文档文本内容
专题 02 充分必要与逻辑用语 6 大题型
考点 01 判断充分、必要条件
考点 02 探究充分、必要条件
考点 03 根据充分必要求参数
考点 04 判断全称、存在量词命题的真假
考点 05 含有一个量词命题的否定
考点 06 根据含量词命题的真假求参数
考点 01 判断充分、必要条件
1．下列命题为真命题的是（
）
A．“
”是“
”的充分不必要条件
B．“
”是“
”的必要不充分条件
C．“
”是“
成立”的充分不必要条件
D．“
”是“
成立”的必要不充分条件
【答案】D
【详解】对选项 A，由函数
的单调性，可得
，所以
是
的充要条件，故 A 错
误；
对选项 B，由函数
的单调性，可得
，所以
是
的充分不必要条件，故
B 错误；
对选项 C，函数
的单调性，可得
，
所以
是
的既不充分又不必要条件，故 C 错误；
对选项 D，函数
的单调性，可得
，所以
是
的必要不充分条件，故
D 正确.
故选：D.
2．已知
，则“
”是“
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
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C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当
时，
，则当
时，有
，解得
，充分性
成立；
当
时，满足
，但此时
，必要性不成立．
综上所述，“
”是“
”的充分不必要条件．
故选：A．
3．（多选）下列结论正确的是（ ）
A．“
”是“
”的充要条件
B．“
”是“
”的充分不必要条件
C．“
”是“
”的必要不充分条件
D．“
”是“
”的充要条件
【答案】BD
【详解】对于 A，令
，
，
满足
，不满足
，
则“
”不可能是“
”的充要条件，故 A 错误，
对于 B，对于充分性：若
，则
，则充分性成立，
对于必要性：令
，满足
，不满足
，则必要性不成立，
可得“
”是“
”的充分不必要条件，故 B 正确，
对于 C，令
，满足
，但此时
无意义，
则不满足
，得到必要性不成立，
可得“
”不可能是“
”的必要不充分条件，故 C 错误，
对于 D，对于充分性：当
时，则
，可得充分性成立，
对于必要性：若
，则
，
而由基本不等式得
，
当且仅当
时取等，此时解得
，则必要性成立，
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可得“
”是“
”的充要条件，故 D 正确.
故选：BD
4．已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既
不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】当
时，可得
且
，则“
”是“
”的必要条件；
当
且“
”，则 “
”， 所以“
”是“
”的不充分条件．
故选：B.
5．“
”是“函数
为奇函数”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由
为奇函数，则
，
即
，整理得
对任意的
成立，
，
即
为奇函数等价于
，
所以
是
为奇函数的必要不充分条件.
故选：B.
6．若矩形
的长为
，宽为 ，则“
”是“矩形
的面积为 1”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由
，得
，
所以
，得
，所以矩形
的面积
，充分性成立；
反之，矩形
的面积
，则
不一定
等于 0，必要性不成立；
故“
”是“矩形
的面积为 1”的充分不必要条件.
故选：B.
考点 02 探究充分、必要条件
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7．命题“
”是真命题的一个充分不必要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当命题是真命题时，只需当
时，
，
又因为当
时，
的最小值是 ，所以
，
结合各个选项可知，只有
是
的充分不必要条件，
故选：D.
8．不等式
的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对于 B：由
得
，解得
，显然
为充要条件，错误；
对于 A：因为
能推出
，
不能推出
，
所以
是不等式
的充分不必要条件，正确；
对于 C：因为
不能推出
，
能推出
，
所以
是不等式
的必要不充分条件，错误；
对于 D：因为
不能推出
，
不能推出
，
所以
是不等式
的即不充分也不必要条件，错误.
故选：A.
9．设
，则“
”的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
，解得
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件，故 A 错误；
由
，得
，所以
，解得
，
所以“
”是“
”的充要条件，故 B 错误；
由
，得
，解得
，
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所以“
”是“
”的既不充分也不必要条件，故 C 错误；
由
，得
，所以“
”是“
”的必要不充分条件，故 D 正确.
故选：D.
10．“幂函数
在
上是减函数”是“
”的一个（ ）
A．必要不充分条件
B．充要条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由幂函数的定义得
，解得
或
，此时
，
；
所以当幂函数
在
上是减函数时，
或
，充分性不成立；
当
时，
在
上是减函数，必要性成立；
所以幂函数
在
上是减函数”是“
”的一个必要不充分条件.
