选修1-1教案(1)_教资初高中_教资面试2025教资面试备考资料合集_教资面试资料合集_2025教资面试资料_25上教资面试-小学资料包_19教案：合集_高中学科全册教案_高中数学全册教案

1.2 充分条件和必要条件（1） 【教学目标】 1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义； 2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法； 3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识． 【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义； 【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断． 【教学过程】 一、复习回顾 1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q． 2．四种命题及相互关系： 3．请判断下列命题的真假： （1）若x y,则x2  y2; （2）若x2  y2,则x y; （3）若x1,则x2 1; （4）若x2 1,则x1 二、讲授新课 1.推断符号“”的含义： 一般地,如果“若 p,则q”为真, 即如果 p成立，那么q一定成立,记作:“ pq”; 如果“若 p,则q”为假, 即如果 p成立，那么q不一定成立,记作:“ p q”. 用推断符号“和 ”写出下列命题：⑴若ab，则acbc；⑵若ab，则acbc； 2．充分条件与必要条件 一般地，如果 pq，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件． 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？ 由上述定义知“ pq”表示有 p必有q，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但 同时说q是p的必要条件是为什么呢？q是p的必要条件说明没有q就没有 p,q是 p成立 的必不可少的条件,但有q未必一定有 p. 充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它 符合上述的“若p则q”为真（即 pq）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”． 必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q则非p”为真（即qp）的 形式．“有之未必成立，无之必不成立”． 命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：（1）充分必要条件（充要条件），即 pq且q p； （2）充分不必要条件，即 pq且q p； （3）必要不充分条件，即 p q且q p； （4）既不充分又不必要条件，即 p q且q p． 3．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义 （1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。设A,B为两个集合，集合A B是指 xA xB。这就是说，“xA”是“xB”的充分条件，“xB”是“ xA” 的必要条件。对于真命题“若p则q”，即 pq，若把p看做集合A，把q看做集合B“， pq ”相当于“A B”。 （2）借助“电路图”理解充分条件与必要条件。设“开关A闭合”为条件A，“灯泡B亮” 为结论B，可用图1、图2来表示A是B的充分条件，A是B的必要条件。 A B B A C 3 C 图2 A 图1 B A B C 3 图3 图4 （3）回答下列问题中的条件与结论之间的关系： ⑴若ab，则acbc； ⑵若x0，则x2 0； ⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等． 三、例题 例1：指出下列命题中，p是q的什么条件． ⑴p：x10，q：x1x20； ⑵p：两直线平行，q：内错角相等； ⑶p：ab，q：a2 b2； ⑷p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形．四、课堂练习 课本P8 练习1、2、3 五、课堂小结 1．充分条件的意义； 2．必要条件的意义． 六、课后作业： 1.2 充分条件和必要条件（2） [教学目标]： 1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念； 2．掌握判断命题的条件的充要性的方法； [教学重点、难点]： 理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断． [教学过程]： 一、复习回顾 一般地，如果已知 pq，那么我们就说p是q成立的充分条件，q是p的必要条件 ⑴“abc”是“abbcca0”的 充分不必要 条件． ⑵若a、b都是实数，从①ab0；②ab0；③ab0；④ab0；⑤a2 b2 0；⑥ a2 b2 0中选出使a、b都不为0的充分条件是 ①②⑤ ． 二、例题分析 条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的 策略，灵活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题． 1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性 例1：已知p：x y2；q：x、y不都是1，p是q的什么条件？ 分析：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性 从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性 “若p则q”的逆否命题是“若x、y都是1，则x y2”真的 “若q则p”的逆否命题是“若x y2，则x、y都是1”假的 故p是q的充分不必要条件 注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手． 2 练习：已知p：x2或x ；q：x2或x1，则p是q的什么条件？ 3 2 方法一：p: x2 q:1x2 3 显然p是q的的充分不必要条件 方法二：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的 真假性“若p则q”等价于“若q则p”真的 “若q则p”等价于“若p则q”假的 故p是q的的充分不必要条件 2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性 例2：若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M 是Q的什么条件？ 分析：命题的充分必要性具有传递性M N  PQ 显然M是Q的充分不必要条件 3．充要性的求解是一种等价的转化 例3：求关于x的一元二次不等式ax2 1ax于一切实数x都成立的充要条件 分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化 a0  由题可知等价于a0函 a0 a0函 0a40a4  0 4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么 例4：证明：对于x、yR，xy0是x2  y2 0的必要不充分条件． 分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分 条件 必要性：对于x、yR，如果x2  y2 0 则x0，y0 即xy0 故xy0是x2  y2 0的必要条件 不充分性：对于x、yR，如果xy0，如x0，y1，此时x2  y2 0 故xy0是x2  y2 0的不充分条件 综上所述：对于x、yR，xy0是x2  y2 0的必要不充分条件． 例5：p：2x10；q：1mx1mm0．若p是q的必要不充分条件，求 实数m的取值范围． 解：由于p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件 1m2 于是有 m9 101m 三、练习：1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命 题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件．（必要不充分的条件） 2．对于实数x、y，判断“x+y≠8”是“x≠2或y≠6”的什么条件．（充分不必要条件） 3．已知ab0，求证：ab1的充要条件是：a3 b3 aba2 b2 0. 1.2《充分条件与必要条件》说课教案 一、背景分析 1、学习任务分析：充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论 了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学 习特别是数学推理的学习打下基础。 在旧教材中，这节内容安排在《解析几何》第二章“圆 锥曲线”的第三节讲授，而在新教材中，这节内容被安排在数 学第一册（上）第一章中“简易逻辑”的第三节。除了教学位 置的前移之外，新教材中与充要条件相关联的知识体系也作了 相应的扩充。在“充要条件”这节内容前，还安排了“逻辑联 结词”和“四种命题”这二节内容作为必要的知识铺垫，特别 是“逻辑联结词”这部分内容是第一次进入中学数学教材，安 排在充要条件之前讲授，既可以使学生丰富并深化对命题的理 解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。 教学重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。 2、学生情况分析：从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造 成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑 思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困 难．因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要 求规定为“初步掌握充要条件”（注意：新教学大纲的教学目 标是“掌握充要条件的意义”），这是比较切合教学实际 的．由此可见，教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可 拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深 化，使之与学生的知识结构同步发展完善。 教学难点：“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念, 由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则 更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要 条件的定义又是本节内容的难点.根据多年教学实践,学生对”充分条 件”的概念较易接受,而必要条件的概念都难以理解.对于“B=>A”, 称A是B的必要条件难于接受,A本是B推出的结论,怎么又变成条件 了呢?对这学生难于理解。 教学关键：找出A、B，根据定义判断A=>B与B=>A是否成立。教学中，要强调 先找出A、B，否则，学生可能会对必要条件难以理解。二、教学目标设计： （一） 知识目标： 1、正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。 2、能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系。 3、在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合 的包含关系。 （二）能力目标： 1、培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性 及个性。 2、培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总 结出一般规律。 3、培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出 的结论，建构于自己的知识体系中。 （三）情感目标： 1、通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知 识的感受。 2、通过对命题的四种形式及充分条件，必要条件的相对性，培养同学们的辩证 唯物主义观点。 3、通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新， 多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问 题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。 三、教学结构设计： 数学知识来源于生活实际，生活本身又是一个巨大的数学课堂，我在教学过 程中注重把教材内容与生活实践结合起来，加强数学教学的实践性，给数学找到 生活的原型。我对本节课的数学知识结构进行创造性地“教学加工”，在教学方 法上采用了“合作——探索”的开放式教学模式，使课堂教学体现“参与式”、“生 活化”、“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，促进学生充分、和谐、 自主、个性化的发展。 整体思路为：教师创设情境，激发兴趣，引出课题引导学生分析实例，给出 定义例题分析（采用开放式教学）知识小结扩展例题练 习反馈整个教学设计的主要特色：（1）由生活事例引出课题； （2）例1采用开放式教学模式； （3）扩展例题2是分析生活中的名言名句，又将数 学融入生活中。 努力做到：“教为不教，学为会学”；要“授之以鱼”更要“授之以渔”。 四、教学媒体设计： 本节课是概念课，要避免单一的下定义作练习模式，应该努力使课堂元素更 为丰富。这节课，我借助了多媒体课件，配合教学，添加了一些与例题相匹配的 图片背景，以激发学生的学习兴趣，另外将学生的自编题利用多媒体课件展示出 来分析，提高了课堂教学的效率。 五、教学过程设计： 第一，创设情境，激发兴趣，引出课题： 考虑到高一学生学习这一章的知识储备不足，为了让学生更易接受这一节内 容，我利用日常生活中的具体事例来提出本课的问题，并与学生共同利用原有的 知识分析，事例中包括几个问题，为后面定义的分析埋下伏笔。 我用的第一个事例是：“做一件衬衫，需用布料，到布店去买，问营业员应 该买多少？他说买3米足够了。”这样，就产生了“3米布料”与“做一件衬衫 够不够”的关系。用这个事件目的是为了第二部分引导学生得出充分条件的定义。 这里要强调该事件包括：A：有3米布料；B：做一件衬衫够了。 第二个事例是：“一人病重，呼吸困难，急诊住院接氧气。”就产生了“氧 气”与“活命与否”的关系。用这个事件的目的是为了第二部分引导学生得出必 要条件的定义。这里要强调该事件包括：A：接氧气；B：活了。 用以上两个生活中的事例来说明数学中应研究的概念、关系，会使学生感到 亲切自然，有助于提高兴趣和深入领会概念的内容，特别是它的必要性。 第二，引导学生分析实例，给出定义。 在第一部分激发起学生的学习兴趣后，紧接着开展第二部分，引导学生分析 实例，让学生从事例中抽象出数学概念，得出本节课所要学习的充分条件和必要 条件的定义。在引导过程中尽量放慢语速，结合事例帮助学生分析。 得出定义之后，这里有必要再利用本课前面两节的“逻辑联结词”和“四种 命题”的知识来加强对必要条件定义的理解。（用前面的例子来说即：“活了， 则说明在输氧”）可记作：B A。还应指出的是“必要条件”的定义，有如绕口令，要一次廓清，不可拖泥带水。 这里，只要一下子“定义”清楚了，下边再解释“B A，A是B的必要条件” 是怎么回事。这样处理，学生更容易接受“必要”二字。（因无A则无B，故欲 有B，A是必要的）。 当两个定义分别给出后，我又对它们之间的区别加以分析说明，（充分条件 可能会有多余，浪费，必要条件可能还不足（以使事件B成立））从而顺理成章 地引出充要条件的定义（既是必要条件，又是充分条件，就称为充分必要条件， 简称充要条件，记作：A B。（不多不少，恰到好处）。使学生在此先对两 个充分条件和必要条件两个概念的不同有了第一次的认识，第三部分再利用具体 的数学事例来强化。 第三，例题分析： 例1采用开放式教学，课前请学生在预习的基础上，以学习小组为单位，在 尽可能广泛的知识范畴中，课外编制关于充分条件、必要条件的命题。教师借助 实物投影仪，在课上有目标地选择三组通过组合的学生自编题原文出示，通过学 生口答，引导讨论，质疑解惑，在“开放”的情景中推进教学过程，在点评“聚 焦”中形成知识要义，从而发展学生思维。由于时间关系，对没有选到课堂上讲 评的其他学生自编题，另汇编成课后作业，继续学习讨论，这样一来，能最大限 度的发挥学生的积极性和保持他们参与教学研究的热情。 在分析各组题时都注意，让学生先养成找出A、B的习惯，以使学生突破学 习难点：“A=>B”,称B是A的必要条件,这里最好能让学生避免将A、B理解成 条件和结论，否则学生就可能会有这样的想法：“B本是A推出的结论,怎么又 变成条件了呢?”。 选的第一组题，旨在对“充分条件”、“必要条件”、概念的复习巩固，选 题的难度控制在极大部分学生能接受的范围程度，除第4小题对不等式符号的处 理需要教师略加点拨外，其余学生均能自行解答。命题内容涉及几何、代数较广 泛领域，也包括初学的“集合”知识，达到预期目标。 [第一组题：（1）"a,bR"是"ab 0"的（充分不必要）条件。 （2）“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的（必要不充分）条件。 （3）“设集合A= x| x 3 ，B= x| x  4 ”，则“xA”或“xB”是"xAB" 的（必要不充分）条件。 a （4）"ab0"是" 0"的（必要不充分）条件。] b 选的第二组题，旨在加强学生思维的灵活性、辩析深刻性。编题者与答题者 答案不尽相同，可以形成开放性求解研究的趣味，在选择比较答案的过程中，加 深对数学实质内涵的认识。如第（2）小题，学生提出三个不同答案：（1）a 0且b 0；（2）a 0,b 0且a  b ；（3）a 3且b  1。紧扣概念，教师 引导分析结论的正确性（说明还有其他答案），比较答案（1）、（2），则是同 类答案的优化问题；比较答案（1）、（3），则是一般性和特殊性的问题，可引 申作点评。学生在问题的讨论过程中感悟到探索的价值，认识到与传统的演绎推 理方法的差异，体现了群体中个体的优势。鼓励和倡导了创造性思维。至此，“开 放”的目的基本到位。学生思维被“激活”，充分体现出“开放性”的活力。 [第二组题： （1）写出x  2 的一个必要不充分条件（可答x2  2）。 （2）写出ab>0的一个充分不必要条件(可答a 0且b 0)。 （3）二次函数 y  ax2 bxc当字母a,c满足(可答a 0且c 0)条件，是函数图 象与x轴有交点的充分不必要条件。] 选的第三组题，旨在纠偏纠错，让学生先发现或是数学问题，或是语言表述 问题的错误，从而先改正后分析。这样，既可以让学生发现问题，及时改正错误， 对语言表述引起重视，又可以培养团结协作的精神。 [第三组题： （1）“Q是R的充分不必要条件” 改正为："xQ"是"xR"的 条件； （2）“等腰三角形底角相等是什么条件” 改正为：“一个三角形为等腰三角形” 是“一个三角形有两个角相等”的 条件。] 分析完以上三组题，新课的目标已在顺理成章中基本完成。学生在认知变化 过程中，不机械模仿，不自我封闭，即使在“开放”过程中暴露知识缺陷，经过 学生讨论辩析，教师答题解惑，在顺应作用下发展，实现了“质”的变化。这种 教学思想来源于著名的瑞士教育心理学家、发生认识论创始人让·皮亚 （JeanPiage1896—1980），提出的发生认识论原理。 例1讲评结束时我注意给学生提供了适度的学习指导，加深对数学本质的理 解，让学生反思例1，引导学生归纳、总结并概括本堂课的学习内容。特别是让 学生从集合的角度来理解充分条件和必要条件。在学生归纳的同时，进行板书。 [板书：1、简化定义：如果已知A B，则说A是B的充分条件，B是A的 必要条件。 2、判别步骤：（1）找出A和B．（2）考察A B和B A的真假。（3） 根据定义下结论。 3、判别技巧：（1）可先简化命题。（2）否定一个命题只要举出一个反例即可。 （3）可将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 4、从集合的角度来理解： ① ，相当于 ，即 或 即：要使 成立，只要 就足够了——有它就行． ② ，相当于 ，即 或 即：为使 成立，必须要使 ——缺它不行． 等价于 。 ③ ，相当于 ，即 即：互为充要的两个条件刻划的是——同一事物． 考虑到充要条件既是一个数学概念也是一个逻辑概念，它与人们日常生活中 的推理判断密切相关，因此设计了例2,它既是本节课的画龙点睛之笔，又与本 节课开始由生活事例引出课题首尾呼应。 设计例2也让学生从数学的角度重新审视生活中的名言名句，体现了数学 作为人类文化结晶的特点，也使这节数学课融合了浓厚的文化气息。教学中，我 通过多媒体课件逐一展示名言名句并配上与名言名句相匹配的图片背景，让学生 探讨其中的充要关系，此时课堂学习的气氛再一次达到了高潮，每个学生都踊跃 发表自己的观点。当然，生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同观 点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎 情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是 只要学生能“学会数学地思维”。 [例2：探讨下列生活中名言名句的充要关系. （1）水滴石穿 （2）骄兵必败 （3）有志者事竟成 （4）头发长，见识短（5）名师出高徒（6）放下屠刀，立地成佛。] 第四，作业布置： 1、本节书上的课后练习和习题。（要求先写出A、B，再判断）学生学习综合评价表 学习 班级 姓名 学号 内容 内容 本人评价 同学评价 教师评价 等级 A B C D A B C D A B C D 学习 1、课前积极预习，积极参加学习小组活 态 动，积极提出意见和建议。 度、 2、围绕课堂主题主动提出问题、学习过 学习 程中积极思维 方 3、有参与意识、积极参加课堂的讨论、 法、 发表自己的见解 学习 4、参与信息的收集、整理、交流等 过程 5、课后与同学，老师的交流学习 及学 6、作业情况 习收 7、在数学研究性学习中与他人合作，完 获。 成任务的情况 8、帮助同学解决问题或向同学提出问题 的情况 对自己的不足和进步 的认识 同学综合评价和建议 教师的评价和鼓励 综合评定意见 2、讨论研究同学们的自编题。 3、写出生活中有四种关系的名言名句各1句，并进行剖析。 六、教学评价设计： 1、为了更好的了解学生听课后的各方面情况，特设计了学生学习综合评价表。2、通过研究学生综合评价表反馈的信息，进行教学反思，进行自我评价， 以改进教学。 教师自我反思评价表 授课内容__________班级_______时间___ _总分__ ___ 评价项目 评 价 指 标 分值 得分 1. 明确、具体、全面，符合课程标准和学 3 生实际，能与具体活动内容和方式相联系。 2. 重视学习习惯的养成和自学能力、综合 教 学 运用数学能力的培养，并能有效地激励和指 3 导学生学生正确认识数学的价值。 目 标 3. 目标意识强，能从目标出发及时恰当地 （10分） 2 调控教学，并注意生成目标的达成。 4.充分挖掘数学教材中的教育因素，寓思想 2 教育于教学之中。 1.学生主动参与到学习新知、解决问题的活 7 动中去，在“做中学”。 教 自主参与 2.学生主动参与的广度、深度和参与时间达 7 到一定要求。 学 1. 师生平等地对话、沟通，教师较好地发 4 挥了促进者、指导者和合作者的作用。 过 2、学生在自主学习、独立思考基础上的小 有效互动 5 组讨论、合作学习扎实有效。 程 3、师生、生生不仅有语言、动作方面的交流、 （共70 碰撞，更有思维、情感方面的融洽、交流、 5 碰撞和成果的共享。 分 ，每 1、学生获得对知识的真正理解，能用精确、 个二 简约、形式化的数学语言有条理地表达与交 4 级 指 流数学内容。 2. 学生能建立不同知识之间的联系，把握 标均 经验建构 数学知识的结构、体系，并能综合应用所 5 为14 学知识从实际情境中抽象出数学知识，并 能应用数学知识解决问题。 分） 3. 学生的思维能力、想象力得到一定发展； 学好数学的自信心、勤奋、刻苦以及克服 5 困难的毅力等品质得到有机培养。1. 学生获得了成功与进步的积极体验，兴 4 趣浓厚，热情高涨。 2. 学生能有效地进行感悟体验，在感悟体 情感体验 5 验中获得能力的发展和精神品格的提升。 3. 学生积极地提问、质疑，有独到见解， 创新品质得到培养，创新思维得到激发， 5 创新个性得到发展。 1．学生能对自己的学习过程、学习方法进 4 行不同程度的回顾总结。 2．学生能说出自己的学习收获，包括知识、 自我反思 5 技能和能力发展情况。 3．学生能说出自己的体验、体会，有的能 5 检查利弊得失，说明改进意见。 1. 教师能有效地开发和利用教科书及其以 外的课程资源如自身资源、学生资源、社 4 会资源及图书等媒体资源。 2. 教师积极创设学习情境、能依据目标有 效地指导、启发、调控、强化学生的自主 4 学习，合作学习和探究学习。 3. 教师教态亲切自然，有感染力，善于与 条件保障 学生进行情感交流，讲解、提问、指导语 4 （20分） 规范得体。 4.教学结构合理，教学环节得当，教学反馈 4 有效及时，每个教学环节都扎实有效。 5. 教师教学技能娴熟，教法灵活多样，能 面向全体学生，兼顾个体差异，能从学生的 4 不同需要出发组织和实施教学。 今后应重点 改进的地方 3、根据以上两类评价表的反馈信息，我在后面的教学中及时的进行小结和点评， 并针对学生的反馈情况分层次组织引导学生解决存在问题，进行教学调节。 简单的逻辑联结词（二）复合命题 教学目标：加深对“或”“且”“非”的含义的理解，能利用真值表判断含有复合命题的真假； 教学重点：判断复合命题真假的方法； 教学难点：对“p或q”复合命题真假判断的方法 课 型：新授课教学手段：多媒体 一、创设情境 1．什么叫做命题？（可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题） 2．逻辑联结词是什么？（“或”的符号是“∨”、“且”的符号是“∧”、“非”的符号是“┑”， 这些词叫做逻辑联结词） 3．什么叫做简单命题和复合命题？（不含有逻辑联结词的命题是简单命题由简单命题和逻 辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题） 4．复合命题的构成形式是什么？ p或q(记作“p∨q” )； p且q(记作“p∨q” )；非p(记作“┑q” ) 二、活动尝试 问题1: 判断下列复合命题的真假 （1）8≥7 （2）2是偶数且2是质数； （3）不是整数； 解：（1）真；（2）真；（3）真； 命题的真假结果与命题的结构中的p和q的真假有什么联系吗？这中间是否存在规律？ 三、师生探究 1．