文档文本内容
专题01 条件概率与事件的独立性
题型一：条件概率的计算
题型二：条件概率的性质及应用
题型三：全概率公式的应用
题型四：贝叶斯公式的应用
题型五：相互独立事件的判断
题型六：相互独立事件的概率问题
题型七：概率的综合问题
题型一：条件概率的计算
1．已知随机事件
、
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．对于随机事件
、
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）已知
，
分别为随机事件A，B 的对立事件，若
，
，
，则下
列选项正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知两个随机事件
，
，若
，
，
，则
．
题型二：条件概率的性质及应用
6．在一个不透明的盒中装有6 个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中
一次取出2 个小球，设事件
为“取出2 个小球的数字之和大于6”，事件
为“取出的2 个小球中最小数
字为3”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，用M、
、
三类不同的元件连接成一个系统，当M 正常工作且
、
至少有一个正常工作
时，系统正常工作，已知M、
、
正常工作的概率依次是
、
、
，则在系统正常工作的前提下，
只有M 和
正常工作的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》
的占
，阅读过《三国演义》的占
，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占
，现从阅读过《三
国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（ ）
A．0.8
B．0.6
C．0.45
D．0.75
9．甲、乙两人分别从A，B，C，D，E 五个景点中随机选择一个景点游玩，若这两人中至少有一人选择景
点A，则他们选择的景点不相同的概率为 .
10．一个箱子里有5 个相同的球，分别标有数字
，从中有放回地随机取3 次，每次取出1 个球，
并记录其号码．设这三次的号码之和为，若为偶数，则三次号码都是偶数的概率为 ．
11．一个盒子装有8 个除颜色及等级外完全相同的乒乓球，其中白球有4 个一星“☆”，2 个二星“☆☆”；
黄球有1 个一星“☆”，1 个二星“☆☆”．每次从盒子中随机摸出1 个球，摸出的球不再放回．若摸出白
球即停止，则摸出的球中没有二星球的概率为 ；若连续摸两次，在第1 次摸出白球的条件下，
第2 次摸出二星球的概率为 ．
题型三：全概率公式的应用
12．已知某盒中装有6 个大小、质地一致的乒乓球，其中有4 个新球（从未被使用过）2 个旧球，第一次
比赛时从此盒中任取2 个球来使用，赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取2 个球使用.
（i）第二次比赛时取出的2 个球都是新球的概率为 ；
（ii）在第一次比赛时取出2 个旧球，赛后将两球放回盒中的条件下，第二次比赛时取出的2 个球都是新球
的概率为 .
13．学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和
跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、
0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（ ）
A．0.67
B．0.58
C．0.51
D．0.37
14．某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分
分，得分
分及
以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是
，高二年级优秀率约是
，高三年级优秀率
约是
.其中高一、高二、高三年级人数比为
，那么全校“优秀率”约是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．有3 台车床加工同一型号的零件，第1 台加工的次品率为6%，第2，3 台加工的次品率均为5%；加工
出来的零件混放在一起，且第1，2，3 台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%， 45%.现从加工出来
的零件中任取一个零件，取到的零件是次品，且是第3 台车床加工的概率为
16．某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑
车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为 ．
17．某厂有甲、乙两车间生产同一种产品，已知甲、乙车间的产量分别占全厂产量的70%，30%，并且甲、
乙车间的次品率分别为2%，1%，现从该厂这批产品中任取一件，则取到次品的概率为 .
题型四：贝叶斯公式的应用
18．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件
存在如下关系：
.2025 贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附
近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3 和0.7．如果她第一天去甲影院，
那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学
（ ）
A．第二天去甲影院的概率为0.54
B．第二天去乙影院的概率为0.46
C．已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为
D．已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为
19．某市场供应三种品牌的工具刀，相应的市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌
甲
乙
丙
市场占有率
50%
30%
20%
优质率
90%
80%
70%
记
，
，
表示买到的工具刀的品牌分别为甲、乙、丙，
表示买到的工具刀是优质品．在该市场中随
机买一种品牌的工具刀，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
20．某批产品来自
两条生产线，
生产线占
，次品率为
；
生产线占
，次品率为
．
现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自
生产线的概率是 ．
21．有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第台生产的次品率为
，第2 台生产的次品率为
.现将两
台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第
台光刻机生产的芯片占比分别为
.任取一枚芯片，
则它是次品的概率为 ；如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为 .
22．进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的
，
两个区分别有
，
的人患了流
感，已知
，
两区的人口数的比为
，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来
自
区的概率为 .
题型五：相互独立事件的判断
23．已知
，
，
，则事件
与
的关系是（ ）
A．
与
互斥但不对立
B．
与
对立
C．
与
相互独立
D．
与
既互斥又相互独立
24．（多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件
“第一枚硬币正面朝上”，事件
“第二枚硬
币反面朝上”，则（ ）
A．事件A 与事件B 相互独立
B．事件A 与事件B 互为对立
C．事件A 与事件
相互独立
D．事件A 与事件B 互斥
25．（多选）辽宁全省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市
集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有A，B，C 共3 场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿
者，小林从图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到
写有A，B，C3 个字母的卡片代表小林参加A，B，C3 场活动，则（ ）
A．“小林参加A 场活动”与“小林参加B 场活动”互斥
B．“小林参加A 场活动”与“小林参加B 场活动”相互独立
C．“小林不参加A 场活动”与“小林不参加B 场活动”相互独立
D．“小林不参加A 场活动”与“小林参加B 场或C 场活动”相互独立
26．（多选）某商场举办抽奖转盘活动，转盘被均匀划分为6 个扇形区域，分别标有数字1 至6，参与者
转动转盘一次，记录指针所指的数字．定义事件
“数字为3”，事件
“数字为偶数”，事件
“数字小于4”，事件
“数字大于3”，则（ ）
A．
与
互斥
B．
与
对立
C．
与
独立
D．
与
对立
27．如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1 到6、正四面体骰子四个面
分别标以数字1 到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1 到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正
方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a 为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若a 为偶数，则第
二次抛掷正八面体骰子 记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为b.设事件
，事件
，
事件
.
