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第一章 集合与简易逻辑
集合及其运算
一．集合的概念、分类：
二．集合的特征：
⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性
三．表示方法：
⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法 ⑷ 区间法
四．两种关系：
从属关系：对象 、 集合；包含关系：集合 、 集合
五．三种运算：
交集：
并集：
补集：
六．运算性质：
⑴ ， ．
⑵ 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．
⑶ 若 ，则 ， ．
⑷ ；.
⑸ ；
⑹ 集合 的所有子集的个数为 ，所有真子集的个数为
所有非空真子集的个数为 ，所有二元子集（含有两个元素的子集）的
个数为 ．
简易逻辑
一．逻辑联结词：
1．命题是可以判断真假的语句的语句，其中判断为正确的称为真命题，判断为
错误的为假命题．
2．逻辑联结词有“或”、“且”、“非”．
3．不含有逻辑联结词的命题，叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联结
词构成的命题叫复合命题．
4．真值表：
p q 非p p且q P或q真 真 真 真
假
真 假 假 真
假 真 假 真
真
假 假 假 假
二．四种命题：
1．原命题：若 则
逆命题：若P则q，即交换原命题的条件和结论；
否命题：若q则p，即同时否定原命题的条件和结论；
逆否命题：若┑P则┑q，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定．
2．四个命题的关系：
⑴ 原命题为真，它的逆命题不一定为真；
⑵ 原命题为真，它的否命题不一定为真；
⑶ 原命题为真，它的逆否命题一定为真．
三．充分条件与必要条件
1．“若 则 ”是真命题，记做 ，
“若 则 ”为假命题，记做 ，
2．若 ，则称 是 的充分条件， 是 的必要条件
3．若 ，且 ，则称 是 的充分非必要条件；
若 ，且 ，则称 是 的必要非充分条件；
若 ，且 ，则称 是 的充要条件；
若 ，且 ，则称 是 的既不充分也不必要条件．
4．若 的充分条件是 ，则 ；
若 的必要条件是 ，则 ．
第二章 函数
指数与对数运算
一．分数指数幂与根式：
如果 ，则称 是 的 次方根， 的 次方根为0，若 ，则当 为奇数时， 的 次方根有1个，记做 ；当 为偶数时，负数没有 次方根，正数
的 次方根有2个，其中正的 次方根记做 ．负的 次方根记做 ．
1．负数没有偶次方根；
2．两个关系式： ；
3、正数的正分数指数幂的意义： ；
正数的负分数指数幂的意义： ．
4、分数指数幂的运算性质：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ ；
⑸ ，其中 、 均为有理数， ， 均为正整数
二．对数及其运算
1．定义：若 ，且 ， ，则 ．
2．两个对数：
⑴ 常用对数： ， ；
⑵ 自然对数： ， ．
3．三条性质：
⑴ 1的对数是0，即 ；
⑵ 底数的对数是1，即 ；
⑶ 负数和零没有对数．
4．四条运算法则：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ ．
5．其他运算性质：
⑴ 对数恒等式： ；
⑵ 换底公式： ；
⑶ ； ；⑷ ．
函数的概念
一．映射：设A、B两个集合，如果按照某中对应法则 ，对于集合A中的任意一
个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集
合A到集合B的映射．
二．函数：在某种变化过程中的两个变量 、 ，对于 在某个范围内的每一个确
定的值，按照某个对应法则， 都有唯一确定的值和它对应，则称 是 的
函数，记做 ，其中 称为自变量， 变化的范围叫做函数的定义域，
和 对应的 的值叫做函数值，函数值 的变化范围叫做函数的值域．
三．函数 是由非空数集 到非空数集B的映射．
四．函数的三要素：解析式；定义域；值域．
函数的解析式
一．根据对应法则的意义求函数的解析式；
例如：已知 ，求函数 的解析式．
二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；
例如：已知 是一次函数，且 ，函数 的解析式．
三．由函数 的图像受制约的条件，进而求 的解析式．
函数的定义域
一．根据给出函数的解析式求定义域：
⑴ 整式：
⑵ 分式：分母不等于0
⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于0
⑷ 含0次幂、负指数幂：底数不等于0
⑸ 对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0
二．根据对应法则的意义求函数的定义域：
例如：已知 定义域为 ，求 定义域；
已知 定义域为 ，求 定义域；
三．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域．
函数的值域
一．基本函数的值域问题：
名称 解析式 值域
一次函数时，
二次函数
时，
反比例函数 ，且
指数函数
对数函数
三角函数