“非p”形式的复合命题真假： 例1：写出下列命题的非，并判断真假： （1）p：方程x2+1=0有实数根 （2）p：存在一个实数x，使得x2－9=0． （3）p:对任意实数x，均有x2－2x+1≥0； （4）p：等腰三角形两底角相等 显然，当p为真时，非p为假； 当p为假时，非p为真． 2．“p且q”形式的复合命题真假： 例2：判断下列命题的真假：（1）正方形ABCD是矩形，且是菱形； （2）5是10的约数且是15的约数 （3）5是10的约数且是8的约数 （4）x2-5x=0的根是自然数 所以得：当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。 3．“p或q”形式的复合命题真假： 例3：判断下列命题的真假：（1）5是10的约数或是15的约数； （2）5是12的约数或是8的约数； （3）5是12的约数或是15的约数； （4）方程x2－3x-4=0的判别式大于或等于零 当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。 四、数学理论 1．“非p”形式的复合命题真假： 当p为真时，非p为假； 当p为假时，非p为真． （真假相反） p 非p 真 假 假 真 2．“p且q”形式的复合命题真假：当p、q为真时，p且q为真； 当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。 （ 一 假 必 假 ） p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 3．“p或q”形式的复合命题真假： 当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。 p q P或q （ 一 真 必 真 ） 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表； 2°由真值表得： “非p”形式复合命题的真假与p的真假相反； “p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假； “p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真； 3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的 复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。如：p表示“圆周率π是无理数”，q 表示“△ABC是直角三角形”，尽管p与q的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用 真值表判断其命题p或q 的真假。 4°介绍“或门电路”“与门电路”。 或门电路（或） 与门电路（且） 五、巩固运用 例4：判断下列命题的真假： （1）4≥3 （2）4≥4 （3）4≥5 （4）对一切实数x,x2 x10 分析：（4）为例： 第一步：把命题写成“对一切实数x,x2 x10或x2 x10”是p或q形式 第二步：其中p是“对一切实数x,x2 x10”为真命题；q是“对一切实数x, x2 x10” 是假命题。第三步：因为p真q假， 由真值表得：“对一切实数x,x2  x10”是真命题。 例5：分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假： （1）p：2+2=5； q：3>2 （2）p：9是质数； q：8是12的约数； （3）p：1∈{1，2}； q：{1}{1，2} （4）p： {0}； q： {0} 解：①p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+2  5. ∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真. ②p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数. ∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真. ③p或q：1∈{1，2}或{1}  {1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}  {1，2}；非p：1  {1，2}. ∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假. ④p或q：φ {0}或φ={0}；p且q：φ {0}且φ={0} ；非p：φ  {0}. ∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假. 七、课后练习 1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（ ） A．简单命题 B．非p形式的命题 C．p或q形式的命题 D．p且q的命题 2．如果命题p是假命题，命题q是真命题，则下列错误的是（ ） A．“p且q”是假命题 B．“p或q”是真命题 C．“非p”是真命题 D．“非q”是真命题 3．（1）如果命题“p或q”和“非p”都是真命题，则命题q的真假是_________。 （2）如果命题“p且q”和“非p”都是假命题，则命题q的真假是_________。 4．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假. (1)5和7是30的约数. (2)菱形的对角线互相垂直平分. (3)8x－5＜2无自然数解. 5．判断下列命题真假： （1）10≤8； （2）π为无理数且为实数； （3）2+2=5或3＞2． （4）若A∩B=，则A=或B=． 2 2 6．已知p：方程x +mx+1=0有两个不等的负实根,q:方程4x +4(m-2)x+1=0无实根，若p或q 为真，p且q为假，求m的取值范围。 八、参考答案： 1．D 2．D 3．（1）真；（2）假 4．(1)是“p或q”的形式.其中p：5是30的约数；q：7是30的约数，为真命题． (2) “p且q”．其中p：菱形的对角线互相垂直；q：菱形的对角线互相平分；为真命题． (3)是“┐p”的形式.其中p：8x－5＜2有自然数解.∵p：8x－5＜2有自然数解．如x＝0， 则为真命题．故“┐p”为假命题． 5．（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题．（4）真命题． 6．由p命题可解得m＞2，由q命题可解得1＜m＜3；由命题p或q为真，p且q为假，所以命题p或q中有一个是真，另一个是假 m2 （1）若命题p真而q为假则有 m3 m1,或m3 m2 （2）若命题p真而q为假，则有 1m2 1m3 所以m≥3或1＜m≤2 1.4.1 全称量词与存在量词（一）量词 教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概 念，并能准确使用和理解两类量词。 教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别； 教学难点：正确使用全称命题、存在性命题； 课 型：新授课 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境 在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅ ┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专 门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。 问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词 ①一 纸；②一 牛；③一 狗；④一 马；⑤一 人家；⑥一 小船 ①张②头③条④匹⑤户⑥叶 什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂， 又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。 不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。 二、活动尝试 所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相 互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它 数学的意境。 问题2：下列命题中含有哪些量词？ （1）对所有的实数x，都有x2≥0； （2）存在实数x，满足x2≥0； （3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立； （4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立； （5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n × n； （6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s = n × n； 上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。 三、师生探究 命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。 在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。 全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。”例句：“所有的鱼都会游泳。” 存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x，x 是F。”例句：“有的工程师是工人出身。” 含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。 单称命题：其公式为“（这个）S是P”。例句：“这件事是我经办的。”单称命题表示个体， 一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。 全称命题：其公式为“所有S是P”。例句：“所有产品都是一等品”。全称命题，可以用全称 量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的 量词标志，如“人类是有智慧的。” 特称命题：其公式为“有的S是P”。例句：“大多数学生星期天休息”。特称命题使用存在量 词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词 的命题也称存在性命题。 问题3：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？ （1）方程2x=5只有一解； （2）凡是质数都是奇数； （3）方程2x2＋1=0有实数根； （4）没有一个无理数不是实数； （5）如果两直线不相交，则这两条直线平行； （6）集合A∩B是集合A的子集； 分析：（1）存在性命题；（2）全称命题；（3）存在性命题；（4）全称命题；（5）全称 命题；（6）全称命题； 四、数学理论 1．开语句：语句中含有变量 x或 y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假 的．这种含有变量的语句叫做开语句。如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0. 量词 2．表示个体常项或变项之间数量关系的词为 。量词可分两种： 全称量词 (1) 日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可 统称为全称量词，记作x、y等，表示个体域里的所有个体。 存在量词 (2) 日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词， 记作x，y等，表示个体域里有的个体。 3．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。 全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为:xM,p(x) 存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:xM,q(x) 注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字 母。存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的 首字母。存在量词的“否”就是全称量词。五、巩固运用 例1判断以下命题的真假： （ 1） xR,x2  x （ 2） xR,x2  x （ 3） xQ,x2 80 （ 4） xR,x2 20 分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真； 例2指出下述推理过程的逻辑上的错误： 第一步：设a=b，则有a2=ab 第二步：等式两边都减去b2，得a2-b2=ab-b2 第三步：因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b 第五步：由a=b代人得，2b=b 第六步：两边都除以b得，2=1 分析：第四步错：因a-b＝0，等式两边不能除以a-b 第六步错：因b可能为0，两边不能立即除以b，需讨论。 心得：(a+b)(a-b)=b(a-b) a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。 同理，由2b=b2=1是存在性命题，不是全称命题。 例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。 （1）中国的所有江河都注入太平洋； （2）0不能作除数； （3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数； （4）每一个向量都有方向； 分析：（1）全称命题，河流x∈{中国的河流}，河流x注入太平洋； （2）存在性命题，0∈R，0不能作除数； x （3）全称命题， x∈R，  x； 1   （4）全称命题， a，a有方向； 六、回顾反思 要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真； 要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。 要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断 一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。 即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。 七、课后练习 1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ） A．所有奇数都是质数 B．xR,x2 11 C．对每个无理数x，则x2也是无理数 D．每个函数都有反函数 2．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ） A．x,yR，都有x2  y2 2xy B．x,yR，都有x2  y2 2xy C．x0,y 0，都有x2  y2 2xy D．x0,y0，都有x2  y2 2xy3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是 A．xR,x2 10 B．xR,x2 10 C．xR,sinxtanx D．xR,sinxtanx 4．下列命题中的假命题是（ ） A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ B．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ C．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ D．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ 5．对于下列语句 （1）xZ,x2 3 （2）xR,x2 2 （3）xR,x2 2x30 （4）xR,x2 x50 其中正确的命题序号是 。（全部填上） (ab)2 ab 6．命题  是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题， b1 b1 请补充必要的条件，使之成为全称命题。 参考答案： 1．B 2．A 3．D 4．B 5．（2）（3） 6．不是全称命题，补充条件：ab1（答案不惟一） 当ab1时, ab0，b10 (ab)2 (ab) ab   b1 b1 b1 1.4.2 全称量词与存在量词（二）量词否定 教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解 全称量词、存在量词的作用. 教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化； 教学难点：隐蔽性否定命题的确定； 课 型：新授课 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境 数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有 些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在 全称命题与存在性命题的逻辑关系中， pq,pq都容易判断，但它们的否定形式是我们 困惑的症结所在。 二、活动尝试 问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。 （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）xR，x2-2x+1≥0 分析：（1）xM,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；xM,p(x) （2）xM,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；xM,p(x) （3）xM,p(x)，否定：xR，x2-2x+1<0；xM,p(x) 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？ 结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 三、师生探究 问题2：写出命题的否定 （1）p： x∈R，x2＋2x+2≤0； （2）p：有的三角形是等边三角形； （3）p：有些函数没有反函数； （4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分； 分析：（1） xR，x2＋2x+2>0； （2）任何三角形都不是等边三角形； （3）任何函数都有反函数； （4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分； 从集合的运算观点剖析：ð (AB)ð Að B,ð (AB)ð Að B U U U U U U 四、数学理论 1.全称命题、存在性命题的否定 一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不 成立。存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为： xM,有P（x）不成立。 用符号语言表示： P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x） P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x） 在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称 性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得 全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 2.关键量词的否定 词语 是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的否 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 定 至多有一 所有x不成 词语 必有一个 至少有n个 所有x成立 个 立词语的否 一个也没 至多有n-1 至少有两 存在一个x不 存在有一个 定 有 个 个 成立 成立 五、巩固运用 例1 写出下列全称命题的否定： （1）p：所有人都晨练； （2）p：xR，x2＋x+1>0； （3）p：平行四边形的对边相等； （4）p： x∈R，x2－x+1＝0； 分析：（1） P：有的人不晨练；（2） x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的 的对边不相等；（4）xR，x2－x+1≠0； 例2 写出下列命题的否定。 （1） 所有自然数的平方是正数。 （2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。 （3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0. （4） 有些质数是奇数。 解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。 （2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。 （3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。 （4）的否定：所有的质数都不是奇数。 解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在 求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写 出其否定形式。 例3 写出下列命题的否定。 （1） 若x2＞4 则x＞2.。 （2） 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。 （3） 可以被5整除的整数，末位是0。 （4） 被8整除的数能被4整除。 （5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 解（1）否定：存在实数x ，虽然满足x2＞4，但x ≤2。或者说：存在小于或等于2的数x ， 0 0 0 0 满足x2＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2） 0 （2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个x ，使x2+ x -m=0无实数根。（原意表达：对任意 0 0 0 实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。） （3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。 （4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都 能被4整除) （5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表 达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。） 例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。 （1）p：若x＞y,则5x＞5y； （2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；（3）p：正方形的四条边相等； （4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。 解：（1） P：若 x＞y，则5x≤5y； 假命题 否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题 （2） P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题 否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。 （3） P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假 命题。 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。 （4） P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假 命题。 否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。 评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由： 1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。 2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而 否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。 3． 原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为 “若┓p，则┓q”， 既否定条件又否定结论。 六、回顾反思 在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命 题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发 展学生的逻辑思维能力。 七、课后练习 1．命题 p：存在实数 m，使方程 x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非 p”形式的命题是 （ ） A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根； B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根； C.对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根； D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根； 2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结 论显然是错误的，是因为（ ） A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 3．