4.4 对数函数
模块一：基础知识.........................................................................3
考点一：对数函数的概念................................................................................3
考点二：对数函数的图象和性质.................................................................... 3
考点三:不同底的对数函数图象的相对位置................................................... 3
考点四：反函数的概念....................................................................................3
考点五：三种常见函数模型的增长差异.........................................................3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：对数函数的概念与解析式.................................................................4
题型二：求对数函数的定义域........................................................................ 4
题型三：求对数型复合函数的定义域.............................................................5
题型四：求对数函数在区间上的值域.............................................................6
题型五：求对数型复合函数的值域.................................................................7
题型六：根据对数函数值域求参数或范围..................................................... 7
题型七：判断对数函数的图像形状.................................................................8
题型八：根据对数函数图像判断参数范围..................................................... 9
题型九：对数函数图像过定点问题...............................................................10
题型十：对数函数图像的应用...................................................................... 10
题型十一：对数函数的单调性...................................................................... 10
题型十二：对数型复合函数的单调性...........................................................11
题型十三：由对数（型）单调性求参数....................................................... 12
题型十四：由对数函数的单调性解不等式................................................... 12
题型十五：比较对数式的大小...................................................................... 13
题型十六：对数函数的单调性应用...............................................................13
题型十七：求对数函数的最值...................................................................... 14
题型十八：根据对数函数的最值求参数或范围............................................15
题型十九：对数函数的最值与不等式综合问题............................................16
题型二十：反函数......................................................................................... 16
模块三：综合巩固....................................................................... 17
4.4 对数函数
模块一：基础知识
考点一：对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