故选：
11．古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫天下”是“能扫一屋”的一个（
）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【详解】“一屋不扫，何以扫天下”，即如果一个人一屋不扫，那么这个人不可能扫天下，
逆否可得：如果一个人能扫天下，那么他一定能扫一屋，
即“能扫天下”一定得到“能扫一屋”，所以“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件．
故选：A.
12．“
”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】因为
.
而各选项中仅有 AB 选项中范围对应的集合为
真子集，
故选：AB.
13．已知命题 ：“方程
至少有一个解”，若 的一个必要不充分条件为“
”，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【详解】对于命题 ：“方程
至少有一个解”，
5 / 14
若
，则
，解得
，符合题意；
若
，则
，解得
且
；
综上所述：
.
若 的一个必要不充分条件为“
”，
可知集合
是集合
的真子集，
则
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
考点 03 根据充分必要求参数
14．若“
”是“
”的充分不必要条件，则 a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，解得
或
，
即
是
或
的充分不必要条件，所以
，
所以 的取值范围为
.
故选：A.
15．已知集合
，
，若
是
的必要不充分条件，则实数 的
取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】集合
或
，
集合
，
若
是
的必要不充分条件，则
，
所以
，解得
.
故选：A.
16．关于 的不等式
恒成立的一个充分不必要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【详解】当
时，不等式为
，显然对
恒成立；
当
时，由不等式
对
恒成立.
可得
且
，解得
.
综上，原不等式恒成立的充要条件是
，
则原不等式恒成立的一个充分不必要条件是
.
是不等式
恒成立的既不充分也不必要条件.
是不等式
恒成立的必要不充分条件.
故选：A.
17．已知 p：
，q：
，若 p 是 q 的必要不充分条件，则 a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，设
，
若 p 是 q 的必要不充分条件，则 是 的真子集，
当
时，
，满足题意，
当
时，
，则
，解得
，
当
时，
，显然不符合题意，
故 a 的范围为
故选：C
18．若集合
，
，其中 b 为实数.若 A 是 B 的充分不必要条件，则 b 的取值可以是
（答案不唯一，写出一个即可）
【答案】1（只要是
的一个值即可）
【详解】因为集合
，
，若 A 是 B 的充分不必要条件，
则
且
，解得
，所以 b 的取值只要是
中的一个值就可以，
故答案为：1（只要是
中的一个值就可以）.
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19．设命题
，命题
，若 是 的必要条件，但 不
是 的充分条件，求实数 的取值组成的集合.
【答案】
．
【详解】由
得
或
，∴
，
由 是 的必要条件，但 不是 的充分条件得
且
，从而有 B
A，
∴
或
或
，
当
时，
，∴
；
当
时，
，无解；
当
时，
，无解；
综上：实数 a 的取值组成的集合为
．
20．已知全集
，集合
，
．
(1)当
时，求
；
(2)若“
”是“
”成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）
，解得
，故
，
若
，则
，因此
.
（2）若“
”是“
”成立的必要不充分条件，可得 ⫋ ，
因为
，
，
故
，解得
，
故
.
考点 04 判断全称、存在量词命题的真假
21．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（
）
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A．
，方程
有实数根
B．存在一条直线与已知直线不平行
C．对任意实数
若
，则
D．存在一个实数 x，使等式
成立
【答案】C
【详解】因为 B，D 是存在量词命题，故应排除;
对于 A，当
时，方程
无实数根，故 A 错误，
由不等式性质知，C 是真命题.
故选：C.
22．（多选）关于命题“
”，下列判断正确的是（
）
A．该命题是全称量词命题
B．该命题是存在量词命题
C．该命题是真命题
D．该命题是假命题
【答案】BC
【详解】
是存在量词命题，
A 选项错误 B 选项正确；
时，
成立，
命题为真命题，即 C 正确 D 错误.
