5.2 三角函数的概念
模块一：基础知识 .........................................................................2
考点一：任意角三角函数的定义 .....................................................2
考点二：三角函数的定义域和函数值的符号 .......................................2
考点三：诱导公式一 ....................................................................3
考点四：三角函数线 ....................................................................3
模块二：题型分类 .........................................................................3
题型一：单位圆定义法求三角函数值 ...............................................3
题型二：由终边或终边上点求三角函数值 ..........................................4
题型三：由三角函数值求终边上的点或参数 .......................................5
题型四：三角函数值在各象限的符号 ...............................................5
题型五：画三角函数线 .................................................................6
题型六：三角函数线的应用 ...........................................................7
模块三：综合巩固 .........................................................................8
5.2 三角函数的概念
模块一：基础知识
考点一：任意角三角函数的定义
1、单位圆定义法：
如图,设是一个任意角,
R
,它的终边OP 与单位圆相交于点
( , )
P x y
①正弦函数：把点P 的纵坐标y 叫做的正弦函数,记作sin,即
sin
y
②余弦函数：把点P 的横坐标x 叫做的余弦函数,记作cos,即
cos
x
③正切函数：把点P 的纵坐标与横坐标的比值y
x
叫做的正切,记作tan,即
tan
y
x
(
0
x
)
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
2、终边上任意一点定义法：
在角终边上任取一点
( , )
P x y ，设原点到
( , )
P x y 点的距离为
2
2
|
|
r
OP
x
y
①正弦函数：sin
y
r
②余弦函数：cos
x
r
③正切函数：tan
y
x
(
0
x
)
考点二：三角函数的定义域和函数值的符号
1.三角函数的定义域
三角函数
定义域
2.三角函数值在各象限的符号
由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r 是正值，根据三角函数的定义，知
①正弦函数值的符号取决于纵坐标y 的符号；
②余弦函数值的符号取决于横坐标x 的符号；
③正切函数值的符号是由x,y 的符号共同决定的，即x,y 同号为正，异号为负.
因此，正弦函数(
)、余弦函数(
)、正切函数(
)的值在各个象限内的符号如图所示.
考点三：诱导公式一
1.语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.
2.式子表示:
①sin(
2
)
sin
k
②cos(
2
)
cos
k
③tan(
2
)
tan
k
其中k
Z
.
考点四：三角函数线
设角的终边与单位圆相交点P ；④由点P 向x 轴做垂线，垂足为点M ；⑤由点A作单位圆的切线与
终边相交于点T 。如下图所示：
在
OPM
Rt
中：
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
sin
PM
PM
r
PM
OP
PM
|
| PM 为正弦线，长度为正弦值。
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
cos
OM
OM
r
OM
OP
OM
|
|OM
为余弦线，长度为余弦值。
在
OAT
Rt
中：
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
tan
AT
AT
r
AT
OA
AT
。
|
| AT
为正切线，长度为正切值。
模块二：题型分类
题型一：单位圆定义法求三角函数值
1.已知角的终边与单位圆交于点
3
6
(
,
)
3
3
P
，则sin
cos
（ ）
A．
3
3
B．
2
3
C．
3
3
D．
2
3
x
y
O
M A
T
P
2.已知角的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点
5 ,
5
P
m
，
则sin（ ）
A．
5
5
B．
5
5
C．
2 5
5
D．2 5
5
3.在平面直角坐标系xOy 中，角的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边OP 交单位
圆O 于点
3 4
,
5 5
P
，则tan的值为
A．
3
5
-
B．4
5
C．
4
3
D．
3
4
4.设角的终边与单位圆的交点坐标为1
3
,
2
2
，则sin（ ）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．1
5.已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若的终边与圆心在原点的单位圆交于
4 ,
5
A
m
，且为第四象限角，则sin（ ）
A．3
5
B．
3
5
-
C．4
5
D．
4
5
题型二：由终边或终边上点求三角函数值
1.已知角𝛼终边经过点𝑃(2,1)，则sin𝛼= （ ）
A．
1
2
B．
5
5
C．2 5
5
D．2
2.已知角的终边落在直线
2
y
x
上，则sin的值为（ ）
A．2 5
5
B．
5
5
C．
2 5
5
D．
2 5
5
3.（多选）已知角的终边经过点
( 4 ,3 )(
0)
P
m
m m
，则2sin
cos
的值可能为（ ）
A．3
5
B．
3
5
-
C．2
5
D．
2
5
4.若的终边所在射线经过点
1,2
P
，则sin
，tan
.
题型三：由三角函数值求终边上的点或参数
1.若角𝛼的终边上有一点𝑃(−2,𝑚)，且sin𝛼= −5
5 ，则𝑚= （ ）
A．4
B．± 4
C．-1
D．± 1
2.已知角的终边上有一点
, 3
P m
，且
2
cos
4
m
，则实数m 取值为
．
3.已知角的终边上一点
,
5
P m
，且
2
cos
4
m
，求m 值.
4.已知角的终边经过点
8 , 3
P
m
，且
4
cos
5
，则实数m 的值是（ ）
A．
1
2
B．9
32
C．
1
2 或
1
2
D．9
32 或
9
32
5.已知角的终边经过点(2
1,
2)
a
a
，且
3
cos
5
，则实数
a
.