考点二：对数函数的图象和性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0<a<1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点(1,0)，即x＝1 时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝logax 与y＝
1
log
a
x 的图象关于x 轴对称
考点三:不同底的对数函数图象的相对位置
一般地，对于底数a>1 的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a<1 的对数函
数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x 轴．
考点四：反函数的概念
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
(1)y＝ax 的定义域R 就是y＝logax 的值域；而y＝ax 的值域(0，＋∞)就是y＝logax 的定义域．
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x 对称．
(3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定
相同．
考点五：三种常见函数模型的增长差异
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x 的增大逐渐变“陡”
随x 的增大逐渐趋于稳定
随x 的增大匀速上升
增长速度
y＝ax 的增长快于y＝kx 的增长，y＝kx 的增长快于y＝logax 的增长
增长后果
会存在一个x0，当x>x0 时，有ax>kx>logax
模块二：题型分类
题型一：对数函数的概念与解析式
1．若某对数函数的图象过点
4,2 ，则该对数函数的解析式为（
）
A．
2
log
y
x
B．
4
2log
y
x
C．
2
log
y
x
或
4
2log
y
x
D．不确定
2．已知对数函数
( )
f x 的图像经过点
1 , 3
8
A
与点
(16, )
B
t ，
0.1
log
a
t
，
0.2t
b
，
0.1
c
t
，则（
）
A．c<a<b
B．b
a
c
C．a
b
c
D．c
b
a
3．(多选)已知函数
2
log
,
0
2 ,
0
x
x x
f
x
x
，若
1
2
f a
，则
a
（
）
A．1
B．1
C．
2
D．
2
4.下列函数中，是对数函数的有
①
loga
y
x
(
R)
a
；②
8
log
y
x
；③
ln
y
x
；④
log (
2)
x
y
x
；⑤
4
2log
y
x
.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型二：求对数函数的定义域
1．已知集合
2
2
0
A
x x
x
，
ln
B
x y
x
，则A
B
（
）
A．
0,1
B．
0,2
C．
0,1
D．
0,2
2．函数
2
ln( 2
3)
y
x
x
的定义域为（
）
A．
3 ,1
2
B．
3
(
, 1)
,
2
C．
3
,
(1,
)
2
D．
3
1, 2
3．(多选)条件p：
1
log a
f x
x
是
0,
上的增函数；条件q：2
0
3
a
a
；条件r：
3
a
；条件s：
2
lg
2
y
x
x
a
定义域为R ．则以下正确的是（
）
A．p 是q 的必要不充分条件；
B．p 是s 的充分不必要条件；
C．r 是q 的必要不充分条件；
D．r 是s 的充分不必要条件；
4．求下列函数的定义域：
(1)
2
3
log
y
x
(2)
log (4
)(
0,
1)
a
y
x a
a
题型三：求对数型复合函数的定义域
1．函数
3
1
log
2
1
1
f
x
x
x
的定义域为（
）
A．
0,1
1,
B．
0,1
1,
U
C．
1 ,1
1
2
,
D．
1 ,1
1
2
,
2．设全集U＝R，若集合
2
2
3
2
x x
M
y y
，
3
lg 2
x
N
x y
x
，则
U M
N
ð
（
）
A．
3,2
B．
3,0
C．
1
4,
，
+
D．
3,1
3．(多选)下列说法正确的是（
）
A．若函数
( )
f x 的定义域为[0,2] ，则函数
(2 )
f
x 的定义域为[0,1]
B．
2 1
1
2
x
y
的最大值为1
2
C．
1
2
x
y
x
的图象关于( 2,1)
成中心对称
D．
2
2
( )
log (
4
5)
f x
x
x
的递减区间是(
,2)
4．（2023·全国·高一专题练习）函数
0.5
1
log
4
3
y
x
的定义域为（
）
A．3 ,1
4
B．3 ,
4
C．
1,
D．
3 ,1
1,
4
题型四：求对数函数在区间上的值域
1．已知函数
2
1
3,
1
ln ,
1
a
x
a
x
f x
x x
的值域为R ，那么实数a 的取值范围是（
）
A．
,1
B．
, 1
C．
1,
D．
, 1
2,
2．已知集合
2
P
x
x
，
1
3
1
log
,
3
9
Q
y y
x
x
，则P
Q
（
）
A．
1,2
B．
0,2
C．
1,4
D．
0,4
3.函数
5
2
log
1
y
x x
的值域为（
）
A．
2,
B．
,2
C．
2,
D．
3,
4.已知
2
4
2
16
log
log
f x
x
x
，
1 ,8
2
x
，则
f x 的值域为（
）
A．
3,1
B．
1,3
C．
0,1
D．
3,0
5．(多选)下列说法正确的有（
）
A．实数
0
x
y
是1
1
x
y
成立的充分不必要条件
B．已知
( )
f x 的定义域为
0,2 ，则