命题“xR，x2-x+3>0”的否定是 4．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的 否定形式是 否命题是 5．写出下列命题的否定，并判断其真假： （1）p：m∈R，方程x2+x-m=0必有实根； （2）q：R，使得x2+x+1≤0； 6．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：（1）若m>1，则方程x2-2x+m=0有实数根． （2）平方和为0的两个实数都为0． （3）若ABC是锐角三角形， 则ABC的任何一个内角是锐角． （4）若abc=0，则a,b,c中至少有一为0． （5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2． 八、参考答案： 1． B 2．C 3． xR，x2-x+3≤0 4．否定形式：末位数是0或5的整数，不能被5整除 否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除 5．（1）p：m∈R，方程x2+x-m=0无实根；真命题。 （2）q：R，使得x2+x+1>0；真命题。 6． ⑴ 若m>1，则方程x2-2x+m=0无实数根，(真)； ⑵平方和为0的两个实数不都为0(假)； ⑶若ABC是锐角三角形， 则ABC的任何一个内角不都是锐角(假)； ⑷若abc=0，则a,b,c中没有一个为0(假)； ⑸若(x-1)(x-2)=0，则x1 或x2，(真)． §1.4生活中的优化问题举例（2课时） 教学目标： 1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 2．提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学过程： 一．创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问 题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利 用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下 几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关 系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当 的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中， 导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型 用函数表示的数学问题 优化问题 解决数学模型 作答 优化问题的答案 用导数解决数学问题 三．典例分析 例1．海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的 竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何 设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 128 解：设版心的高为xdm，则版心的宽为 dm,此时四周空白面积为 x 128 512 S(x)(x4)( 2)1282x 8,x0。 x x 求导数，得 512 S'(x)2 。 x2 512 令S'(x)2 0，解得x16(x16舍去）。 x2 128 128 于是宽为  8。 x 16 当x(0,16)时，S'(x)<0；当x(16,)时，S'(x)>0. 因此，x16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小。 答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。 例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8r2分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是 4 r3  y  f r0.2 r3 0.8r2 0.8 r2 ,0r 6 3  3  令 fr0.8(r2 2r)0 解得 r 2（r 0舍去） 当r0,2时， fr0；当r2,6时， fr0．当半径r 2时， fr0它表示 f r单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径r 2时， fr0 它表示 f r单调递减，即半径越大，利润越低． （1）半径为2cm 时，利润最小，这时 f 20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶 子的成本，此时利润是负值． （2）半径为6cm时，利润最大． 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？ 有图像知：当r 3时， f 30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的 成本恰好相等；当r 3时，利润才为正值． 当r0,2时， fr0， f r为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时， 瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小． 例3．磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成 磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。 磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本 单元通常被称为比特（bit）。 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得 小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域． （1） 是不是r越小，磁盘的存储量越大？ （2） r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道 Rr 不存储任何信息，故磁道数最多可达 。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存 m 2r 储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达 。所以，磁盘总存储量 n Rr 2r 2 f(r) ×  r(Rr) m n mn （1）它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储 量越大． （2）为求 f(r)的最大值，计算 f(r)0． 2 f(r) R2r mn R 令 f(r)0，解得r  2 R R 当r  时， f(r)0；当r  时， f(r)0． 2 2R 2R2 因此r  时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 2 mn 4 例4．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的 材料最省？ 解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S=2πRh+2πR2 V 由V=πR2h，得h ，则 R2 V 2V S(R)= 2πR + 2πR2= +2πR2 R2 R 2V 令 s(R) +4πR=0 R2 V V V 4V V 解得，R=3 ，从而h= = =3 =23 2 R2 V   (3 )2 2 即h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能 使所用材料最省？ S 2R2 提示：S=2Rh+2R2 h= 2R S 2R2 1 1 V(R)= R2= (S 2R2)R  SRR3 2R 2 2 V'(R))=0 S  6R2  6R2  2Rh2R2  h  2R． 四．课堂练习 1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比 另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大 容积1.8m3） 5．课本 练习课本 P 104 五．回顾总结 1．利用导数解决优化问题的基本思路： 建立数学模型用函数表示的数学问题 优化问题 解决数学模型 作答 优化问题的答案 用导数解决数学问题 2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过 研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有 利的工具。 六．布置作业 课本 P 5，6 104 例4．汽油的使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定 的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题： （1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ （2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？ 分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比 w 值．如果用G表示每千米平均的汽油消耗量，那么G  ，其中，w表示汽油消耗量（单 s 位：L），s表示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”， 就是求G的最小值的问题． 通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽 油平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位： km/h）之间有如图所示的函数关系g  f v． 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油 平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h） 之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题． w w t g 解：因为 G    s s v tg g 这样，问题就转化为求 的最小值．从图象上看， 表示经过原点与曲线上点的直线的斜 v v 率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90km/h． 因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此 时的车速约为90km/h．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即 f90， 约为 L． 例5．在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起 (如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多 少？ _x x x _60 _x _60 解法一：设箱底边 长 为 xcm， 则 箱 高 60x h cm，得箱子 2 容积 60x2 x3 V(x)  x2h  (0 x 60)． 2 3x2 V(x)60x (0 x 60) 2 3x2 令 V(x)60x ＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 2 并求得V(40)=16 000 由题意可知，当 x过小（接近 0）或过大（接近 60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值 答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3 解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm， 则得箱子容积 V(x) (602x)2x (0 x 30)．（后面同解法 一，略） 由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很 小，所以最大值出现在极值点处．60x2 x3 事实上，可导函数V(x)  x2h  、V(x) (602x)2x在各自的定义域中 2 都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值 点，不必考虑端点的函数值 例6．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产 品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。 （1）、如果 C(x)＝106x3 0.003x2 5x1000，那么生产多少单位产品时，边际 C(x)最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量) （2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最 大？ 变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的 1 函数关系式为 p  25 q．求产量q为何值时，利润L最大？ 8 分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与 产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．  1  1 解：收入Rqpq  25 q  25q q2，  8  8  1  1 利润L RC   25q q2  (1004q) q221q100 (0q100)  8  8 1 L q21 4 1 令L0，即 q210，求得唯一的极值点q84 4 答：产量为84时，利润L最大 例7．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的 高h和下底边长b. 1 3 解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE= h,BC=b 2 3 2 3 1 2 3 3 ∴AD= h+b, ∴S= ( h2b)h( hb)h ① 3 2 3 3 h 2 2 ∵CD=  h,AB=CD.∴l= h×2+b ② cos30 3 3S 3 4 3 S 3 S 由①得b=  h,代入②,∴l= h  h 3h h 3 3 h 3 h S S S S l′= 3 =0,∴h= , 当h< 时，l′<0,h> 时，l′>0. h2 4 3 4 3 4 3 S 24 3 ∴h= 时，l取最小值，此时b= S 4 3 3 例8．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x2在x轴上方 的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长． 【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x ＞0，y ＞0， 则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y）， 在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0），其中0＜ x ＜2． 设矩形的面积为S，则S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2． 2 由S′（x）＝8－6 x2＝0，得x ＝ 3，易知 3 4 x ＝ 是S在（0，2）上的极值点， 3 即是最大值点， 2 8 所以这种矩形中面积最大者的边长为 3和 ． 3 3 【点评】 应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如 确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值． 练习：1：一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付 手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几 次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？ 【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元， x 由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即 ，故有 2 150 x 4500 y ＝ ×30＋ ×40，y′＝－ ＋20， x 2 x2 9000 令y′＝0，得x ＝15，且y″＝ ，f″(15)＞0， x3 所以当x ＝15时，y取得极小值，且极小值唯一， 150 故 当x ＝15时，y取得最小值，此时进货次数为 ＝10（次）． 15 即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少． 2：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城 相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千 米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元， 则CD ＝ x2 402 ． y ＝500（50－x）＋700 x2 1600 ＝25000－500 x ＋700 x2 1600 ， 1  1 y′＝－500＋700 · (x 2＋1600) 2· 2 x 2 700x ＝－500＋ ， x2 1600 50 6 令y′＝0，解得x ＝ ． 3 50 6 答：水厂距甲距离为50－ 千米时，总费用最省． 3 【点评】 当要求的最大（小）值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x， 然后再根据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f（x）． 2.1.1 椭圆及其标准方程 教学目标: 1.知识目标：使学生理解并掌握椭圆的定义及其标准方程，会根据条件判断椭圆并会求 出相应的椭圆方程。 2.能力目标：通过观察、 联想、 类比等思想方法的运用，培养学生对问题探索的能力， 逐步培养学生数学应用建模的意识，渗透分类及数形结合的数学思想。 3.情感目标：通过个人独立探索和团队合作讨论，培养学生良好的相互协作意识；通过 对实际问题研究与史料的介绍，，培养学生探索创新能力和科研意识。 教学重点：椭圆的定义和标准方程. 教学难点：椭圆标准方程的推导 教学方法：教师应创设情境，设置一系列问题，引导学生思考、归纳、总结、反思运用，直 至学生对该知识理解并掌握。 电教手段: 多媒体 实验教具: 直尺、图片 教学过程： 一、新课导入： 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移 动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板 的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？（学生动手，观察 结果） 思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距 离之和等于常数.二、讲授新课： 1. 定义椭圆：把平面内与两个定点F,F 的距离之和等于常数（大于 FF ）的点的轨迹叫 1 2 1 2 做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 2.椭圆标准方程的推导： 以经过椭圆两焦点F,F 的直线为x轴，线段FF 的垂直平分线为y轴，建立直角坐标 1 2 1 2 系xOy.设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2cc0，那么焦点F,F 的坐标分 1 2 别为c,0，c,0，又设 M 与 F,F 的距离之和等于 2a，根据椭圆的定义，则有 1 2 x2 y2 MF  MF 2a，用两点间的距离公式代入，画简后的  1，此时引入 1 2 a2 a2 c2 x2 y2 b2 a2 c2要讲清楚. 即椭圆的标准方程是  1a b0 . 根据对称性，若焦点 a2 b2 x2 y2 在y轴上，则椭圆的标准方程是  1a b0 .两个焦点坐标F c,0,F c,0 . b2 a2 1 2 通过椭圆的定义及推导，给学生强调两个基本的等式： MF  MF 2a和 1 2 b2 c2 a2 3. 练习1判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标 x2 y2 x2 y2 x2 y2  1  1  1 25 16 144 169 m2 m2 1 小结：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。 练习2将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标 9x2 25y2 225  0 2x2 3y2  1 Ax2  By2  C A, B,C  0 练习3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴a4,b1，焦点在x轴上； ⑵a4,b 15，焦点在y轴上；⑶ab10,c2 5 （教师引导——学生回答） 5 3 4. 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0,2,0，并且经过点 , ，求它的标 2 2 准方程. （教师分析——学生演板——教师点评） 例2 在圆x2+y2 =4上任取一点P，向x轴作垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时， 求线段PD中点M的轨迹方程。轨迹是什么图形？ （教师引导——示范书写） 相关点法：寻求点M 的坐标x,y与中间x ,y 的关系，然后消去x ,y ，得到点M 的轨迹 0 0 0 0 方程. （教师引导——示范书写） 例3 设点A,B的坐标分别为5,0,5,0，.直线AM,BM 相交于点M ，且它们的斜率 4 之积是 ，求点M 的轨迹方程. 9 求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式. （教师引导——示范书写） 5. 练习：P 课本课后练习 1，3，4 366.知识小结： 1、椭圆的定义（强调2a>|F F |）和椭圆的标准方程 1 2 2、椭圆的标准方程有两种，注意区分 3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 4、求椭圆标准方程的方法 三、作业： 1、42页习题2.1 1、2 2、搜集神舟5、6号 的运行椭圆轨道参数，求出相应椭圆的 标准方程 四、巩固练习： 1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：   ⑴焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点P 3,2 6 ； ⑵焦点坐标分别为0,4,0,4，a 5； ⑶ac10,ac4. 五、板书设计 8.1 椭圆及其标准方程 一、复习引入 二、新课讲解 三、习题研讨 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 教案的设计说明： 数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层 次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键.数学教学中的探 究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义.本节借助多媒体辅 助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体 能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新. 学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这 与缺乏必要的数学思想和方法密切相关.本节课从实例出发，设计了一对动点有规律的运动 作一些理性的探索和研究. 在教材处理上，大胆创新，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯在概 念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围.在标准方程的推导上，并不是 直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准 方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美.在对教材中“令a2 c2 b2 ”的处理并不是生硬地过渡，而是通过课件让学生观察在当 M 为椭圆短轴端点时(但这一几何性质并不向学生交待)，特征三角形所体现出来的几何关 系，再做变换. 2.1.1 椭圆及其标准方程 一、学习要求：⑴理解并掌握椭圆的定义及其标准方程 ⑵通过对轨迹的讨论渗透分类及数形结合的数学思想 ⑶树立运动变化的观点，培养探索创新能力。 二、预习达标 1。平面内 ， 叫做椭圆。 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距。   2。根据椭圆的定义可知：集合P  M MF  MF  2A ， F F  2c,a 0,c 0， 1 2 1 2 且a,c 为常数。当 时，集合P为椭圆；当 时，集合P为线段； 当 时，集合P为空集。 3。焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 。 焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 。 其中a,b,c满足关系为 。 三、新课导入： 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移 动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板 的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？（动手，观察结果） 思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 四、新课讲授： 1. 