故选：BC
23．（多选）下列命题为真命题的是（
）
A．“
”是存在量词命题
B．
C．
D．“全等三角形面积相等”是全称量词命题
【答案】ABD
【详解】“
”是存在量词命题，选项 A 为真命题．
，选项 B 为真命题．
因为由
得
，所以选项 C 为假命题．
“全等三角形面积相等”是全称量词命题，选项 D 为真命题．
故选：ABD
24．（多选）下列既是存在量词命题又是真命题的是（
）
A．
，
B．至少有个
，使 能同时被 和 整除
C．
，
D．每个平行四边形都是中心对称图形
【答案】AB
9 / 14
【分析】
【详解】 中，当
时，满足
，所以 A 是真命题
B 中，
能同时被 和 整除，所以 B 是真命题
C 中，因为所有实数的平方非负，即
，所以 C 是假命题
D 是全称量词命题，所以不符合题意.
故选：AB．
考点 05 含有一个量词命题的否定
25．命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【详解】由全称量词命题的否定为特称量词命题，则原命题的否定为
，
．
故选：A
26．已知命题
，命题
，则（ ）
A． 和 都是真命题
B．
和 都是真命题
C． 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】C
【详解】对于命题 ：当
时，
，因此命题 为真命题，从而
为假命题；
对于命题 ：当
，
时，
，
，可得：
，故命题 为
假命题，从而
为真命题；
综上可得：命题 与命题
均为真命题.
故选：C
27．
，
否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【详解】因为
，
否定是
，
.
故选：C.
28．“
，
”的否定是
，此否定是
命题 第二空填“真”或“假”
【答案】
0，使
假
【详解】“
，
”的否定是“
，使
”，
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因为
，即
恒成立，
故不存在
使
成立，
故原命题的否定为假命题.
故答案为：
，使
；假.
29．若命题
，则 的否定为
， 为
（填“真”或“假”）命题.
【答案】
假
【详解】 的否定为“
”.
因为当
时，
5，当且仅当
时，等号成立，
故不存在
，使
，所以 为假命题.
故答案为：
；假
考点 06 根据含量词命题的真假求参数
30．已知 a 为实数，p:
在(0，+∞)上单调递增，则 p 是 q 的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由 知，
在
上有解，
所以
；
因为
的对称轴方程为
，由 知，
，
因为
不能推出
，
，
所以 p 是 q 的必要不充分条件，
故选：B
31．已知命题
，若 是假命题，则 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】命题 为假命题，则其否定“
，
”为真命题.
11 / 14
对
，将不等式变形为
.
由基本不等式，
（当且仅当
时取等号），
故
.
因此
.
32．已知命题“
，
”为假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题，可得“
，
”为真命题，即方程
无解.
当
时，方程
无解；
当
时，得
，解得
；
综上，实数 的取值范围为
.
故选：C.
33．命题
，
为假命题的一个充分不必要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】依题意，
：
，
真命题，
所以
在
上有解，
当
时，原不等式
，解得
，满足题意；
当
时，一元二次函数
开口向下，此时原不等式
在
上一定有解，故
满足题意；
当
时，若
在
上有解，则
，解得
，
综上所述，
，
所以命题 p：
，
为假命题的一个充分不必要条件可以是
.
故选：A.
34．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题
“
”是假命题，求
范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题
“
”是真命题，求
范围．你认为，两位同学题中
范围是否一致？
(填“是”“否”
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中的一种)
【答案】是
【详解】因为命题“
”的否定是“
”，
而命题“
”是假命题，与其否定“
”为真命题等价，
所以两位同学题中
范围是一致的，
故答案为：是
35．已知命题
，都有
，命题
，使得
．
(1)若 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；
(2)若 p，q 均为真命题，求实数 a 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】
【详解】（1）由命题
，都有
，得当
时，
恒成立，因此
符合题意；
当
时，
，解得
，
所以实数 a 的取值范围是
.
（2）由命题
，使得
，得
，
成立，
而当
时，
，当且仅当
取等号，因此
；
由（1）知
，则 p，q 均为真命题时，
，
所以实数 a 的取值范围是
.
36．已知
关于 的方程
无实数根，
.
(1)若
为真命题，求实数
的取值范围；
(2)若 是
的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）
为真命题，
为假命题，
即关于 的方程
有实数根，
则
，解得
，
13 / 14
故实数
的取值范围是
.
（2）由（1）可知，若 为真命题，则
，
，
或
，
是
的充分不必要条件，
或
}，
，
，则实数 的取值范围
.
14 / 14
