文档文本内容
1
三角函数与解三角形
题型归纳
题型一：三角恒等变换与三角函数
（24-25 高三上·河南·月考）已知向量
，函数
.
(1)求
的最小正周期;
(2)若函数
在区间
上恰有两个零点，求实数
的取值范围.
2
1．（24-25 高三上·江苏常州·月考）如图，已知函数
的图象过点
和
，且满足
.
(1)求
的解析式；
(2)当
时，求函数
值域.
2．（24-25 高三上·北京·期中）已知函数
.
(1)求
的最小正周期；
(2)求不等式
的解集；
(3)从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求
的取值范围.
①
在
有恰有两个极值点；
②
在
单调递减；
③
在
恰好有两个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，0 分；如果选择多个符合要求的条件解答，按第一个解答计分.
3
题型二：正余弦定理解三角形的边与角
（24-25 高三上·福建南平·期中）在锐角
中，角
所对的边分别为
.已知
(1)求
；
(2)当
，且
时，求
.
1．（24-25 高三上·江苏苏州·月考）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)证明：
；
(2)若
，
，求
.
2．（24-25 高三上·上海·期中）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，已知
．
(1)若
，
，求；
(2)若
，
，求
的周长．
4
题型三：利用正弦定理求三角形外接圆
（24-25 高三上·全国·专题练习）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)求
的大小；
(2)若
面积为
，外接圆面积为
，求
周长.
1．（24-25 高三上·海南·月考）如图，平面四边形ABCD 内接于一个圆，且
，
，
为钝角，
.
(1)求
；
(2)若
，求△BCD 的面积．
5
2．（23-24 高三下·浙江·模拟预测）如图，在平面内的四个动点
，
，
，
构成的四边形
中，
，
，
，
.
(1)求
面积的取值范围；
(2)若四边形
存在外接圆，求外接圆面积.
题型四：解三角形中边长或周长的最值范围
（24-25 高三上·四川绵阳·月考）在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
.
(1)求证：
；
(2)
，求
的取值范围.
6
1．（24-25 高三上·山西·月考）在
中，角
的对边分别是
，且
．
(1)证明：
．
(2)若
是锐角三角形，求
的取值范围．
2．（24-25 高三上·贵州遵义·月考）记
的内角
，
，
对应的三边分别为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
的周长的取值范围.
题型五：解三角形中面积的最值范围
（24-25 高三上·辽宁沈阳·月考）已知
中，角
的对边分别为
，满足
．
(1)求角
．
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
7
1．（24-25 高三上·江西·期中）已知
中，角
所对的边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
面积的最大值.
2．（24-25 高三上·河南·月考）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求C 的值；
(2)若
内有一点P，满足
，
，求
面积的最小值．
题型六：三角形的角平分线、中线、垂线
（24-25 高三上·江苏徐州·月考）已知
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B；
(2)若BD 是角B 的平分线，
，求线段BD 的长．
8
1．（24-25 高三上·福建福州·月考）
的内角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若D 为
中点，
，
，求
的周长．
2．（24-25 高三上·广西南宁·月考）已知
的三个内角
所对的边分别是
．已知
(1)求角
；
(2)若点
在边
上，
，请在下列两个条件中任选一个，求边长
．
①
为
的角平分线；②
为
的中线．
9
必刷大题
1．（24-25 高三上·山东菏泽·期中）记锐角
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)延长
到
，使
，求
．
2．（24-25 高三上·上海·期中）设
的内角A，B，C 的对边分别为
，
且B 为钝角.
(1)若
,
，求
的面积；
(2)求
的取值范围.
10
3．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）在
中，a，b，c 分别是内角A，B，C 的对边，且
.
(1)若
，求
；
(2)若
，求
的面积的最大值.
4．（24-25 高三上·辽宁大连·月考）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，满足
.
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积为
，求
的最小值．
5．（24-25 高三上·江苏无锡·期中）在
中，已知
.
(1)若
为锐角三角形，求角
的值，并求
的取值范围;
(2)若
，线段
的中垂线交边
于点
，且
，求A 的值.
6．（24-25 高三上·天津·月考）在
中，角
对应边分别为
，外接圆半径为，已知
.
11
(1)证明：
；
(2)求角
和边；
(3)若
，求
.
1．（2024·上海·高考真题）已知
，
(1)设
，求解:
的值域;
(2)
的最小正周期为
，若在
上恰有3 个零点，求
的取值范围.
2．（2024·广东江苏·高考真题）记
的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若
的面积为
，求c．
12
3．（2024·全国·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的周长．
4．（2024·天津·高考真题）在
中，角
所对的边分别为a,b,c，已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值．
5．（2024·北京·高考真题）在
中，内角
的对边分别为
，
为钝角，
，
．
(1)求
；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
的面积．
条件①：
；条件②：
；条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
13
6．（2023·北京·高考真题）设函数
．
(1)若
，求
的值．
(2)已知
在区间
上单调递增，
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知，使函数
存在，求
的值．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
在区间
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
14
立体几何七类大题梳理
题型归纳
题型一：空间异面直线夹角的求解
（23-24 高三上·河北衡水·月考）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是平行四边
形，且
是等边三角形，
.
(1)求证：
平面
；
(2)若
是等腰三角形，求异面直线
与
所成角的余弦值.
15
1．（24-25 高三上·江西南昌·开学考试）如图，圆锥
的轴截面
是边长为4 的等边三角形，
是
的中点，
是底面圆周上一点，
.
(1)求
的值；
(2)求异面直线
与
所成角的余弦值.
2．（24-25 高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱
中，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与
所成角的余弦值.
16
题型二：空间直线与平面夹角的求解
（24-25 高三上·江苏南京·期中）如图，在四棱锥
中，平面
⊥平面
，
，
，
，
，
，
，
(1)求证：平面
⊥平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
1．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在三棱柱
中，
，
，
，
，
为
中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
17
2．（24-25 高三上·云南大理·月考）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，侧棱
底面
，
.点
是棱
的中点，点
为棱
上的一点，且
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型三：空间平面与平面夹角的求解
（24-25 高三上·湖北·期中）如图，球
的半径为
，
为球面上三点，若三角形
为直角三角形，
其中
.延长
与球
的表面交于点
.
(1)求证：
平面
；
(2)若直线
与平面
所成的角分别为
，试求二面角
的正弦值.
18
1．（24-25 高三上·福建南平·期中）如图，在四棱锥
中，点
在平面
上射影是
的外
心，且
是棱
的中点，且
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求二面角
的正弦值.
2．（24-25 高三上·北京·月考）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
平面
，
，M 为线段
的动点.
(1)若直线
平面
，求证：
为
的中点：
(2)求证：平面
平面
(3)若平面
与平面
夹角的余弦值为
，求
的值.
19
题型四：空间点、线、面间的距离求解
（24-25 高三上·贵州贵阳·月考）如图，
是正三角形
的一条中位线，
，将
沿
折起，
得到四棱锥
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
求点
到平面
的距离.
1．（24-25 高三上·广东广州·月考）已知四棱柱
中，底面ABCD 为梯形，
，
平面
，
，其中
，
.
，
分别是线段
和线段
上的
动点，且
，
.
20
(1)求证：
平面
；
(2)若
到平面
的距离为
，求
的长度.
2．（24-25 高三上·福建福州·月考）如图，在直四棱柱
中，底面四边形
为梯形，
，
，
，
．
(1)证明：
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求直线BD 到平面
的距离．
题型五：空间几何体的体积求解
21
（23-24 高三上·海南海口·月考）如图，在长方体
中，
，
，
分别
为
，
的中点．
(1)证明：
；
(2)求三棱锥
的体积．
1．（24-25 高三上·广东深圳·月考）如图，将长方形
（及其内部）绕
旋转一周形成圆柱，其中
，
，劣弧
的长为
，
为圆
的直径，平面
与平面
的交线为.
(1)证明：
；
(2)若平面
与平面
夹角的正切值为
，求四棱锥
的体积．
22
2．（24-25 高三上·河南·开学考试）如图，四棱锥
中，底面四边形
为凸四边形，且
，
，
．
(1)证明：
；
(2)已知平面
与平面
夹角的余弦值为
，求四棱锥
的体积．
题型六：空间几何体的翻折问题
23
（23-24 高三下·山东·模拟预测）如图，在菱形
中，
，
是
的中点，将
沿直线
翻折使点
到达点
的位置，
为线段
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，求直线
与平面
所成角的大小.
1．（24-25 高三上·云南昆明·期中）已知在长方形
中，
，
，点
是边
的中点，如
图甲所示.将
沿
翻折到
，连接
，
，得到四棱锥
，其中
，如
图乙所示.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
和平面
夹角的余弦值.
24
2．（2024·河北承德·二模）如图1，在直角
中，
为
中点，
，取
中
点
，连接
，现把
沿着
翻折，形成三棱锥
如图2，此时
，取
中点
，
连接
，记平面
和平面
的交线为
为上异于
的一点.
(1)求证：
平面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的长度.
题型七：空间动点存在性问题的探究
（24-25 高三上·四川德阳·月考）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，
平面
为
棱
上的动点.
(1)若
为
中点，证明：
平面
；
25
(2)若
，在线段
上是否存在点
使得面
与面
夹角余弦值为
，若存
在，求出点
位置，若不存在，说明理由.
1．（24-25 高三上·江西南昌·月考）如图，在矩形纸片
中，
，沿
将
折起，
使点
到达点
的位置，且满足平面
⊥平面
.
(1)求证：平面
平面
，并求
的长度；
(2)若
是线段
上（不包括端点）的一个动点，是否存在点
，使得直线
与平面
的夹角为
？
若存在，求
的长度；若不存在，说明理由.
