文档文本内容
第二章 一元二次函数、方程和不等式章末检测
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．设 ，则 是 的( )
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
2．已知 ，则下列命题正确的是( )
A． B．
C． D．
3．设函数 （ ），若 ，则函数 的图象不可能
是( )
4．若α，β满足 ，则 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
5．已知x，y∈R＋，且满足x＋2y＝2xy，那么x＋4y的最小值为( )
A． 3－ B． 3＋2
C． 3＋ D． 4
6．设 ，其中 ，且 ，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是
( )
A．A≥B B．A>B第二章 一元二次函数、方程和不等
式
C．A<B D．A≤B
7．已知a>0，b>0， ，则 的最小值为( )
A．4 B．2
C．8 D．16
8．已知a>0，b>0， ，且 ， ．则α＋β的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
9．若a，b都是正数，则 的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
10． 已知 时不等式 恒成立，则x的取值范围为(
)
A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3)
11．已知 ，且 ， ，则M、N的大小关系
是
A． M>N B． M<N ( )
C． M＝N D． 不能确定
12．关于x的不等式 的解集为 ，且 ，
则 ( )
A． B．
C． D．
- 2 -二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．
14．若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．
15．正数a，b满足 ，若不等式 对任意实数x恒成立，
则实数m的取值范围是________．
16．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正
比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为 4千米时，运
费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓
储费之和最小，最小为________万元．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17．（本小题10分）解不等式组 ．
18．（本小题12分）正数x，y满足 ．
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．第二章 一元二次函数、方程和不等
式
19．（本小题12分）若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．
(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R．
20 ． （ 本 小 题 12 分 ） 设 ， 且 ， 证 明 ：
21．（本小题12分）解关于x的不等式 ．
22．（本小题12分）
如图，建立平面直角坐标系 ， 轴在地平面上， 轴垂直于地平面，单位长度为1
千 米 ． 某 炮 位 于 坐 标 原 点 ． 已 知 炮 弹 发 射 后 的 轨 迹 在 方 程
表示的曲线上，其中 与发射方向有关．炮的射程是指
炮弹落地点的横坐标．
- 4 -(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3．2千米，试问它的横坐
标 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
第二章 一元二次函数、方程和不等式章末检测参考答案
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．设 ，则 是 的( )
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
解析：若a>1，则<1成立；反之，若<1，则a>1或a<0．即a>1 <1，而<1 a>1，故选
A．
⇒ ⇒
2．已知 ，则下列命题正确的是( )
A． B．
C． D．
解析：A项，c＝0时不成立；B项，c<0时不成立；C项，因为a>b，ab<0，所以<，即
<，正确；D项，因为a>b，ab>0，所以a·ab>b·ab，即a2b>ab2，不成立．
3．设函数 （ ），若 ，则函数 的图象不可能
是( )
解析：由A，B，C，D四个选项知，图象与x轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为
x ，x ，若只有一个交点，则x ＝x ，由于a＝c，所以xx ＝＝1，比较四个选项，可知
1 2 1 2 1 2
选项D的x＜－1，x＜－1，所以D不满足．
1 2第二章 一元二次函数、方程和不等
式
4．若α，β满足 ，则 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：从题中－<α<β<可分离出三个不等式：－<α< ①，－<β< ②，α<β ③．根据
不等式的性质，②式同乘以－1得－<－β< ④，根据同向不等式的可加性，可得－π<α
－β<π．由③式得α－β<0，所以－π<α－β<0．
5．已知x，y∈R＋，且满足x＋2y＝2xy，那么x＋4y的最小值为( )
A． 3－ B． 3＋2
C． 3＋ D． 4
解析：由x>0，y>0，x＋2y＝2xy，得＋＝1，则x＋4y＝(x＋4y)·＝＋1＋2＋≥3＋2＝3＋
2，当且仅当＝时等号成立．
6．设 ，其中a、b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系
是( )
A．A≥B B．A>B
C．A<B D．A≤B
解析：因为a，b都是正实数，且a≠b，
所以A＝＋>2＝2，即A>2，
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2＝－(x－2)2＋2≤2，
即B≤2，所以A>B．
7．已知a>0，b>0， ，则 的最小值为( )
A．4 B．2
C．8 D．16
解析：由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，
则＋≥2＝2．当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．
8．已知a>0，b>0， ，且 ， ．则α＋β的最小值是( )
A．3 B．4
- 6 -C．5 D．6
解析：因为α＋β＝a＋＋b＋＝·(a＋b) ＝1＋1＋1＋＋≥5．
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
9．若a，b都是正数，则 的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：由a，b都是正数，可得＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．
10． 已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(
)
A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3)