题型四：三角函数值在各象限的符号
1.已知sin𝜃< 0，tan𝜃< 0，则角𝜃的终边位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.“sin𝜃< 0”是“𝜃为第三象限角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3.求1
2sin5cos5
（ ）
A．sin5
cos5
B．sin5
cos5
C．cos5
sin5
D．sin5
cos5
4.
2
2
2sin
cos
1 cos
1 sin
x
x
x
x
所有可能取值的集合为
．
5.已知点
cos ,
tan
P
是第三象限的点，则的终边位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6.点
tan2022
co
)
22
(
s20
P
,
位于第
象限．
题型五：画三角函数线
1.利用单位圆分别写出符合下列条件的角α 的集合：
（1）
1
sin
2
；
（2）
2
cos
2
；
（3）tan
3
.
2.不等式
1
cos
2
x
在区间
,
上的解集为
．
3.利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合：
(1)
1
sin
2
x
且
1
cos
2
；
(2) tan
1
x ．
4.使sin
cos
x
x
成立的x 的一个变化区间是（ ）
A．[
3 π
4
，π
4 ]
B．[
π
2
，π
2 ]
5.已知
0, 2
，则sin
cos
+
的取值范围是
．
题型六：三角函数线的应用
1.已知A 是ABC
的一个内角，且tan
3
0
A
，则sin A 的取值范围是（ ）
A．
3 ,1
2
B．1 ,1
2
C．
3
1, 2
D．1
3
,
2
2
2.（1）设
π
0, 2
，试证明：sin
tan
；
（2）若
π
0
2
，试比较
sin
与
sin
的大小.
3.如图，已知点A 是单位圆与x 轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P ，PM
x
轴于M ，过点A 作
单位圆的切线交角的终边于T ，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（ ）
A．OM
，AT
，MP
B．OM
，MP
，AT
C．MP
，AT
，OM
D．MP
，OM
，AT
4.利用三角函数线,确定满足不等式
1
3
cos
2
2
的取值范围.
模块三：综合巩固
1.已知角的终边过点
,2
P x
，且
5
cos
3
，求sin及tan的值．
2.（多选）已知角的终边上有一点
,2
P a
a ，若a<0 ，则（ ）
A．
5
sin
5
B．
2 5
sin
5
C．
1
tan
2
D．tan
2
3.角的终边经过点
2,3
，则sin（ ）
A．
3
13
13
B．
2
13
13
C．2
13
13
D．3
13
13
4.角的终边经过点
4,
P
b 且
3
sin
5
，则b 的值为（ ）
A．3
B．3
C．3
D．5
5.（多选）已知
1
cos
3
，则可能是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
6.（多选）若是第四象限角，则点
cos
,tan
2
2
P
在第（ ）象限.
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7.已知点
4, 3
P
m
角的终边上，且
3
sin
5
，求m，cos，tan．
8.若sin
0
tan
，tan
0
cos
，则是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
9.已知
sin1,cos2
P
，则点P 所在象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10.角的终边上一点P 的坐标为( 3, )t ，且
2
sin
(
0)
t
t
，则tan（ ）
A．
2
B．
6
C．
2
D．
6
11.若cos
cos
，tan
tan
，则2
的终边在（ ）
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、三象限或在x 轴的非负半轴上
D．第二、四象限或在x 轴上
12.sin1 sin 2 sin3 sin 4
的符号为（ ）
A．正
B．0
C．负
D．无法确定
13.在平面直角坐标系中，
,
,
,
AB CD EF GH 是圆
2
2
1
x
y
上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角
以Ox 为始边，OP 为终边，若tan
cos
sin
，则P 所在的圆弧是
A．
AB
B．
CD
14.质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1 的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P 的角速度
为3rad/s，起点为射线
3
0
y
x x
与圆的交点；Q 的角速度为5rad/s，起点为圆与x 轴正半轴交点，
则当质点Q 与P 第二次相遇时，Q 的坐标为（ ）
A．
3
1
,
2
2
B．
3 ,
2
2
1
C．
3 1
,
2
2
D．
3 ,
2
2
1
15.已知函数
log
2
1
a
f x
x
（
0
a
，且
1
a ）的图像恒过点P，若点P 是角终边上的一点，则sin
（ ）
A．
2 5
5
B．
2
2
C．
5
5
D．
2
2
16.如果是第二象限角，则
sin cos
cos sin
的符号为
（选填“正”或“负”）．
17.利用三角函数线，说明当
π
0, 2
时，求证：sin
．
18.在直角坐标系xOy 中，角的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O ，已知角的终边l 与单位圆交
于点
0.6,
A
m ，将l 绕原点逆时针旋转2
与单位圆交于点
,
B x y ，若
4
tan
3
，则x （ ）
A．0.6
B．0.8
C．-0.6
D．-0.8
19.（多选）已知函数
log
2
2(
0
a
f x
x
a
且
1)
a
的图象经过定点A ，且点A 在角的终边上，则
1
1
tan
sin
的值可能是（ ）
A．
13
3
4
B．
13
3
2
C．
5
1
4
D．
5
1
2