2．（24-25 高三上·湖南·月考）如图，侧面
水平放置的正三棱台
，侧棱
长为
为棱
上的动点.
26
(1)求证：
平面
；
(2)是否存在点
，使得平面
与平面
的夹角的余弦值为
？若存在，求出点
；若不存在，
请说明理由.
必刷大题
1．（24-25 高三上·江苏扬州·月考）已知三棱锥
底面
，
点
是
的中点，点
为线段
上一动点，点
在线段
上.
(1)若
平面
，求证：
为
的中点；
(2)若
为
的中点，求直线
与平面
所成角的余弦值.
27
2．（24-25 高三上·江苏苏州·月考）如图，在平行四边形
中，
，以
为
折痕将
折起，使点M 到达点D 的位置，且
.
(1)证明：平面
平面
.
(2)Q 为线段
上一点，P 为线段
上一点，且
，求点P 到平面ABQ 的距离.
3．（24-25 高三上·浙江宁波·模拟考试）在三棱锥
中，侧面
是边长为2 的等边三角形，
，
，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值.
4．（24-25 高三上·黑龙江大庆·期中）在梯形
中，
，
，
，
为
的中点，线段
与
交于
点（如图1）.将△
沿
折起到△
位置，使得
（如图2）.
28
(1)求证：平面
平面
；
(2)线段
上是否存在点
，使得
与平面
所成角的正弦值为
?若存在，求出
的值；若不
存在，请说明理由.
5．（24-25 高三上·北京·期中）如图，在四棱锥
中，直线
平面
.
，
，
，
，
，平面
平面
，F 为线段
的中点，E 为
线段
上一点.
(1)证明：
；
(2)证明：
；
(3)是否存在点E，使得点E 到平面
的距离是
，若存在求出
的值，若不存在请说明理由.
6．（24-25 高三上·浙江·月考）在四棱锥
中，
，
，
底面
，点O 在
29
上，且
.
(1)求证：
；
(2)若
，
，点
在
上，
平面
，求
的值；
(3)若
，二面角
的正切值为
，求二面角
的余弦值.
1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，
，
，
,点
在
上，且
，
．
(1)若
为线段
中点，求证：
平面
．
(2)若
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
2．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形
30
ADEF 均为等腰梯形，
，
，
，
为
的
中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
3．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，点E，F 满足
，
，将
沿EF 翻折至
，使得
．
(1)证明：
；
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
4．（2024·广东江苏·高考真题）如图，四棱锥
中，
底面ABCD，
，
．
31
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且二面角
的正弦值为
，求
．
5．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱
中，
平面
，
，
．
分别为
的中点，
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
32
数列及其综合应用
题型归纳
题型一：等差数列与等比数列证明
（23-24 高三下·内蒙古包头·三模）已知数列
的前n 项和为
，
，
．
(1)证明：数列
是等比数列，并求
；
(2)求数列
的前n 项和
．
1．（24-25 高三上·上海·期中）某人购买某种教育基金，今年5 月1 日交了10 万元，年利率5%，以后每年
5 月1 日续交2 万元，设从今年起每年5 月1 日的教育基金总额依次为
，
，
，…….
(1)写出
和
，并求出
与
之间的递推关系式；
(2)求证：数列
为等比数列，并求出数列
的通项公式.
33
2．（24-25 高三上·山东淄博·月考）记
为数列{an}的前
项和，已知
，
．
(1)求
，并证明
是等差数列；
(2)求
．
题型二：分组转化法求数列的前n 项和
（24-25 高三上·北京·月考）已知
是各项均为正数的等比数列，
，且
，
，
成等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
1．（24-25 高三上·河北衡水·月考）已知数列
的前
项和为
，
，
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)若
，求n 的值．
34
2．（24-25 高三上·海南海口·月考）已知数列
是公差为3 的等差数列，数列
满足
，
，
，
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
题型三：裂项相消法求数列的前n 项和
（24-25 高三上·湖北·期中）记
是等差数列
的前
项和，
，且
，
，
成等比数
列.
(1)求
和
；
(2)若
，求数列
的前20 项和
.
1．（24-25 高三上·广东深圳·模拟预测）若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是
一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列
是一个二阶等差数列，其中
．
(1)求
及
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
35
2．（24-25 高三上·宁夏石嘴山·月考）已知数列{an}的首项为1，且
.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若
，求数列{bn}的前
项和
.
题型四：错位相减法求数列的前n 项和
（24-25 高三上·广东广州·模拟预测）已知数列
的前
项和公式为
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的通项公式.
1．（24-25 高三上·贵州贵阳·月考）已知数列{an}满足：
，数列{bn}满足：
.
(1)求数列
的前15 项和
；
(2)求数列
的前
项和
.
36
2．（24-25 高三上·湖北·期中）已知
是公差不为0 的等差数列，
，且
，
，
成等比数列，
数列
满足：
，且
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)若
为数列
的前
项和，求
.
题型五：数列与不等式综合问题
（23-24 高三下·河北邢台·二模）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求证：
．
1．（24-25 高三上·吉林·模拟预测）已知数列
的首项
，且满足
，设
．
(1)求证：数列
为等比数列；
37
(2)若
，求满足条件的最小正整数
．
2．（24-25 高三上·辽宁·开学考试）已知
为数列
的前
项和，
为数列
的前
项和，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
的最大值；
(3)设
，证明：
.
题型六：数列中的探究问题
（23-24 高三下·福建·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，
，数列
满足
，且
均
为正整数.
(1)是否存在数列
，使得
是等差数列？若存在，求此时的
；若不存在，说明理由；
(2)若
，求
的通项公式.
38
1．（24-25 高三上·天津·月考）已知等比数列{an}的前n 项和为
，且
．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在
与
之间插入n 个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列．
（i）求数列
的通项及
；
（ii）在数列
中是否存在3 项
（其中m，k，p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的
3 项；若不存在，请说明理由．
2．（24-25 高三上·江苏无锡·期中）在下面
行、
列
的表格内填数：第一列所填各数自上而下构
成首项为1，公差为2 的等差数列{an}；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2 的等比数列{bn}；
其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2 行的数自左向
右依次记为
.
第1 列
第2 列
第3 列
…
第
列
第1 行
1
2
…
第2 行
3
5
9
第3 行
5
10
…
…
39
第
行
(1)求数列
通项公式;
(2)对任意的
，将数列{an}中落入区间
内项的个数记为
，
①求
和
的值;
②设数列
的前
项和
；是否存在
，使得
，若存在，求出所有
的值，
若不存在，请说明理由.
必刷大题
1．（24-25 高三上·贵州铜仁·模拟预测）已知正项等差数列{an}满足：
且
，
，
成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：
，
，求数列
的前
项和
.
2．（24-25 高三上·江苏镇江·模拟预测）已知数列
满足
，
40
(1)记
，写出
，
，证明数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)求
的前20 项和．
3．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）已知数列
的前n 项和为
，
，满足
．
(1)求
；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
4．（24-25 高三上·江西上饶·月考）设函数
，数列
满足
，且
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)令
，若
对一切
成立，求最小正整数
的
值.
5．（24-25 高三上·江苏泰州·期中）已知数列
为等差数列，公差
，前
项和为
，
为
和
的
等比中项，
.
(1)求数列
的通项公式；
41
(2)是否存在正整数
，
，使得
，
，
成等差数列？若存在，求出
，
的值；若不存
在，请说明理由；
(3)求证：数列
.
6．（24-25 高三上·山东青岛·月考）已知数列
的前n 项和
．若
，
且数列
满足
．
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求证：数列
的前n 项和
；
(3)若
对一切
恒成立，求实数的取值范围．
1．（2024·全国·高考真题）已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和.
42
2．（2024·全国·高考真题）记
为数列{an}的前
项和，已知
．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设
，求数列{bn}的前
项和
．
3．（2024·上海·高考真题）若
．
(1)
过
，求
的解集；
(2)存在
使得
成等差数列，求
的取值范围．
4．（2024·天津·高考真题）已知{an}为公比大于0 的等比数列，其前
项和为
，且
．
(1)求{an}的通项公式及
；
(2)设数列
满足
，其中
．
（ⅰ）求证：当
时，求证：
；
（ⅱ）求
．
43
概率与统计十类大题梳理
题型归纳
题型一：离散型随机变量及其分布列
（23-24 高三下·广东佛山·一模）密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7 名成员参加
密室逃脱游戏，其中3 名资深玩家，4 名新手玩家，甲为新手玩家.
(1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为
；若
是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为
，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率；
(2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密
室①有2 个门，密室②有3 个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1 个门出去，若走出密
室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为
，求
的分布列.
44
1．（24-25 高三上·贵州·月考习）已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的
方式答题，抢到并回答正确得1 分，答错则对方得1 分，甲､乙两人初始分均为0 分，答题过程中当一人比
另一人的得分多2 分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5 题时仍未分出胜负，则答题直
接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为
，甲､乙两人答对每道题的概率分别为
，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.
(1)求第一题结束时甲获得1 分的概率；
(2)记
表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求
的分布列与期望.
2．（24-25 高三上·北京·月考习）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对
三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.
题目
A
做对的概率
获得的奖金/元
20
40
80
规则如下：按照
的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.
[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]
(1)求甲没有获得奖金的概率；
(2)求甲最终获得的奖金
的分布列及期望；
(3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望
最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）
45
题型二：超几何分布与二项分布
（24-25 高三上·北京·期中）某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某
采购商从采购的该种产品中随机抽取100 件，根据产品的等级分类得到如下数据：
等
级
一等品
二等
品
三等品
四等品
数
量
40
30
10
20
(1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100 件产品中抽取10 件，再从这10 件产品中随机抽取3 件，记
这3 件产品中一等品的数量为
，求
的分布列及数学期望；
(2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3 件产品，求恰好有1 件四等品的概率；
(3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，
方案一：产品不分类，售价均为21 元/件.
