得 ， Ｅ→Ｈ ＝ Ａ→Ｈ － →ＡＥ ＝ １ （ Ａ→Ｄ － →ＡＢ ）＝ 当 ｓｉｎ α ＝ １－ ｍ２时 ，ｔａｎ α ＝ １ ｍ － ； （１＋ｓｉｎ α ）（１＋ｃｏｓ α ） ＝ １＋ｓｉｎ α ＋ｃｏｓ α，① ２ α α ２ ２α ２α 当 α ｍ２ 时 α （１＋ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ） ＝１＋ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ＋ １ Ｂ→Ｄ ｓｉｎ ＝ － １－ ， ｔａｎ ＝ α α α α α ， ２ｃｏｓ ＋２ｓｉｎ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝２＋２ｃｏｓ ＋ ２ １－ ｍ２ ． α α α － ｍ ２ｓｉｎ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ， Ｆ→Ｇ Ｃ→Ｇ Ｃ→Ｆ １ Ｃ→Ｄ Ｃ→Ｂ １ Ｂ→Ｄ α α α ＝ － ＝ ２ （ － ）＝ ２ ， 思考交流（第 页） ２（１＋ｓｉｎ ）（１＋ｃｏｓ ）＝ ２（１＋ｓｉｎ ＋ １４９ α α α 所以Ｅ→Ｈ Ｆ→Ｇ 所以顺次连接四边形 用最基本的方法即可． ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ ） ＝ ， α α α α ＡＢＣＤ各边中点所得的四边形是平行 由 α 知α在第一象限或第三象限． ＝２＋２ｓｉｎ ＋２ｃｏｓ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ， ｔａｎ ＝３， 所以 α α ２ α 四边形． （１＋ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ） ＝２（１＋ｓｉｎ ）（１ 若 α 在第一象限 得 α ３ α ５．略． （１） ， ｓｉｎ ＝ ， ＋ｃｏｓ ）， １０ 即 式成立． Ｃ组 ① α １ 所以等式成立． １．略． ｃｏｓ ＝ ， １０ ３．因为 α ． ２．略． ｔａｎ ＝１５， ３ １ α ３．略． 则ｓｉｎ α α ＋ｃｏｓ α α ＋３ ＝ － １０ ＋ １０ ＋３ 所以 ｃ ｓｉ ｏ ｎ ｓ α＝ ２ ３ ， 第四章 三角恒等变换 ｓｉｎ －ｃｏｓ ３ １ － 所以 α ３ α． ｓｉｎ ＝ ｃｏｓ １０ １０ ２ §1 同角三角函数的 ４＋３ １０． 由 ２α ２α 可得 ９ ２α ２α ＝ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１， ｃｏｓ ＋ｃｏｓ 基本关系 ２ ４ 练习（第 页） （２） 若 α 在第三象限 ， 得 ｓｉｎ α ＝－ ３ ， ＝１， 所以 ｃｏｓ ２α ＝ ４ ． １４８ １０ １３ １． （１） 因为 α为第一象限角 ，ｓｉｎ α ＝ ３ ， ｃｏｓ α ＝－ １ ， 故 ｃｏｓ α ＝± ２ １３． ２ １０ １３ 所以 ｃｏｓ α ＝ １－ｓｉｎ ２α ＝ １ ． ３ １ 当 α ２ １３时 α ３ １３ ２ α α － － ＋３ ｃｏｓ ＝ ，ｓｉｎ ＝ ； α 则ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＋３ １０ １０ １３ １３ 故 α ｓｉｎ ． α α ＝ ｔａｎ ＝ ｃｏｓ α＝ ３ ｓｉｎ －ｃｏｓ ３ ＋ １ 当 ｃｏｓ α ＝－ ２ １３时 ，ｓｉｎ α ＝－ ３ １３． １０ １０ １３ １３ 因为α为第三象限角 α ４ α （２） ，ｃｏｓ ＝－ ， ４－３ １０． ４． 原式 ｔａｎ －１ －２－１ ． ５ ＝ （１） ＝ α ＝ ＝３ ２ ｔａｎ ＋１ －２＋１ 所以 ｓｉｎ α ＝－ １－ｃｏｓ ２α ＝－ ３ ． 练习（第 １５０ 页） 原式 ｓｉｎ ２α －ｃｏｓ ２α ｔａｎ ２α －１ ４－１ 故 α ｓｉｎ α ３ ． ５ １． （１） 原式 ＝ｃｏｓ ２α ＋ｔａｎ ２α ·ｃｏｓ ２α ＝ｃｏｓ ２α ＋ （２） ＝ ｓｉｎ ２α ＋ｃｏｓ ２α＝ ｔａｎ ２α ＋１ ＝ ４＋１ （３） ｔａ 因 ｎ 为 ＝ ｔ ｃ ａ ｏ ｎ ｓ α α ＝ ＝ － ４ ５ ， 所以ｓｉｎ α α＝－ ５ ， ｃ ｓｉ ｏ ｎ ｓ ２ ２ α α ２ · α ｃｏｓ ２ ２ α α ． 习 ＝ 题 ５ ３ 4 ． -1 １２ ｃｏｓ １２ ＝ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ＝１ ２θ ２θ ２θ Ａ组 α ５ α． 原 式 ２ｃｏｓ －ｓｉｎ －ｃｏｓ ｓｉｎ ＝－ ｃｏｓ （２） ＝ ２θ ２θ ２θ ＝ １． 因为α为第四象限角 所以 α １２ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ －２ｓｉｎ （１） ， ｃｏｓ ＝ １５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等α 所以 ４ｘ ４ｘ ２ｘ ２ｘ ２ α． ２α ２ 故 α ｓｉｎ ． ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ （ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ） － （２）－ｃｏｓ １－ｓｉｎ ＝ ， ｔａｎ ＝ α＝－１ α． ２ ｃｏｓ ２ｘ ２ｘ １ ７ ． （３）－ｓｉｎ （２） 因为α为第二象限角 ， 所以 ｓｉｎ α ＝ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝１－２× １６ ＝ ８ ５． ｔａｎ１５ ° ＝２－ ３；ｔａｎ１０５ ° ＝－２－ ３ ． α ３．略． １－ｃｏｓ ２α ＝ １５ ， 故 ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ α＝－ １５． ６． （１） ３；（２）－ ３ ． １７ ｃｏｓ ８ §2 两角和与差的三角 ７． α β ８－３０ ６ 因为 α ４ ｃｏｓ（ － ）＝ ； （３） ｔａｎ ＝－ ， 函数公式 ８５ ３ 所以 ｓｉｎ α ＝－ ４ ｃｏｓ α ， 练习（第 １５４ 页） ｔａｎ（ α ＋ β ）＝ １５－１６ ６． ３ ８＋３０ ６ １． 等式左边 π α π α 所以１６ ｃｏｓ ２α ＋ｃｏｓ ２α ＝１， （１） ＝ｃｏｓ ２ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ２ ｓｉｎ α β １ －２ ９ α 等式右边 ８． α β ｔａｎ ＋ｔａｎ ３ ＝ｓｉｎ ＝ ， ｔａｎ（ ＋ ）＝ α β＝ 所以 ２α ９ 所以 α ３ ． 所以等式成立． １－ｔａｎ ｔａｎ １－ １ ×（－２） ｃｏｓ ＝ ， ｃｏｓ ＝± ３ ２５ ５ 等式左边 π α π α 当 ｃｏｓ α ＝ ３ 时 ，ｓｉｎ α ＝－ ４ ； （２） ＝ｃｏｓ ２ ｃｏｓ －ｓｉｎ ２ ｓｉｎ ＝ 因 － 为 １， ° α ° ° β ° ５ ５ α 等式右边 所以等式成立． ０ ＜ ＜９０ ，９０ ＜ ＜１８０ ， ＝－ｓｉｎ ＝ ， 所以 ° α β ° 故α β °． 当 α ３ 时 α ４ ． ( ) ９０ ＜ ＋ ＜２７０ ， ＋ ＝１３５ ｃｏｓ ＝－ ，ｓｉｎ ＝ ２．因为 α ３ α π 所以 思考交流（第 页） ５ ５ ｓｉｎ ＝－ ， ∈ － ，０ ， １５８ ５ ２ ( ) 因为 α ２ １．ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ π （４） ｃｏｓ ＝ ， α ２α ４ ． （ ）＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ２ｓｉｎ ＋ ， ３ ｃｏｓ ＝ １－ｓｉｎ ＝ ４ ５ ( ) 当ｘ ｋ π ｋ Ｚ时 ｆ ｘ 取得最大 所以 α ２α ５． 所以 π α π α π ＝２ π＋ ， ∈ ， （ ） ｓｉｎ ＝± １－ｃｏｓ ＝± ｃｏｓ － ＝ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ · ４ ３ ４ ４ ４ 值 α ( ) ２， 当 α ５时 α ｓｉｎ ５ α ２ ４ ２ ３ ２． ｓｉｎ ＝ ３ ，ｔａｎ ＝ ｃｏｓ α＝ ２ ； ｓｉｎ ＝ ２ × ５ ＋ ２ × － ５ ＝ １０ 当ｘ ＝２ ｋ π－ ３π ， ｋ ∈ Ｚ时 ， ｆ （ ｘ ） 取得最小 α ４ 当 ｓｉｎ α ＝－ ３ ５时 ，ｔａｎ α ＝ ｃ ｓｉ ｏ ｎ ｓ α＝－ ２ ５． ３．由已知得 ｓｉｎ θ ＝ １ １ ７ ５ ， 值 － ２， θ ( ) 周期为 ． ２． ｃｏｓ θ ＝ ± １－ｓｉｎ ２θ ，ｔａｎ θ ＝ ｃ ｓｉ ｏ ｎ ｓ θ ＝ 所以 ｃｏｓ θ ＋ π ３ ＝ｃｏｓ θ ｃｏｓ π ３ －ｓｉｎ θ ｓｉｎ π ３ ２．ｆ （ ｘ ）＝ ａ ｓ ２ ｉｎ π ｘ ＋ ｂ ｃｏｓ ｘ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ｓｉｎ（ ｘ ＋ φ ）， θ ｂ ｓｉｎ ． ８ １ １５ ３ －８－１５ ３． φ ± １－ｓｉｎ ２θ ＝－ １７ × ２ － １７ × ２ ＝ ３４ ｔａｎ ＝ ａ ， ３． 等式左边 （１） ＝ ４．由已知得 α ５ β ７ 当ｘ ｋ π φ ｋ Ｚ时 ｆ ｘ 取得最 （ｓｉｎ ｘ ＋ｃｏｓ ｘ ） ２ ｃｏｓ ＝－ ３ ，ｓｉｎ ＝－ ４ ， ＝２ π＋ ２ － ， ∈ ， （ ） （ｃｏｓ ｘ ＋ｓｉｎ ｘ ）（ｃｏｓ ｘ －ｓｉｎ ｘ ） 所以 ｃｏｓ（ α ＋ β ）＝ｃｏｓ α ｃｏｓ β －ｓｉｎ α ｓｉｎ β 大值 ａ２ ＋ ｂ２ ， ｘ ｘ ｘ ( ) æ ö ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ｃｏｓ ｘ＝ １＋ｔａｎ ｘ＝ 等式右边 ， ＝－ ５ × ３ － － ２ ×è ç － ７ ø ÷ 当ｘ ＝２ ｋ π－ π － φ ， ｋ ∈ Ｚ时 ， ｆ （ ｘ ） 取得最 ｃｏｓ －ｓｉｎ １－ｔａｎ ３ ４ ３ ４ ２ 所以等式成立． 小值 ａ２ ｂ２ （２） 等 式 左 边 ＝ ｃ ｓｉ ｏ ｎ ｓ ２ ２ θ θ － ｓｉｎ ２θ ＝ 思 ＝ 考 － 交 ３ 流 ５ １２ － （ ２ 第 ７． 页） 练 周 习 期 （第 为 － ２π ． ＋ 页） ， １５５ １５９ ｓｉｎ ２θ －ｓｉｎ ２ ２ θ θ ｃｏｓ ２θ ＝ ｓｉｎ ２θ · ２ ｓ θ ｉｎ ２θ ＝ 由诱导公式知 ( π α ) é ê ê π １． ｃｏｓ１８ ° ｃｏｓ７２ ° －ｓｉｎ１８ ° ｓｉｎ７２ ° ＝ｃｏｓ（１８ ° ｃｏｓ ｃｏｓ ｓｉｎ － ＝ｃｏｓ ë － ° ° ． ｔ 所 ａｎ 以 ２θ 等 · 式 ｓｉｎ 成 ２θ 立 ＝ 等 ． 式右边 ， ( π － α ) ù û ú ú ＝ｃｏｓ ( π ＋ α ４ ) ． ２ ２． （ 图 ＋ １ ７ 象 ） ２ ｆ （ 略 ） ｘ ＝ ． ） ｃ 的 ｏｓ 最 ９０ 大 ＝ 值 ０ 为 １３， 最小值为 －１３， （３） 等式左边 ＝ｃｏｓ ２α －２ｃｏｓ α ＋１＋ｓｉｎ ２α ＝ ４ ４ ｆ ｘ 的最大值为 最小值为 图 ２－２ｃｏｓ α ＝ 等式右边 ， 所以等式成立． 