定义椭圆；椭圆的焦点；椭圆的焦距. 2.椭圆标准方程的推导： 3. 练习1判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标 x2 y2 x2 y2 x2 y2  1  1  1 25 16 144 169 m2 m2 1 小结： 练习2将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标 9x2 25y2 225  0 2x2 3y2  1 Ax2  By2  C A,B,C  0 练习3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴a4,b1，焦点在x轴上；⑵a4,b 15，焦点在y轴上；⑶ab10,c2 5 （回答） 5 3 4. 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0,2,0，并且经过点 , ，求它的标 2 2 准方程. 例2 在圆x2+y2 =4上任取一点P，向x轴作垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求 线段PD中点M的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 相关点法：寻求点M 的坐标x,y与中间x ,y 的关系，然后消去x ,y ，得到点M 的轨迹 0 0 0 0 方程. 例3 设点A,B的坐标分别为5,0,5,0，.直线AM,BM 相交于点M ，且它们的斜率 4 之积是 ，求点M 的轨迹方程. 9 求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式. 5. 练习：P 课本课后练习 1，3，4 36 6.知识小结： 1、椭圆的定义（强调2a>|F F |）和椭圆的标准方程 1 2 2、椭圆的标准方程有两种，注意区分 3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 4、求椭圆标准方程的方法 五、作业： 1、42页习题2.1 1、2 2、搜集神舟5、6号 的运行椭圆轨道参数，求出相应椭圆的 标准方程 六、巩固练习： 1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：   ⑴焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点P 3,2 6 ； ⑵焦点坐标分别为0,4,0,4，a 5； ⑶ac10,ac4. ：2.1《椭圆及其标准方程》 一、教学目标： 知识与技能： 理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程， 会根据椭圆的标准方程求焦点坐标. 过程与方法：让学生经历椭圆标准方程的推导过程，进一步掌握求曲线方程的一般方法，体会 数形结合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题. 情感态度与价值观： 通过具体的情境感知研究椭圆标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、 简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度. 二、教学重点与难点 重点：椭圆的标准方程 难点：椭圆标准方程的推导 三、教学过程： （一）讲授新课 1．演示定义： 我们把 叫做椭圆，这两个定点F F 叫 1、2 做椭圆的 ,两个焦点之间的距离叫做椭圆的 ，通常用2c（c>0）表示， 而这个常数通常用2a表示,椭圆用集合表示为 。 问题（1）定义应注意哪几点？ （2）定长和两个定点之间的距离大小还有哪些情况?. 2．椭圆的标准方程 （1）回顾求圆的标准方程的的基本步骤： y M F 0 F x 1 2 （2）椭圆标准方程的推导 观察：你能从中找出a,c, a2 c2 表示的线段吗？ 我们推导出焦点在X轴的椭圆的标准方程为: 思考：焦点在Y轴上椭圆的标准方程？ . 小结：同学们完成下表 椭圆的定义 图 形标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 焦点位置的判断 （二）题组训练: 题组一： 1.在椭圆 25x2 4y2 100中,a= ,b= ,焦距是 焦点坐标 是 ,______.焦点位于________轴上 x2 y2 2.如果方程  1表示焦点在 X轴的椭圆,则实数 m的取值范围 4 m 是 ． 题组二： 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1.a=4,b=1,焦点在x轴上. 2.a=4,c= 15,焦点在坐标轴上 题组三： 1.已知两定点（-3，0），（3，0），若点P满足 PF  PF 10，则点P的轨迹 1 2 是 ，若点P满足 PF  PF 6，则点P的轨迹是 . 1 2 x2 y2 2.P为椭圆  1上一点,P到一个焦点的距离为4,则P到另一个焦点的距离 25 16 为 x2 y2 3.椭圆  1,过焦点F 的直线交椭圆于A,B两点,则ABF 的周长为 16 9 1 2 题组四： 1.如果点M(x,y)在运动过程,总满足关系式: x2 (y3)2  x2 (y3)2 10, 点M的轨迹是什么曲线?写出它的方程.2.已知△ABC的一边长 BC 6，周长为16，求顶点A的轨迹方程. （三）课堂小结： 1．椭圆的定义，应注意什么问题？ 2．求椭圆的标准方程，应注意什么问题？ （四）布置作业： 5 3 1．已知椭圆两个焦点F （-2，0），F （2，0），并且经过点P( , )，求它的标 1 2 2 2 准方程. 2．椭圆的两个焦点F （-8，0），F （8，0），且椭圆上一点到两个焦点的距离之和 1 2 是20，求此椭圆的标准方程. 3．若B（-8，0），C（8，0）为ABC的两个顶点，AC和AB两边上的中线和是30， 求的重心G的轨迹方程. 2.2 椭圆的简单几何性质 教学目标： (1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质; (2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图; (3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备. 教学重点:椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图 教学难点:椭圆离心率的概念的理解. 教学方法：讲授法 课型：新授课 教学工具：多媒体设备 一、复习： 1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距. 2.椭圆的标准方程. 二、讲授新课： （一）通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养 能力. [在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x 轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.]x2 y2 已知椭圆的标准方程为：  1(a b 0) a2 b2 1.范围 [我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中x， y的范围就知道了.] 问题1 方程中x、y的取值范围是什么? 由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式 x2 y2 ≤1, ≤1 a2 b2 即 x2≤a2, y2≤b2 所以 |x|≤a， |y|≤b 即 －a≤x≤a, －b≤y≤b 这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里。 2.对称性 复习关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标之间的关系： 点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为(x,－y)； 点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为(－x, y)； 点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)； 问题2 在椭圆的标准方程中①以－y代y②以－x代x③同时以－x代x、以－y代y,你有什 么发现? （1） 在曲线的方程里，如果以－y代y方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上 时，它关于 x的轴对称点 P’(x,－y)也在曲线上，所以曲线关于 x轴对 称。 （2） 如果以－x代x方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？[曲线关 于y轴对称。] （3） 如果同时以－x代x、以－y代y，方程不变，这时曲线又关于什么对称 呢？[曲线关于原点对称。] 归纳提问：从上面三种情况看出，椭圆具有怎样的对称性？ 椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的。 这时，椭圆的对称轴是什么？[坐标轴] 椭圆的对称中心是什么？[原点] 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 3.顶点 [研究曲线的上的某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的位 置，常常需要求出曲线与x轴，y轴的交点坐标.] 问题3 怎样求曲线与x轴、y轴的交点? 在椭圆的标准方程里， 令 x=0,得 y=±b。这说明了 B (0,－b),B (0,b)是椭圆与 y轴的两个交 1 2 点。 令 y=0,得 x=±a。这说明了 A (－a,0),A (a,0)是椭圆与 x轴的两个交 1 2 点。 因为x轴，y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫 做椭圆的顶点。线段A A ,B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴。 1 2 1 2 它们的长|A A |=2a,|B B |=2b (a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长) 1 2 1 2 观察图形，由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长 半轴长，即 |B F |=|B F |=|B F |=|B F |= a 1 1 1 2 2 1 2 2 在Rt△OB F 中，由勾股定理有 2 2 |OF |2=|B F |2－|OB |2 ，即c2＝a2－b2 2 2 2 2 这就是在前面一节里，我们令a2－c2＝b2的几何意义。 4.离心率 c 定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝ ，叫做椭圆的离心率。 a 因为a>c>0,所以0>> 111时时时是是是什什什么么么图图图形形形？？？（（（双双双曲曲曲线线线））） 当当当eee === 111时时时它它它又又又是是是什什什么么么图图图形形形呢呢呢？？？（（（让让让学学学生生生大大大胆胆胆猜猜猜想想想，，，猜猜猜想想想后后后用用用几几几何何何画画画板板板演演演示示示 动动动画画画，，，让让让学学学生生生认认认真真真观观观察察察动动动点点点所所所满满满足足足的的的条条条件件件，，，让让让学学学生生生对对对抛抛抛物物物线线线由由由感感感性性性认认认识识识上上上升升升到到到 理理理性性性认认认识识识））） 教教教师师师指指指出出出：：：画画画出出出的的的曲曲曲线线线叫叫叫抛抛抛物物物线线线。。。 （（（类类类比比比：：：使使使学学学生生生看看看到到到曲曲曲线线线上上上任任任一一一点点点到到到定定定点点点和和和到到到定定定直直直线线线的的的距距距离离离之之之比比比等等等于于于常常常数数数是是是 圆圆圆锥锥锥曲曲曲线线线的的的一一一个个个共共共同同同的的的本本本质质质属属属性性性，，，明明明确确确抛抛抛物物物线线线与与与椭椭椭圆圆圆、、、双双双曲曲曲线线线之之之间间间的的的联联联系系系）））二二二、、、新新新课课课讲讲讲授授授：：： （（（一一一））） 定定定义义义：：：（（（提提提问问问学学学生生生，，，由由由学学学生生生归归归纳纳纳出出出抛抛抛物物物线线线定定定义义义））） 平平平面面面内内内到到到一一一定定定点点点和和和到到到一一一条条条不不不过过过此此此点点点的的的定定定直直直线线线的的的距距距离离离相相相等等等的的的点点点的的的轨轨轨迹迹迹叫叫叫做做做抛抛抛 物物物线线线。。。定定定点点点叫叫叫做做做抛抛抛物物物线线线的的的焦焦焦点点点，，，定定定直直直线线线叫叫叫做做做抛抛抛物物物线线线的的的准准准线线线。。。 概概概念念念理理理解解解：：： 平平平面面面内内内有有有—————— (((111))) 一一一定定定点点点FFF——————焦焦焦点点点 (((222))) 一一一条条条不不不过过过此此此点点点（（（给给给出出出的的的定定定点点点）））的的的定定定直直直线线线lll ——————准准准线线线 探探探究究究：：：若若若定定定点点点FFF在在在定定定直直直线线线lll 上上上，，，那那那么么么动动动点点点的的的轨轨轨迹迹迹是是是什什什么么么图图图形形形？？？ （（（是是是过过过FFF点点点与与与直直直线线线lll 垂垂垂直直直的的的一一一条条条直直直线线线——————直直直线线线MMMFFF，，，不不不是是是抛抛抛物物物线线线））） (((333))) 动动动点点点到到到定定定点点点的的的距距距离离离 |||MMMFFF||| (((444))) 动动动点点点到到到定定定直直直线线线的的的距距距离离离 ddd (((555))) ||| MMMFFF||| === ddd 满满满足足足以以以上上上条条条件件件的的的动动动点点点MMM的的的轨轨轨迹迹迹——————抛抛抛物物物线线线 （（（二二二）））推推推导导导抛抛抛物物物线线线的的的标标标准准准方方方程程程（（（开开开口口口向向向右右右）））（（（重重重点点点）））：：： １１１、、、 要要要把把把抛抛抛物物物线线线上上上的的的点点点ＭＭＭ的的的集集集合合合PPP==={{{MMM||| |||MMMFFF|||===ddd}}}表表表示示示为为为集集集合合合ＱＱＱ＝＝＝ {{{(((xxx,,,yyy)))|||fff(((xxx,,,yyy)))===000}}}。。。首首首先先先要要要建建建立立立坐坐坐标标标系系系，，，为为为了了了使使使推推推导导导出出出的的的方方方程程程尽尽尽量量量简简简化化化，，， 应应应如如如何何何选选选择择择坐坐坐标标标系系系？？？ ［［［教教教师师师引引引导导导］］］建建建立立立适适适当当当的的的直直直角角角坐坐坐标标标系系系应应应遵遵遵循循循的的的两两两点点点原原原则则则：：： ①①①若若若曲曲曲线线线是是是轴轴轴对对对称称称图图图形形形，，，则则则可可可选选选它它它的的的对对对称称称轴轴轴为为为坐坐坐标标标轴轴轴；；； ②②②曲曲曲线线线上上上的的的特特特殊殊殊点点点，，，可可可选选选作作作坐坐坐标标标系系系的的的原原原点点点。。。］］］ 过过过焦焦焦点点点FFF作作作准准准线线线lll 的的的垂垂垂线线线交交交lll 于于于点点点KKK，，，启启启发发发学学学生生生思思思考考考回回回答答答问问问题题题：：： （（（111）））如如如何何何确确确定定定xxx轴轴轴（（（或或或yyy轴轴轴）））？？？ （（（以以以对对对称称称轴轴轴为为为坐坐坐标标标轴轴轴））） 由由由抛抛抛物物物线线线的的的几几几何何何特特特征征征知知知KKKFFF是是是抛抛抛物物物线线线的的的对对对称称称轴轴轴。。。（（（222）））如如如何何何确确确定定定坐坐坐标标标原原原点点点？？？ （（（曲曲曲线线线上上上的的的特特特殊殊殊点点点，，，可可可作作作为为为坐坐坐标标标系系系的的的原原原点点点））） 因因因为为为线线线段段段KKKFFF的的的中中中点点点适适适合合合条条条件件件——————到到到点点点FFF的的的距距距离离离等等等于于于到到到直直直线线线lll 的的的 距距距离离离，，，所所所以以以它它它又又又在在在抛抛抛物物物线线线上上上——————以以以线线线段段段KKKFFF的的的中中中点点点为为为坐坐坐标标标原原原点点点。。。 （（（333）））怎怎怎样样样建建建立立立坐坐坐标标标系系系才才才使使使方方方程程程的的的推推推导导导简简简化化化？？？ ［［［教教教师师师引引引导导导］］］通通通过过过不不不同同同位位位置置置的的的二二二次次次函函函数数数解解解析析析式式式的的的对对对比比比，，，联联联想想想抛抛抛物物物线线线如如如何何何建建建 系系系。。。 让让让学学学生生生大大大胆胆胆发发发言言言，，，谈谈谈谈谈谈自自自己己己的的的观观观点点点（（（教教教师师师要要要积积积极极极鼓鼓鼓励励励学学学生生生引引引导导导学学学生生生））） 取取取经经经过过过焦焦焦点点点FFF且且且垂垂垂直直直于于于准准准线线线lll的的的直直直线线线为为为xxx轴轴轴，，，xxx轴轴轴与与与lll 相相相交交交于于于 点点点KKK，，，以以以线线线段段段ＫＫＫＦＦＦ的的的垂垂垂直直直平平平分分分线线线为为为yyy 轴轴轴，，，建建建立立立直直直角角角坐坐坐标标标系系系。。。 ２２２、、、开开开口口口向向向右右右的的的抛抛抛物物物线线线标标标准准准方方方程程程的的的推推推导导导：：：（（（教教教师师师引引引导导导得得得出出出结结结论论论））） 步步步骤骤骤:::（（（投投投影影影展展展示示示））） 过过过焦焦焦点点点FFF且且且垂垂垂直直直于于于准准准线线线lll的的的直直直线线线为为为xxx轴轴轴，，，xxx轴轴轴与与与直直直线线线lll 相相相交交交于于于点点点KKK，，， 以以以线线线段段段ＫＫＫＦＦＦ的的的垂垂垂直直直平平平分分分线线线为为为yyy 轴轴轴，，，建建建立立立直直直角角角坐坐坐标标标系系系。。。 设设设焦焦焦点点点到到到准准准线线线的的的距距距离离离｜｜｜ＫＫＫＦＦＦ｜｜｜=== ppp（（（ppp>>>000）））那那那么么么，，，焦焦焦点点点ＦＦＦ的的的坐坐坐标标标为为为 （（（ppp /// 222,,,000）））,,,准准准线线线lll的的的方方方程程程为为为xxx === --- ppp /// 222... 设设设抛抛抛物物物线线线上上上的的的任任任一一一点点点 ＭＭＭ（（（xxx,,,yyy））），，，点点点ＭＭＭ到到到直直直线线线lll 的的的距距距离离离为为为ddd根根根据据据定定定义义义，，， 抛抛抛物物物线线线就就就是是是点点点的的的集集集合合合 PPP==={{{MMM||| |||MMMFFF|||===ddd}}} 2  p p 因因因为为为 MF  x   y2 ，，，d  x ，，，所所所以以以  2 2 2  p p x   y2  x  2 2 将将将上上上式式式两两两边边边平平平方方方并并并化化化简简简，，，得得得 y2  2px(p 0) （（（111）））方方方程程程（（（１１１）））的的的推推推导导导过过过程程程表表表明明明，，，抛抛抛物物物线线线上上上的的的点点点的的的坐坐坐标标标都都都是是是这这这个个个方方方程程程式式式 的的的解解解。。。还还还可可可以以以证证证明明明，，，以以以方方方程程程（（（１１１）））的的的解解解为为为坐坐坐标标标的的的点点点都都都在在在此此此抛抛抛物物物线线线上上上。。。我我我 们们们把把把方方方程程程y2  2px(p 0)叫叫叫做做做抛抛抛物物物线线线的的的标标标准准准方方方程程程。。。 ３３３、、、（（（引引引导导导分分分析析析）））标标标准准准方方方程程程yyy222 === 222pppxxx (((ppp>>>000)))的的的特特特点点点：：：（（（用用用代代代数数数方方方法法法—————— 几几几何何何问问问题题题））） ppp的的的几几几何何何意意意义义义：：：焦焦焦点点点到到到准准准线线线的的的距距距离离离 焦焦焦 点点点：：：（（（ppp///222 ,,,000）））在在在xxx轴轴轴的的的正正正半半半轴轴轴上上上 准准准 线线线：：：xxx === --- ppp///222 顶顶顶 点点点：：：坐坐坐标标标原原原点点点（（（０００，，，０００））） 开开开口口口方方方向向向：：：向向向右右右 444、、、让让让同同同学学学们们们类类类比比比写写写出出出不不不同同同位位位置置置的的的抛抛抛物物物线线线的的的标标标准准准方方方程程程、、、焦焦焦点点点坐坐坐标标标、、、准准准线线线方方方 程程程 555、、、让让让学学学生生生对对对这这这抛抛抛物物物线线线和和和它它它们们们的的的标标标准准准方方方程程程进进进行行行对对对比比比分分分析析析，，，辨辨辨认认认异异异同同同：：： 相相相同同同点点点：：： １１１、、、原原原点点点在在在抛抛抛物物物线线线上上上；；；２２２、、、对对对称称称轴轴轴为为为坐坐坐标标标轴轴轴；；； ３３３、、、ppp值值值的的的意意意义义义：：：（（（重重重点点点））） （（（１１１）））表表表示示示焦焦焦点点点到到到准准准线线线的的的距距距离离离；；； （（（２２２）））ppp>>>000为为为常常常数数数;;; （（（３３３）））ppp值值值等等等于于于一一一次次次项项项系系系数数数绝绝绝对对对值值值的的的一一一半半半；；； ４４４、、、准准准线线线与与与对对对称称称轴轴轴垂垂垂直直直，，，垂垂垂足足足与与与焦焦焦点点点关关关于于于原原原点点点对对对称称称，，，它它它们们们与与与原原原点点点的的的距距距离离离等等等于于于 一一一次次次项项项系系系数数数的的的绝绝绝对对对值值值的的的１１１／／／４４４，，，即即即222ppp///444===ppp///222... 不不不同同同点点点：：： 方方方程程程 对对对称称称轴轴轴 开开开口口口方方方向向向 焦焦焦点点点位位位置置置 XXX222===222pppyyy (((ppp>>>000))) xxx轴轴轴 向向向右右右 XXX轴轴轴正正正半半半轴轴轴上上上 XXX222=== ---222pppyyy (((ppp>>>000))) xxx轴轴轴 向向向左左左 XXX轴轴轴负负负半半半轴轴轴上上上 YYY222===222pppxxx (((ppp>>>000))) yyy轴轴轴 向向向上上上 YYY轴轴轴正正正半半半轴轴轴上上上 YYY222=== ---222pppxxx (((ppp>>>000))) yyy轴轴轴 向向向下下下 YYY轴轴轴负负负半半半轴轴轴上上上 三三三、、、例例例题题题讲讲讲解解解：：： 例例例111...(((111)))已已已知知知抛抛抛物物物线线线的的的标标标准准准方方方程程程是是是yyy222 ===666xxx,,,求求求它它它的的的焦焦焦点点点坐坐坐标标标和和和准准准线线线方方方程程程；；； (((222)))已已已知知知抛抛抛物物物线线线的的的焦焦焦点点点是是是FFF(((000,,,---222))),,,求求求它它它的的的标标标准准准方方方程程程 （（（解解解题题题过过过程程程教教教师师师要要要板板板书书书，，，注注注意意意版版版面面面条条条理理理，，，简简简洁洁洁，，，做做做好好好起起起到到到示示示范范范作作作用用用））） 解解解：：：（（（111）））ppp＝＝＝333，，，所所所以以以抛抛抛物物物线线线的的的焦焦焦点点点坐坐坐标标标是是是（（（333///222，，，000））），，，准准准线线线方方方程程程是是是 xxx＝＝＝－－－ 333///222．．． p （（（222）））因因因为为为抛抛抛物物物线线线的的的焦焦焦点点点在在在轴轴轴的的的负负负半半半轴轴轴上上上,,,且且且  2,p  4，，， 2 所所所以以以抛抛抛物物物线线线的的的标标标准准准方方方程程程是是是x2  8y例例例222．．．求求求分分分别别别满满满足足足下下下列列列条条条件件件的的的抛抛抛物物物线线线的的的标标标准准准方方方程程程：：： （（（111）））焦焦焦点点点坐坐坐标标标是是是FFF（（（－－－555，，，000））） （（（222）））经经经过过过点点点AAA（（（222，，，－－－333））） 解解解：：：（（（111）））焦焦焦点点点在在在xxx轴轴轴负负负半半半轴轴轴上上上，，， ＝＝＝555，，，所所所以以以所所所求求求抛抛抛物物物线线线 的的的标标标准准准议议议程程程是是是 y2  20x．．． （（（222）））经经经过过过点点点AAA（（（222，，，－－－333）））的的的抛抛抛物物物线线线可可可能能能有有有两两两种种种标标标准准准形形形式式式：：： y2  2px,x2  2py 9 点点点AAA（（（222，，，－－－333）））坐坐坐标标标代代代入入入，，，即即即999＝＝＝444ppp，，，得得得222ppp＝＝＝ 2 4 点点点AAA（（（222，，，－－－333）））坐坐坐标标标代代代入入入xxx222＝＝＝－－－222pppyyy，，，即即即444＝＝＝666ppp，，，得得得222ppp＝＝＝ 3 4 9 ∴∴∴所所所求求求抛抛抛物物物线线线的的的标标标准准准方方方程程程是是是yyy222＝＝＝ xxx或或或xxx222＝＝＝－－－ yyy。。。 3 2 四四四、、、课课课堂堂堂练练练习习习：：： 111、、、根根根据据据下下下列列列条条条件件件，，，写写写出出出抛抛抛物物物线线线的的的标标标准准准方方方程程程：：：（（（投投投影影影展展展示示示））） （（（111）））焦焦焦点点点是是是FFF（（（333，，，000）））；；； 1 （（（222）））准准准线线线方方方程程程 是是是xxx ===  ；；； 4 （（（333）））焦焦焦点点点到到到准准准线线线的的的距距距离离离是是是222。。。 222、、、根根根据据据下下下列列列抛抛抛物物物线线线的的的焦焦焦点点点坐坐坐标标标和和和标标标准准准方方方程程程、、、准准准线线线方方方程程程：：：（（（投投投影影影展展展示示示））） （（（111）））yyy 222===222000xxx (((222)))xxx 222===111///222yyy (((333))) 222yyy 222+++555xxx===000 (((444))) xxx 222+++888yyy===000 向向向学学学生生生指指指出出出，，，本本本题题题是是是求求求抛抛抛物物物线线线的的的标标标准准准方方方程程程，，，所所所求求求抛抛抛物物物线线线的的的顶顶顶点点点在在在原原原点点点，，，对对对称称称轴轴轴是是是 坐坐坐标标标轴轴轴 总总总结结结：：：要要要确确确定定定抛抛抛物物物线线线的的的标标标准准准方方方程程程，，，关关关键键键在在在于于于确确确定定定ppp 值值值及及及抛抛抛物物物线线线开开开口口口方方方 向向向；；；反反反之之之亦亦亦然然然。。。五五五、、、课课课堂堂堂小小小结结结：：：（（（提提提学学学生生生归归归纳纳纳总总总结结结））） 111．．．椭椭椭圆圆圆、、、双双双曲曲曲线线线与与与抛抛抛物物物线线线的的的定定定义义义的的的联联联系系系及及及其其其区区区别别别；；； 222．．．会会会运运运用用用抛抛抛物物物线线线的的的定定定义义义、、、标标标准准准方方方程程程求求求它它它的的的焦焦焦点点点坐坐坐标标标、、、准准准线线线方方方程程程；；； 333．．．注注注重重重类类类比比比及及及数数数形形形结结结合合合的的的思思思想想想。。。 