二．求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，
因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观
察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等
式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等．
反函数
一．反函数：设函数 的值域是 ，根据这个函数中 ， 的关系，
用 把 表示出，得到 ．若对于 中的每一 值，通过 ，都
有唯一的一个 与之对应，那么， 就表示 是自变量， 是自变量
的函数，这样的函数 叫做函数 的反函数，记
作 ,习惯上改写成 ．
二．函数 存在反函数的条件是： 、 一一对应．
三．求函数 的反函数的方法：
⑴ 求原函数的值域，即反函数的定义域
⑵ 反解，用 表示 ，得
⑶ 交换 、 ，得
⑷ 结论，表明定义域
四．函数 与其反函数 的关系：
⑴ 函数 与 的定义域与值域互换．
⑵ 若 图像上存在点 ，则 的图像上必有点 ，即
若 ，则 ．
⑶ 函数 与 的图像关于直线 对称．函数的奇偶性：
一．定义：对于函数 定义域中的任意一个 ，如果满足 ，则称
函数 为奇函数；如果满足 ，则称函数 为偶函数．
二．判断函数 奇偶性的步骤：
1．判断函数 的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不
对称；
2．验证 与 的关系，若满足 ，则为奇函数，若满足
，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数．
二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴 对称．
三．已知 、 分别是定义在区间 、 上的奇（偶）函数，
分别根据条件判断下列函数的奇偶性．
奇 奇 奇 奇 偶
奇
奇 偶 奇
偶 奇 奇
偶
偶 偶 偶 偶 偶
五．若奇函数 的定义域包含 ，则 ．
六．一次函数 是奇函数的充要条件是 ；
二次函数 是偶函数的充要条件是 ．
函数的周期性：
一．定义：对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一
个值时，都有 ，则 为周期函数， 为这个函数的一个周
期．
2．如果函数 所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
的最小正周期．如果函数 的最小正周期为 ，则函数 的最小
正周期为 ．
函数的单调性
一．定义：一般的，对于给定区间上的函数 ，如果对于属于此区间上的任意
两个自变量的值 ， ，当 时满足：⑴ ，则称函数 在该区间上是增函数；
⑵ ，则称函数 在该区间上是减函数．
二．判断函数单调性的常用方法：
1．定义法：
⑴ 取值； ⑵ 作差、变形； ⑶ 判断： ⑷ 定论：
*2．导数法：
⑴ 求函数f(x)的导数 ；
⑵ 解不等式 ，所得x的范围就是递增区间；
⑶ 解不等式 ，所得x的范围就是递减区间．
3．复合函数的单调性：
对于复合函数 ，设 ，则 ，可根据它们的单调性确
定复合函数 ，具体判断如下表：
增 增 减 减
增 减 增 减
增 减 减 增
4．奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同．
函数的图像
一．基本函数的图像．
二．图像变换：
将 图像上每一点向上 或向下 平移 个单
位，可得 的图像
将 图像上每一点向左 或向右 平移 个单
位，可得 的图像
将 图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸 或
压缩 为原来的 倍，可得 的图像
将 图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸 为原来的 ，可得 的图像
关于 轴对称
关于 轴对称
将 位于 轴左侧的图像去掉，再将 轴右侧的图像沿 轴
对称到左侧，可得 的图像
将 位于 轴下方的部分沿 轴对称到上方，可得
的图像
三．函数图像自身的对称
关系 图像特征
关于 轴对称
关于原点对称
关于 轴对称
关于直线 对称
关于直线 轴对称
关于直线 对称
周期函数，周期为
四．两个函数图像的对称
关系 图像特征与 关于 轴对称
与 关于 轴对称
与 关于原点对称
与 关于直线 对称
与 关于直线 对称
与 关于 轴对称
第三章 数列
数列的基本概念
一．数列是按照一定的顺序排列的一列数，数列中的每一个数都叫做这个数列
的项．
二．如果数列 中的第 项 与项数 之间的关系可以用一个公式来表示，那
么这个公式就叫做这个数列的通项公事，它实质是定义在正整数集或其有
限子集的函数解析式．
三．数列的分类：
按项的特点可分为递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列
按项数可分为有穷数列和无穷数列
四．数列的前 项和：
与 的关系：
五．如果已知数列 的第1项(或前几项)，且任一项 与它的前一项 (或前
几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递
推公式．递推公式也是给出数列的一种方法．如：在数列 中， ， ，其中 即为数列 的