练习（第 １５６ 页） 象 （２ 略 ） （ ． ） ２， －２， （４） 因为 （ｓｉｎ ２ｘ ＋ｃｏｓ ２ｘ ） ２ ＝１， １． ２－ ６ ６＋ ２． ｆ ｘ 的最大值为 最小值为 图 所以 ｓｉｎ ４ｘ ＋ｃｏｓ ４ｘ ＋２ｓｉｎ ２ｘ ｃｏｓ ２ｘ ＝１ ． （１） ４ ；（２） ４ 象 （３ 略 ） （ ． ） ２， －２， 故 ｓｉｎ ４ｘ ＋ｃｏｓ ４ｘ ＝１－２ｓｉｎ ２ｘ ｃｏｓ ２ｘ． ２． ３ １ ． ( ) Ｂ组 （１） ２ ；（２） ２ ３．ｆ （ ｘ ）＝ ｜ｓｉｎ ｘ ＋ｃｏｓ ｘ ｜＝ ２ｓｉｎ ｘ ＋ π ， １．因 ｃｏｓ 为 ｘ ） ｓ ２ ｉ ＝ ｎ ｍ ｘ ２ ， － １ ｃ － ｏ ２ ｓ ｓｉ ｘ ｎ ＝ ｘ ｃ ｍ ｏｓ ， 所 ｘ ＝ 以 ｍ２ （ ， ｓｉｎ ｘ － ３． ｓｉｎ ( θ ＋ π ４ ) ＝ ３ ２－ ８ １４ ； ４．ｆ 最 ｘ 小正周期为 ( ｘ π ． π ) ４ ｍ２ ( ) （ ）＝ ２ｃｏｓ ＋ ， 所以 ｘ ｘ １－ ． θ π ３ ３－ ７． ２ １２ ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ｃｏｓ － ＝ ｘ ２ ３ ８ 当 π ｋ ｋ ｋ Ｚ 即 ４． α α α ＋ ∈［－π＋２ π，２ π］， ∈ ， ２．因为 ｘ ｘ ２ 所以 ｘ （１）ｓｉｎ（π－ ）＝ｓｉｎπｃｏｓ －ｃｏｓπｓｉｎ ＝ ２ １２ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ， １＋２ｓｉｎ · α [ ] ２ ｓｉｎ ， ｘ １３π ｋ π ｋ ｋ Ｚ 时 α α α ∈ － ＋４ π，－ ＋４ π ， ∈ ， ｘ １ 所以 ｘ ｘ １ ． ｃｏｓ（π－ ）＝ ｃｏｓ πｃｏｓ ＋ｓｉｎ πｓｉｎ ＝ ６ ６ ｃｏｓ ＝ ， ｓｉｎ ｃｏｓ ＝－ α． 函数单调递增． ２ ４ －ｃｏｓ １６ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等教材习题答案 练习（第 页） 举例略． ° ° ° １６１ ｔａｎ１５ ＋ ３ ｔａｎ１５ ＋ｔａｎ６０ １． （１）ｓｉｎ ５４ ° ＋ｓｉｎ ６６ ° ＝２ｓｉｎ ５４ ° ＋ ２ ６６ ° · ２． （１） ２ ３ ；（２）－ ２ １ ；（３）－ ２ ３ ；（４）－ ２ ３ ； （ ｔａ ３ ｎ ） （ １ １ － ５ ° ３ ＋ ｔａ ６ ｎ ０ ° １ ） ５ ° ＝ ＝ ｔａ １ ｎ －ｔａ ７ ｎ ５ ° １ ， ５ ° ｔａ ｔａ ｎ ｎ ７ ６ ５ ０ ° ° ＝ ＝ ° ° ５４ －６６ ° ° °． ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ６０ ｃｏｓ６ ＝ ３ｃｏｓ６ ３． ３ ２ （５）１；（６）－ ° ° １＋ ° ° ３ ｔａｎ４５ ＋ｔａｎ３０ ３ ３＋ ３ ° ° ４０ ＋５２ ° ° ＝ ＝ ＝ ２ （２）ｃｏｓ ４０ ＋ｃｏｓ ５２ ＝ ２ｃｏｓ ２ · ３． ｃｏｓ（ α － β ）＝ ６３ ；ｃｏｓ（ α ＋ β ）＝－ ３３． １－ｔａｎ４５ ｔａｎ３０ １－ ３ ３－ ３ ６５ ６５ ° ° ３ ４０ －５２ ° °． ( ) ( ) ｃｏｓ ２ ＝２ｃｏｓ４６ ·ｃｏｓ６ ４． ｓｉｎ φ － π ＝ ４ ３－３ ；ｔａｎ φ ＋ π ＝－７ ． ＋ ３， ｘ ｘ ｘ ｘ ６ １０ ４ 所以原式 ． ｘ ｘ ３ ＋５ ３ －５ ( ) ( ) ＝２＋ ３ （３）ｓｉｎ３ －ｓｉｎ５ ＝２ｃｏｓ ｓｉｎ ５． π α ２ π α ２ ° ° ° ° ２ ２ ｃｏｓ － ＝ ，ｓｉｎ ＋ ＝ ， （４）ｓｉｎ２００ ｓｉｎ３１０ ＋ｃｏｓ３４０ ｃｏｓ５０ ｘ ｘ． ４ １０ ４ １０ ° ° ° ° ＝－２ｃｏｓ４ ｓｉｎ ( ) ＝ｓｉｎ２０ ｓｉｎ５０ ＋ｃｏｓ２０ ｃｏｓ５０ ° ° ５０ ° ＋７０ ° ｔａｎ π － α ＝－ ２５ ３＋４８． ＝ｃｏｓ（５０ ° －２０ ° ） （４）ｃｏｓ５０ －ｃｏｓ ７０ ＝－２ｓｉｎ · ３ １１ ° ２ ６． α β ． ＝ｃｏｓ３０ ° ° ｔａｎ（ － ）＝７ ５０ －７０ ３ ° °． ３． ｓｉｎ ＝２· ｓｉｎ１０ ＝ ３ｓｉｎ１０ ７． α １ ． ＝ ２ ２ ｔａｎ ＝－ ２ ３ ３．原式 ２． ° ° １ ° ° α α ( α ) （１）ｓｉｎ６４ ｃｏｓ２０ ＝ ［ｓｉｎ（６４ ＋２０ ）＋ ８． π ３ α β α β α β ２ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ２ｓｉｎ ＋ ＝－ ， ｔａｎ（ ＋ ）－ｔａｎ（ ＋ ）（１－ｔａｎ ｔａｎ ） ｓｉｎ（６４ ° －２０ ° ）］ ２ ( α ２ ) ２ ４ ５ ＝ ｔａｎ ２β ｔａｎ（ α ＋ β ） 所以 π ３ ． α α β １ ° １ °． ｓｉｎ ＋ ＝－ ｔａｎ ｓｉｎ ｃｏｓ ． ＝ ２ ｓｉｎ８４ ＋ ２ ｓｉｎ４４ ２ ４ １０ ＝ ｔａｎ β＝ ｃｏｓ α ｓｉｎ β α （２）ｓｉｎ ８４ ° ｃｏｓ １１４ ° ＝ １ ［ｓｉｎ（８４ ° ＋ 因为５π ＜ α ＜ ７π ， 所以３π ＜ ＋ π ＜２π， 因为 ｓｉｎ（ α ＋ β ）＝ １ ，ｓｉｎ（ α － β ）＝ １ ， ２ ( α ２ ) ２ ２ ２ ４ ２ ３ １１４ ° ）＋ｓｉｎ（８４ ° －１１４ ° ）］＝ １ （－ｓｉｎ １８ ° ｃｏｓ ＋ π ＝ １ ． 所以 ｓｉｎ α ｃｏｓ β ＝ １ ［ｓｉｎ（ α ＋ β ）＋ｓｉｎ（ α － ２ ２ ４ １０ ２ ( α ) ° １ ° １ ． π β ５ －ｓｉｎ３０ ）＝－ ｓｉｎ１８ － ( α ) ｓｉｎ ＋ ）］＝ ， ２ ４ 故 π ２ ４ ． １２ ｔａｎ ＋ ＝ ( α ) ＝－３ π π ２ ４ π α β １ α β α β （３）ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ ［ｓｉｎ（ ＋ ）－ｓｉｎ（ － ）］ ８ ８ { ２ ４ ２ ( ) １ π ３ａ １ ｂ １ ． ＝ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ０ ９． 由题意可知 ＋ ＝０， ＝ ２ ４ （１） ２ ２ １２ ａ 故原式 ． ２ １ ． ＝１， ＝５ ＝ ＋ 所以ａ ｂ ． ４．略． ４ ２ ． ＝１， ＝－ ３ ( ) ( ) ( ) （４）ｓｉｎ２ｓｉｎ１２ （２） ｆ （ ｘ ）＝ｓｉｎ ｘ － ３ｃｏｓ ｘ ＝２ｓｉｎ ｘ － π ， ５．Ｉ ＝ Ｉ １＋ Ｉ ２＝１２ｓｉｎ ωｔ － π ＋４ｓｉｎ ωｔ ＋ π ＝ １ ． ． ３ ６ ６ ＝－ ［ｃｏｓ（２＋１２）－ｃｏｓ（２－１２）］ æ ö ２ 当ｘ π π ｋ ｋ Ｚ时 ｆ ｘ 取得 ç ωｔ π ωｔ π ÷ － ＝ ＋２ π， ∈ ， （ ） １２ èｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ø ＋ １ ． １ ． ． ３ ２ ６ ６ ＝－ ｃｏｓ３２＋ ｃｏｓ０８ æ ö ２ ２ 最大值 此时ｘ ５π ｋ ｋ Ｚ． ， ＝ ＋２ π， ∈ ç ωｔ π ωｔ π ÷ ３． （１） １ －ｃｏｓ ｘ ＝ｃｏｓ π －ｃｏｓ ｘ Ｂ组 ６ ４èｓｉｎ ｃｏｓ ６ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ６ ø ２ ３ ωｔ ωｔ． ＝８ ３ｓｉｎ －４ｃｏｓ π ｘ π ｘ １． α ２４ α ７ α ２４ ＋ － ｓｉｎ２ ＝ ，ｃｏｓ２ ＝ ，ｔａｎ２ ＝ ， ３ ３ ２５ ２５ ７ §3 二倍角的三角函数公式 ＝－２ｓｉｎ ｓｉｎ ２ ２ α α α π＋３ ｘ π－３ ｘ ． ｓｉｎ ２ ＝ ３ １０ １０ ，ｃｏｓ ２ ＝－ １ １ ０ ０ ，ｔａｎ ２ 练习（第 １６５ 页） ＝－２ｓｉｎ ·ｓｉｎ ６ ６ ＝－３ ． １． １ ２ ３ １ α β α β （１） ；（２） ；（３） ；（４） ； ＋ － ２ ２ ２ ２ （２）ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｃｏｓ α ＝－ ４ ，ｔａｎ α ＝ ３ ． ２ ２ ５ ４ ２ ３． α ＋ β ＋ α － β α ＋ β － α ＋ β æ （５） ２ ；（６）－ ３ ＝２ｃｏｓ ｃｏｓ ２． α α ç ２ α ２ ２ ２ （１） ２ｃｏｓ － ２ｓｉｎ ＝２ è ｃｏｓ － α β． ２ ２ ２．由已知 得 α １５ 所以 α ＝２ｃｏｓ ｃｏｓ ö ( ) ， ｓｉｎ ＝－ ８ ， ｓｉｎ ２ ＝ 习题4-2 α÷ α π ． æ ö Ａ组 ｓｉｎ ø＝２ｃｏｓ ＋ ４ ２ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝ ２ × è ç － １５ ø ÷ × ７ ＝ æ ８ ８ １． （１） ６＋ ２ ；（２） ６＋ ２ ；（３） ２－ ６ ； （２）ｓｉｎ α ＋ｃｏｓ α ＝ ２ è ç ２ ２ ｓｉｎ α ＋ ２ ２ － ７ １５ ，ｃｏｓ ２ α ＝２ｃｏｓ ２α －１＝２× ( ７ ) ２ ４ ４ ４ ö ( ) ３２ ８ ２－ ６ ． α÷ α π ． １７． （４） ；（５）２－ ３；（６）２＋ ３ ｃｏｓ ø＝ ２ｓｉｎ ＋ －１＝ ４ ４ ３２ １７ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等３． ． α α 复习题四 １ 因为 ２ （３） ｃｏｓ ＝１－２ｓｉｎ ， Ａ组 ２ ４ ４． Ａ Ｂ ４８ ２－７ ｓｉｎ（２ ＋ ）＝ ； α １． ７５ α １－ｃｏｓ （１）Ａ；（２）Ｄ；（３）Ｂ；（４）Ｂ；（５）Ｃ． Ａ Ｂ ２８＋１２ ２． 所以 ｓｉｎ ２ ＝ ２ ． ２． α α ２ α ４ 故 ｔａｎ（ ＋２ ）＝ ４ ２ （ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ） ＝ １＋ｓｉｎ ２ ＝ ， ２１－１６ ２ 所以等式成立． ９ 练习（第 页） ( ) α ５ ． α １６７ α α （４） 等式右边 ＝１＋ｃｏｓ π － α ＝１＋ｓｉｎ α ｓｉｎ２ ＝－ ９ １． １０ ３ １０ ２ ３． 原式 ． 原式 ． ｓｉｎ ＝ ；ｃｏｓ ＝－ ；ｔａｎ 等式左边 （１） ＝ｓｉｎ３－ｃｏｓ３（２） ＝－１ ２ １０ ２ １０ ２ ＝ ， １ ． 所以等式成立． ４． （１） 原式 ＝ １ ． （２） 原式 ＝－ ３４． ＝－ ( ) １９ ２５ ３ （５） 等式右边 ＝１＋ｃｏｓ π ＋ α ＝１－ｓｉｎ α ５． ｓｉｎ ４α －ｃｏｓ ４α ＝（ｓｉｎ ２α ＋ｃｏｓ ２α ）（ｓｉｎ ２α － ２． ｃｏｓ π ＝ ２＋ ２ ；ｔａｎ π ＝ ２－１ ． 等式左边 ２ ｃｏｓ ２α ） ( ＝ｓｉｎ ２α ) －ｃｏｓ ２α ＝－ｃｏｓ２ α ＝－ ａ． ８ ２ ８ 所 ＝ 以等式成 ， 立． ６． α π ３． ． ∵ ∈ ０， ， ５－２ １０．