六六六、、、作作作业业业布布布置置置：：： 课课课本本本 PPP666444 111、、、222 ●板书设计 §2.3.1…… 知识讲解 例1…… 例2…… …… … …… 学生练习 解法一 解法二 ●教学后记 抛抛抛物物物线线线及及及其其其标标标准准准方方方程程程这这这一一一节节节的的的教教教学学学设设设计计计，，，引引引导导导学学学生生生从从从感感感性性性认认认识识识进进进一一一步步步上上上升升升到到到 理理理性性性认认认识识识，，，对对对比比比椭椭椭圆圆圆、、、双双双曲曲曲线线线、、、抛抛抛物物物线线线的的的区区区别别别与与与联联联系系系，，，最最最重重重要要要的的的是是是引引引导导导学学学生生生类类类比比比 开开开口口口向向向右右右、、、向向向左左左、、、向向向上上上、、、向向向下下下四四四种种种抛抛抛物物物线线线的的的标标标准准准方方方程程程、、、图图图形形形焦焦焦点点点坐坐坐标标标，，，准准准线线线方方方程程程，，， 引引引导导导学学学生生生运运运用用用类类类比比比和和和数数数形形形结结结合合合的的的思思思想想想解解解决决决数数数学学学问问问题题题，，，对对对学学学生生生进进进行行行辩辩辩证证证唯唯唯物物物主主主义义义教教教 育育育和和和数数数学学学美美美育育育教教教育育育。。。 抛物线和简单几何性质 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质． (二)能力训练点 从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点 使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程 的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题． 二、教材分析 1．重点：抛物线的几何性质及初步运用． (解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．) 2．难点：抛物线的几何性质的应用． (解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．) 3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式． (解决办法：引导学生证明并加以记忆．) 三、活动设计 提问、填表、讲解、演板、口答． 教学过程 【情境设置】 由一名学生回答，教师板书． 问题 抛物线的标准方程是怎样的？答为：抛物线的标 准方程是 ． 与椭圆、双曲线一样，通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质． 下面我们根据抛物线的标准方程： 来研究它的几何性质． 【探索研究】 1．抛物线的几何性质 （1）范围 因为 ，由方程可知 ，所以抛物线在 轴的右侧，当 的值增大时， 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．（2）对称性 以 代 ，方程不变，所以抛物线关于 轴对称．我们把抛物线的对称轴 叫做抛物线的轴． （3）顶点 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当 时 ， 因此抛物线的顶点就是坐标原点． （4）离心率 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率， 由抛物线的定义可知 其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得，教师用小黑板给出来表 让学生填写． 再向学生提出问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有 什么特点？ 学生和教师共同小结： （1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线； （2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； （3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；（4）抛物线的离心率是确定的，为1． 【例题分析】 例1已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ，求它的标准方程，并用描点法画出图形． 求标准方程，请一名学生演板，教师予以纠正．画图可由教师讲解，步骤如 下： 由求出的标准方程 ，变形为 ，根据 计算抛物线在 的范围内几个点的坐标，得 0 1 2 3 4 …… 0 1 2.8 3.5 4 …… 描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分（如 图 ）． 然后说明利用抛物线的通性，能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图． 例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点 处．已知灯口圆的直径为 ，灯深 ，求抛物线的标准方程和焦点位置． 解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点 （即抛物线的顶点）与原点重合， 轴垂直于灯口直径． 抛物线的标准方程为 ，由已知条件可得点 的坐标是（40，30） 且在抛物线上，代入方程得： ， 所以所求抛物线的标准方程为 ，焦点坐标是 .（三）随堂练习 1．求适合下列条件的抛物线方程 ①顶点在原点，关于 轴对称，并且经过点 ②顶点在原点，焦点是 ③顶点在原点，准线是 ④焦点是 ，准线是 2．一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是 m，跨度是 m，求拱形的抛物 线方程 答案：1．① ② ③ ④ 2． (要选建立坐标系) （四）总结提炼 抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的离心率等于1；它 只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线． （五）布置作业 1．顶点在原点、焦点在 轴上，且过点 的抛物线方程是（ ） A． B． C． D． 2．若抛物线 上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点 到准线的距离为（ ） A．1 B．2 C．4 D．63．若垂直于 轴的直线交抛物线 于点 ，且 ，则直 线 的方程为__________. 4．抛物线形拱桥，当水面宽 时，水面离拱顶为 ，若水下降 ，则 此时水面宽为___________. 5．抛物线的顶点是双曲线 的中心，而焦点是双曲线的左顶 点，求抛物线方程． 6．若抛物线 上一点 到准线及对称轴的距离分别是10和6， 求 的横坐标及抛物线方程． 答案：1．B 2．C 3． 4． 5． 6．9， （六）板书设计 教案点评： 本节课首先设置情境，让学生利用类比的思想，探索、归纳、总结出与椭圆、 双曲线类似的性质，并与椭圆、双曲线的性质比较，便于学生掌握这三种曲线的 性质。通过两道例题和练习进一步让学生掌握性质的运用。 圆锥曲线与方程 小结与复习 课 题： 教学目的： 1. 椭圆的定义、标准方程、焦点、焦距，椭圆的几何性质，椭圆的画法； 双 曲线的定义、标准方程、焦点、焦距，双曲线的几何性质，双曲线的画法，等轴双曲线； 抛物线的定义、标准方程、焦点、焦距，抛物线的几何性质，抛物线的画法， 2. 结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育 教学重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质；坐标法的应用. 教学难点：椭圆、双曲线的标准方程的推导过程；利用定义、方程和几何性质求有关焦点、 焦距、准线等. 授课类型：复习课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、课前预习 椭 圆 双曲线 抛物线 定义 标准方程 图形 顶点坐标 对称轴 焦点坐标 渐 近 线 方 程 二、复习引入： 名 称 椭 圆 双 曲 线 y y 图 象 O x O x 平面内到两定点 F,F 的 平面内到两定点F,F 的距离的和 1 2 1 2 距离的差的绝对值为常数（小 为常数（大于 FF ）的动点的轨迹 1 2 于 FF ）的动点的轨迹叫双 1 2 叫椭圆即 MF  MF  2a 1 2 曲线即 MF  MF  2a 定 义 1 2 当2a﹥2c时，轨迹是椭圆， 当2a﹤2c时，轨迹是双曲 当 2a=2c时，轨迹是一条线段 线 F F 当2a=2c时，轨迹是两条 1 2 射线 当2a﹤2c时，轨迹不存在 当2a﹥2c时，轨迹不存在焦 点 在 x轴 上 时 ： x2 y2 焦点在x轴上时：  1 x2 y2 a2 b2  1 a2 b2 y2 x2 标准方 焦点在y轴上时：  1 焦 点 在 y轴 上 时 ： a2 b2 程 注：是根据分母的大小来判断焦点 y2 x2  1 在哪一坐标轴上 a2 b2 常 数 c2  a2 b2，c  a 0 a2 c2 b2，a b 0， a,b,c c最 大 ， 可 以 a最大，c b,c b,c b 的关 系 a b,a b,a b 焦点在x轴上时： x y  0 a b 渐近线 焦点在y轴上时： y x  0 a b 抛物线： y y y y l O x 图 F F 形 O F x F O x O x l l l 方 y2 2px(p 0) y2  2px(p 0) x2  2py(p 0) x2  2py(p 0) 程 焦 p p p p ( ,0) ( ,0) (0, ) (0, ) 点 2 2 2 2 三、章节知识点回顾： 椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标 准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质 1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点 的轨迹 x2 y2 y2 x2 2．椭圆的标准方程：  1，  1 （a b 0） a2 b2 a2 b2 x2 y2 3．椭圆的性质：由椭圆方程  1(a b 0) a2 b2(1)范围: a  x  a,b  y b，椭圆落在x  a,y  b组成的矩形中． (2)对称性:图象关于y轴对称．图象关于x轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对 称中心，简称中心．x轴、y轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范 围，对称的截距 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点： A (a,0),A (a,0)，B (0,b),B (0,b)加两焦点 2 2 F (c,0),F (c,0)共有六个特殊点A A 叫椭圆的长轴，B B 叫椭圆的短轴．长分别为 1 2 1 2 1 2 2a,2b a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点 c b (4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比e   e 1( )2 0e1 a a 椭圆形状与e的关系：e0,c 0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆 为椭圆在e 0时的特例e1,c a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F F ，此时也可 1 2 认为圆为椭圆在e 1时的特例 4．双曲线的定义：平面内到两定点F,F 的距离的差的绝对值为常数（小于 FF ）的动点 1 2 1 2 的轨迹叫双曲线 即 MF  MF  2a 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离 1 2 叫做焦距 在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线）双曲线的 形状与两定点间距离、定差有关 5．双曲线的标准方程及特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种： x2 y2 焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：  1(a 0,b 0)； a2 b2 y2 x2 焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：  1(a 0,b 0) a2 b2 6.a,b,c有关系式c2  a2 b2成立，且a 0,b 0,c 0 其中a与b的大小关系:可以为a b,a b,a b 7焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x2、 y2项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项 的正负来判断焦点所在的位置，即x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2项的系数是 正的，那么焦点在y轴上 8．双曲线的几何性质： （1）范围、对称性 x2 y2 由标准方程  1，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方 a2 b2 向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭 圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 （2）顶点     顶点：A(a,0),A a,0 ，特殊点：B (0,b),B 0,b 1 2 1 2 实轴：AA 长为2a, a叫做半实轴长虚轴：BB 长为2b，b叫做虚半轴长 1 2 1 2 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 （3）渐近线 x2 y2 b x y 过双曲线  1的渐近线y  x（  0） a2 b2 a a b （4）离心率 2c c 双曲线的焦距与实轴长的比e  ，叫做双曲线的离心率范围：e 1 2a a b c2 a2 c2 双曲线形状与e的关系：k    1  e2 1，e越大，即渐近线的斜 a a a2 率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大， 它的开口就越阔 9．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等 轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y  x；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率e  2 10．共渐近线的双曲线系 b kb 如果已知一双曲线的渐近线方程为 y  x  x(k 0)，那么此双曲线方程就一 a ka x2 y2 x2 y2 定是：  1(k 0)或写成   (ka)2 (kb)2 a2 b2 11．共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲 线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线 的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-112．双曲线的焦点弦： 定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式： 当双曲线焦点在x轴上时， 过左焦点与左支交于两点时： AB  2ae(x  x ) 1 2 过右焦点与右支交于两点时： AB  2ae(x  x ) 1 2 当双曲线焦点在y轴上时， 过左焦点与左支交于两点时： AB  2ae(y  y ) 1 2 过右焦点与右支交于两点时： AB  2ae(y  y ) 1 2 13．双曲线的通径： 2b2 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 d  a 14 抛物线定义： 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物 线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 15．抛物线的准线方程： p p (1)y2 2px(p 0), 焦点:( ,0)，准线l：x   2 2 p p (2)x2  2py(p 0), 焦点:(0, )，准线l：y   2 2 p p (3) y2  2px(p 0), 焦点:( ,0)，准线l：x 2 2 p p (4) x2  2py(p 0), 焦点:(0, )，准线l：y  2 2 相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与 1 焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的 ，即 4 2p p  4 2 不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为2px、左端为 y2；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为2py，左端为x2 （2） 开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号； 开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号 16．抛物线的几何性质 （1）范围 因为p＞0，由方程 y2  2px  p 0  可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向 右上方和右下方无限延伸． （2）对称性 以－y代y，方程 y2  2px  p 0  不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线 的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程 y2  2px  p 0  中，当y=0时，x=0， 因此抛物线 y2  2px  p 0  的顶点就是坐标原点． （4）离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表 示．由抛物线的定义可知，e=1． 17抛物线的焦半径公式： p p 抛物线y2  2px(p 0)， PF  x    x 0 2 2 0 p p 抛物线 y2  2px(p 0)， PF  x   x 0 2 2 0 p p 抛物线x2  2py(p 0)， PF  y    y 0 2 2 0 p p 抛物线x2  2py(p 0)， PF  y    y 0 2 2 0 18．直线与抛物线： （1）位置关系： 相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点） 将l: y  kxb代入C: Ax2 Cy2 DxEyF 0，消去y，得到 关于x的二次方程ax2 bxc 0 （*） 若 0，相交； 0，相切； 0，相离 综上，得： y  kxb 联立 ，得关于x的方程ax2 bxc 0 y2  2px 当a 0（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 当a  0，则 若 0，两个公共点（交点）  0，一个公共点（切点）  0，无公共点 （相离）（2）相交弦长：  弦长公式：d  1k2 ， a （3）焦点弦公式： 抛物线y2  2px(p 0)， AB  p(x  x ) 1 2 抛物线 y2  2px(p 0)， AB  p(x  x ) 1 2 抛物线x2  2py(p 0)， AB  p(y  y ) 1 2 抛物线x2  2py(p 0)， AB  p(y  y ) 1 2 （4）通径： 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：d  2p （5）若已知过焦点的直线倾斜角  p  2p y  k(x ) 2p y  y  则 2  y2  y p2 0   1 2 k k   y2  2px   y y  p2 1 2 4p2 2p 1 2p  y  y  4p2   AB  y  y  1 2 k2 sin 1 2 sin sin2 （6）常用结论：  p y  k(x ) 2p k2p2  2  y2  y p2 0和k2x2 (k2p2p)x 0 k 4   y2  2px p  y y  p2和x x  1 2 1 2 4 四、【例题】 1.动点A到定点F1(0, －2)和F2(0, 2)的距离的和为4，则动点A的轨迹为 ( B ) A. 椭圆 B. 线段 C. 无图形 D. 两条射线； 2.动点P到定点F1(1, 0)的距离比它到定点F2(3, 0)的距离小2，则点P的轨迹是 ( C ) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．两条射线 3．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆．设地球半径为R，卫星近地点、 远地点离地面的距离分别为 r 、r ，求卫星轨道的离心率． 1 24．两定点的坐标分别为A(－1, 0)，B(2, 0)，动点M满足∠MBA＝2∠MAB，求动点M的轨 迹方程． yy MM   xx AA OO BB 五【课后作业】 六、板书设计（略） 七、课后记： ●教学目标 1.掌握双曲线的几何性质 2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方 程. ●教学重点 双曲线的几何性质 ●教学难点 双曲线的渐近线 ●教学方法 学导式 ●教具准备 幻灯片、三角板 ●教学过程 I.复习回顾： 师：上一节，我们学习了双曲线的标准方程，这一节，我们要根据它来研究双曲线的几 何性质.同学们可以按照研究椭圆几何性质的方法和步骤，自己推出双曲线的几何性质，然 后与课文对照，所以，我们来回顾一下研究椭圆的几何性质的方法与步骤.（略） II.讲授新课： 1.范围： 双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内. 2.对称性： 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原 点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心. 3.顶点： 双曲线和它的对称轴有两个交点A (－a,0)、A (a,0)，它们叫做双曲线的顶点. 1 2 线段A A 叫双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长；线段 1 2 B B 叫双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长. 1 2 4.渐近线 b ①我们把两条直线y=± x叫做双曲线的渐近线； ax2 y2 b ②从图8—16可以看出双，曲线  1的各支向外延伸时与，直线y=± x逐渐接近. a2 b2 a ③“渐近”的证明： b 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.这一部分的方程可写为y= x2 a2(x>a). a b b 设M(x,y)是它上面的点，N(x,y)是直线y= x上与M有相同横坐标的点，则Y= x. a a b b a b ∵y= x2 a2  x 1( )2  x Y a a x a b ∴ MN Y  y  (x  x2  a2 ) a b (x x2 a2)(x x2 a2)   a x x2 a2 ab  x x2 a2 b 设 MQ 是点M到直线y= x的距离，则 MQ < MN ，当x逐渐增大时， MN 逐渐 a 减小，x无限增大， MN 接近于O， MQ 也接近于O.就是说，双曲线在第一象限的部分从 射线ON的下方逐渐接近于射线ON. 在其他象限内，也可证明类似的情况. （上述内容用幻灯片给出）. ④等轴双曲线： 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. ⑤ 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出 双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双 曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双 曲线的对称性画出完整的双曲线. 5.离心率： c 双曲线的焦距与实轴长的比e= ，叫双曲线的离心率. a 说明：①由c>a>0可得e>1； ②双曲线的离心率越大，它的开口越阔. 师：为使大家进一步熟悉双曲线的几何性质，我们来看下面的例题. 例1 求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 解：把方程化为标准方程. y2 x2  1. 42 32由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3. c  a2 b2  42 32 5. 焦点的坐标是（0，－5），（0，5）. c 5 离心率e   . a 4 渐近线方程为 3 4 x   y，即y   x. 4 3 说明：此题要求学生认识到第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质与课本性质的相 同点与不同点.可让学生比较得出（作为练习）. III.课堂练习： （1）写出第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质. （2）课本P 练习1. 113 ●课堂小结 师：通过本节学习，要求大家熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线 方程及其“渐近”性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质. ●课后作业 习题8.4 1、5、6. ●板书设计 §8.4.1 …… 1.范围 4.渐近线 5.离心率 练习1 ①… … （1）… 2.对称性 ②… ③… 例1… （2）… ④ 3.顶点 ⑤ (3)… ●教学后记 ●教学目标 1.掌握双曲线的准线方程. 2.能应用双曲线的几何性质求双曲线方程； 3.应用双曲线知识解决生产中的实际问题. ●教学重点 双曲线的准线与几何性质的应用 ●教学难点 双曲线离心率、准线方程与双曲线关系. ●教学方法 启发式 ●教具准备 三角板 ●教学过程 I.复习回顾： 师：上一节，我们利用双曲线的标准方程推导了双曲线的几何性质，下面我们作一简 要的回顾（略），这一节我们将继续研究双曲线的几何性质及其应用. II.