(
2)
f x
的定义域为
2,0
C．
1
3
1
1
0,
,
log
3
2
x
x
x
D．函数
1 2
1
x
y
x
在区间
1,内是减函数
题型五：求对数型复合函数的值域
1．已知集合
2
2
0
A
x x
x
，集合
2
2
log
2
B
y y
x
，则A
B
（
）
A．
0,1
B．
,1
C．
,2
D．
0,2
2．关于函数
2
ln
1
y
x
x
有如下命题：
①函数的定义域为R；
②函数是增函数；
③函数的值域为R；
④函数图象关于直线
1
2
x
对称.其中正确命题的个数是(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
3．(多选)若函数
f
x 的定义域与值域相同，则
f
x 的解析式可能为（
）
A．
ln
2 x
f x
B．
2
log
1
f x
x
C．
2
1
f
x
x
D．
7
1
7
x
f x
x
题型六：根据对数函数值域求参数或范围
1．已知函数
lg
f x
x
，若
f a
f b
且a
b
¹ ，则
9
a
b
的最小值为（
）
A．2
B．3
C．6
D．9
2．已知命题p：函数
2
1
2
log (
2
)
y
x
x
a
的值域为R；命题q：函数
(5
2 )
y
a x
是减函数．若p 为假命题，
q 为真命题，则实数a 的取值范围是
A．
5
2
a
B．
1
a
C．
5
1
2
a
D．
5
1
2
a
3．(多选)已知
2
0
ax
bx
c
的解集是( 2,3)
，则下列说法中正确的是（
）
A．若c 满足题目要求，则有2023
2022
c
c
成立
B．
12
3
4
a
b
的最小值是4
C．函数
2
lg
1
y
bx
ax
的值域为R ，则实数b 的取值范围是[4,
)
D．当
2
c
时，
2
( )
3
6
f x
ax
bx
，
[ , ]
x
m n
的值域是[ 3,1]
，则n
m
的取值范围是[2,4]
题型七：判断对数函数的图像形状
1．函数
ln
e
e
x
x
x
x
f x
的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
2．若0
1
b
a
，则函数
logb
y
x
a
的图象不经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．(多选)在同一坐标系中，函数
x
y
a
与
log
(
0,
a
y
x a
且
1)
a
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
4.函数
2
2
ln
1
( )
1
x
x
f x
x
的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
5.如图是三个对数函数的图象，则a、b、c 的大小关系是（
）
A．a＞b＞c
B．c＞b＞a
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b
题型八：根据对数函数图像判断参数范围
1．已知函数
,
,
log
a
x
c
y
x
y
b
y
x
的图象如图所示，则（
）
A．
2
1
lg
2
a
c
b
B．
2
1
lg
2
a
b
c
C．
2
1
lg
2
a
b
c
D．
2
1
lg
2
a
c
b
2．若函数
loga
f x
x
b
的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数
x
g x
a
b
的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
3．(多选)设a 与b 为实数，
0
a
，且
1
a ，已知函数
loga
f x
x
b
的图像如图所示，则下列结论正
确的是（
）
A．
3
a
B．
3
b
C．函数的定义域为
0,
D．函数
loga
f x
x
b
在
0,
为增函数
题型九：对数函数图像过定点问题
1．函数
( )
log (
1) 1
a
f x
x
（
0
a
且
1
a ）的图象恒过定点（
）
A．(2,2)
B．(2,1)
C．(3,2)
D．(2,0)
2．已知幂函数
2
2
1
m
f
x
m
x
的图象过函数
log
1
(
0
a
g x
x
b a
且
1)
a
的图象所经过的定点，
则b 的值等于（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
题型十：对数函数图像的应用
1．已知函数
2
log
1
f x
x
x
，则不等式
0
f x
的解集是（
）
A．
1,1
B．(
)
0,1
C．(
)
1,0
-
D．
2．函数
1
( )
lg
( 1
1)
1
x
f x
x
x
的图象的对称点为（
）
A．( 1,1)
B．(0,0)
C．(1, 1)
D．(1,1)
3．(多选)已知函数
2
2
1,
0,
log
1,
0,
x
x
f
x
x
x
则下列选项正确的是（
）
A．函数
f
x 在区间
0,
上单调递增
B．函数
f
x 的值域为
1,
C．方程
1
8
f x
f
f
有两个不等的实数根
D．不等式
0
f
f x
解集为
1
2
,
2 2,8
8
4
题型十一：对数函数的单调性
1．下列函数中，对定义域内任意两个自变量的值x，y 都满足
f
x
y
f
x
f
y
，且在定义域内为单
调递减函数的是（
）
A．
1
3
log
f
x
x
B．
3
log
f x
x
C．
1
3
x
f x
D．
3x
f x