设这个三角形的底角为β． ( ４ ) 习题4-3 π α π ∴ － ∈ ０， ， Ａ组 β ３ １３ β ２ １３ β ４ ４ ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝ ，ｔａｎ ( ) ( ) １３ １３ １． １ ３ ２ ２ ∴ ｃｏｓ π － α ＝ １－ｓｉｎ ２ π － α ＝ １２ ， （１） ；（２）－ ；（３） ；（４）－ ； ３ ． ４ ４ １３ ２ ２ ２ ２ ＝ ２ α ２α ２α ｃｏｓ２ ｃｏｓ －ｓｉｎ １ １ ３． Ｂ组 ∴ ( ) ＝ （５）１；（６） ；（７） ；（８）－ π α ２ α ２ α ４ ２ ３ １． （ｓｉｎ α ＋ｃｏｓ α ） ２ ＝１＋ｓｉｎ ２ α ＝ ７ ， 因为 π ｃｏｓ ４ ＋ ２ ｃｏｓ － ２ ｓｉｎ ２． α １２０ α １１９． ４ α α α α ｓｉｎ２ ＝－ ；ｃｏｓ２ ＝－ （ｃｏｓ －ｓｉｎ ）（ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ） １６９ １６９ α ３π 所以 α α ＝ ＜ ＜ ， ｓｉｎ ＜０，ｃｏｓ ＜０， ２ α α ３． α １６１ α ２４０． ２ （ｃｏｓ －ｓｉｎ ） ｃｏｓ２ ＝－ ；ｔａｎ２ ＝－ ２ ２８９ １６１ 故 α α ７． α α α ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝－ ＝ ２（ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ） ４． ｔａｎ２ α ＝ １ ２ － ｔ ｔ ａ ａ ｎ ｎ ２α＝ ３ ４ ． ２．因为 ( π θ ) ２ 所以１＋ｔａｎ θ ＝２ ç æ è ２ ｃｏｓ α ＋ ２ ｓｉｎ α ö ø ÷ ( ) ｔａｎ２ α ＋ｔａｎ π ｔａｎ ４ ＋ ＝３， １－ｔａｎ θ＝３， ( ２ ２ ) ｔａｎ ２ α ＋ π ３ ＝ １－ｔａｎ２ α ｔａｎ ３ π 解得 ｔａｎ θ ＝ ２ １ ． ＝２ ｃｏ ( ｓ π ４ ｃｏｓ ) α ＋ｓｉｎ π ４ ｓｉｎ α ３ θ θ ２θ π α ２４． 故 θ ２θ ２ｓｉｎ ｃｏｓ －２ｃｏｓ ＝２ｃｏｓ － ＝ ４ ＋ ３ ｓｉｎ ２ －２ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ２θ ＋ｃｏｓ ２θ ＝ ７． 等式 ４ 左边 １３ α β α β 等 ３ ４＋３ ３． θ （１） ＝ｔａｎ（ ＋ － ）＝ｔａｎ ， ＝ １－ ３ ４ × ３ ＝ ３－４ ３ ２ １ ｔ ＋ ａｎ ｔａｎ － ２θ ２ ＝－ ５ ４ ． 式右边 ＝ ２ｓｉ ２ ｎ ｃｏ β ｓ ｃ ２ ｏ β ｓ β ＝ｔａｎ β ， 等式左边 ＝ ５．设 ＝－ 顶 ２４ 角 ． 为β． ｓｉｎ β ＝ ２ ２ ５ ４ ，ｃｏｓ β ＝－ ２ ７ ５ ，ｔａｎ β ３．等 －１ 式 ＋１ 右 ） 边 ２ ＝ ＝ ４ １ ４ １ （ （ ２ ｃｏ ｃ ｓ ｏｓ ２ ２ θ θ ＋ ） １ ２ ） ＝ ２ ｃ ＝ ｏｓ ４ １ ４θ （ ＝ ２ｃ 等 ｏｓ 式 ２θ （ 等 ２ｓ ２ ｉ 式 ） ｎ 等 右 θ ｃ 式 ｏ 边 ｓ ２ 左 ， θ 所 ＝ 边 ｓ 以 ｉｎ ＝ 等 ２ ｓｉ θ 式 ｎ ｃｏ 成 θ ｓ （ 立 θ １ ＝ ＋ ． 等 ２ｃ 式 ｏｓ ２ 右 θ － 边 １ ， ） 所 ＝ ７ 左边 以等式成立． ， ６． α ６ α ３０ α 所以等式成立． （３） 等式左边 ＝ （ｓｉｎ ２α ＋ ｃｏｓ ２α ） ２ － ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝－ ，ｔａｎ ＝ ２ ６ ２ ６ ２ ４． α ７ α ３ α １ ． ２α ２α １ ２ α 等式右边 ｃｏｓ ＝ ，ｓｉｎ ＝ ，ｔａｎ ＝ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝１－ ｓｉｎ ２ ＝ ， ５． ２５ ２ ５ ４ ３ ２ － ５．如图 记 ＡＯＥ θ θ ． 所以等式成立． ５ ， ∠ ＝ ，０＜ ＜π ７． α ２ ５ α ５ α ． Ｓ 矩形ＡＢＣＤ＝２ Ｒ ｓｉｎ θ ·２ Ｒ ｃｏｓ θ ＝４ Ｒ２ ｓｉｎ θ · ( π α ) ( π α ) ｓｉｎ ２ ＝ ５ ，ｃｏｓ ２ ＝－ ５ ，ｔａｎ ２ ＝－２ ｃｏｓ θ ＝２ Ｒ２ ｓｉｎ２ θ． （４） 因为 ｔａｎ ４ ( ＋ － ) ｔａｎ ( ４ － ) ＝ α π α π α ８． －１＋ ５． １＋ｔａｎ ＋ ｔａｎ － ｔａｎ ＝ ４ ４ ２ ２ α ２α ２α ｔａｎ２ ， ９． 等式左边 ｔａｎ －１ １－ｔａｎ é æ （１） ＝ ｔａｎ α ＝ ２ｔａｎ α · 所以等式左边 ＝ｔａｎ ２ α · ë ê ê １＋ｔａｎ ç è π ＋ ４ １ ２ 等式 （－２）＝ α·（－２）＝ － α＝ ö æ öù 右边 ｔａｎ２ ｔａｎ２ 当 ２ θ ＝ π 时 ， Ｓ 矩形ＡＢＣＤ 取得最大值 ２ Ｒ２ ， α ø ÷ ｔａｎè çπ － α÷ øû ú ú ， ２ ４ 所以等式成立． 此时四边形ＡＢＣＤ为正方形． ( α α) α １＋ｔａｎ １－ｔａｎ 等式左边 θ ２θ ＝ｔａｎ２ · １＋ α· α （２） ＝ｓｉｎ （１＋２ｃｏｓ －１）＝ ６． α α １１． １－ｔａｎ １＋ｔａｎ θ ２θ θ θ 等式右边 ｔａｎ ＝－１１，ｔａｎ２ ＝ α 等式右边． ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ２ ｃｏｓ ＝ ， ６０ ＝２ｔａｎ２ ＝ 所以等式成立． ７．略． 所以等式成立． １８ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等教材习题答案 ８． ｙ １ ｘ 最大值为 １ 最小值 ３４． （１） ＝ ｓｉｎ ６ ， ， ＝ ２ ２ ２５ 因为 α α 为 １ 周期为π． ｓｉｎ －ｃｏｓ ＜０， － ， ２ ３ 所以 α α ３４． ｙ １ ｘ 最大值为 １ 最小值 ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝－ （２） ＝ ｃｏｓ ２ ， ， ５ ２ ２ ２α ２α １ １ ｓｉｎ －ｃｏｓ 为 １ 周期为 ． （２） ２α － ２α ＝ ２α ２α ＝ － ， π ｃｏｓ ｓｉｎ ｃｏｓ ｓｉｎ ２ α α ( ) －ｃｏｓ２ ４ｃｏｓ２ ４００ ３４． ｙ １ ｘ π ３ 最大值为 ＝－ ２ α ＝－ （３） ＝ ｓｉｎ ２ － － ， １ ２ α ｓｉｎ ２ ８１ ２ ３ ４ ｓｉｎ ２ ４ １ ３ 最小值为 １ ３ 周期为 ． ３． － ， － － ， π （１）Ｃ；（２）Ａ． ２ ４ ２ ４ ４． θ． Ｂ组 ｔａｎ ５． ． ( α α ) ( α ２ １．原式 ６． ． ＝ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ － ０ ２ ２ ２ ７． ． ( α α ) ２ ２－ ３ α ) ｓｉｎ －ｃｏｓ ８．令 ∠ ＡＯＣ ＝ θ ， 则ＣＦ ＝ｓｉｎ θ ， ＥＦ ＝ｃｏｓ θ － ｓｉｎ · ( α ２ α ２ ) ２ ＋ ｓｉｎ θ θ ( π ) ２ ， ∈ ０， ， ｓｉｎ ２ ＋ｃｏｓ ２ ３ ３ ( θ) α 所以 Ｓ θ θ ｓｉｎ ２ 矩形ＣＤＥＦ ＝ｓｉｎ · ｃｏｓ － ＝ α α ｓｉｎ ３ ２ ． ２ｓｉｎ ·ｃｏｓ · α ( ) ( ) ２ ２ ２ ３ θ π ３ θ ２π ｃｏｓ ｓｉｎ ２ ＋ － ，２ ∈ ０， ， ２ ３ ６ ６ ３ α [ ) 当 ｋ π ｋ ｋ Ｚ 即 α 当 θ π π 时 Ｓ 最大 此时 ∈ π， ＋ π ， ∈ ， ∈ ２ ＋ ＝ ， 矩形ＣＤＥＦ ， ２ ４ ６ ２ [ ) ｋ π ｋ ｋ Ｚ 时 原式 ＡＯＣ θ π 点Ｃ平分ＡＢ ２ π， ＋２ π ， ∈ ， ＝２－ ∠ ＝ ＝ ， ２ ６ α α ｓｉｎ －ｃｏｓ ； α [ ) 当 π ｋ π ｋ ｋ Ｚ 即 α ∈ ＋ π， ＋ π ， ∈ ， ２ ４ ２ [ ) π ｋ ｋ ｋ Ｚ时 原式 ∈ ＋２ π，π＋２ π ， ∈ ， ＝ ２ α α ｓｉｎ －ｃｏｓ ； α [ ) 当 π ｋ ３π ｋ ｋ Ｚ 即 α ∈ ＋ π， ＋ π ， ∈ ， ２ ２ ４ [ ) ｋ ３π ｋ ｋ Ｚ时 原式 ∈ π＋２ π， ＋２ π ， ∈ ， ＝ ２ α α －２＋ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ； α [ ) 当 ３π ｋ ｋ ｋ Ｚ 即α ∈ ＋ π，π＋ π ， ∈ ， ∈ ２ ４ [ ) ３π ｋ ｋ ｋ Ｚ 时 原式 ＋２ π，２π＋２ π ， ∈ ， ＝ ２ α α． ｃｏｓ －ｓｉｎ ２．由已知 得 α α ２ １６ ， （ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ） ＝ ，１＋ ２５ α １６ α ９ ． ｓｉｎ２ ＝ ，ｓｉｎ２ ＝－ ２５ ２５ 因为３π α 且 α α ＜ ＜２π， ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＞０， ２ ( ) 所以 α α α ７π α ｓｉｎ －ｃｏｓ ＜０， ∈ ，２π ，２ ４ ( ) ７π ． ∈ ，４π ２ 故 α ２ α ４ ３４． ｃｏｓ２ ＝ １－ｓｉｎ ２ ＝ ２５ α α ２ α ９ （１）（ｓｉｎ －ｃｏｓ ） ＝１－ｓｉｎ２ ＝１＋ ２５ １９ ( ( ) 令 θ θ ｔ 因为θ π 所 ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ， ∈ ０， ， ２ 以ｔ θ θ ． ＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ∈（１， ２） 因为 θ θ ２ θ θ ｔ２ （ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ） ＝１＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ， ｔ２ 所以 θ θ －１ ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ， ２ 故Ｓ ｔ 矩形ＰＱＣＲ ＝１０ ０００－９ ０００ ＋８ １００· ｔ２ －１ ｔ２ ｔ ＝４０５０ －９０００ ＋５９５０， ２ 当 ｔ 时 Ｓ 取得最大值 为 ＝ ２ ， 矩形ＰＱＣＲ ， ２ 此时θ π． （１４０５０－９０００ ２）ｃｍ ， ＝ ４ 第五章 复数 §1 复数的概念及其几何意义 练习（第 页） １７９ １．Ａ ｚ Ｂ ｚ Ｃ ｚ ： ＝４＋３ｉ； ： ＝－３＋２ｉ； ： ＝－３－３ｉ； Ｄ ｚ Ｅ ｚ ． ： ＝－３ｉ； ： ＝３－２ｉ ２． ｂ ａ ｂ ａ （１） ＝０；（２） ＝０；（３） ＞０；（４） ＜０； ａ ｂ ． （５） ＜０， ＞０ ３．略． ４． ｚ ｚ ｚ （１）｜ １｜＝１３， １＝１２＋５ｉ；（２）｜ ２｜＝ ３， ｚ ｚ ｚ ２＝ － ３ ｉ；（３） ｜ ３ ｜ ＝ ２， ３ ＝ ３ ＋ｉ； ｚ ｚ ． ． （４）｜ ４｜＝６， ４＝６ 习题5-1 Ｃ组 Ａ组 ( ) １． ｍ 或 ｍ ． ｍ ． ｍ １．ｆ ｘ ａ ｘ π ａ ｂ． （１） ＝４ ＝－１ （２） ＝３ （３） ＝ （ ）＝２ ｃｏｓ ２ － －２ ＋ 因为ｘ ∈ [ ０， π ] ， ３ ２． －１ ． {ｘ ＝－１，或 {ｘ ＝７， ２ （１） ｙ ｙ ． [ ] ＝７ ＝－１ 所以 ｘ π π ２π ． ｘ 或 ｙ 或 ． ２ － ∈ － ， （２） ＝５ －１， ＝－４ １ ３ ３ ３ {ｘ 若ａ ＝３， ＞０， （３） ｙ ． ＝－２ 当 ｘ π ２π时 ｆ ｘ 取得最小值 ３．