讲授新课：例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转 所成的曲面，它的最小半径为 12 m，上口半径为 13 m，下口半径为 25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）. 解：如图 8—17，建立直角坐标系 xOy，使 A圆的直径 AA′在 x轴 上，圆心与原点重合这. 时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且 CC =13 ×2 (m)， BB=25×2 (m). 设双曲线的方程为 x2 y2  1 （a>0,b>0） a2 b2 令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）.因为点B、C在双曲线上， 所以 252 (y55)2  1, 122 b2 132 y2  1. 122 b2 252 (y55)2  1 (1)  122 b2 解方程组 132 y2  1 (2)  122 b2 5 由方程（2）得 y  b （负值舍去）. 12 代入方程（1）得 5b ( 55)2 252 12  1, 122 b2 化简得 19b2+275b－18150=0 （3） 解方程（3）得 b≈25 (m). 所以所求双曲线方程为： x2 y2  1. 144 625 说明：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要解决以下两个问题；（1）选 择适当的坐标系；（2）将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来. a2 例 3 点 M（x,y）与定点 F(c,o)的距离和它到定直线 l:x= 的距离的比是常数 cc (c  a 0),求点M的轨迹. a 解：设 d是点 M到直线 l的距离.根据题意，所求轨迹是集合 p=   MF c  M  ,  d a   由此得 (xc)2  y2 c  . a2 a x c 化简得 (c2－a2)x2-a2y2=a2(c2－a2). 设c2－a2=b2，就可化为： x2 y2  1 (a 0,b 0). a2 b2 这是双曲线的标准方程，所以点M的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.（图 8—18） 说明：此例题要求学生进一步熟悉并熟练掌握求解曲线轨迹方程的一般步骤. 6.双曲线的准线： c 由例3可知，当点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e= (e>1) a 时，这个点的轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e是双曲 线的离心率. a2 准线方程：x= . c a2 x2 y2 a2 其中x= 相应于双曲线  1的右焦点F(c,0);x=－ 相应于左焦点F′(－c,0). c a2 b2 c 师：下面我们通过练习来进一步熟悉双曲线几何性质的应用. III.课堂练习： 课本P 2、3、4、5. 113 要求学生注意离心率、准线方程与双曲线的关系的应用. ●课堂小结 师：通过本节学习，要求大家熟练掌握双曲线几何性质的应用，并注意利用离心率、 准线方程与双曲线的关系确定双曲线方程的方法，并了解双曲线在实际中的应用问题. ●课后作业 习题8.4 2，3，4，7 ●板书设计 §8.4.2… 例2… 例3… 6.双曲线的 学生 准线 练习 ●教学后记双曲线及其标准方程 一、教学目标 (一)知识教学点 1.掌握双曲线定义、标准方程； 2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系； 3.认识双曲线的变化规律. (二)能力训练点 在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力． (三)学科渗透点 本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线 的定义、标准方程一个比较深刻的认识． 二、教材分析 1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程． (解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义； 对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．) 2．难点：双曲线的标准方程的推导． (解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．) 3．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？ (解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决， 同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．) 三、活动设计 教学方法 启发引导式 教具准备 三角板、双曲线演示模板、幻灯片 提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结． 四、教学过程(一)复习提问 1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书) 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭 圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3) 常数2a＞|F1F2|． 2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书) (二)双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是 怎样的呢？ 1．简单实验(边演示、边说明) 如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在 按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支； 由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支． 注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线． 2．设问 问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？ 请学生回答，不能．强调“在平面内”． 问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？ 请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线 左支上时，|MF1|＜|MF2|．问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？ 请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||． 问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？ 请学生回答，应小于|F1F2|且大于零．当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为 端点的两条射线；当常数＞|F1F2|时，无轨迹． 3．定义 在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义： 平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做 焦距． 教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记． (三)双曲线的标准方程 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这 时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即 引导学生给出双曲线的方程的推导． 标准方程的推导： (1)建系设点 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24) 建立直角坐标系． 设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2 的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常 数．(2)点的集合 由定义可知，双曲线就是集合： P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}． (3)代数方程 (4)化简方程(由学生演板) 将这个方程移项，两边平方得： 化简两边再平方，整理得： (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)． (以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．) 由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2． 这就是双曲线的标准方程． 两种标准方程的比较(引导学生归纳)：教师指出： (1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b； (2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的， 那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标 轴上． (3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2． (四)练习与例题 1．求满足下列的双曲线的标准方程： 焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4； 3．已知两点 F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点 的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？ 由教师讲解： 按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42． 因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．所以动点无轨迹． (五)小结 1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|) 的点的轨迹． 3．图形(见图2-25)： 4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)． 5．a、b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2． 五、布置作业 1．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)； 3．已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦点坐标． 作业答案：2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1 六、板书设计双曲线及其标准方程 一、教学目标 (一)知识教学点 1.掌握双曲线定义、标准方程； 2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系； 3.认识双曲线的变化规律. (二)能力训练点 在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力． (三)学科渗透点 本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线 的定义、标准方程一个比较深刻的认识． 二、教材分析 1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程． (解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义； 对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．) 2．难点：双曲线的标准方程的推导． (解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．)3．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？ (解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决， 同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．) 三、活动设计 教学方法 启发引导式 教具准备 三角板、双曲线演示模板、幻灯片 提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结． 四、教学过程 (一)复习提问 1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书) 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭 圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3) 常数2a＞|F1F2|． 2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书) (二)双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是 怎样的呢？ 1．简单实验(边演示、边说明) 如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在 按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支； 由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线． 2．设问 问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？ 请学生回答，不能．强调“在平面内”． 问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？ 请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线 左支上时，|MF1|＜|MF2|． 问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？ 请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||． 问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？ 请学生回答，应小于|F1F2|且大于零．当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为 端点的两条射线；当常数＞|F1F2|时，无轨迹． 3．定义 在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义： 平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做 焦距． 教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记． (三)双曲线的标准方程 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这 时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即 引导学生给出双曲线的方程的推导． 标准方程的推导：(1)建系设点 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24) 建立直角坐标系． 设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2 的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常 数． (2)点的集合 由定义可知，双曲线就是集合： P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}． (3)代数方程 (4)化简方程(由学生演板) 将这个方程移项，两边平方得： 化简两边再平方，整理得： (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)． (以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．) 由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0．设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2． 这就是双曲线的标准方程． 两种标准方程的比较(引导学生归纳)： 教师指出： (1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b； (2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的， 那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标 轴上． (3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2． (四)练习与例题 1．求满足下列的双曲线的标准方程： 焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；3．已知两点 F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点 的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？ 由教师讲解： 按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42． 因为2a=12，2c=10，且2a＞2c． 所以动点无轨迹． (五)小结 1．定义：平面内与两定点 F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|) 的点的轨迹． 3．图形(见图2-25)： 4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)． 5．a、b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2． 五、布置作业 1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)； 3．已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦点坐标． 作业答案： 2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1六、板书设计 3.2.1 几个常用函数的导数教案 教学目标： 1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数； 2. 利用公式解决简单的问题。 教学重点和难点 1．重点：推导几个常用函数的导数； 2．难点：推导几个常用函数的导数。 教学方法： 自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。 教学过程： 一 复习 1、函数在一点处导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的步骤。 二 新课 例1．推导下列函数的导数 （1） f(x)c y f(xx) f(x) cc 解：   0， x x x y f '(x) lim  lim00 x0x x0 1. 求 f(x) x的导数。y f(xx) f(x) xxx 解：   1， x x x y f '(x) lim  lim11。 x0x x0 y' 1表示函数 y  x图象上每一点处的切线的斜率都为1.若 y  x表示路程关于时间 的函数，则y' 1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。 思考：(1).从求y  x，y 2x，y 3x，y 4x的导数如何来判断这几个函数递增的 快慢？ (2).函数y kx(k 0)增的快慢与什么有关？ 可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快. 2. 求函数y  f(x) x2的导数。 y f(xx) f(x) (xx)2 x2 解：   2xx， x x x y y'  f '(x) lim  lim(2xx)2x。 x0x x0 y' 2x表示函数 y  x2图象上每点（x,y）处的切线的斜率为2x，说明随着x的变化， 切线的斜率也在变化： (1) 当x<0时，随着 x的增加，y  x2减少得越来越慢； （2）当x>0时，随着 x的增加，y  x2增加得越来越快。 1 3. 求函数 y  f(x) 的导数。 x 1 1  y f(xx) f(x) xx x x(xx) 1 解：     ， x x x x(xx)x x2 xx y 1 1 y'  f '(x) lim  lim( ) x0x x0 x2 xx x2 思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？ k  f '(1)1，所以其切线方程为y x2。 (2)改为点（3，3），结果如何？ (3)把这个结论当做公式多好呀，，既方便，又减少了复杂的运算过程。 三 例题 1. 试求函数y  f(x) x 的导数。解： y f(xx) f(x) xx  x   x x x ( xx  x)( xx  x)  x( xx  x) 1 ＝ ( xx  x) y 1 1 y'  f '(x) lim  lim  x0x x0 xx  x 2 x 2. 已知点P（-1，1），点Q（2，4）是曲线y  x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线 的切线方程。 解：y' 2x，设切点为M(x ,y )，则y' 2x . 0 0 xx 0 0 41 因为PQ的斜率k  1,又切线平行于PQ， 21 1 1 1 所以k 2x 1，即x  ，切点M( , )， 0 0 2 2 4 所求直线方程为4x4y10。 四 练习 1.如果函数 f(x)5，则 f '(1)（ ） A. 5 B. 1 C. 0 D.不存在 2.曲线y 2x2 1在点（0，1）的切线斜率是（ ） A.-4 B.0 C.2 D. 不存在 1 1 3.曲线y  x2在点(1, )处切线的倾斜角为（ ） 2 2   5 A.  B. 1 C. D. 4 4 4 答案： 1.C 2.B 3.C 五 小结 1.记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用； 2.在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用。 六 作业 1. P85 ，A组 1 1 1 2.求双曲线y  过点(2, )的切线方程。 x 2 欢迎访问 http://www.k12zy.com§1.3.3函数的最大（小）值与导数 教学目标：   ⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数 f(x)在闭区间 a,b 上 所有点（包括端点 a,b）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 教学过程： 一．创设情景 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的 性质．也就是说，如果x 是函数 y  f x的极大（小）值点，那么在点x 附近找不到比 0 0 f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在 0 某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果x 是函数的最大（小）值，那么 f x 不小（大） 0 0 于函数y  f x在相应区间上的所有函数值． 二．新课讲授  y 观察图中一个定义在闭区间 a,b 上的函数 f(x) 的图象．图中 f(x )与 f(x )是极小值， f(x )是极大 1 3 2   值．函数 f(x)在 a,b 上的最大值是 f(b)，最小值是 a x1 O x2 x3 b x f(x )． 3 1．结论：一般地，在闭区间 a,b 上函数 y  f(x)的图像是一条连续不断的曲 线，那么函数 y  f(x)在 a,b 上必有最大值与最小值． 说明：⑴如果在某一区间上函数 y  f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则称函数 y  f(x)在这个区间上连续．（可以不给学生讲） ⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(a,b)内连续的函数 f(x)不一定有最大值与 1 最小值．如函数 f(x)  在(0,)内连续，但没有最大值与最小值； x ⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，     ⑷函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续，是 f(x)在闭区间 a,b 上有最大值与最小值的充分 条件而非必要条件．（可以不给学生讲） 2．“最值”与“极值”的区别和联系 ⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个 局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． ⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； ⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也 可能没有一个 ⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有 最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 3．