递推公式，根据数列的递推公式可以求出数列中的每一项，同时可根据数列的
前几项推断出数列 的通项公式，至于猜测的合理性，可利用数学归纳法进
行证明．
如上述数列 ，根据递推公式可以得到： ， ， ， ，
进一步可猜测 ．
等差数列
一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表
示．
二．通项公式：
若已知 、 ，则 ；若已知 、 ，则
三．前 项和公式：
若已知 ， ，则 ；若已知 、 ，则
注：⑴ 前 项和公式 的推导使用的是倒序相加法的方法．
⑵ 在数列 中，通项公式 ，前 项和公式 均是关于项数 的函数，
在等差数列 通项公式 是关于 的一次函数关系，前 项和公式
是关于 的没有常数项的二次函数关系．
⑶ 在等差数列中包含 、 、 、 、 这五个基本量，上述的公式中均含
有4基本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3个，可以求出其余
基本量．
四．如果 、 、 成等差数列，则称 为 与 的等差中项，且 ．
五．证明数列 是等差数列的方法：
1．利用定义证明：
2．利用等差中项证明：
3．利用通项公式证明：
4．利用前 项和公式证明：六．性质：在等差数列 中，
1．若某几项的项数成等差数列，则对应的项也成等差数列，
即：若若 ，则 ．
2．若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的和也相等，
即：若 ，则 ．
3．依次相邻每 项的和仍成等差数列，
即： ， ， 成等差数列．
4． ， ， ，…， ， 仍成等差数列，其公差为 ．
三．等比数列
一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那
么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用宇母
表示．
二．通项公式：
若已知 、 ，则 ；若已知 、 ，则
三．前 项和公式：
当公比 时，
当公比 时，若已知 、 、 ，则
若已知 、 、 ，则
注：⑴ 等比数列前 项和公式 的推导使用的是错位相减的方法．
⑵ 在等比数列中包含 、 、 、 、 这五个基本量，上述的公式中均含
有4基本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3个，可以求出其余
基本量．
四．若 、 、 成等比数列，则称 为 与 的等比中项，且 、 、 满足关系式
．
五．证明数列 是等比数列的方法：
1．利用定义证明：
2．利用等比中项证明：
3．利用通项公式证明：六．性质：在等比数列 中，
1．若某几项的项数成等差数列，则对应的项成等比数列，
即：若 ，则
2．若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的积相等，
即：若 ，则
3．若数列公比 ，则依次相邻每 项的和仍成等比数列，
即 ， ， 成等比数列。
4． ， ， ，…， ， 仍成等比数列，其公比为 ．
数列求和
1．常见数列的前n项和：
⑴ 自然数数列：1，2，3，…，n，…
⑵ 奇数列：1，3，5，…， ，…
⑶ 偶数列：2，4，6，…， ，…
⑷ 自然数平方数列： ， ， ，…， ，…
2．等差、等比数列：利用等差、等比数列的求和公式．
3．数列 满足： ，其中 、 为等差或者等比数列．
方法：拆项，转化成两个等差或等比各项的和（差）．
4．数列 满足： ，其中 是公差为 的等差数列； 是公比为
的等比数列．
方法：错位相减．
5．若数列 满足： ，其中 、 、 均
为常数．
方法：裂项法，设 ，其中 为可确定
的参数．第四章 三角函数
一．角度与弧度制
1．弧度与角度的互化：
2．终边相同角：与角 有相同终边的角的集合可以表示为：
3．特殊角的集合：
⑴ 各个象限的角的集合
第一象限角：
第二象限角：
第三象限角：
第四象限角：
⑵ 角的终边在各个坐标轴上的角的集合
终边在 轴的角：
终边在 轴的角：
终边在坐标轴上的角：
终边在第一三象限角平分线上：
终边在第二四象限角平分线上：
4．弧长公式和扇形面积公式
设扇形的半径为 ，圆心角为 ，则
弧长 ， 扇形的面积
任意角三角函数的定义：一．定义：以角 顶点为原点 ，始边为 轴的非负半轴建立直角坐标系。在角
的终边上任取不同于原点 的一点 ，设 点与原点 的距离为
，则 ，则角 的六个
三角函数依次为：
， ，
， ，
二．三角函数的定义域与值域：
定义域 值域
R
R
R
三．三角函数值的符号：
四．三角函数线
正弦线、余弦线 正切线
以角 的终边与
过点 作
单位圆的公共点 作
轴的垂线交 的终边
轴 的 垂 线
或终边的延长线于
轴，垂足为 ，则
点，则：
同角三角函数基本关系式：
倒数关系： 、 、
商数关系： 、平方关系：
正弦、余弦的诱导公式：
； ．
； ．
； ．
； ．
； ．
； ．
； ．
； ．
； ．
诱导公式可简单的概括为：“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇变偶不
变”的含义为：当 为奇数时， 的三角函数值为 的余函数，当 为偶
数时， 的三角函数值为 的原函数；“符号看象限”的含义为在 的三
角函数前加上一个把 看作锐角时原三角函数值的符号.