略． ２ － ＝ ， （ ） ， ３ ３ ４． ． １ ３ ． ． ａ ２π ａ ｂ （１）５，３＋４ｉ （２）１， ＋ ｉ （３）６，－６ ２ ｃｏｓ －２ ＋ ＝－５； ２ ２ ３ ． （４）５，５ｉ 当 ｘ π 时 ｆ ｘ 取得最大值 ａ ５． ． ２ － ＝０ ，（ ） ，２ · Ｃ ３ ６．四． ａ ｂ ． １－２ ＋ ＝１ Ｂ组 故ａ ｂ ． ＝２， ＝１ １． 不在实轴上 即虚部不为 即ｍ 若ａ （１） ， ０， ≠ ＜０， 且ｍ ． ５ ≠－１ 当 ２ ｘ － π ３ ＝０ 时 ， ｆ （ ｘ ） 取得最小值 ，２ ａ · （２） 在虚轴上 ， 即实部为 ０， 即ｍ ＝１ ． 在实轴下方 即虚部小于 即 １－２ ａ ＋ ｂ ＝－５； （３） ， ０， －１＜ ｍ ． 当 ｘ π ２π时 ｆ ｘ 取得最大值 ＜５ ２ － ＝ ， （ ） ， 在虚轴右侧 即实部大于 即ｍ ． ３ ３ （４） ， ０， ＞１ 在第三象限 即实部和虚部同时小 ａ ２π ａ ｂ ． （５） ， ２ ｃｏｓ －２ ＋ ＝１ 于 即 ｍ ． ３ ０， －１＜ ＜１ 故ａ ｂ ． ２．若复数ｚ 对应的点在复平面的第三象 ＝－２， ＝－５ 综上 ａ ｂ 或ａ ｂ ． 限 则 虚 部 和 实 部 同 时 为 负 即 ， ＝２， ＝１ ＝－２， ＝－５ ， ， ２．Ｓ 矩形ＰＱＣＲ＝（１００－９０ｓｉｎ θ ）（１００－９０ｃｏｓ θ ） { ｌｏｇ１ ２（ ｘ２ －３）＜０， {ｘ２ －３＞１， ｘ θ θ ｘ ⇒ ｘ ⇒－３＜ ＜ ＝ １０ ０００ － ９ ０００ （ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ） ＋ ｌｏｇ２（ ＋３）＜０ ０＜ ＋３＜１ θ θ． ． ８１００ｓｉｎ ｃｏｓ －２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等整理得 ｂ ｃ ｂ ａｘ ｂｙ ａｙ ｂｘ ａｘ ｂｙ ａｙ §2 复数的四则运算 { ｂ ｃ ２ ＋ －（８＋ { ２ ｂ ）ｉ＝０， （ ｂｘ － ）＋（ ＋ ）ｉ＝（ － ）－（ ＋ ２ ＋ ＝０，解得 ＝－４， ）ｉ， 练习（第 页） ∴ ｂ ｃ ． ｚ ｚ ａ ｂ ｘ ｙ ａ ｂ ｘ ｙ １８３ ８＋２ ＝０， ＝８ １· ２＝ ＋ ｉ· ＋ ｉ＝（ － ｉ）（ － ｉ）＝ １． （１）－１０－ｉ；（２）２；（３）０；（４）８ ２－２ｉ； ９．１＋ ｍ ｉ ＋ １ ＝ （１＋ ｍ ｉ）（２＋ｉ） ＋ １ ＝ ２－ ｍ ＋ （ ａｘ － ｂｙ ）－（ ａｙ ＋ ｂｘ ）ｉ ． ． ２－ｉ ２ ５ ２ ５ ｚ ｚ ｚ ｚ ． （５）４ ５－６ｉ；（６）１５＋３ ３ ｍ ∴ １· ２＝ １· ２ ２．如教材第 页图 设复数ｚ ａ ｃ １ ２ ＋１ æｚ ö (ａ ｂ ) ａ ｂ ｘ ｙ 则 ＋（ ｂ ｚ ３ ＋ － ｄ ｚ ） １ ｉ ＝ ， １ （ ７ ａ ０ ＋ ｃ ）＋（ ５ ｂ － ＋ ６ ｄ ， ）ｉ－（ ａ ＋ ｂ ３ ｉ ＝ ）＝ ＋ ｃ 所 ２ 以 ＋ ２－ ５ ５ ｍ ＋ ｉ， ２ １ ＝ ２ ｍ ５ ＋１ ⇒ ｍ ＝ ６ ７ ． （ （ ａ ４ ｘ ） ＋ ｂ è ç ｙ ｚ ） １ ２ ＋ ø ÷ （ ｂ ＝ ｘ － ａ ｘ ｙ ＋ ＋ ） ｙ ｉ ｉ ｉ ＝ （ ＋ ｘ ｉ ２ ） ＋ （ ｙ２ － ｉ） ＝ ＋ ｄ ｉ ． １０．若ｚ １· ｗ ≠ ｚ ２· ｗ ， 则ｚ １· ｗ － ｚ ２· ｗ ＝（ ｚ １ ｘ２ ＋ ｙ２ ｚ ｚ 对应的向量为Ｚ→Ｚ 即复数的减法 ｚ ｗ ． ａｘ ｂｙ ｂｘ ａｙ 可 ３－ 以 １ 按照向量的减法来 １ 进 ， 行． 又 － ２ ｚ ）· ｚ ≠ 所 ０ 以ｚ ｚ 即 ｗ ． ＝ （ ＋ ｘ ） ２ －（ ｙ２ － ）ｉ ， １＝ ２， １－ ２＝０， ０· ≠０ ＋ 练习（第 页） 设ｗ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ ａ ｂ 不同时为 ｚ ａ ｂ ａ ｂ ｘ ｙ １８６ ＝ ＋ ｉ（ ， ∈ ， ， １ － ｉ （ － ｉ）（ ＋ ｉ） １． １ ３ ０）， 则 ０·（ ａ ＋ ｂ ｉ）＝ ０＋０ｉ＝０， 与 ０· ｗ ｚ ２ ＝ ｘ － ｙ ｉ ＝ ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ （１）－３＋１１ｉ；（２）－１０ｉ；（３）－ － ｉ； 矛盾． ａｘ ｂｙ ａｙ ｂｘ ２ ２ ≠０ （ ＋ ）＋（ － ）ｉ （４）－１３ ． 所以ｚ １· ｗ ＝ ｚ ２· ｗ （ ｗ 是任意的非零 ｘ２ ＋ ｙ２ ２． ． 复数 ． ａｘ ｂｙ ｂｘ ａｙ （１）－１；（２）０ ） （ ＋ ）－（ － ）ｉ． ３． ． １１． ． ＝ ｘ２ ＋ ｙ２ （１）－５－１２ｉ；（２）－７－２４ｉ ４１ æｚ ö ｚ ４． （１） －３＋２ｉ ；（２） ７＋１９ｉ． １２．设 Ｒ 复数 ｚ １ ＝ ａ ＋ ｂ ｉ， ｚ ２ ＝ ｃ ＋ ｄ ｉ， ａ ， ｂ ， ｃ ， ｄ ∴ è ç ｚ １ ø ÷ ＝ ｚ １． １３ １０ ∈ ， ２ ２ 练习（第 １８９ 页） 则ｚ １＋ ｚ ２＝ ａ ＋ ｃ ＋（ ｂ ＋ ｄ ）ｉ＝８， ４．ｚ ＝ ａ －ｉ ＝ （ ａ －ｉ）（１＋ｉ） ＝ （ ａ ＋１）＋（ ａ －１）ｉ． １．Ｏ→Ｚ ２ 是由Ｏ→Ｚ １ 逆时针旋转 π ２ ， 再拉伸 ２ ｂ ∴ ａ ｄ ＋ ｃ ＝８，① ｗ １ ｚ － ２ ｉ ｚ １＋ ａ ２ ａ２ ＋ ａ ． ２ 倍得到的 ＋ ＝０，② ＝ ＋ ｉ＝ ＋ ｉ ； ｚ ｚ ａ ｂ ｃ ｄ ａｃ ｂｄ ａｄ ２ ２ １· ２＝（ ＋ ｉ）（ ＋ ｉ）＝（ － ）＋（ Ｏ→Ｚ 是由Ｏ→Ｚ 逆时针旋转 再拉伸 倍 ｂｃ 又虚部减去实部的差等于 ３ ３ １ π， ４ ＋ ）ｉ＝２４， ， 得到的． ａｃ ｂｄ ２ ∴ － ＝２４，③ ａ２ ａ ａ ａｄ ｂｃ 所以 ＋ １＋ ３ 可得ａ ２．Ｏ→Ｚ 是由Ｏ→Ｚ 逆时针旋转π 再压缩为 ＋ ＝０，④ － ＝ ， ＝±２， ２ １ ２ ， 联立 解得ａ ｃ ｂ 又ａ ２ ２ ２ ①②③④， ＝ ＝４， ＝２ ２， ＞０， 原来的 １ 得到的 ｄ 或ａ ｃ ｂ ｄ 所以ａ ； ＝－２ ２ ＝ ＝４， ＝－２ ２， ＝２ ２， ＝２， ２ Ｏ→Ｚ 是由Ｏ→Ｚ 逆时针旋转 再压缩为 ∴ 这两个复数为 ４＋２ ２ｉ 和 ４－２ ２ｉ ． 故ｗ ＝ ３ ＋３ｉ ． ３ １ π， Ｂ组 ２ ５． ｘ ｘ ａ ｂ ａ ｂ 原来的 １ 得到的． １． ． （１）（ ＋２ｉ）（ －２ｉ）；（２）（ ＋ ）（ － ） ０ 习题5- ４ 2 ２． ∵ 关于ｘ的实系数一元二次方程ｘ２ ＋ ｋｘ （ ａ ＋ ｂ ｉ）（ ａ － ｂ ｉ） ． ｋ２ ｋ 有两个虚根 ６．若ＯＡ ＝２ ＯＢ ， 则点Ｂ可由点Ａ顺时针 Ａ组 ＋ －２ ＝０ ， Δ 旋转 ° 并压缩 １ 得到 所以ｚ １ １． （１）３＋５ｉ；（２）－２ｉ；（３）－１－２ｉ；（４）３－５ｉ ． 即 ∴ ｋ ＜ ２ ０， ｋ２ ｋ ９０ ， ２ ， １＝ ２ ２． ． －４（ －２ ）＜０， （１）－１＋７ｉ；（２）５；（３）８－１４ｉ；（４）３２＋７ｉ ｋ ｋ １ ３． ． ∴ （３ －８）＞０， ·（－ｉ）＝－ ｉ， （１）０；（２）－１ ２ 解得ｋ 或ｋ ８ ． ４． ３ ４ ＜０ ＞ 同理 ｚ ｚ １ ． （１） －３－２ｉ；（２）ｉ；（３） － ＋ ｉ； ３ ， ２＝－２ｉ， ３＝－ ｉ ５ ５ 又ｘ ｘ ｋ ｘ ｘ ｋ２ ｋ ２ １＋ ２＝－ ， １ ２＝ －２ ， 点Ｂ对应的复数为ｚ ｚ （４） １３＋ｉ． ∴ ｘ２ １＋ ｘ２ ２＝（ ｘ １＋ ｘ ２） ２ －２ ｘ １ ｘ ２＝ ｋ２ －２ ｋ２ ＋４ ｋ ( ) · １＝ ５． ５ ． ＝４ ｋ － ｋ２ ＝３， （６＋８ｉ）· － １ ｉ ＝４－３ｉ； ６． （１） ． －３＋４ｉ；（２）－７－２４ｉ ∴ ｋ２ －４ ｋ ＋３＝０，∴ ｋ ＝１ 或ｋ ＝３， 点Ｃ对应的复 ２ 数为ｚ ｚ ｚ －１ · １· ２＝（４－３ｉ） ７． ｘ２ 又ｋ 或ｋ ８ ｋ ． （１）∵４ ＋９＝０， ＜０ ＞ ，∴ ＝３ ·（－２ｉ）＝－６－８ｉ； ３ 点Ｄ 对应的复数为 ｚ ｚ ｚ ｚ ｘ２ ９ ３．设ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ ｚ ｘ ｙ ｘ ｙ · １· ２· ３＝ ∴ ＝－ ４ ， Ｒ ． １＝ ＋ ｉ（ ， ∈ ）， ２＝ ＋ ｉ（ ， ∈ ( １ ) ． ） （－６－８ｉ）· － ｉ ＝－４＋３ｉ ｘ ３ ． ２ ∴ ＝± ２ ｉ （ １ ） ｚ １＋ ｚ ２ ＝ （ ａ ＋ ｂ ｉ）＋（ ｘ ＋ ｙ ｉ） ＝ 若ＯＡ １ ＯＢ 则ｚ ｚ １ ｚ （２）∵ ｘ２ －４ ｘ ＋１３＝０， （ ａ ＋ ｘ ）＋（ ｂ ＋ ｙ ）ｉ＝（ ａ ＋ ｘ ）－（ ｂ ＋ ｙ ）ｉ， ＝ ２ ， １＝－２ｉ， ２＝－ ２ ｉ， ３ ｚ ｚ ａ ｂ ｘ ｙ ａ ｂ ｘ ｙ ａ ． ｘ ４± （－４） ２ －４×１３ ４± －３６ １＋ ２＝ ＋ ｉ＋ ＋ ｉ＝ － ｉ＋（ － ｉ）＝（ ＋ ＝－２ｉ ∴ ＝ ＝ ＝ ｘ ｂ ｙ ． 点Ｂ对应的复数为ｚ ｚ ２ ２ ）－（ ＋ ）ｉ · １＝１６－１２ｉ； ｚ ｚ ｚ ｚ ． 点Ｃ对应的复数为ｚ ｚ ｚ ４±６ｉ ． ∴ １＋ ２＝ １＋ ２ · １· ２＝－６－８ｉ； ＝２±３ｉ 同理 证明略． 点Ｄ 对应的复数为 ｚ ｚ ｚ ｚ ２ （２） （１）， · １· ２· ３＝ ８．由题知 （２－２ｉ） ２ ＋ ｂ （２－２ｉ）＋ ｃ ＝０， （ ３ ） ｚ １· ｚ ２ ＝ （ ａ ＋ ｂ ｉ）（ ｘ ＋ ｙ ｉ） ＝ －１６＋１２ｉ ． ２０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等教材习题答案 ( ) é ( ) ( ) ù *§3 复数的三角表示 （４）２ ２ ｃｏｓ ７π ＋ｉｓｉｎ ７π ． ë ê êｂ ｓｉｎ α ＋ π － ａ ｓｉｎ θ ＋ π û ú ú ｉ， 且两复 ６ ６ ３ ３ 练习（第 页） ２． 不是 辐角的主值不同 １９４ （１） ， ； 数的模相等 易知→ＥＡ可由Ｂ→Ｄ逆时针旋 １． ° ° ， （１）４（ｃｏｓ０ ＋ｉｓｉｎ０ ）； 不是 ｒ １ 模长应为非负数． ( ) （２） ， ＝－ ＜０， 转π得到 （２）２ ｃｏｓ ３ π＋ｉｓｉｎ ３ π ； ３． ( π ２ π ) ． ３ ， ( ２ ２ ) （１）９ ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ＝９ｉ ＢＦＥ π． ２ ２ ∴ ∠ ＝ （３）２ ２ ｃｏｓ ３ ４ π＋ｉｓｉｎ ３ ４ π ； （２）２ ( ｃｏｓ π ＋ｉｓｉｎ π ) ＝１＋ ３ｉ ． ２． （３－３ｉ）［ｃｏｓ ３ （－６０ ° ）＋ｉｓｉｎ （－６０ ° ）］ ３ ３ ２π ２π． ( ) æ ö （４）ｃｏｓ ３ ＋ｉｓｉｎ ３ （３）２ ５ ｃｏｓ ３π ＋ｉｓｉｎ ３π ＝ － １０ ＋ ＝（３－３ｉ）è ç １ －ｉ· ３ ø ÷ ２． ． ４ ４ ２ ２ （１）２＋２ ３ｉ；（２）３ ３－３ｉ ． ． ( ) １０ｉ ＝－２ ３ｉ ３． ５ ５ ( ) ３．如图． （１）１６ ｃｏｓ π＋ｉｓｉｎ π ＝４ ６－４ ２ ４π ４π ． １２ １２ （４）２ ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ＝－１－ ３ｉ ３ ３ ． ＋（４ ６＋４ ２）ｉ æ ö （２）１２ ４ （ｃｏｓ π＋ｉｓｉｎ π）＝－１２ ４． （５）３ ６ （ｃｏｓ６０ ° ＋ｉｓｉｎ６０ ° ）＝３ ６ è ç １ ＋ ３ ｉø ÷． ２ ２ ( ) ６ ° ° ６ π π ． （３） （ｃｏｓ ３００ ＋ｉｓｉｎ ３００ ）＝ － （６）１６ ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ＝８ ３＋８ｉ ２ ４ ６ ６ ４．