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：
等级
一等品
二等品
三等品
四等品
售价/（元/件）
24
22
18
16
从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由.
46
1．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·月考习）哈三中文学社团举行知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规
则如下：第一轮，参赛选手从A 类6 道题中任选3 道进行答题，都答完后错题个数不超过1 道（否则终止
比赛）才能进行第二轮答题；第二轮答题从B 类10 道题中任选3 道进行答题．A 类题每答对一道得10 分，
B 类题每答对一道得30 分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分80 分或90 分为三等奖，110 分为
二等奖，120 分为一等奖．某班参加活动的同学
类题中只有4 道能答对，
类题中，每题答对的概率均
为
，且各题答对与否互不影响．
(1)求该同学被终止比赛的概率；
(2)现该同学进入第二轮，求他在第二轮答题中得分X 的分布列及期望；
(3)求该同学获得三等奖的概率．
2．（24-25 高三上·重庆·月考习）我国承诺2030 年前“碳达峰”，2060 年“碳中和”，“碳达峰”是指二
氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、
节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，
助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决
赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通
过初赛和复赛获胜的概率均为2
3，第三组通过初赛和复赛的概率分别为
和
，其中
，三组
是否通过初赛和复赛互不影响.
(1)求
取何值时，第三组进入决赛的概率最大；
(2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数
的分布列和数学期望.
47
题型三：均值与方差的实际应用
（24-25 高三上·河北·期中）随着我国城镇化建设的不断推进，各种智能终端的普及和互联互通，人工智能
在教育､医疗､金融､出行､物流等领域发挥了巨大的作用.为普及人工智能相关知识，培养青少年对科学技术
的兴趣，某中学组织开展“科技兴国”人工智能知识竞赛.竞赛试题有甲､乙､丙三类（每类题有若干道），
各类试题的每题分值及选手小李答对概率如下表所示，各小题回答正确得到相应分值，否则得0 分，竞赛
分三轮答题依次进行，竞赛结束，各轮得分之和即为选手最终得分.
项目
题型
每小题分值
每小题答对概率
甲类
题
乙类
题
丙类
题
其竞赛规则为：
第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，
同样进入第二轮答题；否则，退出比赛.
第二轮，在丙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛.
第三轮，在乙类试题中选择一道作答.
(1)求小李答题次数恰好为2 次的概率；
(2)求小李最终得分的数学期望.
48
1．（24-25 高三上·四川成都·月考习）某小区有3000 名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假
设携带病毒的人占
.为减轻工作量，随机地按
人一组分组，然后将各组
个人的血样混合在一起化验.
若混合血样呈阴性，说明这
个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就
需要对每个人再分别化验一次.
(1)若
试估算该小区化验的总次数；
(2)若
，且每人单独化验一次花费10 元，
人混合化验一次花费
元，求当
为何值时，每个居
民化验的平均费用最少.
注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当
时，
.
2．（24-25 高三上·辽宁丹东·期中）甲乙两人各有n 张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别
标有数字1，3，5，
，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，……，2n，两人进行n 轮比赛，在每轮比
赛中，甲按照固定顺序1，3，5，……，
每轮出一张卡片，乙从自己持有的卡片中随机选一张，并比
较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1 分，数字小的人得0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置
的卡片在此后的轮次中不能使用）．
(1)当
时，求甲的总得分小于2 的概率．
(2)分别求甲得分的最小值和最大值的概率；
(3)已知：若随机变量
服从两点分布，且
，
，2，3，…，n，则
，记
轮比赛（即从第1 轮到第
轮比赛）中甲的总得分为
，乙的总得分为
，求
和
的值，并由这两个值来判断随着轮数的增加，甲乙的总得分期望之差有什么变化规律？
49
题型四：正态分布与标准正态分布
（24-25 高三上·浙江·月考习）在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000 人，数学
均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数
学分数不服从正态分布.
(1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70 分及以下的学生中抽取10 人进行访问，学生小A 考分为
68 分，求他被抽到的概率大约为多少；
(2)根据统计发现学校乙得分不低于130 分的学生有25 人，得分不高于58 分的有1 人，试说明乙学校教学
的特点；
参考数据：若
，则
，
，
.
50
1．（24-25 高三上·江苏泰州·月考习）以A 地生产的所有番茄为总体，总体中每个番茄的重量为随机变量
，其中
均为正数．随机从总体中抽取
个番茄作为一个样本，番茄的重量分别为
，
，其取值相互独立．样本均值为
．
(1)已知对于任意的随机变量
，有
；如果
，
的取值相互独立，则又
有
．求
及
．
(2)若
，证明：
是
的充要条件．
2．按照国际乒联的规定,标准的乒乓球在直径符合的条件下,重量为2.7 克,其重量的误差在区间[－
0.081,0.081]内就认为是合格产品,在正常情况下样本的重量误差x 服从正态分布.现从某厂生产的一批产品中
随机抽取10 件样本,其重量如下：
2.72 2.68 2.7 2.75 2.66 2.7 2.6 2.69 2.7 2.8
(1)计算上述10 件产品的误差的平均数及标准差s；
(2)①利用（1）中求的平均数,标准差s,估计这批产品的合格率能否达到96%；
②如果产品的误差服从正态分布
,那么从这批产品中随机抽取10 件产品,则有不合格产品的概
率为多少？（附：若随机变量x 服从正态分布
,则
，
，
，
用0.624，
用0.9704 分别代
替计算）
51
题型五：线性回归与非线性回归
（24-25 高三上·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具
有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人
有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：
年份x
2019
2020
2021
2022
2023
新能源汽车购买数量>（万辆）
0.40
0.70
1.10
1.50
1.80
(1)计算
与
的相关系数（保留三位小数）；
(2)求
关于
的线性回归方程，并预测该地区2025 年新能源汽车购买数量．
参考公式
，
，
．
参考数值：
，
．
52
1．（24-25 高三上·广东·月考习）仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强
的生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人掌
不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄
土中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙
人掌的植株高度y（单位：cm），与其根茎长度x（单位：cm）之间是否存在线性相关的关系，通过采样
和数据记录得到如下数据：
样本编号
1
2
3
4
根茎长度
10
1
2
14
16
植株高度
62
8
6
112
132
参考数据：
．
(1)由上表数据计算相关系数，并说明是否可用线性回归模型拟合
与
的关系（若
，则可用线性
回归模型拟合，计算结果精确到0.001）；
(2)求
关于
的线性回归方程.
附：对于一组数据
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数
的公式分别为
．
53
2．（24-25 高三上·福建泉州·月考习）一只药用昆虫的产卵数
与一定范围内的温度
有关，现收集了该
种药用昆虫的6 组观测数据如下表：
温度
21
23
24
27
29
32
产卵数
个
6
11
20
27
57
77
经计算得：
线性
回归模型的残差平方和
，其中
分别为观测数据中的温差和产卵数，
.
(1)若用线性回归方程，求
关于
的回归方程
（精确到0.1）；
(2)若用非线性回归模型求得
关于
回归方程为
，且相关指数
0.9522.
（i）试与（1）中的回归模型相比，用
说明哪种模型的拟合效果更好.
（ii）用拟合效果好的模型预测温度为
时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.
附：一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计为
；相关指数
.
54
题型六：独立性检验及应用
（24-25 高三上·四川绵阳·月考习）2021 年8 月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务
开设奥数、科技、体育等特色课程.为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400 人进行调查问卷，整
理后获得如下统计表:
喜欢奥数
不喜欢奥数
总计
已选奥数课（A 组）
150
50
200
未选奥数课（B 组）
90
110
200
总计
240
160
400
(1)若从样本内喜欢奥数的240 人中用分层抽样方法随机抽取32 人，则应在A 组、B 组各抽取多少人？
(2)依据小概率值
的独立性检验，能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？
附:
参考公式:
，其中
.
55
1．（24-25 高三上·宁夏中卫·月考习）宁夏新高考改革方案已正式公布，根据改革方案，将采用“3+1+2”
的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3 门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治，历史、地
理、物理、化学、生物6 门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理和历史中选
择1 门，再从政治、地理、化学、生物中选择2 门，形成自己的“高考选考组合”.
(1)若某学生根据方案进行随机选科，求该生恰好选到“物化生”组合的概率；
(2)由于物理和历史两科必须选择1 科，某校想了解高一新生选科的需求，随机选取100 名高一新生进行调
查，得到如下统计数据，完成下面
列联表，依据小概率值
的独立性检验，能否认为“选科与
性别有关”？
选择物理
选择历
史
合计
男生
40
50
女生
合计
30
100
附参考公式与表：
，
.
独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值：
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
56
2．（24-25 高三上·上海·开学考试）某地生产队在面积相等的50000 块稻田上种植一种新型水稻，从中抽
取100 块得到各块稻田的亩产量（单位：kg）与优质频数并部分整理成下表（最终亩产量均在900kg 到
1200kg 之间）
亩产量
优质频数
5
10
14
18
6
普通频数
1
2
4
6
4
(1)这50000 块稻田中，亩产量在
的频数约为多少？
(2)估计这片稻田的平均亩产量（单位kg）；
(3)已知在100 块抽取稻田中亩产量在
的优质稻田有25 块，是否有0.95 的把握认为产品是否优
质与亩产量不少于1050kg 且少于1200kg 有关？（参考公式：
，参考数据：
）
题型七：条件概率/全概率公式/贝叶斯公式
（24-25 高三上·贵州遵义·模拟预测）已知4 台车床加工的同一种零件共计1000 件，其中第一台加工200 件，
次品率为5%；第二台加工250 件，次品率为6%；第三台加工250 件，次品率为8%；第四台加工300 件，
次品率为10%.现从这1000 件零件中任取一个零件.