(1)求事件C 发生的概率；
(2)判断事件A，B 是否相互独立，并说明理由.
题型六：相互独立事件的概率问题
28．概率论起源于博弈游戏17 世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲乙两人进行博弈
､
游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150 枚金币，先赢3 局者可获得全部赎金；但
比赛中途因故终止了，此时甲赢了2 局，乙赢了1 局.问这300 枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕
斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是( )
A．甲150 枚，乙150 枚
B．甲225 枚，乙75 枚
C．甲200 枚，乙100 枚
D．甲25 枚，乙50 枚
29．有甲、乙、丙三个开关和A，B，C 三盏灯，各开关对灯的控制互不影响．当甲闭合时A，B 亮，当乙
闭合时B，C 亮，当丙闭合时A，C 亮．若甲、乙、丙闭合的概率分别为
，
，
，且相互独立，则在A
亮的条件下，B 也亮的概率为 ．
30．某课程考核分理论与试验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是
“合格”，则该课程考核“合格”．若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9，0.8，0.6；在
试验考核中合格的概率分别为0.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．
(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
(2)求这三个人该课程考核都合格的概率．（结果保留三位小数）
31．10 月9 日晚，2022 年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与
十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团
体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比
赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相对独立.
(1)求这场选拔赛三局结束的概率；
(2)求甲在第四局获胜的概率.
32．女排世界杯比赛采用5 局3 胜制，前4 局比赛采用25 分制，每个队只有赢得至少25 分，并同时超过
对方2 分时，才胜1 局；在决胜局（第五局）采用15 分制，每个队只有赢得至少15 分，并领先对方2 分
为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1 分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得
1 分.现有甲乙两队进行排球比赛.
(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为
，求甲队最后赢得整场
比赛的概率；
(2)若前四局比赛中甲乙两队已经各赢两局比赛
､
.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲乙各
､
14 分，
且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1 分的概率为
，乙发球时甲赢1 分的概率为
，得分者获得下一
个球的发球权.求两队打了
个球后，甲队赢得整场比赛的概率.
33．2021 年5 月31 日，中共中央政治局召开会议，会议指出，进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以
生育三个子女政策及配套支持措施，有利于改善我国人口结构、落实积极应对人口老龄化国家战略、保持
我国人力资源禀赋优势.某地一家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响.已知在
某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为
，甲、丙都需要照顾的概率为
，乙、丙都需要照顾的概率为
.
(1)求甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率；
(2)求这一小时内恰有一位小孩需要照顾的概率.
题型七：概率的综合问题
34．通信渠道中可传输的字符为
，
，
三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，
0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为
，收到每一种其他字符的概率均为
，假
定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为
，则传输的字符是
的概率为（）
A．0.4556
B．0.3689
C．0.9872
D．0.5625
35．（多选）已知
为随机事件，且
，
，则
的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．事件
相互独立
36．某智力问答游戏的规则如下：游戏共有
两类问题（每类问题的数量无限多，且不重复）．参加游
戏的选手解答任意一道问题正确，则游戏结束；若解答错误，则按以下规则抽取一道问题进行解答：若解
答的是A 类问题，则抽取一道B 类问题进行解答，若解答的是B 类问题，则等可能地抽取一道A 类或B 类
问题进行解答．如此循环，直到解答正确为止．已知甲解答
两类问题的正确率分别是
，且解答每
道问题是相互独立的．若甲最先解答一道A 类问题，则他通过解答B 类问题结束游戏的概率是 ．
37．某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位
置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．
场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
0.5
0.3
0.2
球队胜率
0.6
0.8
0.7
(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
(3)如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比赛中甲最可能的出场位置.
38．若某项赛事有16 个队伍参加，分成4 个小组，记为1，2，3，4 组，每个小组有1 个一档球队，记为
A，1 个二档球队，记为B，2 个三档球队，分别记为C，D．一档队伍胜三档队伍的概率为
，二档队伍胜
三档队伍的概率为
，一档队伍胜二档队伍的概率为
，同档队伍之间比赛胜对方的概率为
．比赛采取
单场淘汰制，胜者进入下一轮，直至进入决赛决出冠军，对阵关系图如下所示，第一轮一、二档球队都是
对阵三档球队．
(1)分别求一、二、三档球队从小组胜出的概率；
(2)已知A1 进决赛的概率约为
，B1 进决赛的概率约为
，求一档球队夺冠的概率．
39．某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有
A，B 两道题目，比赛按先A 题后B 题的答题顺序各答1 次，答对A 题得2 分，答对B 题得3 分，答错得0
分．已知学生甲答对A 题的概率为
，答对B 题的概率为
，其中
，
，学生乙答对A 题的
概率为
，答对B 题的概率为
，且甲、乙各自在答A，B 两题的结果互不影响．
(1)若甲比赛后得5 分的概率为
，得3 分的概率为
．
① 求
，
的值；
② 在此情况下，求比赛后甲、乙总得分不低于8 分的概率．
(2)记甲、乙总得分为5 分的概率为
，甲、乙总得分为10 分的概率为
，若
，试比较
与
的
大小．