Ｏ→Ｚ′对应的复数为 ° ３ ２ ． （－１＋ｉ）（ｃｏｓ １２０ ＋ ｉ ° ４ ( ) ｉｓｉｎ１２０ ） 设 ＡＢＣ的三个顶点Ａ Ｂ Ｃ分别与复 æ ö △ ， ， ７π ７π ． （４）２ ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ＝ ２－ ２ｉ ç １ ３÷ 平面内的复数 ｚ ｚ 对应 ｚ ｃ 辐 ４ ４ ＝（－１＋ｉ）è－ ＋ｉ· ø ０， １， ２ ，｜ １｜＝ ， ４．如图 以点Ｂ为原点建立直角坐标系． ２ ２ 角为θ ｚ ｂ 辐角为θ 易得 ｚ ｚ ， １；｜ ２｜＝ ， ２， ｜ ２－ １｜ １ ３ １＋ ３ ＢＣ ａ． ＝ － － ｉ ＝｜ ｜＝ ２ ２ ２ 设 ＢＡＣ θ 则θ θ θ ∠ ＝ ， ＝ ２－ １， １－ ３ １＋ ３ ． 这样ｚ ｃ θ θ ＝ － ｉ １＝ （ｃｏｓ １＋ｉｓｉｎ １）， ２ ２ ｚ ｂ θ θ 逆时针旋转 ° 相当于乘一个辐角为 ２＝ （ｃｏｓ ２＋ｉｓｉｎ ２）， １２０ ， 又ｚ ｚ ｂ θ ｃ θ ｂ θ ° 模为 的复数． ２－ １＝（ ｃｏｓ ２－ ｃｏｓ １）＋ｉ（ ｓｉｎ ２－ １２０ 、 １ ｃ θ Ｂ组 ｓｉｎ １）， ａ ｚ ｚ ＝｜ ２－ １｜， 设点Ｃ的坐标为 则点Ｅ的坐 １．设Ｃ→Ｂ对应的复数ｚ ａ θ θ 所以ａ ｚ ｚ （－１，０）， １＝ （ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ）， ＝｜ ２－ １｜ 标为 点Ａ的坐标为 ． é æ ö 点Ａ （ Ｅ －１ 所 ，２ 对 ）， 应的复数分别为 （－ ｚ １，３） 则Ｃ→Ｅ对应的复数为 ａ ë ê ê ｃｏｓ è çθ ＋ π ø ÷ ＋ ＝ （ ｂ ｃｏｓ θ ２－ ｃ ｃｏｓ θ １） ２ ＋（ ｂ ｓｉｎ θ ２－ ｃ ｓｉｎ θ １） ２ ， Ａ＝－１＋ ３ ｂ２ ｃ２ ｂｃ θ θ ｚ ． æ ö ù ＝ ＋ －２ ｃｏｓ（ ２－ １） ｚ ３ Ａ ｉ， 对 Ｅ 应 ＝－ 的 １ 辐 ＋２ 角 ｉ 的主值为 ∠ ＡＢｘ ， ｉｓｉｎè çθ ＋ π ３ ø ÷ û ú ú ， ＝ 即ａ２ ｂ２ ＋ ｂ ｃ ２ ２ － ｃ ２ ２ ｂｃ ｃ ｂ ｏ ｃ ｓ θ ， ＢＡＣ． ｚ 对应的辐角的主值为 ＥＢｘ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ∠ Ｅ ∠ ， 设Ｃ→Ｄ对应的复数ｚ ｂ α α ４．设ｚ θ θ θ 且ｚ５ 则 ＡＢＣ ＥＢＣ ＡＢｘ ２＝ （ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ）， ＝ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ （ ∈［０，２π））， ＝ ∠ ＋∠ ＝（π－∠ ）＋（π－ é æ ö ∠ ＥＢｘ ）＝２π－（∠ ＡＢｘ ＋∠ ＥＢｘ ） ． 则→ＣＡ对应的复数为 ｂ ë ê ê ｃｏｓ ç è α ＋ π ø ÷ ＋ －ｉ， æ ö 而 ∠ ＡＢｘ ＋∠ ＥＢｘ应是复数ｚ Ａ· ｚ Ｅ 的辐 ( ) ù ３ 则 （ｃｏｓ θ ＋ｉｓｉｎ θ ） ５ ＝ｃｏｓ ç è ３π ＋２ ｋ π ÷ ø＋ 角的主值． ú ２ ｚ Ａ· ｚ Ｅ＝（－１＋３ｉ）（－１＋２ｉ）＝ １－６－５ｉ＝ ｉｓｉｎ α ＋ π ３ û ú ， ｉｓｉｎ ( ３π ＋２ ｋ π ) ， ｋ ∈ Ｚ． －５－５ｉ， ∴ Ｂ→Ｄ ＝ Ｃ→Ｄ － →ＣＢ对应的复数为ｂ （ｃｏｓ α ＋ ２ ( ) α ａ θ θ ｂ α 所以 θ θ ３π ｋ 所以ｚ ｚ 的辐角的主值为 ５ ． ｉｓｉｎ ）－ （ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ）＝ （ ｃｏｓ － ｃｏｓ ５ ＋ｉｓｉｎ ５ ＝ｃｏｓ ＋２ π ＋ Ａ· Ｅ ４ π ａ ｃｏｓ θ ）＋（ ｂ ｓｉｎ α － ａ ｓｉｎ θ ）ｉ， ( ) ２ ３π ｋ ｋ Ｚ． 所以 ＡＢＣ ＥＢＣ ５ ３ ． Ｂ→Ｄ ２ ｂ α ａ θ ２ ｂ α ｉｓｉｎ ＋２ π ， ∈ ∠ ＋∠ ＝２π－ π＝ π ∴ ｜ ｜ ＝（ ｃｏｓ － ｃｏｓ ） ＋（ ｓｉｎ － ２ ４ ４ ａ θ ２ 因为θ 所以 θ ． ｓｉｎ ） ∈［０，２π）， ５ ∈［０，１０π） ５． （１）３＋３ｉ；（２）４ ３－４ｉ；（３）－９；（４）－３－ ａ２ ｂ２ ａｂ α θ α θ ＝ ＋ －２ （ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ） 故有３π ｋ 所以ｋ ． ａ２ ｂ２ ａｂ α θ ． ＋２ π∈［０，１０π）， ＝０，１， ３ ３ｉ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ（ － ） ２ 习题5-3 ． 同理 →ＡＥ ２ ａ２ ｂ２ ａｂ α θ ． ２，３，４ ｜ ｜ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ（ － ） Ａ组 ＢＤ ＡＥ． θ θ ３π ３π θ ３π ∴ ＝ ｃｏｓ５ ＋ｉｓｉｎ５ ＝ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ， ＝ ， １． （１）６（ｃｏｓ０＋ｉｓｉｎ０） ． 由Ｂ→Ｄ对应的复数为 ｂ α ａ θ ２ ２ １０ ( ) （ ｃｏｓ － ｃｏｓ ）＋ ｚ ３π ３π． （２） ２ ｃｏｓ π ＋ｉｓｉｎ π ． （ ｂ ｓｉｎ α － ａ ｓｉｎ θ ）ｉ， →ＥＡ对应的复数为 １＝ｃｏｓ １０ ＋ｉｓｉｎ １０ ４ ４ ( ) é ê æ ö æ ö ù ú ( ) æ ５π ５π ． êｂ çα π ÷ ａ çθ π ÷ ú θ θ ３π ç３π （３）２ ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ë ｃｏｓ è ＋ ø － ｃｏｓ è ＋ ø û ＋ ｃｏｓ５ ＋ｉｓｉｎ ５ ＝ｃｏｓ ＋２π ＋ｉｓｉｎ è ３ ３ ３ ３ ２ ２ ２１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等ö ( ) {ａ２ ｂ２ ÷ θ ７π ｚ １３π １３π 所以 ＋ ＝１，① ＋２πø， ＝ ， ３＝ ２ ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ； ａ ｂ ． １０ １２ １８ ２（ ＋ ）＝３② ( ) ｚ １９π １９π 由 得ａ ３ ｂ． ｚ ２＝ｃｏｓ ７π ＋ｉｓｉｎ ７π． ４＝ ２ ｃｏｓ １８ ＋ｉｓｉｎ １８ ； ② ＝ ２ － ③ １０ １０ ( ) ( ) ２ 同理 ｚ １１π １１π ｚ ３π ｚ ５＝ ２ ｃｏｓ ２５π ＋ｉｓｉｎ ２５π ； 将 ③ 代入 ① 得 ３ － ｂ ＋ ｂ２ ＝１， ， ３＝ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ， ４＝ｃｏｓ ＋ １８ １８ ２ １０ １０ ２ ( ) ３π ｚ １９π １９π． ｚ ６＝ ２ ｃｏｓ ３１π ＋ｉｓｉｎ ３１π ． 即 ２ ｂ２ －３ ｂ ＋ ９ ＝１， ｉｓｉｎ ， ５＝ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ １８ １８ ４ ２ １０ １０ Ｂ组 即 ｂ２ ｂ ５ 复习题五 ２ －３ ＋ ＝０， １． ３ ２ ． １２ ｉ ． ４ （１） ＋ ｉ（２） ＋ 而Δ Ａ组 １３ １３ ５ ５ ＝９－１０＝－１＜０， 故方程无解． ì １． { ｘ ＝ １ ， í ï ï ｘ ＝ １ ７ ５ ， （３）－ １ １ ２ －３ｉ ． （４） ２ １５ ｉ ． ２．设正方形的边长为 １， 以点Ｂ为坐标原 （１） ｙ ４ ． （２）ï ïｙ ３ ． ２． ｚ ２－４ ｚ ＋８ （ ｚ －２） ２ ＋４． 点 ， ＢＧ所在直线为 ｘ 轴 ， ＢＡ 所在直线 ＝－２ î ＝－ ｚ ＝ ｚ 为ｙ轴建立平面直角坐标系 ７ －１ －１ ， ２． ｉ １１ ＝－ｉ，ｉ ２５ ＝ｉ，ｉ ２６ ＝－１，ｉ ３６ ＝１，ｉ ７０ ＝ｉ ２ ＝ 将ｚ ＝２＋ｉ 代入得 －１，ｉ １０１ ＝ｉ，ｉ ３５５ ＝－ｉ，ｉ ４００ ＝１ ． （ ｚ －２） ２ ＋４ ｉ ２ ＋４ ３ ３（１－ｉ） ３ ｚ ＝ ＝ ＝ ＝ － ３． ． －１ １＋ｉ １＋ｉ ２ ２ （１）－２＋ｉ ． ３ ． （２）３－２ｉ ｉ ． ２ （３）４－２ｉ ３．设ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 且ａ ｂ不同时为 （４）１０－３ｉ ． ＝ ＋ ｉ（ æ ， ∈ ａ ， ö ， æ ｂ ö ０）， 则点Ｄ所对应的复数 ４． （１）－２１＋２ ． ４ｉ ． 则ｚ ＋ ４ ｚ ＝è çａ ＋ａ２ ４ ＋ ｂ２ ø ÷ ＋ｉè çｂ －ａ２ ４ ＋ ｂ２ ø ÷． ｚ Ｄ＝１＋ｉ＝ ２（ｃｏｓ∠ ＤＢＣ ＋ｉｓｉｎ∠ ＤＢＣ ）， （２）－３２－ｉ ｂ 点Ｆ所对应的复数 因为 ｚ ４ 是实数 所以 ｂ ４ ． （３）－ １＋ ３ ＋ ３－１ ｉ ． ＋ ｚ ， －ａ２ ＋ ｂ２ ＝０ ｚ Ｆ＝２＋ｉ＝ ５（ｃｏｓ∠ ＦＢＥ ＋ｉｓｉｎ∠ ＦＢＥ ）， ２ ２ 点Ｈ所对应的复数 ． ……① ５． （４）－２５ｉ ． ． ． ． 又 ｜ ｚ －２｜ ＝ （ ａ －２） ２ ＋ ｂ２ ＝２， 所以 （ ａ － ｚ Ｈ＝３＋ｉ＝ １０（ｃｏｓ∠ ＨＢＧ ＋ｉｓｉｎ∠ ＨＢＧ ） ． （１）－１１＋２ｉ （２）－４６－９ｉ （３）１ （４）－ｉ ２） ２ ＋ ｂ２ ＝４ ． ……② 因为ｚ Ｄ· ｚ Ｆ· ｚ Ｈ＝（１＋ｉ）（２＋ｉ）（３＋ｉ）＝ （５）－１＋ｉ ． （ [ ６） ( ２ ５ － ５ １ ｉ ． ) ( ) ] 联立 ①②， 则有 {ｂ ａ （ ２ ａ ｂ ２ ２ ＋ ｂ２ ） ａ －４ ｂ ＝０， １０ｉ＝１０ ( ｃｏｓ π ２ ＋ｉｓｉｎ π ２ ) ， ｚ Ｄ· ｚ Ｆ· ｚ Ｈ＝ ＋ －４ ＝０， ６． （１）２ ２ ｃｏｓ ７ １ π ２ ＋ θ ＋ｉｓｉｎ ７ １ π ２ ＋ θ ． 即 {ｂ （ ａ２ ＋ ｂ２ －４）＝０， ２ （ｃｏｓ∠ ＤＢＣ ＋ ｉｓｉｎ∠ ＤＢＣ ） · ５ · [ ( ) ( )] ａ２ ｂ２ ａ． ＦＢＥ ＦＢＥ ＨＢＧ θ π θ π ． ＋ ＝４ （ｃｏｓ∠ ＋ｉｓｉｎ∠ ）· １０（ｃｏｓ∠ ＋ （２）２ ｃｏｓ ２ － ＋ｉｓｉｎ ２ － 若ｂ 则ａ２ ａ ａ ａ 舍 ＨＢＧ ＤＢＣ １２ １２ ＝０， ＝４ ⇒ ＝４（ ＝０ ）； ｉｓｉｎ∠ ）＝ ２· ５· １０·［ｃｏｓ（∠ θ θ． {ａ ＦＢＥ ＨＢＧ ＤＢＣ ＦＢＥ （３）ｃｏｓ ( ＋ｉｓｉｎ ) 若ｂ ≠０， 则ａ２ ＋ ｂ２ ＝４＝４ ａ ⇒ ｂ ＝１， ． ＋∠ ＨＢＧ ＋∠ ）＋ｉ Ｄ ｓｉ Ｂ ｎ Ｃ （∠ ＦＢＥ ＋∠ ＨＢＧ ＋ ７． （１）１６ ｃｏｓ ４ ３ π ＋ｉｓｉｎ ４ ３ π ＝－８－８ ３ｉ ． 故有ｚ ＝４ 或ｚ ＝１－ ３ｉ 或ｚ ＝１＋ ＝± ３ｉ ３ ． ∠ ＋ｉｓｉｎ（∠ ）］ Ｄ ＝ Ｂ １ Ｃ ０ ＋ ［ ∠ ｃｏ Ｆ ｓ Ｂ （∠ Ｅ ＋∠ Ｈ ＋ Ｂ ∠ Ｇ ）］， ＋∠ ） （２）－１２８＋ ( １２８ ３ｉ ． ) ４．