(1)求取到的零件是次品的概率；
(2)若取到的零件是次品，求它是第（其中
）台车床加工的零件的概率.
57
1．（24-25 高三上·广东·月考习）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，
答对积1 分，答错不得分：然后换对方抽题作答，甲乙两人各完成一次答题记为一轮比赛．比赛过程中，
有选手领先2 分者立即晋级，比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）．已知甲答对题目的概率为
，乙答
对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知第一轮答题后甲乙两人各积1 分的概
率为
．记比赛结束时甲乙两人的答题总次数为
．
(1)求
；
(2)求在
的情况下，甲晋级的概率；
(3)由于比赛时长关系，比赛答题不能超过3 轮，若超过3 轮没有晋级者，则择期再进行比赛．求甲在3 轮
比赛之内成功晋级的概率．
2．（24-25 高三上·四川内江·月考习）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种
凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1 天选择绿豆汤的概率是
，若在前一天选
择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为
，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选
择银耳羹的概率为
，如此往复．（提示：设
表示第
天选择绿豆汤）
(1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率
(2)求该同学第2 天选择绿豆汤的概率；
(3)记该同学第
天选择绿豆汤的概率为
，求出
的通项公式.
58
题型八：概率与统计图表的综合应用
（24-25 高三上·广东广州·模拟预测）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了
名高中学
生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1)求
的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)为进一步了解这
名高中学生户外运动的时间分配，在
，
两组内的学生中，采用分层
抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在
内的人数为
，求
的分布列
和期望；
(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“
”表示这名学生中恰有
名学
生户外运动时间在
内的概率，当
最大时，求
的值.
59
1．（24-25 高三上·宁夏石嘴山·月考）某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了
高一年级100 位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：
(1)估计这100 位学生的数学成绩的平均值
；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩
近似地服从正态分布
，经计算，（1）中
样本的标准差s 的近似值为10，用样本平均数
作为
的近似值，用样本标准差s 作为
的估计值，现任
抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64 分到94 分之间的概率；（若随机变量
，则
，
，
）
(3)该年级1 班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，
特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序
中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上
有一列方格，共15 格，刚开始有只小兔子在第1 格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，
每次跳1 格或跳2 格，概率均为
，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14 格（奖励0 分）或第
15 格（奖励5 分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第
格的概率为
，试证
明
是等比数列，并求
（获胜的概率）的值.
60
2．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·月考习）某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日
的汽车销售情况进行了统计，如图所示.
(1)求
的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60 百分位数；
(2)以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4 天，设每日汽车销售量在
内的天数为
，在恰
有1 天的汽车销售量不超过150 辆的条件下，求
的分布列及数学期望；
(3)为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥
中，
、
均是边长为2 的正三角形，
，现从写有数字1~8 的八个标签中随机选择两个分别
贴在
、
两个顶点，记顶点
、
上的数字分别为
和
，若
为侧棱
上一个动点，满足
，
当“二面角
大于
”即为中奖，求中奖的概率.
61
题型九：概率与其他知识的交汇应用
（24-25 高三上·广东深圳·月考习）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，
答对积1 分且对方不得分，答错不得分且对方积1 分；然后换对方抽题作答，直到有领先2 分者晋级，比
赛结束.已知甲答对题目的概率为
，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，
已知两次答题后甲乙两人各积1 分的概率为
.记甲乙两人的答题总次数为
.
(1)求p；
(2)当
时，求甲得分X 的分布列及数学期望；
(3)若答题的总次数为n 时，甲晋级的概率为
，证明：
.
1．（24-25 高三上·湖南·月考习）若无穷正项数列
同时满足下列两个性质：①存在
，使得
；②
为单调数列，则称数列
具有性质
.
(1)若
，
（i）判断数列
是否具有性质
，并说明理由；
（ii）记
，判断数列
是否具有性质
，并说明理由；
(2)已知离散型随机变量
服从二项分布
，记
为奇数的概率为
.证明：数列
具有性
质
.
62
2．（24-25 高三上·海南省·开学考试）第十五届全国运动会将于2025 年在广东、香港、澳门三地举办．为
了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识闯关比赛，比赛分为初赛与复赛，初赛胜利后才能参加复赛，
初赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新
闯关；三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛，他
们各自闯关成功的概率分别为
，假定
互不相等，且每人能否闯关成功相互独立．
(1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关，
，求该小组初赛胜利的概率；
(2)已知
，若乙只能安排在第二个派出，要使初赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙
谁先派出；
(3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛，复赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一
等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某学生进入了复赛，他在
复赛中前两道题答对的概率均为
，第三道题答对的概率为
．若他获得一等奖的概率为
，设他获得二
等奖的概率为
，求
的最小值．
63
题型十：利用概率解决决策类问题
（24-25 高三上·宁夏银川·月考习）2023 年12 月30 号，长征二号丙/远征一号S 运载火箭在酒泉卫星发射中
心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长
征系列运载火箭的第505 次飞行，也代表着中国航天2023 年完美收官.某市一调研机构为了了解当地学生
对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为40 的样本进行调查，调查
结果如下表：
学生群体
关注度
合计
关
注
不关注
大学生
20
28
高中生
合计
24
附：
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，
.
(1)完成上述列联表，依据小概率值
的独立性检验，能否认为关注航天事业发展与学生群体有关？
(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题
方案选择：
方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级.
已知小华同学答出三个问题的概率分别是
，
，
，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该
选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）
64
1．（24-25 高三上·贵州贵阳·月考习）某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3 次，在
处
投一次三分球，投进得3 分，未投进不得分，在
处连续投2 次两分球，每投进一次得2 分，未投进不得
分，测试者累计得分高于3 分即通过测试，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮）.
甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中3 分球的概率为
，投中2 分球的概率为
，且每次投篮结果互不
影响.
(1)若甲同学先投3 分球，求他投篮2 次就终止投篮的概率；
(2)为使通过测试的概率最大，甲同学应先投几分球？
(3)为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？
65
2．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·月考习）某校高三年级部组织高中生数学知识竞赛，竞赛分为个人赛和团
体赛，竞赛规则如下：个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会，电脑同时给出2 道判断题
（判
断对错）和4 道选择题
（每个选择题的四个选项中有且仅有一个是正确的），要求参赛者全
都作答，若有4 道或4 道以上答对，则该选手挑战成功.团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于
20 人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：方式一：将班级选派的
个
人平均分成n 组，每组2 人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中
至少有一人回答正确，则该小组挑战成功，若这n 个小组都挑战成功，则该班级挑战成功.方式二：将班级
选派的
个人平均分成2 组，每组n 个人，电脑随机分配给同组n 个人一道相同试题，各人同时独立答题，
若这n 个人都回答正确，则该小组挑战成功.若这两个小组至少有一个小组挑战成功则该班级挑战成功.
(1)在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题的概率；
(2)甲同学参加个人赛，他能够答对判断题
并且答对选择题
，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战
成功的概率；
(3)在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数
，为使本班团队
挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由.
66
必刷大题
1．（2024·全国·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的
产品中随机抽取150 件进行检验，数据如下：
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
(1)填写如下列联表：
优级品
非优级品
甲车
间
乙车
间
能否有
的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有
的把握认为甲，乙两车间产品
的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率
，设
为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果
，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150 件产品的数据，能否认为生
产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（
）
附：
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
67
2．（2024·全国·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：
第一阶段由参赛队中一名队员投篮3 次，若3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0 分；若至少投中
一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3 次，每次投篮投中得5 分，未投中得0 分.
该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙
每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若
，
，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分的概率．
(2)假设
，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
3．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保
单中随机抽取1000 份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次
数
0
1
2
3
4
单数
假设：一份保单的保费为0.4 万元；前3 次索赔时，保险公司每次赔偿0.8 万元；第四次索赔时，保险公司
赔偿0.6 万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2 的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记
为一份保单的毛利润，估计
的数学期望
；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少
，有索赔的保单的保费增加
，试比较这种情况下一份保单毛
利润的数学期望估计值与（i）中
估计值的大小．（结论不要求证明）
68
4．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000 名学生
中抽取580 人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围学业成绩
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
(1)该地区29000 名学生中体育锻炼时长不少于1 小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
(3)是否有
的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1 小时且小于2 小时有关？
（附：
其中
，
．）
5．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136 箱，其中一级果102 箱，二级果34 箱．
(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
(2)进行分层抽样，共抽8 箱水果，求一级果和二级果各几箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120 个，单果质量平均数为303.45 克，方差为603.46；二级果48 个，
单果质量平均数为240.41 克，方差为648.21；求168 个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
69
圆锥曲线的综合应用
题型归纳
题型一：最值问题
（24-25 高三上·福建福州·月考）已知椭圆
经过点
，右焦点为
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线与
交于
两点，且直线
与
的斜率互为相反数，求
的中点
与
的最小距离．
70
1．（24-25 高三上·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线
：
的一个焦点与抛物线
：
的焦点
重合，且
被
的准线截得的弦长为
.
(1)求
的方程；
(2)若过
的直线与
的上支交于
，
两点，设
为坐标原点，求
的取值范围.
2．（24-25 高三上·四川成都·期中）已知抛物线
：
经过点
，直线：
与
的交点为A，B，且直线
与
倾斜角互补.
(1)求抛物线在点
处的切线方程；
(2)求
的值；
(3)若
，求
面积的最大值.
题型二：参数范围问题
（23-24 高三下·全国·模拟预测）已知椭圆
.
(1)若椭圆
的左右焦点分别为
为
的上顶点，求
的周长；
(2)设过定点
的直线与椭圆
交于不同的两点
，且
为锐角（其中
为坐标原点），求
直线的斜率
的取值范围.