两角和与差的三角函数：
一．基本公式：二．常见关系：
1．辅助角公式：
如： ；
；
2．两角和与差的正切公式的变形：
二倍角公式
一．基本公式：
二．常见关系式：
1．
2．
三角函数的图像：
一．正弦、余弦、正切函数的图像：
1．正弦函数2．余弦函数
2．正切函数
二．三角函数的图象变换：
1． ：将 图象上各点横坐标保持不变，纵坐
标拉伸 或压缩 为原来的 倍得到．
2． ：将 图象上各点纵坐标保持不变，横坐
标压缩 或拉伸 为原来的 倍得到．
3． ：将 的图象向右 或向左
平移 个单位得到．
4．函数 的图象可以看作是由函数 的图
象分别经过下面的两种方法得到：
⑴
① 将 的图象向左 或向右 平移 个单位，可得到函数 图象；
② 将得到图象点的纵坐标保持不变，横坐标压缩 或拉伸
为原来的 倍，得到函数 图象；
③ 将新图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸 或压缩
为原来的 倍，可得函数 图象．
⑵
① 将 图象点纵坐标保持不变，横坐标压缩 或拉伸
为原来的 倍，可以得到函数 图象；
② 将得到的图象向左 或向右 平移 个单位就得到函数
图象；
③ 将新的图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸 或压缩
为原来的 倍，可得函数 的图象．
三．形如 的函数图像的画法 —— 五点法，即根据 分别
取 、 、 、 、 时对应的 与 的值描点作出 的一个
周期的图像．
三角函数的性质
函 数 正弦函数 余弦函数 正切函数
名 称
定义域 R R值 域 R
最 值
图 象
分 布
最小正
周 期
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称轴
对 称
中 心
增
单
调
性
减
三角形中的边角关系
一．正弦定理：
在一个三角形中，各边和他所对角的正弦的比都等于该三角形外接圆的直
径，即：
二．余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边的平方减去这两边与它们夹角的余弦
的积的两倍．即：
推论： ； ；
三．相关结论：
在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
⑴ ， ，
⑵ ， ，
， ，
⑶ 根据正弦定理： ， ，
⑷ 三角形面积公式：
① 三角形的面积等于三角形任意一边与对应边上的高的乘积的一半，
即：
② 三角形的面积等于三角形的任意两边与其夹角的正弦值乘积的一
半，即：
第五章 平面向量
向量的基本概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用一条有向线段来表示．
2．向量的长度：向量 的大小，也就是向量 的长度（也称为 的模），记作
．3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作 ，零向量的方向是任意的．
4．单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量．
5．平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量，也叫做共线向量，若向量 、
平行，记作 ．
6．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
向量的加法与减法：
1．两个向量的和：已知向量 、 ，平移向量 ，使 的起点与 的终点重合，那
么以 的起点为起点， 的终点为终点的向量叫做向量 与向量 的和．求两
个向量和的运算叫做向量的加法．
2．向量加法的三角形法则：根据向量和的定义，以第一个向量 的终点A为起
点作第二个向量 ，则以 的起点O为起点，以 的终点B为终点的向量
就是 与 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的三角形法则．
3．向量加法的平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量 、 为邻边
作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线 就是 ，这种作两个向
量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
4．向量加法运算律：
⑴ 交换律： ⑵ 结合律：
5．相反向量：与向量 方向相反的向量叫做 的相反向量，记作 ．