解析：把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，
所以f(－1)＝x2－5x＋6＞0，
且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组得x＜1或x＞3．
11．已知 ，且 ， ，则M、N的大小关系
是
A． M>N B． M<N ( )
C． M＝N D． 不能确定
解析：∵0<a<，∴1＋a>0,1＋b>0,1－ab>0，
∴M－N＝＋＝ >0．
12．关于x的不等式 的解集为 ，且 ，
则 ( )
A． B．
C． D．第二章 一元二次函数、方程和不等
式
解析：由条件知x ，x 为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x ＋x ＝2a，xx ＝－8a2，故
1 2 1 2 1 2
(x－x)2＝(x＋x)2－4xx＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝．
2 1 1 2 1 2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．
解析：x2＋y2≥＝．当且仅当x＝y时等号成立．
当x＝0或x＝1时，x2＋y2取最大值，为1．
所以x2＋y2的取值范围是．
13．若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．
解析：由题意可知，Δ>0且xx＝a2－1<0，故－1<a<1．
1 2
15．正数a，b满足 ，若不等式 对任意实数x恒成立，
则实数m的取值范围是________．
解析：因为a＞0，b＞0，＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，由题意，得
16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，而x2－4x－2＝(x－2)2－
6，所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6．
16．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正
比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为 4千米时，运
费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓
储费之和最小，最小为________万元．
解析：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y 万元，仓储费为y 万元，则y ＝
1 2 1
kx(k≠0)，y＝(k≠0)，
1 1 2 2
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，
∴k＝5，k＝20，∴运费与仓储费之和为万元，
1 2
∵5x＋≥2＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
- 8 -17．（本小题10分）解不等式组 ．
解析：≤1 ≤0 x∈[－2,6)，
6x2－x－1>0 (3x＋1)(2x－1)>0 x∈∪，
⇒ ⇒
所以原不等式组的解集为x∈∪．
⇒ ⇒
18．（本小题12分）正数x，y满足 ．
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．
解析：(1)由1＝＋≥2得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为
36．
(2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，当且仅当＝，即9x2＝2y2
时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6．
19．（本小题12分）若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．
(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R．
解析：(1)由题意，知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
所以解得a＝3．
所以不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>．
所以所求不等式的解集为．
(2)ax2＋bx＋3≥0，
即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，
则b2－4×3×3≤0，
所以－6≤b≤6．
20 ． （ 本 小 题 12 分 ） 设 ， 且 ， 证 明 ：第二章 一元二次函数、方程和不等
式
解析：当abc＝1时，＋＋＝＝＋＋，
a＋b＋c＝≥＋＋．
21．（本小题12分）解关于x的不等式 ．
解析：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0．
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1．
②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1．
③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0．
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当＜－1，即－2＜a＜0，解得≤x≤－1．
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＞0时，不等式的解集为；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为．
- 10 -22．（本小题12分）
如图，建立平面直角坐标系 ， 轴在地平面上， 轴垂直于地平面，单位长度为1
千 米 ． 某 炮 位 于 坐 标 原 点 ． 已 知 炮 弹 发 射 后 的 轨 迹 在 方 程
表示的曲线上，其中 与发射方向有关．炮的射程是指
炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3．2千米，试问它的横坐
标 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解析：(1)在y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)中，令y＝0，得
kx－(1＋k2)x2＝0．
由实际意义和题设条件知，x>0，k>0．
∴x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
∴炮的最大射程是10千米．
(2)∵a>0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k>0，使ka－(1＋k2)a2＝3．2成立，即
关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根．由Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0得a≤6．
此时，k＝>0(不考虑另一根)，∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．