2．下列函数中，在区间
0,
上单调递增的是（
）
A．
1
y
x
B．
0.5
log
y
x
C．
3
y
x
D．
3
y
x
3．(多选)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（
）
A．
x
y
e
B．
3
y
x
C．
ln
y
x
D．y
x
题型十二：对数型复合函数的单调性
1．函数
2
1
2
log
4
5
y
x
x
的单调递增区间是（
）
A．
, 5
B．
, 2
C．
2,
D．
1,
2．已知函数
ln
2
ln 4
f
x
x
x
，则（
）．
A．
f
x 的图象关于直线
3
x
对称
B．
f
x 的图象关于点
3,0 对称
C．
f
x 在
2,4 上单调递增
D．
f
x 在
2,4 上单调递减
3．(多选)某数学课外兴趣小组对函数
2
1
lg
0,
R
x
f x
x
x
x
的性质进行了探究，得到下列四个命题，
其中正确的命题有（
）
A．函数
f
x 的图象关于y 轴对称
B．当
0
x
时，
f
x 是增函数，当
0
x
时，
f
x 是减函数
C．函数
f
x 的最小值是lg2
D．函数
f
x 与
2
x
有四个交点
题型十三：由对数（型）单调性求参数
1．已知
3
2
4 ,
1
log
,
1
a
x
a
x
f x
x
x
（
0
a
且
1
a ）在R 上单调，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1,
B．
2
0, 3
C．2 ,1
3
D．
1,2
2．设
1
a ，若函数
2
( )
loga
f x
ax
x
在1 ,4
2
上是增函数，则实数a 的取值范围是（
）
A．(2,
)
B．[2,
)
C．(4,
)
D．[4,
)
3．(多选)下列命题为真命题的是（
）
A．若a
b
，则
2
2
a
b
B．若1
1
0
a
b
，则
1
1
a
b
a
b
C．若关于x 的不等式
2
2
0
ax
bx
的解集为
1
1
|
3
2
x
x
，则
10
a
b
D．函数
2
1
2
( )
log (
4
5)
f x
x
x
在区间(3
2,
2)
m
m
内单调递增，则实数m 的取值范围为4 ,3
3
题型十四：由对数函数的单调性解不等式
1．已知函数
2
2
log
f x
x
x
，则不等式
ln
ln
2
f
x
f
x
的解集为（
）
A．1 ,1
e
B．1 ,e
e
C．
1,e
D．
1 ,1
1,e
e
2．已知集合
2
3,
Ζ
A
x
x
x
，
2
log
2
1
B
x
x
，则A
B
=（
）
A．
2,3
B．
2,3
C．
2,3
D．
3
3．(多选)已知函数
2
2
log
2
1
f
x
mx
x
m
，
R
m
，则下列说法正确的是（
）
A．若函数
f
x 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是
1
5 ,
2
B．若函数
f
x 的值域为R ，则实数m 的取值范围是1
5 1
5
,
2
2
C．若函数
f
x 在区间
2,上为增函数，则实数m 的取值范围是
0,
D．若
0
m
，则不等式1
f x 的解集为
3
2
x x
题型十五：比较对数式的大小
1．已知
3
0.5
3
log
,
log
2,
2
6
a
b
c
,则, ,
a b c 的大小关系为（
）
A．c
a
b
B．a
b
c
C．c
b
a
D．a
c
b
2．函数
( )
(
2)
f x
f x
、
均为偶函数，且当
[0,2]
x
时，( )
f x 是减函数，设
8
1
log 2
a
f
，
(7.5),
( 5)
b
f
c
f
，
则a、b、c 的大小是（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
a
c
D．c
a
b
3．(多选)已知,
R
a b
，且
0
a
b
，则（
）
A．
2
2
2
2
a
a
b
b
B．
5
3
2log
log
a
b
C．
1
1
2
5
2
5
a
b
D．
2
2
1
1
6
2
6
2
a
b
题型十六：对数函数的单调性应用
1．声强级
IL （单位：dB）由公式
12
10lg 10
I
I
L
给出，其中I 为声强（单位：
2
W / m ）．若学校图书规
定：在阅览室内，声强级不能超过40dB，则最大声强为（
）
A．
6
2
10
W / m
B．
7
2
10 W / m
C．
8
2
10 W / m
D．
9
2
10 W / m
2．已知函数
2 ,
1,
1 ,
1
x x
f
x
f
x
x
则
2
log 9
f
的值为（
）
A．9
B．9
2
C．9
4
D．9
8
3．(多选)已知函数
2
y
f x
的图象关于直线
2
x
对称，在
,0
x
时
f
x 单调递减，且
1
0
f
.
若
0.9
0.7
1
3
,
3
a
f
b
f
，
0.7
log
0.8
c
f
，则下列正确的有（
）
A．b
a
B．
1
c
a
b
C．c
c
b
a
D．b
a
c
4．在函数
log
0
1,
1
a
y
x
a
x
的图象上有A，B，C 三点，它们的横坐标分别是,
2,
4
t t
t
.
(1)若ABC
的面积为S，求
S
f t
；
(2)判断
S
f t
的单调性；
(3)求
S
f t
的最大值．
5．已知函数
4
4
log
2
x
x
m
f x
为偶函数.
(1)解关于x 的不等式
2
2
0
x
mx
；
(2)若
4
log
2x
f
x
a
a
在区间
1,2 上恒成立，求a 的取值范围.