71
1．（23-24 高三下·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系
中，已知动点
到定点
的距离和它到
定直线
的距离之比为
，记
的轨迹为曲线
.
(1)求
的方程；
(2)已知点
，不过
的直线与
交于
，
两点，直线
，
，
的斜率依次成等比数列，求
到距离的取值范围.
2．（24-25 高三上·湖南·开学考试）已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线
上，
且
.
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)抛物线的准线与
轴交于点
，过
的直线交抛物线
于
两点，且
，点
为
线段
的垂直平分线与
轴的交点，求点
的横坐标
的取值范围.
72
题型三：定值问题
（24-25 高三上·贵州毕节·期中）已知椭圆
的焦距为4，
为椭圆
上一点.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设
为椭圆
的左焦点，直线
，
为椭圆上任意一点，点
到
的距离为
，点
到的距离为
，若
为定值，求此定值及的值.
1．（24-25 高三上·湖北武汉·开学考试）已知曲线
上的点到点
的距离比到直线
的距离小
为坐标原点.直线过定点
.
(1)直线与曲线
仅有一个公共点，求直线的方程；
(2)曲线
与直线交于
两点，试分别判断直线
的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理
由.
73
2．（24-25 高三上·甘肃张掖·模拟预测）已知双曲线
的焦距为8，右焦点为
，
直线
与双曲线在一､三象限的交点分别为
，且
．
(1)求双曲线
的方程及
的面积；
(2)直线
与双曲线
交于
两点，若直线
与
轴分别交于点
，且
．
证明：
为定值．
题型四：过定点问题
（24-25 高三上·河南驻马店·开学考试）已知动圆P 过点
，并且与圆
外切，设动
圆的圆心P 的轨迹为C.
(1)直线
与圆
相切于点Q，求
的值；
(2)求曲线C 的方程；
(3)过点
的直线与曲线C 交于E，F 两点，设直线
，点
，直线
交于点M，证明直线
经过定点，并求出该定点的坐标.
74
1．（24-25 高三上·湖北襄阳·月考）已知抛物线
与双曲线
的渐近线在第一象限
的交点为Q，且Q 点的横坐标为3．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)过点
的直线l 与抛物线E 相交于
两点，B 关于x 轴的对称点为
，求证：直线
必过定点．
2．（24-25 高三上·天津北辰·期中）已知椭圆
：
（
）的一个焦点为
，其短轴长是焦
距的
倍，点
为椭圆上任意一点，且
的最大值为.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设动直线：
与椭圆
有且只有一个公共点
，且与直线
相交于点
.问：
轴上是否存在
定点
，使得以
为直径的圆恒过定点
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由.
75
题型五：定直线问题
（24-25 高三上·北京·月考）已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
、
，一个焦点为
，P 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知
的面积的最大值为2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点
且斜率不为0 的直线l 与椭圆C 相交于M，N 两点，椭圆长轴的两个端点分别为
，
，
与
相交于点Q，求证：点Q 在某条定直线上.
1．（23-24 高三下·湖南长沙·三模）已知抛物线
，过点
的直线与
交于不同的
两点
.当直线的倾斜角为
时，
.
(1)求
的方程；
(2)在线段
上取异于点
的点
，且满足
，试问是否存在一条定直线，使得点
恒在这条
定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.
76
2．（24-25 高三上·上海·期中）已知双曲线C 的中心为坐标原点，
是
的两个焦点，其中左焦点为
，离心率为
.
(1)求
的方程；
(2)双曲线
上存在一点
，使得
，求三角形
的面积；
(3)记
的左、右顶点分别为
，过点
的直线与
的左支交于M，N 两点，
在第二象限，直线
与
交于点
.证明：点
在定直线上.
题型六：动点轨迹问题
（23-24 高三下·湖南益阳·一模）已知两点
，
及一动点
，直线
，
的斜率满足
，动点
的轨迹记为
.过点
的直线与
交于
，
两点，直线
，
交于点
.
(1)求
的方程；
(2)求
的面积的最大值；
(3)求点
的轨迹方程.
77
1．（23-24 高三下·江西抚州·月考）在平面直角坐标系
中，已知双曲线
经过点
，
点
与点
关于原点对称，
为
上一动点，且
异于
两点.
(1)求
的离心率；
(2)若△
的重心为
，点
，求
的最小值；
(3)若△
的垂心为
，求动点
的轨迹方程.
2．（23-24 高三下·安徽合肥·模拟预测）图1 为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线
为抛物线的一部分，已知该接收器的口径
，深度
，信号处理中心
位于抛物线的焦点处，
以顶点
为坐标原点，以直线
为
轴建立如图2 所示的平面直角坐标系
．
(1)求该抛物线的方程；
(2)设
是该抛物线的准线与
轴的交点，直线过点
，且与抛物线交于
，两点，若线段
上有一点
，满足
，求点
的轨迹方程．
78
题型七：角度关系证明问题
（24-25 高三上·云南昆明·开学考试）在平面直角坐标系
中，已知点
，动点
满足直
线
与直线
的斜率之积为
，设点
的轨迹为曲线
.
(1)求
的方程；
(2)已知点
，直线
与
轴交于点
，直线
与交于点
，证明：
.
1．（23-24 高三下·山西运城·三模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
为
的左
顶点，点
为
右支上一点（非顶点），
的平分线
交
轴于
(1)过右焦点
作
于
，求
；
(2)求证：
.
79
2．（23-24 高三下·广西·二模）已知抛物线
，过点
作直线交抛物线C 于A，B 两点，过
A，B 两点分别作抛物线C 的切线交于点P．
(1)证明：P 在定直线上；
(2)若F 为抛物线C 的焦点，证明：
．
题型八：向量共线问题
（24-25 高三上·四川成都·模拟预测）椭圆
的中心为坐标原点
，焦点在
轴上，离心率
，椭圆上
的点到焦点的最短距离为
，直线与
轴交于点
（
），与椭圆
交于相异两点
、
，且
．
(1)求椭圆方程；
(2)求
的取值范围．
80
1．（23-24 高三下·山西太原·三模）已知双曲线
的左、右顶点分别为
与
，
点
在
上，且直线
与
的斜率之和为
.
(1)求双曲线
的方程;
(2)过点
的直线与
交于
两点(均异于点
)，直线
与直线
交于点
，求证:
三点共线.
2．已知抛物线
经过点
，直线与抛物线
有两个不同的交点
，直线
交
轴于
，直线
交
轴于
．
(1)若直线过点
，求直线的斜率
的取值范围；
(2)若直线过抛物线
的焦点
，交
轴于点
，求
的值；
(3)若直线过点
，设
，求
的值．
题型九：存在性问题探究
81
（23-24 高三下·上海·三模）已知椭圆
：
，
、
分别为左、右焦点，直线过
交椭圆于
、
两点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)当
，且点
在
轴上方时，求
、
两点的坐标；
(3)若直线
交
轴于
，直线
交
轴于
，是否存在直线，使得
？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由.
1．（24-25 高三上·上海·月考）已知双曲线
的离心率
，左顶点
，过
C 的右焦点F 作与x 轴不重合的直线l，交C 于P、Q 两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)求证：直线
、
的斜率之积为定值；
(3)设
，试问：在x 轴上是否存在定点T，使得
恒成立？若存在，求出点T 的坐标；
若不存在，说明理由．
2．（23-24 高三下·西藏拉萨·月考）已知抛物线
，准线与
轴交于点
为抛
物线
上一点，
交
轴于点
.当
时，
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)设直线
与抛物线
的另一交点为
（点
在点
之间），过点
且垂直于
轴的直线交
于点
.是否存在实数
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
82
题型十：“非对称”韦达定理
（23-24 高三上·陕西西安·期中）已知椭圆
的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，
经过点P（1，0）的动直线与椭圆
相交于不同的两点C，D（不与点A，B 重合）．
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若直线CB 与直线AD 相交于点M，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不
是，说明理由．
1．（23-24 高三上·上海闵行·期中）已知双曲线
：
的离心率为
，点
在双
曲线
上．过
的左焦点F 作直线交
的左支于A、B 两点．
(1)求双曲线C 的方程；
83
(2)若
，试问：是否存在直线，使得点M 在以
为直径的圆上?请说明理由．
(3)点
，直线
交直线
于点
．设直线
、
的斜率分别
、
，求证：
为定值．
2．（24-25 高三上·重庆·月考）已知
是椭圆
的右焦点，
为坐标原点，
为椭
圆上任意一点，
的最大值为
，当
时，
的面积为
.
(1)求
的值；
(2)
为椭圆的左､右顶点，点
满足
，当
与
不重合时，射线
交椭圆
于点
，直线
交于点
，求
的最大值.
84
必刷大题
1．（23-24 高三下·河北·模拟预测）椭圆
：
左右顶点分别为
，
，且
，离
心率
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线与抛物线
相切，且与
相交于
、
两点，求
面积的最大值.
2．（24-25 高三上·河北石家庄·月考）已知焦距为
的椭圆
的右焦点为
，右顶
点为
，过F 作直线与椭圆
交于
、
两点（异于点
），当
轴时，
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)证明：
是钝角．
85
3．（24-25 高三上·重庆·月考）已知双曲线
的一条渐近线方程为
，点
在双曲线C 上．
(1)求双曲线C 的方程.
(2)设过点
的直线l 与双曲线C 交于M，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q，使得
为常数？
若存在，求出Q 点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
4．（24-25 高三上·云南保山·期中）若
为抛物线
上一点，过
作两条关于
对称的直
线分别另交
于
两点.