规定：零向量的相反向量仍是零向量．
性质：⑴ ⑵6．两个向量的差： 加上 的相反向量叫做 与 的差，即：
7．向量的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法。
法则：如图所示，已知向量 、 ，在平面内任取一点
O，作 ， ，则 ，即 表示从向
量 的终点指向 的终点的向量．
实数与向量的积：
1．实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方
向规定如下：
⑴
⑵ 当 时， 的方向与 的方向相同；
当 时， 的方向与 的方向相反
2．实数与向量的积所满足的运算律：设 、 为实数，那么：
⑴ ；
⑵
⑶
3．向量共线的充要条件：
向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 ．
4．平面向量基本定理：
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向
量 ，有且只有一对实数 、 ，使 ．
平面向量的坐标运算：
1．平面向量的坐标：分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基
底，对于一个向量 ，有且只有一对实数 、 ，使得 ，则称为向量 的坐标，记做 ．
2．向量 的坐标与起点为原点的向量是一一对应的关系，即：
向量 向量 点
3．平面向量的坐标运算：
设 ， ， ，则：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ．
若点 ， ，则 ．
4．向量 与 共线的充要条件是 ．
平面向量的数量积及运算律：
1．两个向量的夹角：
已知两个非零向量，作 ， ，则 （ ）叫做向
量 与 的夹角．
当 时， 与 同向；当 时， 与 反向，如果 与 的夹角是
时，则称 与 垂直，记作 ．
2．两个向量的数量积：
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则数量 叫做 与
的数量积，记作 ，即： ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即 ．
3．向量数量积的几何意义：
叫做向量 在 方向上的投影，其中当 为锐角时，它是正值，当
为钝角时，它是负值，当 时，它是0，当 时，它是 ．
的几何意义是：数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影
的乘积．4．向量数量积的性质：
设 、 都是非零向量， 是 与 的夹角，则：
⑴ （ 是与 方向相同的单位向量）
⑵
⑶ 当 与 同向时， ； 当 与 反向时， ；
特殊的， ，或者
⑷
⑸
5．向量的数量积的运算律：
⑴ ；
⑵
⑶
6．向量数量积的坐标运算：
⑴ 设 ， ，则 ．
⑵ 若向量 ， 垂直的充要条件是 ．
⑶ 若 ，则 ．
⑷ 设 ， ，则 ．
线段的定比分点与平移
1．点 分 所成的比：
设 ， 是直线 上的两点， 是 上不同于 ， 的任一点，存在实数 ，使
，则 叫做点 分 所成的比．
2．定比分点坐标公式：
设 ， ，若点 分 所成的比为 ，则点 的坐标满足： ．
3．中点坐标公式：
若点 为 ， 的中点，则 ．
4．平移公式：
若点 沿向量 平移至点 ，则
第六章 不等式
不等式的性质
1．两个实数比较大小的依据：
2．反对称性：如果 ，那么 ；如果 ，则 ．
3．传递性：如果 ，且 ，那么 ．
4．加法性质：如果 ，那么 ．
推论1：如果 ，那么 ．
推论2：如果 ， ，那么 ．
推论3：如果 ， ，那么 ．
5．乘法性质：如果 ， ，那么 ；如果 ， ，那么 ．
推论1：如果 ， ，那么 ．
推论2：如果 ，那么 ，且 ．
推论3：如果 ， ，那么 ．
*推论4：如果 ， ，那么 ．
6．开方性质：如果 ，那么 ，且 ．
7． ； ．
注：⑴ 当且仅当 时取到等号；
⑵ ； ．
8．绝对值不等式的性质： ．
不等式的解法：
1．一元一次不等式：
R
R
2、一元二次不等式：两个相等的实根
两个不等的实根
没有实数根
、
R
R R
3.高次不等式：穿线法：
例如：
第1步：将 的最高次项的系数化为正数，并分解为若干一次因式的乘
积，即：
第2步：将方程 的根标在数轴上，并从右上方依次穿过各点画曲线
且奇穿过，偶回头。
第3步：根据曲线显示的 的值的符号的变化规律，写出不等式的解集。
或 或
4．分式不等式：分式化整式：
1. ；2. ；
3.
5．含绝对值的不等式：
1.
2.
3.
或 或
