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第五章《相交线与平行线》同步单元基础与培优高分必刷卷
全解全析
1．C
【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，
简称平移，即可选出答案．
【详解】解：A.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
B.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
C.是由“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意；
D.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，学生混淆图形的平移与旋
转或翻转，而误选．
2．B
【分析】根据从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离解答．
【详解】解：∵ED⊥AB，
∴点D到直线AB距离的是线段DE的长度．
故选：B．
【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
3．C
【分析】根据同位角的定义“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条线的同侧，并且在第三
条直线（截线）的同旁，则这样的角叫做同位角”进行判断即可．
【详解】图①③中，∠1与∠2是同位角；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同位角的定义，解题关键是掌握同位角的构成形式．
4．D
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：①∠1=∠2不能判定AB∥CD，不符合题意；
②∵∠1=∠3，∴AB∥CD，符合题意；
③∵∠2=∠4，∴AB∥CD，符合题意；
④∠DAB+∠ABC=180°；不能判定AB∥CD，不符合题意；
⑤∵∠BAD+∠ADC=180°，∴AB∥CD，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题的关键．5．D
【分析】过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，由题意可得 ，进而可得 ，然
后问题可求解．
【详解】解：过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，如图所示：
∵第三次拐的 ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，
∴直线BD与第三次拐弯的道路也平行，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6．D
【分析】根据平行线的性质求出∠3=∠1=40°，根据三角形的外角性质求出∠2=∠3+∠A，代入求出即可．
【详解】∵EF∥MN，∠1=40°，∴∠1=∠3=40°．
∵∠A=30°，∴∠2=∠A+∠3=70°．
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能求出∠3的度数是解答此题的关键，注意：两直线
平行，内错角相等．
7．A
【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠BAE＝∠AEF及∠C＝
∠CEF，结合∠AEF+∠CEF＝90°可得出∠BAE+∠C＝90°，由邻补角互补可求出∠BAE的度数，进而可求出
∠C的度数．【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，
∴∠BAE＝∠AEF．
∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF．
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，即∠AEF+∠CEF＝90°，
∴∠BAE+∠C＝90°．
∵∠1＝125°，∠1+∠BAE＝180°，
∴∠BAE＝180°﹣125°＝55°，
∴∠C＝90°﹣55°＝35°．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质、垂线以及邻补角，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
8．C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等即可解答，此题在解答过程中，需添加辅助线．
【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD．
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，
∴∠β=∠AEF+∠γ，即∠AEF=∠β-∠γ，
∴∠α+∠β-∠γ=180°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
9．C
【分析】根据平行线的判定方法，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：①∵∠1＝∠4，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；②∵∠3＝∠5，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
③∵∠2+∠5＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）；
④∠2和∠4不是同旁内角，所以∠2+∠4=180°不能判定直线a∥b．
∴能判断直线a∥b的有①②③，共3个．
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行，
解题时要认准各角的位置关系．
10．C
【分析】设 灯旋转的时间为 秒，求出 的取值范围为 ，再分① ，② 和③ 三
种情况，先分别求出 和 的度数，再根据平行线的性质可得 ，由此建立方程，解方
程即可得．
【详解】解：设 灯旋转的时间为 秒，
灯光束第一次到达 所需时间为 秒， 灯光束第一次到达 所需时间为 秒，
灯先转动2秒， 灯才开始转动，
，即 ，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当 时， ，
，
，
，
，即 ，
解得 ，符合题设；
②如图，当 时， ，
，，
，
，即 ，
解得 符合题设；
③如图，当 时， ，
，
同理可得： ，即 ，
解得 ，不符题设，舍去；
综上， 灯旋转的时间为1秒或 秒，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间 的取值范围，并据此分三
种情况讨论是解题关键．
11．D
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【详解】解：（1）如图1，由AB CD，可得∠AOC＝∠DCE ＝β，
1
∵∠AOC＝∠BAE+∠AEC，