(1)求抛物线
的方程与焦点坐标；
(2)判断直线
的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
5．（24-25 高三上·湖北武汉·期中）已知椭圆
：
的离心率为
，点
在
上，
86
直线与
交于不同于A 的两点
，
．
(1)求
的方程；
(2)若
，求
面积的最大值；
(3)记直线
，
的斜率分别为
，
，若
，证明：以
为直径的圆过定点，并求出定点
坐标．
6．（24-25 高三上·上海宝山·月考）已知椭圆
的左、右焦点分别为
为椭圆的一个顶点，且右焦点 F₂ 到双曲线.
渐近线的距离为
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线
与椭圆C 交于 A、B 两点.
①若直线过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B 的面积为
求实数k 的值；
②若直线过定点P(0,2)， 且k>0， 在x 轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB 为邻边的平行四边形为菱形?
若存在，则求出实数t 的取值范围； 若不存在，请说明理由.
1．（2024·全国·高考真题）已知
和
为椭圆
上两点.
(1)求C 的离心率;
(2)若过P 的直线交C 于另一点B，且
的面积为9，求的方程．
87
2．（2024·全国·高考真题）已知椭圆
的右焦点为
，点
在
上，且
轴．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，
为线段
的中点，直线
交直线
于点
，证明：
轴．
3．（2024·天津·高考真题）已知椭圆
的离心率为1
2．左顶点为
，下顶点为
是
线段
的中点（O 为原点），
的面积为
．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C 的动直线与椭圆相交于
两点．在
轴上是否存在点
，使得
恒成立．若存在，求
出点
纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
4．（2024·北京·高考真题）已知椭圆
：
，以椭圆
的焦点和短轴端点为顶点的四边
形是边长为2 的正方形.过点
且斜率存在的直线与椭圆
交于不同的两点
，过点
和
的直线
与椭圆
的另一个交点为
．
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．
88
5．（2024·上海·高考真题）已知双曲线
左右顶点分别为
，过点
的直线
交双曲线
于
两点.
(1)若离心率
时，求
的值．
(2)若
为等腰三角形时，且点
在第一象限，求点
的坐标．
(3)连接
并延长，交双曲线
于点
，若
，求
的取值范围．
6．（2024·上海·高考真题）在平面直角坐标系
中，已知点
为椭圆
上一点，
、
分
别为椭圆的左、右焦点.
(1)若点
的横坐标为2，求
的长;
(2)设
的上、下顶点分别为
、
，记
的面积为
的面积为
，若
，求
的
取值范围
(3)若点
在
轴上方，设直线
与
交于点
，与
轴交于点
延长线与
交于点
，是否存在
轴上方的点
，使得
成立?若存在，请求出点
的坐标;若不存
在，请说明理由.
89
解答题：函数与导数的综合应用
题型归纳
题型一：利用导数研究函数的单调性
（24-25 高三上·海南·期中）设函数
.
(1)求曲线
在点
切线方程；
(2)求函数f (x)的单调区间;
90
1．（24-25 高三上·北京·期中）已知函数
在
处有极值-1.
(1)求实数a，b 的值;
(2)求函数
的单调区间.
2．（24-25 高三上·江苏常州·月考）已知函数
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间．
题型二：利用导数研究函数的极值
（24-25 高三上·黑龙江·月考）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线;
(2)当
时，若
的极小值小于0，求
的取值范围
91
1．（24-25 高三上·福建宁德·期中）已知函数
为
上的奇函数．
(1)求
；
(2)若函数
，讨论
的极值．
2．（24-25 高三上·河南安阳·月考）已知函数
．
(1)求
的定义域；
(2)若
存在极大值，求
的取值范围
题型三：利用导数研究函数的最值
（24-25 高三上·江西·月考）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的最值．
92
1．（24-25 高三上·北京·期中）已知函数
（
）在
处取得极小值.
(1)求a 的值，并求函数
的单调区间；
(2)求
在区间
上的最大值和最小值.
2．（24-25 高三上·湖北武汉·期中）已知函数
．
(1)若函数
在
上的最小值为
，求
的值；
(2)若
，函数
，求
的最小值．
题型四：利用导数解决恒成立与能成立
（24-25 高三上·河北衡水·月考）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)函数
在
上恒成立，求最小的整数a．
93
1．（24-25 高三上·四川成都·期中）已知函数
(1)讨论
的单调性；
(2)若
对于
恒成立，求
的最大值.
2．（24-25 高三上·浙江绍兴·月考）已知函数
.
(1)当
时，求
在区间
上的值域；
(2)若存在
，当
时，
，求
的取值范围.
题型五：利用导数求解函数的零点
（24-25 高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数
，e 为自然对数的底数，函数
.
(1)若
在
处的切线也是
的切线，求实数a 的值；
(2)求
在
上的零点个数.
94
1．（24-25 高三上·云南玉溪·月考）已知函数
(1)证明：
在区间
存在唯一极大值点；
(2)求
的零点个数．
2．（24-25 高三上·四川绵阳·月考）函数
.
(1)若
，求函数
在
处的切线方程；
(2)证明：存在实数
使得曲线
关于点
成中心对称图形；
(3)讨论函数
零点的个数.
题型六：利用导数证明不等式
（24-25 高三上·广东·月考）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，证明：
．
95
1．（24-25 高三上·广东广州·月考）已知函数
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求证：
2．（24-25 高三上·河北保定·期中）已知函数
.
(1)已知直线
是曲线
的切线，求实数a 的值；
(2)求函数
的单调区间；
(3)求证：
恒成立.
题型七：利用导数研究双变量问题
（24-25 高三上·福建龙岩·期中）已知函数
.
(1)求f (x)的单调区间;
(2)设
，若对任意
，均存在
，使得
，求实数
的取值范围.
96
1．（24-25 高三上·湖北·期中）已知
为函数
的极小值点.
(1)求的值；
(2)设函数
，若对
，
，使得
，求
的取值范围.
2．（24-25 高三上·上海·期中）已知实数
，设
.
(1)若
，求函数y = f (x)的图象在点
处的切线方程；
(2)若
，已知函数y = f (x)，
的值域为
，求实数
的取值范围；
(3)若对于任意的
，总存在
，使得
，求
的取值范围.
题型八：利用导数研究极值点偏移问题
（24-25 高三上·云南·月考）已知函数
.
(1)若
为增函数，求
的取值范围；
(2)若
有两个极值点
，证明：
.
97
1．（23-24 高三上·天津·月考）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间；
(3)若函数
有两个极值点
，求证：
.
2．（24-25 高三上·内蒙古包头·开学考试）设函数
，
(1)证明：
有两个零点；
(2)记
是
的导数，
为
的两个零点，证明：
．
题型九：隐零点问题综合应用
（23-24 高三下·湖南衡阳·一模）已知函数
(1)若
在
处的切线方程为
，求
、
的值；
(2)若
时，在
上
恒成立，求
的取值范围；
98
1．（24-25 高三上·浙江杭州·月考）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：
．
2．（24-25 高三上·四川成都·期中）已知函数
（其中
）
(1)当
时，证明：
(2)若
时，
，求实数
的取值范围；
(3)记函数
的最小值为
，求证：
题型十：导数与数列综合问题
（23-24 高三下·河北·三模）已知函数
．
(1)若
在
恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)证明：
．
99
1．（23-24 高三下·四川雅安·一模）已知函数
．
(1)若
有2 个相异极值点，求a 的取值范围；
(2)若
，求a 的值；
(3)设m 为正整数，若
，
，求m 的最小值．
2．（24-25 高三上·上海·月考）已知函数
.
(1)若
，求函数
的极值；
(2)①当
时，
恒成立，求正整数
的最大值；
②证明：
100
必刷大题
1．（24-25 高三上·福建泉州·期中）已知函数
，
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，设
，若
既有极大值又有极小值，求
的取值范围．
2．（24-25 高三上·山东·期中）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，讨论
的单调性；
(3)当
时，
，求
的取值范围.
101
3．（24-25 高三上·北京房山·期中）已知函数
在点
处取得极大值5，其导函数
y = f
' (x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：
(1)
的值；
(2)
，
，的值；
(3)函数
在区间
上的最大值和最小值.
4．（24-25 高三上·江苏盐城·期中）设函数
，
.
(1)求
的极值；
(2)已知实数
，若存在正实数x 使不等式
成立，求a 的取值范围；
(3)已知不等式
对满足
的一切实数m，n 恒成立，求实数k 的取值范围.
5．（23-24 高三下·广东佛山·一模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，若存
、
在，满足
，证明：
；
(3)对任意的
，
恒成立，其中
是函数
的导数，求
的取值范围．
102
6．（23-24 高三下·浙江杭州·一模）已知函数
.
(1)若
，求
的单调区间;
(2)若
，求证:
;
(3)若
使得
，求证:
.
1．（2024·全国·高考真题）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立．
2．（2024·全国·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
103
3．（2024·全国·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
4．（2024·天津·高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)若
对任意x∈(0,+ ∞)成立，求实数
的值；
(3)若
，求证：
．
5．（2024·全国·高考真题）已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
104
6．（2024·北京·高考真题）设函数
，直线是曲线
在点
处的切线．
(1)当
时，求
的单调区间.
(2)求证：不经过点
.
(3)当
时，设点
，
，
，
为与
轴的交点，
与
分别表示
与
的面积．是否存在点
使得
成立？若存在，这样的点
有几个？
（参考数据：
，
，
）
7．（2024·上海·高考真题）对于一个函数
和一个点
，令
，若
是
取到最小值的点，则称
是
在
的“最近点”．
(1)对于
，求证：对于点
，存在点
，使得点
是
在
的“最近点”；
(2)对于
，请判断是否存在一个点
，它是
在
的“最近点”，且直线
与
在点
处的切线垂直；
(3)已知
在定义域R 上存在导函数
，且函数
在定义域R 上恒正，设点
，
．若对任意的
，存在点
同时是
在
的“最近
点”，试判断
的单调性．
105
新定义问题
题型归纳
题型一：集合的新定义问题
（24-25 高三上·山东·期中）已知集合
，集合
，记
的元素个数为
.若集合
中存在三个元素
，
，
，使得
，则称
为“理想集”.