利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值 进行比较，就可以得出函数的最值了．   一般地，求函数 f(x)在 a,b 上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求 f(x)在(a,b)内的极值； ⑵将 f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个是最大值，  最小的一个是最小值，得出函数 f(x)在 a,b 上的最值 三．典例分析 1 例1．（课本例5）求 f x x34x4在0,3的最大值与最小值 3 解： 由例 4可知，在0,3上，当 x2时， f(x)有极小值，并且极小值为 4 f(2) ，又由于 f 04， f 31 3 1 4 因此，函数 f x x34x4在0,3的最大值是4，最小值是 ． 3 3 1 上述结论可以从函数 f x x34x4在0,3上的图象得到直观验证． 3 例2．求函数 y  x4 2x2 5在区间  2,2  上的最大值与最小值 解：先求导数，得y/  4x3 4x 令 y/＝0 即 4x3 4x 0解得 x  1,x 0,x 1 1 2 3 导数 y/的正负以及 f(2)， f(2)如下表 X -2 （-2,-1） -1 （-1,0） 0 （0,1） 1 （1,2） 2 y/ － 0 ＋ 0 － 0 ＋ y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表知，当x  2时，函数有最大值13，当x  1时，函数有最小值4 x2 axb 例3．已知 f(x)log ,x∈(0,+∞).是否存在实数a、b,使 f(x)同时满 3 x 足下列两个条件：（1） f(x))在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2） f(x) 的最小值是1，若存在，求出a、b，若不存在，说明理由. x2 axb 解：设g(x)= x ∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数 ∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数. g'(1)0 b10 a 1 ∴ ∴ 解得 g(1)3 ab13 b1 经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件. 四．课堂练习 1．下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 y 12 1 1 1 3．函数y= x4  x3  x2，在［－1，1］上的最小值为( ) 10 4 3 2 8 13 A.0 B.－2 C.－1 D. 6 12 4 y=x4-2x2+5 4．求函数 y  x4 2x2 5在区间  2,2  上的最大值与最小值． 2 -4 -2 O 2 4 x 5．课本 练习 五．回顾总结 1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点， 区间端点；     2．函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续，是 f(x)在闭区间 a,b 上有最大值与最小值的充分 条件而非必要条件；   3．闭区间 a,b 上的连续函数一定有最值；开区间(a,b)内的可导函数不一定有最 值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值 4．利用导数求函数的最值方法． 六．布置作业 课本 P99 习题3.3 A组 6 课题：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目的： 1. 记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，理解导数运算法则是把一个复杂 函数求导数转化为两个或多个简单函数的求导问题；能通过运算法则求出导数后解 决实际问题. 2. 能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数; 教学重点： 会使用导数公式求函数的导数 教学难点： 会使用导数公式求函数的导数 教学过程： 一、讲解新课： 1、基本初等函数的导数公式1.函 f(x)c,函 f(x)0; 2.函 f(x) xn(nQ*),函 f(x) xn1; 3.函 f(x)sinx,函 f(x)cosx; 4.函 f(x)cosx,函 f(x)sinx; 5.函 f(x)ax,函 f(x)axlnx; 6.函 f(x)ex,函 f(x)ex; 1 7.函 f(x)log x,函 f(x) ; a xlna 1 8.函 f(x)lnx,函 f(x) . x 2、讲解例题 P83 例1 练习1、求下列函数的导数。 (1) y= 5 (2) y= x 4 (3) y= x -2 (4)y= 2 x (5) y=log3x 3、导数运算法则 1.f(x)g(x)  f(x)g(x); 2.f(x)g(x)  f(x)g(x);   f(x) f(x)g(x) f(x)g(x) 3.  .   g(x) g(x)2 4、讲解例题 例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数y  x3 2x3的导数. y(x32x3)(x3)(2x)(3) 解: 3x2 2. 函 函 y  x3 2x3函 函 函 函 y3x2 2. 练习： 求下列函数的导数 （1）y sinx3x2  x （2） y (2x1)(3x2) （3）y  tanx x （4） y ex lnx（5）y  x1 例 3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费 用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为 5284 c(x)  (80 x 100). 100x 求净化到下列纯度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%；（2）98%.例4 已知函数y  xlnx. （1） 求这个函数的导数；（2）这个函数在点x 1处的切线方程. 二、小结 ： 1、基本初等函数的导数公式 1.函 f(x)c,函 f(x)0; 2.函 f(x) xn(nQ*),函 f(x) xn1; 3.函 f(x)sinx,函 f(x)cosx; 4.函 f(x)cosx,函 f(x)sinx; 5.函 f(x)ax,函 f(x)axlnx; 6.函 f(x)ex,函 f(x)ex; 1 7.函 f(x)log x,函 f(x) ; a xlna 1 8.函 f(x)lnx,函 f(x) . x 2、导数运算法则 1.f(x)g(x)  f(x)g(x); 2.f(x)g(x)  f(x)g(x);   f(x) f(x)g(x) f(x)g(x) 3.  .   g(x) g(x)2 三、课后作业： 课题： §3.3.1 函数的单调性与导数 教学目标 1、 知识与技能 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会利用导数求函数 的单调区间。 2、 过程与方法 通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 3、 情感、态度与价值观 通过实例探究函数的单调性与导数的关系。通过这一过程，提高理性思维的能力。  教学重难点 重点：函数单调性和导数的关系；会根据导数判断函数的单调性；会利用导数求出函数的 单调区间。难点：理解并掌握函数的单调性与导数的关系  教学过程 一、 复习引入： 1. 常见函数的导数公式： 1 C'0； (xn)' nxn1； (sinx)'cosx； (cosx)' sinx (lnx)' x 1 (log x)' log e (ex)'ex (ax)' ax lna a x a 2.法则1 [u(x)v(x)]' u'(x)v'(x)． 法则2 [u(x)v(x)]u'(x)v(x)u(x)v'(x), [Cu(x)]Cu'(x) ' u u'vuv' 法则3    (v0) v v2 二、 讲授新课 1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t 变化的函数h(t)4.9t2 6.5t10 的图像，图3.3-1（2） 表示高台跳水运动员的速度v随时间 t变化的函数 v(t)h'(t)9.8t6.5的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间 的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： （1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时 间t的增加而增加，即h(t)是增函数．相应 地，v(t)h'(t)0． （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减 函数．相应地，v(t)h'(t)0． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如 图 3.3-3， 导 数 f '(x )表示函数 f(x)在点(x ,y )处的切线的斜率． 0 0 0 在x x 处， f '(x )0，切线是“左下右上”式的，这时，函数 f(x)在x 附近单调 0 0 0 递增； 在x x 处， f '(x )0，切线是“左上右下”式的，这时，函数 f(x)在x 附近单调 1 0 1 递减． 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间(a,b)内，如果 f '(x)0，那么函数 y  f(x)在这个区间内单调递增；如 果 f '(x)0，那么函数 y  f(x)在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果 f '(x)0，那么函数 y  f(x)在这个区间内是常函数． 3．求解函数 y  f(x)单调区间的步骤： （1）确定函数 y  f(x)的定义域； （2）求导数y'  f '(x)； （3）解不等式 f '(x)0，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式 f '(x)0，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析 例1．已知导函数 f '(x)的下列信息： 当1 x4时， f '(x)0； 当x4，或x1时， f '(x)0； 当x4，或x1时， f '(x)0 试画出函数y  f(x)图像的大致形状． 解：当1 x4时， f '(x)0，可知y  f(x)在此区间内单调递增； 当x4，或x1时， f '(x)0；可知y  f(x)在此区间内单调递减； 当x4，或x1时， f '(x)0，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数y  f(x)图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1） f(x) x3 3x； （2） f(x) x2 2x3 （3） f(x)sinxx x(0,)； （4） f(x)2x33x2 24x1 解：（1）因为 f(x) x3 3x，所以， f '(x)3x2 33(x2 1)0 因此， f(x) x3 3x在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为 f(x) x2 2x3，所以， f '(x)2x22x1 当 f '(x)0，即x1时，函数 f(x) x2 2x3单调递增； 当 f '(x)0，即x1时，函数 f(x) x2 2x3单调递减； 函数 f(x) x2 2x3的图像如图3.3-5（2）所示． （3）因为 f(x)sinxx x(0,)，所以， f '(x)cosx10 因此，函数 f(x)sinxx 在(0,)单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为 f(x)2x33x2 24x1，所以 ． 当 f '(x)0，即 时，函数 f(x) x2 2x3 ； 当 f '(x)0，即 时，函数 f(x) x2 2x3 ； 函数 f(x)2x33x2 24x1的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练 例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的 容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增 加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其 它三种容器的情况． 解：1B,2A,3D,4C 思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快 慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的 快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些． 如图3.3-7所示，函数y  f(x)在0,b或a,0内的图像“陡峭”， 在b,或,a内的图像“平缓”． 例4．求证：函数y 2x33x2 12x1在区间2,1内是减函数． 证明：因为y' 6x2 6x126  x2 x2  6x1x2 当 x2,1即 2 x1时， y' 0，所以函数 y 2x33x2 12x1在区间 2,1内是减函数． 说明：证明可导函数 f x在a,b内的单调性步骤： （1）求导函数 f 'x； （2）判断 f 'x在a,b内的符号； （3）做出结论： f 'x0为增函数， f 'x0为减函数． 2 例5．已知函数 f(x)4xax2  x3 (xR)在区间1,1上是增函数，求实数a 3 的取值范围． 解： f '(x)42ax2x2，因为 f x在区间1,1上是增函数，所以 f '(x)0对 x1,1恒成立，即x2ax20 对x1,1恒成立，解之得：1a1所以实数a的取值范围为1,1． 说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调 性关系：即“若函数单调递增，则 f '(x)0；若函数单调递减，则 f '(x)0”来求解，注 意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 1 例6．已知函数y=x+ ，试讨论出此函数的单调区间. x 1 解：y′=(x+ )′ x =1－ 1· x－ 2= x2 1 (x1)(x1)  x2 x2 (x1)(x1) 令 ＞0. x2 解得x＞1或x＜－1. 1 ∴y=x+ 的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). x (x1)(x1) 令 ＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1. x2 1 ∴y=x+ 的单调减区间是(－1，0)和(0，1) x 四、课堂练习： 1．确定下列函数的单调区间 (1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3 (1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4) 令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2. ∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4 .∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4) (2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1) 令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1. ∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1). 令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1. ∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 2、设y f(x)是函数y f(x)的导数, y f(x)的图象如图所示, 则y f(x)的图象最有可能是( ) 小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？ 五、课堂小结 ： ′ 1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f (x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数 形结合在解题中的应用. 3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂. 六、课后作业： 课本 习题3.3 A组 1，2 【思考题】 对于函数f(x)=2x3－6x2+7 思考1、能不能画出该函数的草图？ 思考2、2x376x在区间（0，2）内有几个解？ 1．确定下列函数的单调区间 (1) y  xx2 (2) y  xx3 2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间. 3.用导数证明: (1) f(x)ex在区间 (,）内是增函数 (2) f(x)ex x在区间(,0)内是增函数.§3.3.2函数的极值与导数 教学目标： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t a时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数h(t) 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规 律？ 放大t a附近函数h(t)的图像，如图3.3-9．可以看出h(a)；在t a，当t a时， 函数h(t)单调递增，h(t)0；当t a时，函数h(t)单调递减，h(t)0；这就说明，在 t a附近，函数值先增（t a，h(t)0）后减（t a，h(t)0）．这样，当t在a的 附近从小到大经过a时，h(t)先正后负，且h(t)连续变化，于是有h(a)0． 3.3-8 3.3-9 对于一般的函数y  f x，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就 函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值 点的关键是这点两侧的导数异号 新课讲授 一、 导入新课 观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点 y y=f(x) P(x1,f(x1)) Q(x2 ,f(x2 )) o a x1 x3 b x x2 4函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调 递减），在P点附近，P点的位置最高，函数值最大 二、学生活动 学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义. 三、数学建构 y 极值点的定义: 观察右图可以看出，函数在x=0的函数值比它附近所有 各点的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个极大值；函数在x=2 的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f (2)是函数的 一个极小值。 2 0 x 一般地，设函数 y f(x)在 x x 及其附近有定义，如果 0 f(x ) 的值比 x 附近所有各点的函数值都大，我们说f ( x )是函数 y f(x) 的一个极 0 0 0 大值；如果 f(x ) 的值比 x 附近所有各点的函数值都小，我们说f (x )是函数 y f(x) 0 0 0 的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。 请注意以下几点：(让同学讨论) （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值 比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以 不止一个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值， 如下图所示， yx 1 是极大值点，x 4 是极小值点，而 f(x 4 )> f(x 1 )。 f(x ) 4 f(x) 1 o a x x x x b x 1 2 3 4 （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 极值点与导数的关系: 复习可导函数在定义域上的单调性与导函数值的相互关系,引导学生寻找函数极值点 与导数之间的关系. 由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有 f(x)0。但反过来不一定。若寻找函数极值点,可否只由 f (x)=0求得即可? 探索:x=0是否是函数 f(x)= x 3的极值点?（展示此函数的图形） 在x0处，曲线的切线是水平的,即 f (x)=0，但这点的函数值既不比它附近的点的函 数值大，也不比它附近的点的函数值小,故不是极值点。如果x 使 f(x )0，那么x 在什么 0 0 0 情况下是的极值点呢？ 观察下左图所示，若x 是 f(x)的极大值点，则x 两侧附近点的函数值必须小于 f(x )。 0 0 0 因此，x 的左侧附近 f(x)只能是增函数，即f(x)0，x 的右侧附近 f(x)只能是减函数，即 0 0 f(x)0，同理，如下右图所示，若x 是极小值点，则在x 的左侧附近 f(x)只能是减函数， 0 0 即 f(x)0，在x 的右侧附近 f(x)只能是增函数，即 f(x)0， 0 y y f(x)0 f(x ) 0 f(x)0 f(x)0 f(x)0 f(x 0 ) a x b x o 0 o a x 0 b x 从而我们得出结论(给出寻找和判断可导函数的极值点的方法,同时巩固导数与函数单 调性之间的关系）： 若x 满足 f (x ) 0，且在x 的两侧 f(x)的导数异号，则x 是 f(x)的极值点， 0 0 0 0 f(x )是极值，并且如果 f (x)在x 两侧满足“左正右负”，则x 是 f(x)的极大值点， 0 0 0 f(x )是极大值；如果 f (x)在x 两侧满足“左负右正”，则x 是 f(x)的极小值点， f(x ) 0 0 0 0 是极小值。 结论：x 左右侧导数异号 x 是函数f(x)的极值点 f (x )=0 0 0 0 反过来是否成立?各是什么条件?点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条 件是在这点的导数为0. 学生活动 函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为(D ) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值 四、数学应用 1 例1．（课本例4）求 f x x34x4的极值 y 3 1 解： 因为 f x x34x4，所以 3 f 'x x2 4(x2)(x2)。 f 'x0,x2,x2 o x 下面分两种情况讨论： （1）当 f 'x >0,即x2，或x2时； （2）当 f 'x <0,即2 x2时. 当x变化时， f 'x， f x的变化情况如下表： x ,2 -2 (-2,2) 2 2, y + 0 － 0 + 28 4 y ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 3 3 28 因此，当x2时， f(x)有极大值，并且极大值为 f(2) ； 3 4 当x2时， f(x)有极小值，并且极小值为 f(2) 。 3 1 函数 f x x34x4的图像如图所示。 3 y 1 f(x)= x3-4x+4 3 2 -2 O x课堂训练:求下列函数的极值 1 函 2函 y 8x3函 12x2 6x1 函 1函 y   x x 让学生讨论总结求可导函数的极值的基本步骤与方法： 一般地，如果函数y f(x)在某个区间有导数，可以用下面方法求它的极值： ① 确定函数的定义域； ② 求导数 f(x) ； ③ 求方程 f(x) =0的根，这些根也称为可能极值点； ④ 检查 f(x) 在方程 f(x) ＝0的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最 好通过列表法) 强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f(x0)=0左右侧导数的符号 例题2（案例分析） f (x)  x3 ax2 bxa2 函数 在 x=1 时有极值10，则a，b的值为（C ） a  3,b  3 a  4,b  11 A、 或 B、 a   4 , b  1 或 a  4,b 11 a  4,b  11 C、 D、 以上都不对 f(1)10 1aba2 10 a3 a4 略解:由题设条件得：   f / ( 1 )  0    32ab0 解之得   b3 函   b11 通过验证，都合要求，故应选择A 上述解法错误，正确答案选C，注意代入检验 注意：f/(x )=0是函数取得极值的必要不充分条件 0 练习: 庖丁解牛篇(感受高考） 1、（2006年天津卷）函数 f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数 f (x)在(a,b)内的图 象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ A ） yy yy  ff((xx)) A．1个 ĠȠ B．2个 C．3个 bb D． 4个 aa OO xx 注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别 2、（2006年北京卷）已知函数 f(x)ax3 bx2 cx在 点x 处取得极大值5，其导函数 y  f '(x)的图象经过点 0(1,0)，(2,0)，如图所示.求： （Ⅰ）x 的值； （Ⅱ）a,b,c的值. 0 答案 （Ⅰ）x =1; （Ⅱ）a 2,b9,c12 0 例3求y=(x2－1)3+1的极值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2 令y′=0解得x =－1，x =0，x =1 1 2 3 当x变化时，y′，y的变化情况如下表 x ,1 -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 1, y － 0 － 0 + 0 + y ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗ ∴当x=0时，y有极小值且y =0 极小值 y fx = x2-13+1 -1 O 1 x 五：回顾与小结： 1、极值的判定方法； 2、极值的求法 注意点： 1、f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 2、数形结合以及函数与方程思想的应用 3、要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f(x0)=0左右侧导数的符号. 