1 1
∴∠AEC＝β﹣α．
1
（2）如图2，过E 作AB平行线，则由AB CD，可得∠1＝∠BAE＝α，∠2＝∠DCE ＝β，
2 2 2
∴∠AEC＝α+β．
2
当AE 平分∠BAC，CE 平分∠ACD时，
2 2∠BAE+∠DCE ＝ （∠BAC+∠ACD）＝ ×180°＝90°，
2 2
即α+β＝90°，
又∵∠AEC＝∠BAE+∠DCE ，
2 2 2
∴∠AEC＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β；
2
（3）如图3，由AB CD，可得∠BOE ＝∠DCE ＝β，
3 3
∵∠BAE＝∠BOE +∠AEC，
3 3 3
∴∠AEC＝α﹣β．
3
（4）如图4，由AB CD，可得∠BAE+∠AEC+∠DCE ＝360°，
4 4 4
∴∠AEC＝360°﹣α﹣β．
4
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用与外角定理，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，
内错角相等．
12．C
【分析】根据 得到FG∥AD，判断①正确；
根据∠ADE+∠BDE=90°，∠B+∠BDE=90°，得到③正确；
根据 ， 证明∠BDE=∠C，进行角的代换证明∠BDE+∠CFG=90°，得到④正确；
证明∠ADE+∠BDE=90°，判断②不正确．
【详解】解：∵
∴∠FGB=∠ADB=90°，
∴FG∥AD，∠ADE+∠BDE=90°，故①正确；
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠CAB=90°，
∴∠B+∠BDE=90°，
∴ ，
∴③正确；
∵ ，
∴∠BDE=∠C，
∵∠FGC=90°，
∴∠C+∠CFG=90°，
∴∠BDE+∠CFG=90°，
∴④正确；
∵∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠BDE=90°，
∴②不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等，平行线的判定等知识，熟知相关定理是
解题关键．
13．（ab﹣2b）
【分析】根据图形的特点，可以把小路的面积看作是一个底是2米，高是b米的平行四边形，根据平行四边形的面
积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，用长方形的面积减去小路的面积即可．
【详解】解：由题可得，草地的面积是(ab﹣2b)平方米．
故答案为：(ab﹣2b)．
【点睛】本题考查了平移的实际应用．化曲为直是解题的关键．
14． 20 12 12
【分析】利用同位角、内错角、同旁内角定义进行解答即可．
【详解】解：同位角：∠AEO和∠CGE，∠OEF和∠EGH，∠OFB和∠OHD，∠OFE和∠OHG，∠IGH和
∠IEF，∠AEI和∠CGI，∠AFJ和∠CHJ，∠DHJ和∠JFB，∠AEO和∠AFO，∠OEB和∠OFB，∠AEG和
∠AFH，∠GEB和∠HFB，∠EGH和∠OHD，∠OGC和∠OHC，∠O与∠EFH，∠O与∠GEF，∠O和∠IGH，
∠O和∠GHJ，
∠CGI和∠CHJ，∠HGI和∠DHJ，共20对；
内错角：∠O和∠OEA，∠O和∠OFB，∠O和∠OGC，∠O和∠OHD，∠AEG和∠EGH，∠BEG和∠EGC，
∠BFH和∠FHC，∠AFH和∠FHD，∠OEF和∠EFH，∠GEF和∠OFE，∠OGH和∠GHJ，∠OHG和∠IGH，
共12对；
同旁内角：∠OEF和∠O，∠OFE和∠O，∠O和∠OGH，∠O和∠OHC，∠OEF和∠OFE，∠OGH和∠OHG，∠GEF和∠EFH，∠IGH和∠GHJ，∠AEG和∠CGE，∠BFH和∠FHD，∠FEG和∠EGH，∠EFH和∠GHF，共
12对，
故答案为：20；12；12．
【点睛】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”
形，同旁内角的边构成“U”形．
15． 如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行 如果两个角是
同一个角的补角，那么这两个角相等
【分析】找出原命题的条件和结论即可得出答案．
【详解】（1）“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是命题的条件，“这两条直线互相平行”是条件的结
论．
（2）“两个角是同一个角的补角”是命题的条件，“这两个角相等”是条件的结论．
故答案为：（1）如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行．
（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的
结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
16．48
【分析】根据平移的性质得出BE=6，DE=AB=10，则OE=6，则阴影部分面积=S =S ，根据梯形的面
四边形ODFC 梯形ABEO
积公式即可求解．
【详解】解:由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S ＝S （AB+OE）•BE ×（10+6）×6＝48．
四边形ODFC 梯形ABEO
故答案为48．
【点睛】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形ABEO的面积相等是解题的关键．
17．60°
【分析】直接利用垂线的定义得出∠COE=90°，再利用角平分线的定义得出∠DOF的度数．
【详解】解：∵OE⊥OC于点O，
∴∠COE=90°，
∵∠BOC=70°，
∴∠BOE=∠COE-∠BOC=90°-70°=20°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOE=20°，
∵∠AOB=180°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-20°=160°，
∵OF平分∠AOE，∴∠EOF= ∠AOE=80°，
∴∠DOF=∠EOF-∠DOE=80°-20°=60°，
故答案为：60°．
【点睛】此题主要考查了垂线以及角平分线的定义，正确得出∠BOE的度数是解题关键．
18．60°或105°或135°
【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数．
【详解】解：如图2，当BC∥DE时，∠CAE=45°-30°=15°；
如图，当AE∥BC时，∠CAE=90°-30°=60°；
如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE=45°+60°=105°；如图，当DE∥AC时，∠CAE=45°+90°=135°．
综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为
60°或105°或135°．
故答案为：60°或105°或135°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是
解答此题的关键．
19．见解析.