(1)若
，分别判断集合
，
是否为“理想集”（不需要说明理由）；
(2)若
，写出所有的“理想集”
的个数并列举；
(3)若
，证明：集合
必为“理想集”.
106
1．（24-25 高三上·广东·月考）已知集合
（
），S 是集合A 的子集，若存在不大于n
的正整数m，使集合S 中的任意一对元素
，
，都有
，则称集合S 具有性质P.
(1)当
时，试判断集合
和
是否具有性质P？并说明理由；
(2)当
时，若集合S 具有性质P，那么集合
是否具有性质P？并说明理由；
(3)当
，
时，若集合S 具有性质P，求集合S 中元素个数的最大值
.
2．（24-25 高三上·北京·期中）已知集合
，其中
，
，
，…，
是
的互不相同
的子集.记
的元素个数为
（
），
的元素个数为
（
）.
(1)若
，
，
，
，
，写出所有满足条件的集合
（结论不要求证
明）；
(2)若
，且对任意的
，都有
，求
的最大值；
(3)若给定整数
，
（
）且对任意
，都有
，求
的最大值.
107
题型二：函数与导数的新定义问题
（23-24 高三上·北京·月考）设离散型随机变量X 和Y 有相同的可能取值，它们的分布列分别为
，
，
，
，
．指标
可用来刻画
X 和Y 的相似程度，其定义为
．设
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
的最小值；
(3)对任意与
有相同可能取值的随机变量
，证明：
，并指出取等号的充要条件
1．（24-25 高三上·湖北·期中）把满足任意
，
总有
的函数称为
“类余弦型”函数.
(1)已知
为“类余弦型”函数
，
，求f (1)的值；
(2)在（1）的条件下，定义数列：
，求
的值；
(3)若
为“类余弦型”函数，且
，对任意非零实数，总有
.设有理数
，
满足
，判断
与
的大小关系，并给出证明.
108
2．（24-25 高三上·上海·期中）已知函数
，若其定义域为
，且满足
对一
切
恒成立，则称
为一个“逆构造函数”.
(1)设
，判断
是否为“逆构造函数”，并说明理由；
(2)若函数
是“逆构造函数”，求
的取值范围；
(3)已知“逆构造函数”
满足对任意的
，都有
，且
. 求证：
对任意
，关于
的方程
无解.
题型三：复数与不等式的新定义问题
（24-25 高三上·江苏泰州·月考）已知常数
，设关于
的方程
．
(1)在复数范围内求解该方程．
(2)当
时，设该方程的复根分别为
，证明：
(3)如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式．已知任何一元
次
）复系数多项式
方程
至少有一个复根．证明：
有
个复数根（重根按重数计）．
(4)将题设的常数“
”改为“
”，并证明：（2）仍然成立．
109
1．（24-25 高三上·山东枣庄·月考）对于四个正数m、n、p、q，若满足
，则称有序数对
是
的“下位序列”．
(1)对于2、3、7、11，有序数对
是
的“下位序列”吗？请简单说明理由；
(2)设a、b、c、d 均为正数，且
是
的“下位序列”，试判断
、
、
之间的大小关系；
(3)设正整数n 满足条件：对集合
内的每个m，总存在正整数k，使得
是
的“下位序列”，且
是
的“下位序列”，求正整数n 的最小值．
2．（23-24 高三下·辽宁·模拟预测）柯西不等式在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的n 元形式
为：设
，
，
不全为0，
不全为0，则
，当且仅当存在一个数
k，使得
时，等号成立．
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设P 是棱长为
的正四面体ABCD 内的任意一点，点P 到四个面的距离分别为
，
，
，
，求
的最小值；
(3)已知无穷正数数列
满足：
①存在
，使得
；
110
②对任意正整数i、
，均有
.
求证：对任意
，
，恒有
.
题型四：三角函数的新定义问题
（24-25 高三上·全国·专题练习）对于集合
和常数
，定义：
为集合A 相对的
的“正弦标准差”．
(1)若集合
，
，求A 相对的
的“正弦标准差”；
(2)若集合
，是否存在
，
，使得相对任何常数
的“正弦标准差”是
一个与
无关的定值？若存在，求出α，β 的值；若不存在，请说明理由．
1．（24-25 高三上·江西宜春·期中）定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为
．
(1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若
，求满足要求的所有x 的集合；
(2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数
与直线
有且仅有四
个不同的交点，求实数k 的取值范围；
111
(3)已知
，若有序数对(a,b)的“跟随函数”
在
处取得最大值，当b 在区间(0,
]变化时，
求
的取值范围．
2．（24-25 高三上·甘肃兰州·月考）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，
就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识
别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二
维空间有两个点
，
，则曼哈顿距离为：
，余弦相似度为：
，余弦距离为
(1)若
，
，求A，B 之间的曼哈顿距离
和余弦距离；
(2)已知
，
，
，若
，
，求
的值
112
题型五：平面向量的新定义问题
（24-25 高三上·河南·期中）如图，我们把由平面内夹角成
的两条数轴Ox，Oy 构成的坐标系，称为
“完美坐标系”.设
，
分别为Ox，Oy 正方向上的单位向量，若向量
，则把实数对
叫做向量
的“完美坐标”.
(1)若向量
的“完美坐标”为
，求
；
(2)已知
，
分别为向量
，
的“完美坐标”，证明：
；
(3)若向量
，
的“完美坐标”分别为
，
，设函数
，x∈R，求
的值域.
113
1．（24-25 高三上·浙江绍兴·月考）
维向量是平面向量和空间向量的推广，对
维向量
，记
，设集合
.
(1)求
，
；
(2)（i）求
中元素的个数；
（ii）记
，求使得
成立的最大正整数
.
2．（24-25 高三上·河南驻马店·月考）给定平面上一个图形D，以及图形D 上的点
，如果对于
D 上任意的点P，
为与P 无关的定值，我们就称
为关于图形D 的一组稳定向量基点.
(1)已知
为图形D，判断点
是不是关于图形D 的一组稳定向量基点；
(2)若图形D 是边长为2 的正方形，
是它的4 个顶点，P 为该正方形上的动点，求
的取值范围；
114
(3)若给定单位圆
及其内接正2024 边形
为该单位圆上的任意一点，证明
是关于
圆
的一组稳定向量基点，并求
的值.
题型六：数列的新定义问题
（24-25 高三上·福建泉州·期中）若存在常数，使得数列
满足
，则称
数列
为“
数列”．
(1)判断数列：1，3，5，10，152 是否为“
数列”，并说明理由；
(2)若数列
是首项为2 的“
数列”，数列
是等比数列，且
与
满足
，求的值和数列
的通项公式；
(3)若数列
是“
数列”，
为数列
的前
项和，
，
，证明：
．
115
1．（24-25 高三上·江西上饶·月考）数列
、
满足：
是等比数列，
，
且
．
(1)求
、
．
(2)求集合
中所有元素的和．
(3)对数列
，若存在互不相等的正整数
，使得
也是数列
中的项，
则称数列
是“和稳定数列”．试别断数列
、
是否是“和稳定数列”，并说明理由．
2．（24-25 高三上·山东青岛·期中）如果正项有穷数列
满足
，即
，我们称其为“1 的对称数列”，例如：数列2，3，
，
与数列3，2，1，
，
都是“1 的对称数列”．
(1)设
是项数为8 的“1 的对称数列”，其中
是等差数列，且
，请依次写出
的每一项；
(2)设数列
是13 项的“1 的对称数列”，其中
是等比数列，
，求数列
的所有项和的最小值；
(3)设数列
是
项的“1 的对称数列”，数列前
项的通项公式为
，求数列
的前
项和
．（注：
）
116
题型七：立体几何的新定义问题
（24-25 高三上·广东广州·月）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体M 的一个顶点，定义
多面体M 在点P 处的离散曲率为
，其中
为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面
，平面
，…，平面
和平面
为多面体M 的所有以P 为公共点的面．
(1)求三棱锥
在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)如图，已知在三棱锥
中，
平面ABC，
，
，三棱锥
在顶点C 处
的离散曲率为
．
117
①求直线PC 与直线AB 所成角的余弦值；
②若点Q 在棱PB 上运动，求直线CQ 与平面ABC 所成的角的最大值．
1．（23-24 高三下·江西新余·模拟预测）我们规定：在四面体
中，取其异面的两条棱的中点连线
称为
的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.
(1)如左图，在四面体
中，
分别为所在棱的中点，证明：
的三条内棱交于
一点.
118
(2)同左图，若
为垂棱四面体，
，求直线
与平面
所成角的正
弦值.
(3)如右图，在空间直角坐标系中，
平面内有椭圆
，
为其下焦点，经过
的直线
与
交于
两点，
为
平面下方一点，若
为垂棱四面体，则其外接球表面积是
的函数
，求
的定义域与最小值.
2．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的
图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体
性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率
与球面三角形内角和
满足：
，其中
为常数，
（如图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三
角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.
球面三角形的总曲率等于
，为球面三角形面积，
为球的半径）.
119
(1)若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为
，求此球面三角形内角和；
(2)求
的值；
(3)把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面
体.设凸多面体
顶点数为
，棱数为
，面数为
，试证明凸多面体欧拉示性数
为定值，
并求出
.
题型八：平面解析几何的新定义问题
（24-25 高三上·浙江·月考）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如
表示过点
(0,1)的直线族（不包括直线
轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点
120
处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)圆
：
是直线族
的包络曲线，求
，
满足的关系式；
(2)若点
不在直线族
的任意一条直线上，求
的取值范围及直线族
的包络曲
线
的方程；
(3)在（1）（2）的条件下，过曲线
上动点
向圆
做两条切线
，
，交曲线
于点
，
，求
面积的最小值.