设ｚ ＝ ａ ＋ ｂ ｉ（ ａ ， ｂ ∈ Ｒ ）， 所以 ∠ ＤＢＣ ＋∠ ＦＢＥ ＋∠ ＨＢＧ ＝ π． ｚ ６ ７π ７π 则 ｚ ａ２ ｂ２ ａ ｂ ２ （３） １＝ ２ ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ； ｜ ｜＝ ＋ ＝１＋３ｉ－ － ｉ， ３．略． １２ １２ { ｂ {ｂ ( ) 所以 ３－ ＝０， 解得 ＝３， ４．略． ｚ ２＝ ６ ２ ｃｏｓ ５ ４ π ＋ｉｓｉｎ ５ ４ π ； １－ ａ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ， ａ ＝－４ ． 第六章 立体几何初步 ( ) 故ｚ ＝－４＋３ｉ， ｚ ６ ２３π ２３π ． ３＝ ２ ｃｏｓ １２ ＋ｉｓｉｎ １２ 所 以 （１＋３ｉ） ３ （３＋４ｉ） §1 基本立体图形 ＝ ｚ π π ｚ ７π －４＋３ｉ 练习（第 页） （４） １＝ｃｏｓ ４ ＋ｉｓｉｎ ４ ； ２＝ｃｏｓ １２ ＋ （－２６－１８ｉ）（３＋４ｉ）（－４－３ｉ） ． １． ２１０ ．理由略． ＝－１８＋２６ｉ （１）√；（２）✕；（３）✕；（４）√ ２５ ７π ｚ １１π １１π ｚ ２．Ａ Ｂ Ｃ Ｄ． ｉｓｉｎ ； ３ ＝ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ； ４ ＝ ５．略． ⫋ ⫋ ⫋ １２ １２ １２ ３． 圆锥 半个圆锥． Ｃ组 （１） ；（２） ｃｏｓ ５ ４ π ＋ｉｓｉｎ ５ ４ π ； ｚ ５＝ｃｏｓ １ １ ９ ２ π ＋ｉｓｉｎ １ １ ９ ２ π ； １．设ｚ ＝ ａ ＋ ｂ ｉ（ ａ ， ｂ ∈ Ｒ ）， ４． １０ ３ ｃｍ ． ｚ ６＝ｃｏｓ ２ １ ３ ２ π ＋ｉｓｉｎ ２ １ ３ ２ π． ｉ 则 ）（ ｜ ａ ｚ ｜ － ２ ｂ ＋ ｉ （ ） １ － － （ ｉ １ ） ＋ ｚ ｉ － ） （ （ １ ａ ＋ ＋ ｉ ｂ ） ｉ ｚ ） ＝（ ａ２ ＋ ｂ２ ）＋（１－ ５ ６ ． ． ５ １２ ｃｍ ｃｍ ． ． ( ) ａ２ ｂ２ ａ ｂ 习题6-1 ｚ π π ＝ ＋ －２（ ＋ ）ｉ， （５） １＝ ２ ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ； Ａ组 １８ １８ 而５－５ｉ ５（１－ｉ） ５（１－ｉ）（２－ｉ） ( ) ＝ ＝ ＝ １ １．矩形． ｚ ７π ７π ２＋ｉ ２＋ｉ ５ ２＝ ２ ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ； ２．不是 因为各侧棱的延长线没有交于 １８ １８ －３ｉ， ， ２２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等教材习题答案 一点． Ｂ．ａ和 ｂ 确定平面 α 因为点 Ａ 直线 和ＢＣ分别是平面ＡＣ与平面α β的交 ， ∈ ， ３．略． ａ 所以Ａ 平面α 同理 Ｂ 平面α．而 线 所以ＡＤ ＢＣ． ， ∈ ， ， ∈ ， ∥ ４． ． Ａ 直线ｃ Ｂ 直线ｃ 因此直线ｃ 平 所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形 Ｃ ∈ ， ∈ ， ⊂ ， ５．能．图略． 面α． 所以ＡＢ ＤＣ． ＝ Ｂ组 ６．设平面ＡＢＣ 平面α 直线ｌ 点Ｐ 直 练习（第 页） ∩ ＝ ， ∈ ２３４ 略． 线ＡＢ 则Ｐ 平面ＡＢＣ． １． ． ， ∈ Ｂ 又Ｐ 平面α 则Ｐ 交线ｌ．同理点Ｑ ２．平行． ∈ ， ∈ ∈ §2 直观图 交线 ｌ 点 Ｒ 交线 ｌ 即 Ｐ Ｑ Ｒ 三点 ３． ． ， ∈ ， ， ， ①②③ 练习（第 页） 共线． 习题6-4 ２１６ 略． Ａ组 习题6-2 １． （１）Ａ．（２）Ｄ．（３）Ｄ．（４）Ｂ． Ａ组 ２． 平行或相交． 相交或异面． （１） （２） １～３．略． ． （３）１２ ４． ． ３． ①② （１）√；（２）✕；（３）✕；（４）√；（５）✕； ５．略． ． （６）√ Ｂ组 ４．ＰＲ ＢＣ′． Ｂ组 ∥ １．略． ＰＤ ＰＥ １． ． ５．在 ＰＡＢ 中 因为 所以 ＤＥ ２． ． ２． Ｄ 略． △ ， ＰＡ＝ＰＢ， ∥ ２＋ ２ ３．略． ３．由于点Ｏ 截面 ＡＢ Ｄ 点 Ｏ 对角 ＡＢ ， 所以ＤＥ ∥ 平面ＡＢＣ ， 同理 ， ＥＦ ∥ 平 １∈ １ １， １∈ 面ＡＢＣ．又因为 ＤＥ ＥＦ Ｅ 所以平面 面Ａ ＡＣＣ 所以Ｏ 在截面ＡＢ Ｄ 与对 ∩ ＝ ， §3 空间点、直线、平面 １ １， １ １ １ ＤＥＦ 平面ＡＢＣ． 角面 Ａ ＡＣＣ 的交线上 ＡＯ 是截面 ∥ 之间的位置关系 １ １ ， １ ＡＢ １ Ｄ １ 与对角面Ａ １ ＡＣＣ １ 的交线．点Ｐ ∈ ６． （１） 等腰梯形． （２） ３ ３３ａ２． 练习（第 页） 对角线 Ａ Ｃ 点 Ｐ 对角面 Ａ ＡＣＣ ．又 ８ ２２２ １ ， ∈ １ １ ７．连接ＡＣ 交ＢＤ于Ｏ 连接ＯＥ ＯＤ 则 １． （１） Ａ ∈ α ， Ｂ ∈ α ， Ａ ∈ β ， Ｂ ∈ β ⇒ α ∩ β ＝ 点Ｐ ∈ 截面ＡＢ １ Ｄ １， 所以此截面与对角 ， ， ， １， ＡＢ．图略． 线Ａ Ｃ的交点Ｐ一定在ＡＯ 上． ＯＥ ＤＣ ＯＥ １ ＤＣ． １ １ ∥ ， ＝ ａ α ｂ α ａ ｂ Ｐ．图略． ２ （２） ⊂ ， ⊂ ， ∩ ＝ ａ α ｂ α ａ ｂ Ｍ．图略． §4 平行关系 （３） ⊂ ， ⊄ ， ∩ ＝ ２． 若点Ａ在平面α内 点Ｂ在平面α 练习（第 页） （１） ， ２２９ 外 则直线ＡＢ在平面α内 不正确．理 １． ．图略 理由略． ， ， （１）✕；（２）✕ ， 由略． ２． ． Ｄ 若点Ａ在平面α内 点Ｂ在平面α ３． ． （２） ， Ｃ 内 点Ｃ在直线ＡＢ上 则点Ｃ在平面α 练习（第 页） ， ， ２３１ 内．正确． １． ． 因为ＤＣ Ｄ Ｃ ＤＣ Ｄ Ｃ Ｆ 为 Ｄ Ｃ ３． （１）✕；（２）√；（３）√；（４）√ ． （ 理 １ 由 ）✕ 略 ； ． （２）✕；（３）✕；（４）√；（５）√ 的中点 ∥ １ １， ＝ １ １， １ １ ， 练习（第 页） ２．设ａ ｂ ａ 平面α 过ａ作平面β β ２２６ ∥ ， ∥ ， ， ∩ 所以Ｄ Ｆ １ ＤＣ 且Ｄ Ｆ ＤＣ． １． （１）✕；（２）✕；（３）√；（４）√ ． α ＝ ｌ ， 则ａ ∥ ｌ．由ａ ∥ ｂ得ｂ ∥ ｌ ， 又ｂ ⊄ α ， ｌ １ ＝ ２ ， １ ∥ ２． ． α 则ｂ 平面α． 所以ＯＥ Ｄ Ｆ ＯＥ Ｄ Ｆ． ３． （ Ｂ ２ Ｄ ）（５） °．Ａ Ｃ °．ＡＡ ＤＤ ＡＤ Ａ Ｄ ３．因 ⊂ 为 ， ａ ｂ ∥ ａ β ｂ β 所以ａ β 又ａ 所以四边 ∥ 形 １ ＯＤ ， ＦＥ ＝ 为平 １ 行四边形． 习 ４ 题 ５ ° ， ． 6 Ａ ６ Ｂ ０ - ， 3 Ａ １ １ Ｂ １ １ ， ， Ｃ ６ １ ０ Ｄ １，９０ １ ° ， ． １， ， １ １， 练 ⊂ 习 α （ ， 第 α ∩ ∥ β ， ＝ 页 ｌ ， ⊄ ） 则 ， ａ ∥ ⊂ ｌ．同 ， 理ｂ ∥ ∥ ｌ． ， 所 又 以 因为 ＥＦ ∥ ＥＦ Ｄ １ Ｏ 平 ． １ 面 ＢＢ Ｄ Ｄ Ｄ Ｏ 平 Ａ组 １．略． ２３３ 面ＢＢ Ｄ Ｄ ⊄ １ １ ， １ ⊂ １．如图 直线ｌ和两条异面直线ａ ｂ分别 ２． ．理由略． 所以Ｅ １ Ｆ １ 平 ， 面ＢＢ Ｄ Ｄ． 相交于 ， 点Ａ ， Ｂ ， 平面α过直线ｌ ， 和ａ ， 平 ３． Ｂ 略． ８．略． ∥ １ １ 面β过直线ｌ和ｂ 即直线ｌ和ａ确定平 ４．已知 如图 平面α 平面β ＡＢ和ＤＣ Ｂ组 ， ： ， ∥ ， 面α ， 直线ｌ和ｂ确定平面β． 为夹在α ， β间的平行线段． １．如图 ， 连接ＡＭ ， ＡＮ并延长交ＢＣ ， ＣＤ于 求证 ＡＢ ＤＣ． Ｐ Ｑ 连接ＰＱ． ： ＝ ， ， ２～４．略． ５．这三条线共面．设这两条平行线分别为 证明 因为ＡＢ ＤＣ ： ∥ ， ａ和ｂ 直线ｃ分别与ａ ｂ交于点Ａ 点 所以ＡＢ和ＤＣ确定平面ＡＣ．因为直线ＡＤ 因为 Ｍ Ｎ 分别是 ＡＢＣ 和 ＡＣＤ 的 ， ， ， ， △ △ ２３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等重心 因为α β 所以ｂ β． ２．取ＢＤ的中点Ｏ 连接ＭＯ Ｃ Ｏ ＭＣ ．设 ， ⊥ ， ⊥ ， ， １ ， １ ＡＭ ＡＮ 又ａ β 所以ａ ｂ 又ｂ α ａ α 所以 ２ 所以ＰＱ ＭＮ． ⊥ ， ∥ ， ⊂ ， ⊄ ， 因为 Ｍ Ｐ Ｐ Ｑ ＝ １ 平 ＝ 面 ＮＱ Ｂ ， ＣＤ ＭＮ ∥ 平面ＢＣＤ 所以ａ ∥ α． 正方体的棱长为ａ ， 可得Ｃ １ Ｏ ＝ ２ ６ａ ， ＭＯ ⊂ ， ⊄ ， 所以ＭＮ 平面ＢＣＤ． ３ａ ＭＣ ３ ａ ∥ ＝ ， １＝ ， ２．略． ２ ２ ３．过ＡＢ ， ＡＣ作平面交平面β于直线ｌ ， 在 则Ｃ １ Ｏ２ ＋ ＭＯ２ ＝ ＭＣ２ １，∠ ＭＯＣ １＝９０ °． ｌ上取ＢＥ ＡＣ 又ＭＯ ＢＤ Ｃ Ｏ ＢＤ 则 ＭＯＣ 是二 ＝ ， ⊥ ， １ ⊥ ， ∠ １ 面角 Ｍ ＢＤ Ｃ 的平面角 因此平面 练习（第 页） － － １ ， ２４７ ＭＢＤ 平面ＢＣ Ｄ． １～４．略． ⊥ １ 习题6-5 Ａ组 １．略． ２．无数．类似的命题 过平面 α 的一条平 ： 由α β 得 ＢＥ ＡＣ 则四边形 ＡＢＥＣ ∥ ， ∥ ， 行线 可作一个平面与平面α垂直． ， 是平行四边形． ＤＢＥ 是 ＡＣ 与 ＢＤ 所 ∠ ３．略． 成的角． ＤＣＥ是ＡＢ与ＣＤ所成的角 ∠ ， ４． Ｂ ． ３．因为平面 ＡＢＣＤ 平面 ＡＣＥＦ 四边形 故 ＤＣＥ °． ⊥ ， ∠ ＝６０ ５． Ａ ． ＡＣＥＦ为矩形 由ＡＢ ＝ ＣＤ ＝１０， 知ＣＥ ＝１０， 于是 △ ＣＤＥ ６．ＡＣ ⊥ ＢＤ ， 或任何能推导出这个条件的 所以ＦＡ 平面 ， ＡＢＣＤ ＥＣ 平面ＡＢＣＤ． 为等边三角形 ， 所以ＤＥ ＝１０ ． 其他条件．例如四边形 ＡＢＣＤ 是正方 又四边形 ⊥ ＡＢＣＤ为菱形 ， ⊥ 又因为ＢＥ ＝ ＡＣ ＝６， ＢＤ ＝８， 形 菱形等． ， 所以 ∠ ＤＢＥ ＝９０ ° ， 即 ＡＣ 与 ＢＤ 所成的 ７．由 ， ＡＢ为☉Ｏ的直径知 ＢＣ ＡＣ 又ＰＡ 所以 Ｒｔ△ ＤＡＦ ≌Ｒｔ△ ＢＡＦ ≌Ｒｔ△ ＢＣＥ ≌ 角为 ９０ °． ☉Ｏ所在的平面 ＢＣ ， ☉ ⊥ Ｏ所 ， 在的 Ｒｔ△ ＤＣＥ ， 则ＤＥ ＝ ＤＦ ＝ ＢＥ ＝ ＢＦ． ４．连接ＡＮ并延长交ＢＣ于点Ｇ ， 连接ＳＧ． 平 ⊥ 面 ， 所以ＰＡ ⊥ ＢＣ． ， ⊂ 设ＡＣ ∩ ＢＤ ＝ Ｏ ， 取 ＥＦ 的中点 Ｍ ， 连接 因为ＰＡ ＡＣ Ａ 所以ＢＣ 平面ＰＡＣ． ＤＭ ＢＭ ＭＯ ∩ ＝ ， ⊥ ， ， ， 又因为ＢＣ 平面 ＰＢＣ 所以平面 ＰＡＣ 所以ＤＭ ＥＦ ＢＭ ＥＦ 则 ＤＭＢ 是 ⊂ ， ⊥ ， ⊥ ， ∠ 平面ＰＢＣ． 二面角Ｄ ＥＦ Ｂ的平面角． ⊥ － － ８． 因为 ＡＰＥ ＡＰＦ ° ＰＥ ＰＦ 要使平面ＤＥＦ 平面ＢＥＦ 只需 ＤＭＢ （１） ∠ ＝∠ ＝９０ ， ∩ ⊥ ， ∠ Ｐ ° 即 ＤＭＢ是等腰直角三角形． ＝ ， ＝９０ ， △ 所以 ＰＡ 平面 ＰＥＦ．因为 ＥＦ 平面 ＢＤ ⊥ ⊂ 当ＭＯ ＤＯ时 ＤＭＢ ° 此时 ． 因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形 ＰＥＦ ， 所以ＰＡ ⊥ ＥＦ． ＝ ，∠ ＝９０ ， ＡＦ＝２ ， 因为 ＡＰＥ ＥＰＦ ° ＡＰ ＰＦ Ｐ ＢＮ ＮＧ （２） ∠ ＝∠ ＝９０， ∩ ＝ ， ＢＤ 所以 所以当 时 平面ＤＥＦ 平面ＢＥＦ． ＮＤ＝ＡＮ， 所以ＰＥ 平面ＡＰＦ． ＡＦ＝２ ， ⊥ ⊥ ＳＭ ＢＮ ＮＧ ＳＭ 又ＰＥ 平面 ＰＡＥ 所以平面 ＡＰＥ 平 因为 所以 ⊂ ， ⊥ ＡＭ＝ＮＤ， ＡＮ＝ＡＭ， 面ＡＰＦ． 