【分析】由EF⊥AB，CD⊥AB可得EF∥CD，由∠AGD=∠ACB可得DG∥BC．再利用平行线的性质可证∠1=∠2．
【详解】∵EF⊥AB,CD⊥AB,
∴EF∥CD,
∴∠2=∠3.
又∵∠AGD=∠ACB,
∴DG∥BC,
∴∠1=∠3;
∴∠1=∠2.
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
20．垂直定义；AB；CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行
【分析】根据垂直定义求出∠B=∠CDF=90°，根据平行线的判定得出AB∥EF，EF∥CD，即可得出答案．
【详解】证明：∵ （已知），
∴ （垂直定义），
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行），∵ （已知），
∴ （内错角相等，两直线平行），
∴ （平行于同一条直线的两条直线平行），
∴ （两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直定义；AB；CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行
【点睛】本题考查了平行线的判定的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定
定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，④平行于同
一直线的两直线平行．
21．（1）证明见解析（2）50°
【详解】试题分析：(1) 已知 2∠1-∠2=150°，2∠2-∠1=30°，可得∠1+∠2=180°，再由
∠1+∠DME=180°，可得∠2=∠DME，根据内错角相等，两直线平行即可得DM∥AC；（2） 由（1）
得DM∥AC，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠AED ，再由DE∥BC ，可得∠AED=∠C ，所
以∠3=∠C 50°.
试题解析：
（1）∵ 2∠1-∠2=150°，2∠2-∠1=30°，
∴ ∠1+∠2=180°.
∵ ∠1+∠DME=180°，
∴ ∠2=∠DME .
∴ DM∥AC .
（2）∵ DM∥AC，
∴ ∠3＝∠AED .
∵ DE∥BC ，
∴ ∠AED=∠C .
∴ ∠3=∠C .
∵ ∠C=50°，
∴ ∠3=50°.
22．（1）见解析（2）90°＋ α
【分析】（1）根据平行线的判定和性质解答即可；
（2）根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：（1）∵∠3＋∠DFE＝180°，∠1＋∠3＝180°
∴∠DFE＝∠1，
∴AB∥EF，
∴∠CEF＝∠EAD；（2）∵AB∥EF，
∴∠2＋∠BDE＝180°
又∵∠2＝α
∴∠BDE＝180°−α
又∵DH平分∠BDE
∴∠1＝ ∠BDE＝ （180°−α）
∴∠3＝180°− （180°−α）＝90°＋ α．
【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定等知识点，注意：①内错角相等，两直线平行，②两直
线平行，同旁内角互补．
23．（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，画图见解析；（4） 秒，画图见解析
【分析】（1）用角的度数除以转动速度即可得；
（2）求出∠AON=60°，结合旋转速度可得时间t；
（3）设∠AON=3t，则∠AOC=30°+6t，由题意列出方程，解方程即可；
（4）根据转动速度关系和OC平分∠MOB，由题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵30÷3=10，
∴10秒后ON与OC重合；
（2）∵MN∥AB
∴∠BOM=∠M=30°，
∵∠AON+∠BOM=90°，
∴∠AON=60°，
∴t=60÷3=20
∴经过t秒后，MN∥AB，t=20秒．
（3）如图3所示：
∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠BOM，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，
设∠AON=3t，则∠AOC=30°+6t，
∵OC与OM重合，∵∠AOC+∠BOC=180°，
可得：（30°+6t）+（90°-3t）=180°，
解得：t=20秒；
即经过20秒时间OC与OM重合；
（4）如图4所示：
∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，
设∠AON=3t，∠AOC=30°+6t，∵∠BOM+∠AON=90°，
∴∠BOC=∠COM= ∠BOM= （90°-3t），
由题意得：180°-（30°+6t）= （ 90°-3t），
解得：t= 秒，
即经过 秒OC平分∠MOB．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找
到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．
24．（1）2，1，60°；（2）30秒或110秒；（3）不变，∠BAC=2∠BCD，理由见解析
【分析】（1）根据非负数的性质可得a，b；根据∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，即可得到∠BAN
的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据2t=1•（30+t），可得
t=30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t-180）=180，可得t=110；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC=2t-120°，∠BCD=120°-∠BCD=t-60°，即可得出∠BAC：∠BCD=2：
1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴a-2=0，b-1=0，
∴a=2，b=1，∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，
∴∠BAN=180°× =60°；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD=∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM=∠BDA，
∴∠CAM=∠PBD
∴2t=1•（30+t），
解得 t=30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA=180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN=∠BDA
∴∠PBD+∠CAN=180°
∴1•（30+t）+（2t-180）=180，
解得 t=110，
综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN=180°-2t，
∴∠BAC=60°-（180°-2t）=2t-120°，
又∵∠ABC=120°-t，
∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-t，而∠ACD=120°，
∴∠BCD=120°-∠BCA=120°-（180°-t）=t-60°，
∴∠BAC：∠BCD=2：1，
即∠BAC=2∠BCD．