1．（23-24 高三下·江西新余·模拟预测）我们知道，在平面直角坐标系
中，可以用两点之间距离公式
刻画
两点的距离
，事实上，这里的距离属于这两个点的一种“度量”.在拓扑学中，我们规定
121
某一实数
满足：①
，当且仅当
时等号成立； ②
； ③
.其中，
为平面直角坐标系内的三个点，我们就称
是关于
两点的一个“度量”.设：平面直角坐标系
（
为坐标原点）内两点
的“
距
离”
.
(1)求证：
两点的“
距离”是关于
两点的一个“度量”.
(2)设
为平面直角坐标系
内任意一点.
（ⅰ）若
，请在下图中定性做出
点的集合组成的图像（不必说明理由，但要求做出特殊点与
其特征）.
（ⅱ）求证：
.
(3)规定平面内两条平行直线的
距离
为在
上分别取的任意两个点
距离的最小值.已知
不重合的直线
，
，
，求
的取值范围.
2．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·月考）在平面直角坐标系
中，定义：若曲线
和
上分别存在点
，
关于原点
对称，则称点
和点
为
和
的一对“关联点”.
122
(1)若
上任意一点
的“关联点”为点
，求点
所在的曲线方程.
(2)若
上任意一点的“关联点”为点
，求
的取值范围.
(3)若
和
有且仅有两对“关联点”，求实数
的取值范围.
题型九：概率统计的新定义问题
（24-25 高三上·湖北·月考）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称
为信息熵､信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量
的所有取值为
，定义信息熵：
(1)若
，且
，求随机变量
的信息熵；
(2)若
，求随机变量
的信息熵；
(3)设
和
是两个独立的随机变量，求证：
.
123
1．（23-24 高三下·湖南·月考）多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为的群落
中，辛普森多样性指数
，其中
为第种生物的个体数，
为总个体数.当
越大时，表明
该群落的多样性越高.已知
两个实验水塘的构成如下：
绿藻
衣藻
水绵
蓝藻
硅藻
6
6
6
6
6
12
4
3
6
5
(1)若从
中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率；
(2)（i）比较
的多样性大小；
（ii）根据（i）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素.
124
2．（23-24 高三下·浙江·开学考试）一般地，
元有序实数对
称为
维向量.对于两个
维向量
，定义：两点间距离
，利用
维
向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标
准点的距离
，与哪个标准点的距离
最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得
到业务能力分值
､管理能力分值
､计算机能力分值
､沟通能力分值
（分值
代表要求度，1 分最低，5 分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：
岗位
业务能力分值
管理能力分值
计算机能力分值
沟通能力分值
合计分
值
会计（1）
2
1
5
4
12
业务员
（2）
5
2
3
5
15
后勤（3）
2
3
5
3
13
管理员
（4）
4
5
4
4
17
对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量
的四个坐标.
(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
(2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方
均小于20 的应聘者才能被招录.
（i）小刚测试报告上的四种能力分值为
，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业
的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；
（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业
的推荐率
分别为
，试求小明的各项能力分值.
125
题型十：高等数学背景下的新定义问题
（24-25 高三上·四川自贡·期中）新信息题型是目前高考的热点题型.这类题要求答题者在有限的时间内，阅
读并理解题目所给予的信息，根据获取的信息解答问题.请同学们根据以下信息回答问题：
(1)在高等数学中，我们将
在
处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
，（其中
表示
的
次导数
，
），以上公式我们称为函数
在
处的泰勒展开式，当
时泰勒展开式也
称为麦克劳林公式，比如
在
处的麦克劳林公式为：
，由此当
时，可以非常容易得到不等式
，
，
，
，请利用上述公
式和所学知识写出
在
处的泰勒展开式；（写出展开式的前三项即可）
(2)设
为正整数，数列
，
，
，
是公差不为0 的等差数列，若从中删去两项
和
后剩余
的
项可被平均分为
组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列
，
，
，
是
一可
分数列.请写出所有的
，
，使数列
，
，
，
是
—可分数列.
126
1．（24-25 高三上·山东潍坊·月考）设数阵
，其中
.设
，其中
且
.定义变换
为“对于数阵的每一列，
若其中有或
，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有且没有
，则这一列中每个数都乘以
”，
表示“将
经过
变换得到
，再将
经过
变换得到
，以
此类推，最后将
经过
变换得到
”.记数阵
中四个数的和为
.
(1)若
，写出
经过
变换后得到的数阵
，并求
的值；
(2)若
，求所有
取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵
，证明：所有
取值的和不大于
；
(4)如果
，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？
127
2．（24-25 高三上·江苏南通·月考）小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，
比如
，
等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3 都是6 的质因子．
在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25 的质因子只有
5，而36 的质因子只有2，3，所以25，36 是互质的．为方便表示，对于任意的正整数
，我们将比
小且
与
互质的正整数的个数记为
．例如，小于10 且与10 互质的数有1，3，7，9，所以
，同
理有
．
(1)求
，
；
(2)求所有
，
，使得
是奇数；
(3)若正整数
，其中
表示互不相同的质数．证明：
.
128
必刷大题
1．（24-25 高三上·上海·期中）设函数
的定义域为R，其导函数为
，
．若存在区间
及实数满足：对任意
，都有
恒成立，则称函数
为
上的“
函数”．
(1)判断函数
是否为
上的
函数，并说明理由；
(2)已知实数
满足：函数
为
上的
函数，求
的取值范围；
(3)已知函数
存在最大值． 对于以下两个命题，
：对任意
，都有
与
恒成
立；
：对任意正整数
，满足函数
都是
上的
函数；判断P 是否为Q 的充要条件，并说明
理由．
2．（24-25 高三上·湖南长沙·期中）设
，集合
.
对于
，记
.
129
(1)若
，证明：
；
(2)若
和
都为奇数，证明：
为偶数；
(3)若
，当
时，求所有
之和的最大值.
3．（24-25 高三上·河北沧州·期中）已知
为坐标原点，对于函数
，称向量
为函数
的相伴特征向量，同时称函数
为向量
的相伴函数．
(1)记向量
的相伴函数为
，若当
且
时，求
的值；
(2)设
，试求函数
的相伴特征向量
，并求出与
同向的单
位向量；
(3)已知
为函数
的相伴特征向量，若在△
中，
，
，若点
为该△
的外心，求
的最大值．
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，称向量
为
的特征向量，
为
的特征函数.
(1)设
，求
的特征向量；
130
(2)设向量
的特征函数为
，求当
且
时，
的值；
(3)设向量
的特征函数为
，记
，若
在区间
上至少有40 个零点，
求
的最小值.
5．（24-25 高三上·河北邯郸·期中）对于无穷数列
，“若存在
（
、
，且
），
必有
”，则称数列
具有
性质.
(1)若数列
满足
，判断数列
是否具有
性质？数列
是否具有
性质？
(2)对于无穷数列
，设
，求证：若数列
具有
性质，则
必为
有限集
(3)已知
是各项均为正整数的数列，且
既具有
性质，又具有
性质，是否存在正整数
，
使得
，
，
，…，
，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
6．（24-25 高三上·四川·模拟测试）已知抛物线
：
的焦点为
，过点
的直线与
相交
于点
，
，
面积的最小值为
（
为坐标原点）.按照如下方式依次构造点
：
的坐标
131
为
，直线
，
与
的另一个交点分别为
，
，直线
与
轴的交点为
，设点
的横
坐标为
.
(1)求
的值；
(2)求数列
的通项公式；
(3)数列
中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不
存在，请说明理由.
7．（24-25 高三上·广西来宾·模拟预测）已知：①定积分的定义：
设y = f (x)为定义在
上的连续非负函数，为求
轴围成的曲边梯形的面积，可采
取如下方法：
将区间
分为
个小区间，每个小区间长度为
，每个区间即可表示为
，再分别过每个区间的左右端点作
轴的垂线与y = f (x)图象相交，
即可得到一个小的曲边梯形.如图，
当
时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可由每个小区间内
132
的任一点的函数值近似代替（一般用区间端点的函数值），将这样无穷多个小矩形的面积相加，所得之和
即为所求的由
轴围成的曲边梯形的面积，即
，上式也
记为
，即对y = f (x)在
上求定积分.
②定积分的计算：
其中
.
根据以上信息，回答以下问题：
(1)已知
，求证：
.
(2)将
轴围成的图形面积分别表示为定积分的形式与面积和的极限形式，并求其值；
(3)试证明：
.
1．（2024·上海·高考真题）记
(1)若
，求
和
;
(2)若
，求证:对于任意
，都有
，且存在
，使得
.
(3)已知定义在
上
有最小值，求证"
是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有
”.
133
2．（2024·全国·高考真题）设m 为正整数，数列
是公差不为0 的等差数列，若从中删去两项
和
后剩余的
项可被平均分为
组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列
是
可分数列．
(1)写出所有的
，
，使数列
是
可分数列；
(2)当
时，证明：数列
是
可分数列；
(3)从
中任取两个数和
，记数列
是
可分数列的概率为
，证明：
．
3．（2024·北京·高考真题）已知集合
．给定数列
，和序
列
，其中
，对数列
进行如下变换：将
的第
项均
加1，其余项不变，得到的数列记作
；将
的第
项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到
，简记为
．
(1)给定数列
和序列
，写出
；
(2)是否存在序列
，使得
为
，若存在，写出一个符
合条件的
；若不存在，请说明理由；
(3)若数列
的各项均为正整数，且
为偶数，求证：“存在序列
，使得
的各项都相
等”的充要条件为“
”．