题型十七：求对数函数的最值
1．函数
2
2
log (
1)
x
y
x
在区间[0,1] 上的最大值和最小值之和为
A．2
B．3
C．4
D．5
2．函数
2
2
4
log
log
4
4
x
f x
x
的最小值为（
）
A．
9
4
B．2
C．
3
2
D．0
3．(多选)已知函数
lg
1
lg 3
f x
x
x
，则（
）
A．
f
x 在
1,3 单调递增
B．
f
x 在
1,2 单调递增，在
2,3 单调递减
C．
f
x 的图象关于直线
2
x
对称
D．函数
f
x 的最小值为0
题型十八：根据对数函数的最值求参数或范围
1．若函数
2
( )
log
3
4
1
a
f x
x
ax
有最小值，则实数a 的取值范围是（
）
A．
3 ,1
2
B．(1, 3)
C．
3
0, 2
D．( 3,
)
2．已知a>1，函数
loga
y
x
在区间[ ,3 ]
a
a 上的最大值与最小值的差为2，则a=（
）
A．9
B．3
C．2
D．
3
3．(多选)关于函数
2
lg(
1)
f x
ax
ax
，则下列说法正确的是（
）
A．函数
f
x 的图像可能关于原点对称
B．若函数
f
x 有最小值，则a 的范围是[0,4)
C．若函数
f
x 有最大值，则a 的范围是(
,0)
D．函数
f
x 有可能是单调函数
题型十九：对数函数的最值与不等式综合问题
1．已知函数
2
e
e
( )
ln( 1
)
2
x
x
f x
x
x
，若不等式
(2
4 )
(
2
2)
0
x
x
x
f
f m
对
R
x
恒成立，则实
数m 的取值范围为（
）
A．(
,2 2
1)
B．( 2 2
1,
)
C．( 2 2
1,2 2
1)
D．(
,2 2
1)
2．若不等式
2
1
loga
x
x
（
0
a
，且
1
a ）在
1,2
x
内恒成立，则实数a 的取值范围为（
）
A．
1,2
B．
1,2
C．1, 2
D．
2,
2
3．(多选)已知函数
2
2
2
ln
1
1
( )
1
ax
a
x
x
f x
x
a
，其中
0
a
，若
( )
f x 的最大值为M，最小值为N，则
当a 的值变化时（
）
A．M
N
为定值B．M
N
为定值
C．
4
M
N
D．
ln 2
M
N
题型二十：反函数
1．
2
log
f x
x
的反函数是（
）
A．
x
y
a
B．
2x
y
C．
log 2
x
y
D．
4x
y
2．函数
y
f x
的图象与函数
3x
y
的图象关于直线y
x
对称，则
1
9
3
f
f
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．(多选)下列说法正确的是（
）
A．函数
3
log
y
x
与
3
log
y
x
的图象关于y 轴对称.
B．函数
3x
y
与
3
log
y
x
的图象关于y
x
对称.
C．
0x
R ，当
0
x
x
时，恒有2
2
x
x
.
D．用二分法求方程3
3
8
0
x
x
在
1,2
x
内的近似解的过程中得到
1
0
f
，
1.5
0
f
，
1.25
0
f
，
则方程的根落在区间
1.25,1.5 上.
模块三：综合巩固
1.当
1
a 时，在同一平面直角坐标系中，函数
x
y
a
与
loga
y
x
的图象是（
）．
A．
B．
C．
D．
2.设
1.2
0.2
2
log
0.3,
log 3,
2
b
c
a
，则, ,
a b c 的大小关系为（
）.
A．a
b
c
B．b
a
c
C．c
b
a
D．c
a
b
3.函数
0.5
1
log
(4
3)
y
x
的定义域为（
）
A．3 ,1
4
B．3 ,
4
C．
1,
D．
3 ,1
1,
4
4.已知函数
1
0 ,
1
log
(
0)
k
x
f x
x
x
k
x
在定义域上是单调函数，则实数k 的取值范围是（
）
A．
0,1
B．
1,
C．
1,3
D．
1,3
5.已知函数
log
,0
1
( )
,(
0,
1)
2,
1
a x
m
x
f x
a
a
x
x
在定义域内单调递减，若
2
0
f
m
f a
，则实数m 的
取值范围是（
）
A．
1,3
B．
1,3
C．
3,
D．
3,
6.已知函数
f
x 是定义在R 上的偶函数，且在
,0
上单调递增，设
4
log 5
a
f
，
2
1
log 3
b
f
，
0.5
0.2
c
f
，则a ，b ，c 的大小关系（
）
A．c
b
a
B．b
a
c
C．b<c<a
D．a
b
c
7.已知函数( )
2
2
2
log
log
f
x
x
x
=
-
．
(1)解不等式
2
f x
；
(2)求函数
f
x 的单调递增区间．
8.已知指数函数
2
4
4
(
0)
x
f
x
b
b
a
b
的图象过点1 ,
2
2
．
(1)求,a b的值；
(2)求关于x 的不等式
log
3
2
log
1
a
a
x
x
的解集．
9.已知函数
2
( )
log
4
2 2
3
x
x
f x
.
(1)求方程
1
f x 的根；
(2)求
f
x 在
0,2 上的值域.