所以ＭＮ ＳＧ ９．略． ∥ ， 又ＭＮ 平面ＳＢＣ ＳＧ 平面ＳＢＣ １０．由ＥＡ 平面α 得ＥＡ ＣＤ 同理 ＥＢ ⊄ ， ⊂ ， ⊥ ， ⊥ ， ， 所以ＭＮ 平面ＳＢＣ． ＣＤ．因为ＥＡ ＥＢ Ｅ ∥ ⊥ ∩ ＝ ， 所以 ＣＤ 平面 ＡＢＥ 又 ＡＢ 平面 ⊥ ， ⊂ §5 垂直关系 ＡＢＥ ， 所以ＣＤ ⊥ ＡＢ． ４．已知 ： α ⊥ γ ， β ⊥ γ ， α ∩ β ＝ ｌ． 练习（第 页） Ｂ组 求证 ： ｌ ⊥ γ． ２４１ １． ．理由略． １． 长方体中 图 如果有一个侧 证法一 如图 设α γ ａ β γ ｂ （１）√；（２）✕；（３）√；（４）✕ （１） （ （１））， ： （１）， ∩ ＝ ， ∩ ＝ ， ２． ．理由略． 面是正方形 那么这个正方形的一条对 在γ内任取一点Ｐ．过点Ｐ在γ内作直 （１）√；（２）✕；（３）√ ， 角线必垂直于与它异面的一条体对 线ｍ ａ ｎ ｂ． ３．２ ３． ⊥ ， ⊥ 角线． 因为α γ β γ 所以ｍ α ｎ β． ３ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ 练习（第 ２４２ 页） （２） 正四棱柱中 （ 图 （２））， 底面的一条 又α ∩ β ＝ ｌ ， 所以ｌ ⊥ ｍ ， ｌ ⊥ ｎ． １．略． 对角线必垂直于与它异面的一条体对 又ｍ ｎ Ｐ ｍ ｎ γ 所以ｌ γ． ２． ．理由略． 角线． ∩ ＝ ， ， ⊂ ， ⊥ （１）✕；（２）✕；（３）√ ３～４．略． 练习（第 页） ２４５ １． 理由略． Ａ． ２．略． ３．略． ４．设α β ｌ 在α内作ｂ ｌ． ∩ ＝ ， ⊥ ２４ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等教材习题答案 ２．设长方体从同一顶点出发的三条棱的 因为Ｓ 所以 ｔ ＡＡ′ {ｘｙ {ｘ 矩形ＡＣＣ １ Ａ １ ＝５０， ２５ · ＝５０， ＝６， ＝３， 所以ＡＡ′ ２ ． 长分别为ｘ ｙ ｚ 则 ｙｚ 解得 ｙ ＝ ｔ ， ， ， ＝８， ＝２， ｘｚ ｚ ． ＝１２， ＝４ 所以Ｓ 侧＝２（７ ｔ ＋２４ ｔ ）· ２ ｔ ＝１２４ ． 所以 长 方 体 的 体 对 角 线 长 为 ８．由题意可得ＭＣ ＡＣ ２ ２ ２ ． ＝３， ＝６， ２ ＋３ ＋４ ＝ ２９ ３．设斜高为ｈ′ 高为ｈ 则ＢＣ ＝ ＡＣ２ － ＡＢ２ ＝ ６ ２ －４ ２ ＝２ ５ ． 证法二 如图 设α γ ａ β γ ｂ ， ， ： （２）， ∩ ＝ ， ∩ ＝ ， ì 在α内作ｍ ⊥ ａ ， 在β内作ｎ ⊥ ｂ． ï ï １ ×（４×３＋４×６） ｈ′ ＝３ ２ ＋６ ２ ， 所以Ｖ 棱锥＝ １ Ｓｈ ＝ １ ×４×２ ５×４＝ ３２ ５ 因为α γ β γ 所以 ｍ γ ｎ γ．所 则í２ ３ ３ ３ 以ｍ ∥ ⊥ ｎ． ， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ î ï ïｈ′ ＝ ｈ２ ＋ [ １ ×（６－３） ] ２ ， ９． （ 已 ｃ 知 ｍ ３ ） 如 ． 图 斜棱柱 ＡＣ′的侧棱长是 ｌ ２ ： ， ， 又ｎ ⊂ β ， ｍ ⊄ β ， 所以ｍ ∥ β ， 又α ∩ β ＝ ｌ ， {ｈ 直截面ＨＫｌＭＮ的周长是ｃ ． ｍ α 所以ｍ ｌ 解得 ＝２， 求证 Ｓ ｃ ｌ． １ 又 ⊂ ｍ ， γ 所以 ∥ ｌ ， γ． ｈ′ ＝ ５ ． ： 斜棱柱侧＝ １ ⊥ ， ⊥ ２ ５．四边形ＢＦＤ Ｅ在正方体的面上的投影 ４． ． 元． １ ８８３１２５ 的形状可能是平行四边形 ， 也可能是 ５． ５００ ｄｍ ３． 线段． ６．扇形弧长 １ 所围成的圆 ： ×４４π＝１１π， ４ 锥筒的底面周长 ｒ 解得 ｒ ２π ＝１１π， ＝ ． ． ５５ ｃｍ 所以 圆 锥 的 高 ｈ ２ ． ２ ＝ ２２ －５５ ≈ 证明 延长侧棱ＡＡ′到Ｈ′ 使Ａ′Ｈ′ ＡＨ． ． ． ： ， ＝ ２１３（ｃｍ） 设过Ｈ′平行于直截面 ＨＫＬＭＮ 的平面 Ｖ 圆锥≈ １ π×５ ． ５ ２ ×２１ ． ３≈６ ． ７×１０ ２ （ｃｍ ３ ） ． 与各侧棱的延长线交于 Ｋ′ ， Ｌ′ ， Ｍ′ ， Ｎ′． ３ 这样就得到一个以斜棱柱的直截面为 练习（第 页） ２５６ 底 侧棱长为高的直棱柱Ｈｌ′． ， １． Ｖ １ Ｓ ＳＳ′ Ｓ′ ｈ ｈ ∵ ＝ （ ＋ ＋ ） ，∴ ＝ 因为底面Ｈ′Ｌ′ 底面ＨＬ 它们的公垂线 ３ ∥ ， Ｖ 段ＨＨ′ ＫＫ′ ＬＬ′ ＭＭ′ ＮＮ′ ＡＡ′ ｌ ３ ３×１９００００ ． ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ， Ｓ ＳＳ′ Ｓ′＝ ＝７５（ｃｍ） 所以斜棱柱 ＡＣ′的各侧面的面积与直 ＋ ＋ ３６００＋２４００＋１６００ 棱柱ＨＬ′中对应的侧面积相等． ６．略． ２．Ｖ ＝ ７π ≈７ ． ３３（ｍ ３ ） ． 所以Ｓ Ｓ ｃ ＨＨ′ ７． （１ Ｐ ） Ｅ ∵ Ｐ Ｂ Ｄ Ｄ ＝ ． ＰＢ且Ｅ为ＢＤ的中点 ， ３． （１） Ｓ ３ 地球＝４π Ｒ２ ＝４π×６ ３７０ ２ ≈５ ． １０×１０ ８ 即Ｓ 斜棱 斜 柱 棱 侧 柱 ＝ 侧 ｃ ＝ １ ｌ． 直棱柱侧＝ １· ， ∴ ⊥ 又 平面 ＰＢＤ 平面 ＢＣＤ 平面 ＰＢＤ ２ ． １０．斜高 ． ２ ． ２ ． ∵ ⊥ ， （ｋｍ ） ＝ ２１ －１３ ≈１６５（ｍ）， 平面ＢＣＤ ＢＤ ＰＥ 平面ＰＢＤ ∩ ＝ ， ⊂ ， Ｖ 地球＝ ４ π Ｒ３ ＝ ４ π×６ ３７０ ３ ≈１ ． ０８×１０ １２ Ｓ ＝ １ ×４×２ ． ６×１ ． ６５≈８ ． ６（ｍ ２ ） ． ＰＥ 平面ＢＣＤ． ３ ３ ２ ∴ 在 ⊥ 梯形 ＡＢＣＤ 中 ＡＤ ＢＣ 且 （ｋｍ ３ ） ． Ｂ组 （２） ，∵ ∥ 火星的直径是地球直径的一半 则 ｒ ｈ ＢＣＤ ° ＡＤＣ °． （２） ， １． 所以 ｒ ２ ｈ．Ｖ １ Ｓｈ ∠ ＝４５ ，∴ ∠ ＝１３５ （１） ＝ ， ＝ 水＝ ＝ 又 ＡＢＤ为等腰直角三角形 火星的体积是地球体积的 １ ． １０ １５ ３ ３ ∵ △ ， ＡＤＢ ° ＢＤＣ ° ＣＤ ８ １ ｒ２ｈ ４ ｈ３ ３ ． ∴ ∠ ＝４５ ，∴ ∠ ＝９０ ，∴ 习题6-6 π ＝ π （ｃｍ ） ＢＤ． ３ ２７ ⊥ Ａ组 æ 平面 ＰＢＤ 平面 ＢＣＤ 平面 ＰＢＤ 由题意有 ４ ｈ３ １ ç １ ２ ∵ ⊥ ， ∩ １．Ｖ Ｖ Ｖ ． （２） π ＝ × è π×１０ × 平面ＢＣＤ ＢＤ 圆柱 ∶ 圆锥 ∶ 球＝３ ∶ １ ∶ ２ ２７ ２ ３ ＣＤ 平 ＝ 面ＰＢ ， Ｄ． ２． ２ ２ 倍． ÷ ö 解得ｈ ． ． ∴ 又ＢＰ ⊥ 平面ＰＢＤ ３． ４８ ｃｍ ３． １５ø， ≈１１９１ ｃｍ ⊂ ， ∴ ＣＤ ⊥ ＢＰ． ４．正方体的体对角线长 ： ４ ２ ＋４ ２ ＋４ ２ ＝ ２． （１） 设所求的圆柱的底面半径为 ｒ ， 则 ∵ ＢＰ ⊥ ＰＤ ， 且ＣＤ ∩ ＰＤ ＝ Ｄ ， ４ ３ ．所以球的半径Ｒ ＝２ ３ ． 有 ｒ ＝ ６－ ｘ ， 即 ｒ ＝２－ ｘ ．Ｓ 圆柱侧＝２π ｒｘ ＝ ＢＰ 平面ＰＣＤ． ２ ６ ３ ∴ ⊥ 所以Ｖ ４ Ｒ３ ４π ３ ( ｘ ) 又 ＢＰ 平面ＰＢＣ ＝ π ＝ ×（２ ３） ＝３２ ３π ｘ ｘ ２πｘ２． ∵ ⊂ ， ３ ３ ２π ２－ ＝４π － 平面ＰＢＣ 平面ＰＣＤ． ３ ． ３ ３ ∴ ⊥ （ｃｍ ） ５． Ｂ ． （２） 由 （１） 可知 ， 当ｘ ＝－ ( ４π ) ＝３ 时 ， §6 简单几何体的再认识 ６． １６ ． ２ － ２π ３ 练习（第 ２５３ 页） ７．设ＢＣ ＝７ ｔ ， ＡＢ ＝２４ ｔ ， 则ＡＣ ＝ ＡＢ２ ＋ ＢＣ２ 二次函数有最大值 ６π ． １． ａｈ ａ２． ｔ． 所以当圆柱的高为 时 它的侧面 ６ ＋３ ３ ＝２５ ３ ｃｍ ， ２５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等积最大 ， 为 ６π ｃｍ ２． æ ö２ 平面ＰＢＤ． ３．连接 ＥＢ ＥＣ．因为平面 ＦＢＣ 平面 ∴ ｄ ＝ １ ２ －è ç ２ ø ÷ ＝ ２ ， 由 知ＡＭ 平面ＰＢＤ 又ＢＤ ， ⊥ ２ ２ （２） （１） ⊥ ， ⊂ ＡＢＣＤ ＦＨ ＢＣ 所以ＦＨ 平面ＡＢＣＤ． 平面ＰＢＤ 所以ＡＭ ＢＤ． ， ⊥ ， ⊥ Ｖ １ Ｓ ｄ １ １ ， ⊥ 又ＥＦ ＡＢ 所以 ＥＦ 平面 ＡＢＣＤ ＦＨ ∴ Ｏ － ＡＢＣ＝ △ ＡＢＣ· ＝ × ×１×１× 在矩形ＡＢＣＤ中 设ＡＤ ｘ ｘ 则 ∥ ， ∥ ， ３ ３ ２ ， ＝２ （ ＞０）， 为四棱锥Ｅ ＡＢＣＤ的高． 由 ＡＭ ＢＤ 可得 ＭＡＢ ＡＢＤ － ２ ２． ⊥ ∠ ＋∠ ＝ 因为ＡＢ ＢＣ 平面ＦＢＣ 平面ＡＢＣＤ ＝ ° 而 ＡＤＢ ＡＢＤ ° 所以 ⊥ ， ⊥ ， ２ １２ ９０ ， ∠ ＋∠ ＝ ９０ ， 所以 ＡＢ 平面 ＦＢＣ 所以 ＥＦ 平 复习题六 ＡＤＢ ＭＡＢ． ⊥ ， ⊥ ∠ ＝∠ 面ＦＢＣ． Ａ组 在 ＡＢＭ 和 ＤＡＢ 中 Ｒｔ △ Ｒｔ △ ， １． 无数 无数 ＢＭ ｘ ＡＢ 所以 Ｖ ＝ Ｖ Ｅ － ＡＢＣＤ＋ Ｖ Ｅ － ＦＢＣ＝ ３ １ Ｓ 四边形ＡＢＣＤ· （６ （ ） １ １ ） 或 １； 无 （２ 数 ） ． ；（３）１；（４） ；（５）１； ｔａｎ∠ ＭＡＢ ＝ＡＢ ＝ １ ，ｔａｎ∠ ＡＤＢ ＝ＡＤ＝ ＦＨ ＋ ３ １ Ｓ △ ＦＢＣ· ＥＦ ＝ ３ １ ×３ ２ ×２＋ ３ １ × ２ ３ ． ． Ｃ 正 ．图 确 略 命 ． 题 理由略． １ ｘ， 所以 ｘ ＝ １ ｘ， 即ｘ ＝ ２ ， 所以ＡＤ ＝ ( ) （１）（３）， ２ １ ２ ２ １ ２ １５． ４． ． 所以四棱锥 Ｐ ＡＢＣＤ 的体积 ×３×２ × ＝ Ｂ ２， － ２ ３ ２ ５． 可能相交．图略． ４．如图 沿侧棱ＡＢ ＢＣ ＢＤ剪开 得到正 （１）✕， Ｖ １ Ｓ ＰＤ １ ， ， ， ， 若ｍ ｎ 可能相交．图略． Ｐ － ＡＢＣＤ＝ 矩形ＡＢＣＤ· ＝ × ２×１×１ 三棱锥的侧面展开图 则 Ｂ Ｂ 的长为 （２）✕， ∥ ， ３ ３ ， １ 图略． ＢＥＦ的周长的最小值． （３）√， ２． △ 如图 ｌ γ ｌ α α γ ｎ 则 ｌ ＝ （４）√， ， ∥ ， ⊂ ， ∩ ＝ ， ３ ｎ．同理 ｌ ｍ 所以ｍ ｎ． １５．略． ∥ ，∥ ， ∥ Ｂ组 １． ． ①③⑤ ２． 连接ＯＣ．因为ＯＡ ＯＣ Ｄ是ＡＣ的 （１） ＝ ， 中点 所以ＡＣ ＯＤ 又ＰＯ 底面☉Ｏ ， ⊥ ， ⊥ ， 由平面几何知识可证 ＡＢＥ ＡＢ Ｆ． ６． ． ＡＣ 底面☉Ｏ 所以 ＡＣ ＰＯ 又 ＯＤ △ ≌△ １ ＢＣ ⊂ ， ⊥ ， ∩ 于是ＡＥ ＡＦ 又ＡＣ ＡＤ 故ＥＦ ＣＤ． ７． ． ＰＯ Ｏ 所以ＡＣ 平面ＰＯＤ． ＝ ， ＝ ， ∥ Ａ ＝ ， ⊥ 可证 ＢＣＥ ＡＣＤ ＢＥＣ ＡＤＣ ８． ． ∠ ＝∠ ＝∠ ＝∠ ， ０．０２４ 所以 ＢＥＣ ＡＣＤ ９． 球的直径是长方体的体对角线．设 △ ∽△ ， Ｂ ＢＣ ＥＣ 球的半径为ｒ 则 ｒ ２ ａ ２ ａ２ ａ２ 所以 ， （２ ） ＝（２ ） ＋ ＋ ＡＣ＝ＣＤ， ａ２．球的表面积是 ｒ２ ａ２．故 ＝６ ４π ＝ ６π ａ ａ 选 ． 所以ＣＥ ＢＥ Ｂ Ｆ ａ ＡＥ ａ Ｂ ＝ ， ＝ １ ＝ ， ＝２ － １０．略． ２ ２ ａ １１．