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河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、北湖校区
2023-2024 学年高一下期末测试
数学答案
1 2 3 4 5 6
D D A C D D
7 8 9 10 11
A B ACD BCD BD
12.
14.
13.0.88
15．(1)0.035；38.5；47
(2)
【详解】（1） ，
样本平均年龄为 ，
各组的频率依次为 ，
， ，
所以第78百分位数在第4组，设为 ，则 ，
所以第78百分位数为47．
（2）年龄在 的市民人数为 ，年龄在 的市民人数为
，
用分层随机抽样的方法抽取年龄在 的人数为 人，年龄在
的人数为 人，
设年龄在 的4人为 ， ， ， ，年龄在 的2人为 ， ，
从这6为市民中抽取两名的基本事件有
，
1
学科网（北京）股份有限公司共15个，
其中2名年龄都在 内的基本事件有 ，共6
个,所以两名幸运市民年龄都在 内的概率为 ．
16．(1)证明见解析；
(2) .
【详解】（1）
设CP与ED相交于O，连接OF，
， ，
又 平面DEF， 平面DEF， 平面DEF
（2）设A到平面PCB距离为h，
在梯形 中， ，
，
又 平面 ， ，
，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
则 ；又有 ； ，
所以有 ，即 ， ，
而 ，
2
学科网（北京）股份有限公司又F为PA中点，故点F到平面BCP的距离 .
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ；
（2）因为 ABC的外接圆的面积为 ，所以 ABC的外接圆半径为 ，
△ △
由正弦定理得 ， ，
因为 ，所以由正弦定理得 ，
由（1）知 ，
所以 ，得 ，则 ，
所以 ABC的面积为 .
△
18．(1) ；
(2) ；
3
学科网（北京）股份有限公司(3)
【详解】（1）在正方体 中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
于是 ， ，
所以异面直线AE和 所成角的余弦值 .
（2）由（1）知， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得
，
于是 ，
所以直线AE和平面 所成角的正弦值 .
4
学科网（北京）股份有限公司19．(1)
(2)① ；②存在， ，
【详解】（1）因为 ，所以由正弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 或 或 ，
即 或 （舍去）或 （舍去），又 ，所以 ；
（2）①因为 ，所以 ，又 ， ，所以 ， .
如图，设 ， ，
则在 中，由正弦定理，得 ，
5
学科网（北京）股份有限公司所以
在 中，由正弦定理，得 ，所以 ，
，
因为 ，所以 ，
故当 ，即 时， ；
②假设存在实常数 ，k，对于所有满足题意的 ， ，都有
成立，
则存在实常数 ，k，对于所有满足题意的 ， ，
都有 ，
由题意， 是定值，所以 ， 是定值，
对于所有满足题意的 ， 成立，
故有 ,
因为 ，从而 ，即 ，
因为 ， 为 的内角，所以 ，从而 ， .
6
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