六：课外作业 1、课本Ｐ98习题3.3：A组 4，5 2、思考题极值和最值的区别与联系 3．1．1 变化率问题 一.设计思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考虑问题的思考方法． 二.教学目标 1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 4. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现 实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 三.教学重点 1. 通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变 化率的实际意义和数学意义； 2. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方 法； 四.教学难点：平均变化率的概念． 五.教学准备 1. 认真阅读教材、教参，寻找有关资料； 2. 向有经验的同事请教； 3. 从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方． 六.教学过程 一．创设情景 （1） 让学生阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？ （2） 学生先阅读，思考，老师再提示；①以简洁的话语指明函数和微积分的关 系，微积分的研究对象就是函数，正是对函数的深入研究导致了微积分的产生；② 从数学史的角度，概括地介绍与微积分创立密切相关的四类问题以及做出巨大贡 献的科学家；③概述本章的主要内容，以及导数工具的作用和价值． 让学生对这章书先有一个大概认识，从而使学生学习有了方向，能更好地进 行以下学习． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1气球膨胀率问题： 老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹 气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？ 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 4 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)  r3 3 3V 如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V) 3 4 3V 分析: r(V) 3 ， 4 ⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0) 0.62(dm) r(1)r(0) 气球的平均膨胀率为 0.62(dm/L) 10 ⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1) 0.16(dm)r(2)r(1) 气球的平均膨胀率为 0.16(dm/L) 21 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小 h 了． 思考：当空气容量从V增加到V时,气球的平均膨胀率是多 1 2 r(V )r(V ) 少? 2 1 V V 2 1 问题2 高台跳水问题： 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h（单位：m）与起 o t 跳后的时间t（单位：s）存在怎样的函数关系？ 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t（单 位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. ）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t≤０.5，1≤t≤2，1.8≤t≤2，2 ≤t≤2.2，时间段里的平均速度. 思考计算：0t 0.5和1t  2的平均速度v h(0.5)h(0) 在0t 0.5这段时间里，v   4.05(m/s)； 0.50 h(2)h(1) 在1t  2这段时间里，v   8.2(m/s) 21 65 探究：计算运动员在0t  这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 49 ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， 65 h( )  h(0)， 49 65 h( )h(0) 49 所以v  0(s/m)， 65 0 49 65 虽然运动员在0t  这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员 49 仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）让学生亲自计算和思考，展开讨论； （2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上. （3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反 映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态； （二）平均变化率概念: 引出函数平均变化率的概念．找出求函数平均变化率的步骤. f(x ) f(x ) 2 1 x x 1．上述问题中的变化率可用式子 2 1 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 2．若设 x  x 2 x 1, f  f(x 2 ) f(x 1 ) (这里x看作是对于x1的一个“增量” 可用x+x代替x,同样f  y  f(x ) f(x )) 1 2 2 1 y f f(x ) f(x ) f(x x) f(x ) 3．则平均变化率为   2 1  1 1 x x x x x 2 1 思考：观察函数f(x)的图象 y f f(x ) f(x ) 平均变化率  2 1 表示什么? x x x y=f(x) 2 1 f(x ) 2 （1） 师生一起讨论、分析，得出结果； （2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增 量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)； △y =f(x )-f(x ) f f(x ) f(x ) 2 1 ③求平均变化率  2 1 . x x x 2 1 f(x 1 ) △x= x -x 2 1 注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；② x2= x1+Δx；③Δf=Δy=y2-y1； O x 1 x 2 x 三．典例分析 例 1．已知函数 f(x)=x2  x的图象上的一点 A(1,2)及临近一点 y B(1x,2y),则  ． x 解：2y  (1x)2 (1x)， y (1x)2 (1x)2 ∴  3x x x 例2． 求y  x2在x x 附近的平均变化率。 0 y (x x)2 x 2 解：y (x x)2 x 2，所以  0 0 0 0 x x x 2 2x xx2 x 2  0 0 0 2x x x 0 所以y  x2在x x 附近的平均变化率为2x x 0 0 四．课堂练习 1．质点运动规律为 s t2 3，则在时间 (3,3t)中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. 3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出 当Δx=0.1时割线的斜率. 五．回顾总结 让学生进行课堂小结. （1） 随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，即随着气球 体积的增大，比值气球膨胀率越来越小； （2） 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运 动状态； （3） 函数的平均变化率的概念 ； （4） 求函数的平均变化率的步骤； （5） 课后思考问题：需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态， 那么该量应如何定义？ （6） 思考问题方法：从实际生活到数学语言，数学概念． 六．补充实例 例１ 在经营某商品中，甲挣到 10万元，乙挣到 2万元，如何比较和评价甲， 乙两人的经营成果？ 变式：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元， 如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？ 例２ 情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载. 时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃ 观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表 示为： 温度T (℃) C (34, 33.4) 30 B (32, 18.6) 20 10 A (1, 3.5) 2 时间t（d） 0 2 10 20 30 34 七．布置作业 ①看书，复习今天内容；②思考问题：如何能更精细地刻画运动员的运动状态？需要增加什 么量？③做书A1；④预习下节内容. 八．教学反思用1节课完成变化率的讲授。导数确实是个很重要的工具，所以与导数概念教学有关的 平均变化率问题讲授显得很重要. [教学目的] 1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义； 2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求 导数的一般方法 3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、 总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 [教学重点和难点]导数的概念是本节的重点和难点 [教学方法]讲授启发，自学演练。 [授课类型]：新授课 [课时安排]：1课时 [教 具]：多媒体、实物投影仪 [教学过程] 一、复习提问(导数定义的引入) 1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？ 在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后 的时间t（单位：s）存在关系h  t   4.9t2 6.5t 10，那么我们就会计算任意一段的平 均速度v，通过平均速度v来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时 刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？ （2）新课 我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t 时间段内的平均速度v，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右 边部分〉 表格1表格2     t 0时，在 2t,2 这段时间内 t 0时，在 2,2t 这段时间内 h  2  h  2t  4.9t2 13.1t h  2t  h  2  4.9t2 13.1t v   v       2 2t t 2t 2 t  4.9t 13.1  4.9t 13.1 当t  0.01时，v  13.051； 当t 0.01时，v  13.149； 当t  0.001时，v  13.095 1； 当t 0.001时，v  13.104 9； 当t  0.000 1时，v  13.099 51； 当t 0.000 1时，v  13.100 49； 当t  0.000 01时，v  13.099 951； 当t 0.000 01时，v  13.100 049； 当t  0.000 001时，v  13.099 995 1； 当t 0.000 001时，v  13.100 004 9； 。。。。。。 。。。。。。 问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2） 关于这些数据，下面的判断对吗？ 2．当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是t从大于2的一边趋近于2时，平均 速度都趋近于一个确定的值-13.1m/s。   3．靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段 2t,2 上的平均速度；   4．靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段 2,2t 上的平均速度； 5．-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1m/s。 分析:t  2秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度， 所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合 理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1m/s。 这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1m/s，现在我们一起回忆一下是如何得 到的：     h 2t h 2   首先，算出 2,2t 上的平均速度 =4.9t 13.1，接着观察当t趋近 t于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为了表     h 2t h 2 述方便，我们用 lim  13.1 t t0 表示“当t  2，t趋近于0时，平均速度v趋近于确定值-13.1”。 思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？ 结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时， 平均速度v都趋近于一个确定的值13.1． 从物理的角度看，时间 t 间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度， 因此，运动员在t 2时的瞬时速度是13.1m/s h(2t)h(2) 为了表述方便，我们用lim 13.1 t0 t 表示“当t 2，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1” 小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近 似值过渡到瞬时速度的精确值。 3．函数y  f  x  在x  x 处的瞬时变化率如何表示？ 0 导数的定义（板书） f f(x x) f(x ) 函数y  f  x  在x  x 处的瞬时变化率是 lim  lim 0 0 ， 0 x0x x0 x 我们称它为函数y  f  x  在x  x 处的导数，记作 f ' x  或y'| ， 0 0 xx 0 f f(x x) f(x ) 即 f ' x  = lim  lim 0 0 。例如：2秒时的瞬时速度可以表示为 0 x0x x0 x h' 2   13.1或 y'|  13.1。 t2 附注：①导数即为函数y=f(x)在x=x 处的瞬时变化率； 0 y f(x ) f(x x) ②定义的变化形式： f ' x  = lim  lim 0 0 ； x0(x) x0 x y f(x) f(x ) f(x x) f(x ) f ' x  =lim  lim 0 ； f ' x  = lim 0 0 ； xx (x) xx xx x0 x 0 0 0 f(x) f(x ) x xx ，当x0时，x x ，所以 f(x ) lim 0 0 0 0 x0 xx 0③求函数y  f  x  在x  x 处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。 0 三．典例分析 2 例1．（1）求函数y=3x 在x=1处的导数. 2 f f 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx) , 再求 6x再求lim 6 x x0x 3x2 312 3(x2 12) 解：法一（略）； 法二： y| lim lim lim3(x1)6 x1 x1 x1 x1 x1 x1 （2）求函数f(x)=x2  x在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． y (1x)2 (1x)2 解：  3x x x y (1x)2 (1x)2 f(1) lim   lim(3x)3 x0x x x0 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和 加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为 f(x) x2 7x15(0 x8)，计算第 2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是 f '(2)和 f '(6) f f(2x) f(x ) 根据导数定义，  0 x x (2x)2 7(2x)15(22 7215)  x3 x f 所以 f(2) lim  lim(x3)3；同理可得: f(6)5 x0x x0 在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大 约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升． 注：一般地， f '(x )反映了原油温度在时刻x 附近的变化情况． 0 0 17世纪，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新 的要求，它们突出地表现为四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物 体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线。 由导数的定义，我们知道，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；气球半径r 关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率。 实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、点密度、国内生产总值GDP的增长率等等。下面我们来看一个导数的应用。 四．课堂练习 1．质点运动规律为s t2 3，求质点在t 3的瞬时速度为． 2．求曲线y=f(x)=x3在x1时的导数． 3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 五、小结 1．导数的产生是由于17世纪力学、天文学等的飞速发展，对数学提出的要求，主要是两类 问题：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线； 2．导数就是瞬时变化率； f f(x x) f(x ) 3．导数的计算公式： f ' x  = lim  lim 0 0 。 0 x0x x0 x 4. 求函数y  f  x  在x  x 处的导数步骤：“一差；二比；三极限” 0 六、布置作业 教科书习题1.1A组1，2，3，4，5。 阿 导 数 及 其 应 用复 习 【知能目标】 1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）； 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。 2、熟记基本导数公式：xm(m为有理数)、sinx、cosx、ex、ax、lnx、log x的导数；掌 a 握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件 和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最 小值。 [教学方法] 1.采用“学案导学”方式进行教学。 2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。 [教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据 学生出现的问题有针对性的讲评. [教学重点和难点] 教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、 教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用 【 】 综合脉络 1.知识网络 导数定义 导数的几何意义 导数的实际背景 导函数基本求 四则运算 复合函数 导公式 求导法则 求导法则 求简单函数的导数 导数的应用 判断函数 求函数的 求函数的 的单调性 极大(小)值 最大(小)值 2.考点综述 有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以 后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多 地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查 导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、 单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容 和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课 程内容和传统内容相结合，加强了能力考察力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现 了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。 [教学过程] 一、目标导航：1.复习巩固导数的概念、四则运算、常用函数的导数 2.利用导数求函数的单调区间、极值、最值 二、基础回顾 第一步：自主复习，学生用6分钟时间利用《学案》将以下基础知识填完 1、导数的概念：对于函数y=f(x),如果自变量x在x 0 处有增量△x,那么函数y相应的有增量 = ；比值 叫做函数y=f(x)在x 0 到x 0 +△x之间的 , △ y 当△x→0时， △ x 有极限，就说y=f(x)在点x 0 处 ，并把这个极限叫做f(x) 在 点x 的导数（瞬时变化率），记作 或 ， 0 当x变化时，f  (x)便是x的一个函数，称之为f(x)的导函数（简称导数），记 f(x + △ x)－f(x) f  (x)=y = △ x △ y 2、用定义求导数的一般步骤：（1）求函数的增量△y= (2) 求平均变化率 △ x △ y （3）取极限，得导数f  (x)= △ x 3、导数的几何意义：f  (x )是曲线y=f(x)在点P（x ，f (x )）处的切线的 即 0 0 0 4、几种常见函数的导数C= (xn) = (sinx) = (cosx) = (ex) = (ax) = (lnx) = (log x) = a 5、导数的四则运算 若y=f(x),y=g(x) 的导数存在，则f(x) [f(x) ± g(x)] = [f(x) g(x)] = [ ]= g(x) 6、复合函数y=f(g(x))（其中u= g(x)）的导数y x= 7、函数的单调性与其导函数的正负如下关系：在开区间（a,b）内，如果 ，那么函 数在这个区间内 ，如果 ，那么函数在这个区间内 ，反之？ 求可导函数y=f(x) 的单调区间的步骤：（1）求f  (x) (2)解不等式f  (x)>0(或f  (x)<0) (3)确认并写出单调区间 8、极值: 设函数f(x)在附近有定义，如果对x 附近所有的x都有 ，则称f (x )是 0 0 f(x)的一个极大值；如果对x 附近所有的x都有 ，则称f (x )是f(x)的一个极小值。 0 0 可导函数点x 处的导数为0是f(x)在x 处取得极值的 条件 0 0 9、求函数y=f(x) 极值的步骤： （1）确定函数的定义域 (2) 求方程f  (x)=0 （3）解不等式f  (x)>0(或f  (x)<0)顺次将函数的定义域分成若干小开区间 (4)判断 f  (x)=0的根的两侧f  (x)的符号，确定是否为极大值、极小值。 10、在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必有 和 求在闭区间 [a,b]上的连续函数y=f(x)最值的步骤：（1） （2） 第二步：合作学习，分组交流，解决知识漏洞及疑难点（老师注意发现学生的问题） 第三步：老师点评：老师根据情况有重点的进行知识讲评（大屏幕显示） 三、巩固练习 f(1 - △ x)－f(x) 1、函数f(x)可导，则 = 3 △ x 2、已知f(x)=x2+2x f  (0),则f  (2) = 3、函数f(x)=x3－2x2+x－6的单调区间为 1 4、求导① (－ )= ② (3x) = ③ (tanx) = x4 1 ④ [sin3(x+ ) ]= ⑤[cos(1－2x)lnx]= x 5、函数f(x)=ax3+x－2在（－∞，+∞）上为单调函数，则a∈ 四、探究提高：（两个学生上黑板板书，其他同学做在学案上） 1、当常数k为何值时，直线y=x才能与函数y=x2+k相切？并求出切点。 1、已知x>1,求证：x>ln(1+x) 针对学生出现问题老师讲评（大屏幕给出答案） 五、归纳总结，引导学生给出本节知识总结 六、应用拓展（课后完成） 1、已知函数(x)=2ax―x3,x(0,1], a>0 (1) 若f(x)在x(0,1] 上是增函数,求a的取值范围; (2) 求f(x)在区间(0,1]上的最大值2 2、已知f(x)=x3＋ax2＋bx＋c在x=1与x=－ 时，都取得极值. 3 1 (1) 求 a,b的值； (2) 如对x∈[－1,2],都有f(x)< 恒成立，求c的取值范围 c x + a 思考：已知a>0,求函数f(x)= 在x∈[0,＋ ∞)上的值域. 课后作业P 1 2 73