此棱台上底面积 Ｓ 下底 ３ ． ： 上＝３×４＝１２， ＝ ２ 面积 ： Ｓ 下＝２×３＝６， 高ｈ ＝３ ． （２） 由 （１） 知 ， ＡＣ ⊥ ＯＤ ， 又 ＡＣ ⊥ 平面 ａ ＰＯＤ 所以 ＡＣ ＰＤ 所以 ＰＤＯ 是二 ３ 其体积为Ｖ １ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ ， ⊥ ， ∠ 由ＥＦ ∥ ＣＤ 得 Ｃ Ｅ Ｄ Ｆ ＝ Ａ Ａ Ｅ Ｃ， 所以 Ｅ ａ Ｆ ＝ ２ ａ， ＝ ３ （ 上＋ 上· 下＋ 下）× 面角Ｐ － ＡＣ － Ｏ 的平面角．在 △ ＡＯＣ 中 ， ２ ｈ １ ． 立方 ＯＡ ＯＣ ＣＡＢ ° 则ＯＤ １ 又 ＥＦ ＝ ３ ａ． ＝ ３ ×（１２＋ １２×６＋６）×３≈２６５（ ＝ ＝１，∠ ＝３０ ， ＝ ２ ， ４ 丈 ）， ＰＯ 故在 ＰＯＤ 中 ＰＤ ＝ ２， Ｒｔ △ ， ＝ 所以ＢＢ ＢＥ ＥＦ Ｂ Ｆ ａ ３ ａ ａ 又 立方丈 立方尺 故这个物 １＝ ＋ ＋ １ ＝ ＋ ４ ＋ ＝ 体的 １ 体积约为 ＝１０００ 立方尺 ， ． １ ３ 所以 ＰＤＯ ２ ２６５００ ＋２ ＝ ， ｓｉｎ∠ ＝ ＝ １１ａ． １２．Ｓ２ △ ＡＢＣ＋ Ｓ２ △ ＡＣＤ＋ Ｓ２ △ ＡＤＢ＝ Ｓ２ △ ＢＣＤ ． ４ ２ ３ ２ ４ １３．设雨水的半径为ｘ 则１９－１２ 解得 所以 ＢＥＦ周长的最小值为１１ａ 此时 ， ｘ ＝７， ２ ２．故二面角 Ｐ ＡＣ Ｏ 的正弦值 △ ， －１２ － － ４ ３ ｘ 所以Ｖ π ２ ２ ＡＥ ＡＦ ３ ａ 即点Ｅ Ｆ分别在ＡＣ ＡＤ ＝１３， ＝ ×（１３ ＋１２ ＋１３×１２） 为２ ２． ＝ ＝ ， ， ， ３ ２ ３ 的四等分点处． ×５＝ ２３４５π ， ３． 因为底面ＡＢＣＤ为直角梯形 ＡＤ ３ （１） ， ∥ ５． ∵ ＡＣ ⊥ ＢＣ ， ＡＣ ＝ ＢＣ ＝１， 所以降水量是 Ｖ ． ＢＣ ，∠ ＢＣＤ ＝９０ ° ， 所以 ＣＤ ⊥ ＡＤ．又 ＰＤ ∴ △ ＡＢＣ为等腰直角三角形 ， π×１９ ２ ＝２２（ｍｍ） ⊥ ＣＤ ， ＰＤ ∩ ＡＤ ＝ Ｄ ， 所以 ＣＤ ⊥ 平 ＡＢ 则 ＡＢＣ 的外接圆的半径 １４． 因为ＰＤ 底面ＡＢＣＤ ＡＭ 底面 面ＰＡＤ． ∴ ＝ ２， △ （１） ⊥ ， ⊂ ＡＢＣＤ 所以ＰＤ ＡＭ． 由 知ＣＤ 平面ＰＡＤ 所以 ＣＤ 为 ２． ， ⊥ （２） （１） ⊥ ， 又因为 ＰＢ ＡＭ ＰＤ ＰＢ Ｐ 所以 ＰＡ 又ＰＡ ＡＢ ＡＢ ＣＤ是梯形ＡＢＣＤ ２ ⊥ ， ∩ ＝ ， ⊥ ， ⊥ ， ， 设Ｏ到平面ＡＢＣ的距离为ｄ ＡＭ 平面ＰＢＤ． 的腰 所以ＰＡ 平面ＡＢＣＤ 又ＰＡ 平 ， ⊥ ， ⊥ ， ⊂ 球的半径为 又ＡＭ 平面 ＰＡＭ 所以平面 ＰＡＭ 面ＰＡＢ 故平面ＰＡＢ 平面ＡＢＣＤ． ∵ １， ⊂ ， ⊥ ， ⊥ ２６ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等教材习题答案 ４．首先计算氧气瓶中氧气的体积 Ｖ Ｖ ： ＝ 其体积的值分别为 １１ １４ １１． 到面ＤＥＦ成为水平面 Ｓ － ＤＥＦ ２ ２ ， ， ，Ｖ ＝ × × Ｖ 圆柱＋ Ｖ 圆台＝π×１０ ２ ×５０＋ １ ×π×１０×（４＋ ６．图略． １２ １２ １２ Ｓ － ＡＢＣ ３ ３ ３ １ ４ １００＋２０）≈５ ４１３π≈１６ ９９７（ｃｍ ３ ）≈ （１） 连接 ＡＤ １， 易知 Ｍ 是 ＡＤ １ 的中点 ， ３ ＝ ２７ ， １７（Ｌ） ． 在正方形ＡＤＤ １ Ａ １ 中 ， ＡＤ １⊥ Ａ １ Ｄ． 故最多可盛原来水的 １－ ４ ＝ ２３． 然后计算用氧时间 设潜入水下ａ 过 ＡＢ 平 面 ＡＤＤ Ａ Ａ Ｄ 平 ２７ ２７ ： ｍ ∵ ⊥ １ １， １ ⊂ 故选 ． 程中的每分钟需氧量为Ｑ 则Ｑ ｋｖ２． 面ＡＤＤ Ａ Ｂ ， ＝ １ １， １０． ． 因为当速度为ｌ ／ 时 每分钟需氧 ＡＢ Ａ Ｄ． Ｂ ｍ ｍｉｎ ， ∴ ⊥ １ 量 ０ ． ２ Ｌ， 所以ｋ ＝０ ． ２ ．故来回途中需氧 又ＡＢ ∩ ＡＤ １＝ Ａ ，∴ Ａ １ Ｄ ⊥ 平面Ｄ １ ＡＢ ， １１． ［２， ５］ ． ａ ． ａ Ｄ Ｂ 平面Ｄ ＡＢ Ａ Ｄ Ｄ Ｂ． 量为 ｖ ×０ ． ２ ｖ２ ＋ ０ ｖ ２ ， ｖ ∈（０， ｐ ］ ．则在湖 ∵ １ 在 ⊂ Ｄ ＡＢ中 １ Ｄ ，∴ Ｍ １ ＭＡ ⊥ Ｄ １ Ｎ ＮＢ Ｃ组 （２） △ １ ， １ ＝ ， １ ＝ ， é æ ＭＮ ＡＢ． Ｖ 底的工作时间为 １ ． ë ê ê １７－ è ç ０ ． ２ ａｖ ＋ ∴ 又ＭＮ ∥ 平面ＡＢＣＤ ＡＢ 平面 ＡＢＣＤ １． （１） Ｖ ＝π ｒ２ｈ ， Ｓ ＝２π ｒ２ ＋２π ｒｈ ＝２π ｒ２ ＋ ２ ｒ ， ０４ ⊄ ， ⊂ ， ． ａ ö ù ú ∴ ＭＮ ∥ 平面ＡＢＣＤ． 当 ２π ｒ２ ＝ Ｖ ｒ 时 ，２π ｒ２ ＝π ｒｈ ， 即ｈ ＝２ ｒ时 ， ０２ ÷ ú． 设 ＡＡ 的中点为 Ｅ ＢＤ 的中点为 ｖ ø û （３） １ ， Ｓ有最小值． Ｐ 连接ＮＥ ＮＰ ＡＰ 则ＡＥ ＤＤ 且ＡＥ ． ａ ， ， ， ， ∥ １， 接缝线ｍ ｒ ｈ ｒ ｒ ｈ 所 因为 ． ａｖ ０２ ． ａ 当且仅当ｖ （２） ＝４π ＋ ＝２π ＋２π ＋ ， ０２ ＋ ｖ ≥０ ４ ， ＝１ ＝ ２ １ ＤＤ １， 以当 ２π ｒ ＝ ｈ ， 即底面周长等于高时 ， Ｓ 时取等号 ， 所以当 ｐ ≥１ 时 ， １ ． é ë ê ê １７－ 在 △ ＢＤＤ １ 中 ， ＢＮ ＝ ＮＤ １， ＢＰ ＝ ＰＤ ， 有最小值． ａ ０４ ＮＰ １ ＤＤ 且ＮＰ ＤＤ ２．木块露出水面部分的体积 １ ２ １ æ è ç ０ ． ２ ａｖ ＋ ０ ． ｖ ２ ａ ö ø ÷ ù û ú ú的最大值是 ４２ ． ５－ ａ ； ∴ ∴ ＮＰ 􀱀 ＝ ２ ＡＥ ，∴ １ 四边形 ∥ ＡＰＮ １， Ｅ 为平行四 ( ａ ２ ａ) ２ ａ３ ： ３ × ３ × ２ × ＝ ， 当ｐ 时 ｖ ｐ ． 边形 ，∴ ＮＥ ∥ ＡＰ． ３ ２７ 因为 ＜１ １ [ ， ∈ ( （０ ． ， ａ ］ ｖ ０ ． ２ ａ)] １ é ê ê ∵ Ｄ 几 Ｄ 何体 平 Ａ 面 ＢＣ Ａ Ｄ Ｂ － Ｃ Ａ Ｄ １ Ｂ １ Ａ Ｃ Ｐ １ Ｄ １ Ｂ 为 Ｄ 正方体 ， 木块排开水的体积 ： ２ ２ ５ ７ ａ３． ． １７－ ０２ ＋ ｖ － ． ë１７ ∴ １⊥ ， ⊥ ， 木块的质量 浮力 排开水的质量 ０４ ０４ ＡＰ 平面ＡＢＣＤ ＝ ＝ ， － ( ｖ ０ ． ２ ｐ ａｐ ＋ ０ ｖ ． ｐ ２ ｐ ａ) ｐ２ ù û ú ú ＝ ２ ａ （ ｐ － ｖ ） (ｖｐ ｖ － ｐ １ ) ≤ 又 ∴ ∵ Ａ Ｄ Ａ Ｐ Ｄ Ｐ ⊂ １ ⊥ ⊥ 平 Ｂ Ａ Ｄ 面 Ｐ ， ， Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ ∩ Ｄ Ｄ Ｂ ， Ｄ ． １＝ Ｄ ， 木块的密度 ： ２ ２ ５ ７ ａ３ ａ３ ＝ ２ ２ ７ ５ ， ０（ ≤ ＜１， ≤ ＜１）， ∴ ⊥ １ １ 木块的密度与水的密度的比是 ． 所以当ｖ ｐ时 在湖底的工作时间取最 又 ＮＥ ＡＰ ＮＥ 平面ＢＤＤ Ｂ 又 ２５ ∶ ２７ ＝ ， ∵ ∥ ，∴ ⊥ １ １， æ ö２ [ ( ． ａ)] ＭＮ ＮＥ Ｎ ３．容器剩余容积 Ｖ π ç ３÷ ２ 大值 为 １ ． ａｐ ０２ ． ∩ ＝ ， ： ＝ ×１×è ø ×（６ ＋ ， ． １７－ ０２ ＋ ｐ 直线 ＭＮ 与平面 ＢＤＤ Ｂ 相交但不 ３ ３ ０４ ∴ １ １ 因此 当ｐ 时 潜水员在湖底最多能工 垂直． ２ １２７ ． ３ ， ≥１ ， ７ ＋６×７）＝ π≈４４３（ｃｍ ）， 作 ． ａ 当ｐ 时 潜水员在湖底 ７．略． ９ （４２５－ ）ｍｉｎ； ＜１ ， 正方体位于容器口以下的高度 ｈ [ ( ． ａ)] ８． 可证Ａ Ｃ 平面Ｂ ＢＤＤ ： ＝７－ 最多能工作１ ． １７－ ０ ． ２ ａｐ ＋ ０ ｐ ２ ｍｉｎ ． 所 （１ 以 ） Ａ Ｃ １ Ｂ １⊥ Ｄ． １ １， ２ ２× ３＝７－２ ６（ｃｍ）， ５．由于三角形 ０ 的 ４ 两边之和大于第三边 ， 所 同理 ， Ｂ １ Ｃ １ １ ⊥ ⊥ Ｂ １ １ Ｄ ， 这一部分的体积 ： Ｖ １＝４×４×（７－２ ６）＝ 以组成四面体各个面的三角形中 ， 或者 所以Ｂ １ Ｄ ⊥ 平面Ａ １ Ｃ １ Ｂ． １１２－３２ ６≈３３ ． ６＜４４ ． ３， 容器的水不会 只有一边长为 或者两边或三边长 连接 Ａ Ｈ ＢＨ Ｃ Ｈ．在 Ａ Ｂ Ｈ 溢出． １， （２） １ ， ， １ Ｒｔ△ １ １ 为 ． 和 Ｃ Ｂ Ｈ 中 Ａ ＨＢ Ｃ ＨＢ ４． 设 ＡＢＣ的重心为Ｈ 连接 ＯＨ．由 １ Ｒｔ△ １ １ ，∠ １ １＝∠ １ １， （１） △ ， 共三种情况 如下图． Ａ Ｂ Ｃ Ｂ 题意可得 ＢＨ 设细钢管上 下 ， １ １＝ １ １， ， ＝１０ ３， 、 所以 Ａ Ｂ Ｈ Ｃ Ｂ Ｈ 则Ａ Ｈ 两段之比为 λ．已知架子的高度为 Ｒｔ△ １ １ ≌Ｒｔ△ １ １ ， １ ＝ Ｃ Ｈ．同理 Ａ Ｈ ＢＨ 即Ａ Ｈ Ｃ Ｈ ＢＨ． λ １ ， １ ＝ ， １ ＝ １ ＝ 则ＯＨ １０８ ． 所以 Ａ Ｃ Ｂ 是正三角形 故 Ｈ 是 １０８ ｃｍ， ＝ λ △ １ １ ， １＋ Ａ Ｃ Ｂ的重心． 因为节点Ｏ与架面 ＡＢＣ重心的连线 △ １ １ △ 与地面垂直 且架面与地面平行 ， ， 所以 ＯＢＨ就是 ＯＢ 与平面 ＡＢＣ 所成 ∠ 的角 即 ＯＢＨ °． ， ∠ ＝６０ λ 所以ＢＨ ３ＯＨ 有１０８ ＝ ， λ ＝１０ ３× ３＝ ３ １＋ 解得λ ５ ．即节点Ｏ分细钢管上 ３０， ＝ 、 １３ ９．要使所盛的水最多 应把容器倾斜 直 下两段的比值约为 ． ． ， ， ０３８ ２７ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等三角形的 １ 有一组对角为直角 余下 æ ö２ ４ ， ， ｈ 锥＝ １－è ç ２ × ３ ø ÷ ＝ ６ ， 部分按虚线折起 可成为一个缺上底的 ３ ２ ３ ， 正三棱柱 而剪出的三个相同的四边形 ｈ １ ° ３ ， 柱＝ ｔａｎ３０ ＝ ， 恰好拼成这个正三棱柱的上底． ２ ６ ( ) 所以 Ｖ Ｖ １ ｈ ｈ ３ 锥 － 柱 ＝ 锥－ 柱 × ＝ ３ ４ æ ö ç ６ ３÷ ３ ２ ２－３ ． 由节点Ｏ分细钢管上 下两段之比 è － ø× ＝ ＜０ （２） 、 ９ ６ ４ ２４ 为 １ ∶ ２， 可知ＯＨ ＝３６， 所以Ｖ 锥＜ Ｖ 柱 ． 设过点 Ａ Ｂ Ｃ 的细钢管分别为 ＡＡ′ 如图 分别连接三角形的内心与 ， ， ， （３） ③， ＢＢ′ ＣＣ′ 各顶点 得到 条线段 再以 条线段 ， ， ， ３ ， ３ 则 ＡＡ′ ＢＢ′ ＣＣ′ ＯＢ 的中点为顶点作三角形．以新作的三角 ＝ ＝ ＝ ３ ＝ ３ × 形为直三棱柱的底面 过新三角形的 ３６ ２ ＋（１０ ３） ２ ≈１１９ ． ８（ｃｍ） ． （２） 依上面剪拼的方法 ， 有Ｖ 柱＞ Ｖ 锥 ． 个顶点向原三角形 边 ， 作垂线 沿 条 ３ 三根细钢管长度都是 ． ． 推理如下 ３ ， ６ １１９８ ｃｍ ： 垂线剪下 个四边形 可以拼接成直三 ５．略． 设正三角形纸片的边长为 那么正三 ３ ， ２， 棱柱的下底 余下部分按虚线折起 成 ６． 如图 沿正三角形三边中点连线 棱锥与三棱柱的底面都是边长为 的 ， ， （１） ①， １ 为一个缺上底的直三棱柱 即可得到直 折起 可拼得一个正三棱锥． ， ， 正三角形 其面积为 ３．计算它们的高 三棱柱模型． 如图 正三角形三个角上剪出三个相 ， ： ②， ４ 同的四边形 其较长的一组邻边边长为 ， ２８ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等