[A4版]25李艳芳数一概率部分做题本_考研_数学_08.李艳芳_25李艳芳《900题》做题本_数一

概率 · 目录 目 录 第一章 随机事件及其概率 ......................................................... 2 A 类 ....................................................................... 2 B 类 ....................................................................... 5 第二章 随机变量及其分布 ......................................................... 9 A 类 ....................................................................... 9 B 类 ...................................................................... 13 第三章 多维随机变量及其分布 .................................................... 16 A 类 ...................................................................... 16 B 类 ...................................................................... 19 C 类 ...................................................................... 23 第四章 随机变量的数字特征 ...................................................... 25 A 类 ...................................................................... 25 B 类 ...................................................................... 30 第五章 大数定律与中心极限定理 .................................................. 35 A 类 ...................................................................... 35 第六章 数理统计的基本概念 ...................................................... 39 A 类 ...................................................................... 39 B 类 ...................................................................... 42 第七章 参数估计 ................................................................ 45 A 类 ...................................................................... 45 第八章 假设检验 ................................................................ 53 A 类 ...................................................................... 53 第 1 页，共52 页概率 · 1. 随机事件及其概率 第一章 随机事件及其概率 A 类 一、选择题 1 设随机事件A,B和C的概率均不为0.若P(AB∣) C=1,则下列命题中,正确的是( )   (A) 第 2 页，共52 页 P ( A ∣B C ) = 1 . (B) P ( A ∣B C ) = 1 . (C) P ( A  ∣B C ) = 0 . (D) P  ( A  B )∣ C  = 0 . 2 将一枚骰子先后投掷 2 次,事件 A 表示两次出现的点数之和为 8,事件 B 表示第 1 次出 现的 点数大于第 2 次出现的点数, 则下列命题中, 正确的是 ( ) ① P ( A )  P ( ∣A B ) . ② P ( A )  P ( ∣A B ) . ③ P ( B )  P ( ∣B A ) . ④ P ( B )  P ( ∣B A ) . (A) ①③. (B) ①④. (C)②③. (D) ②④. 3 将 S,T,A,T,I,S,T,I,C,S 等十个字母随机地排成一行,记恰好排成 STATISTICS 的概率为p , 1 从这十个字母中随机抽取六个排成一行,记恰好排成STATIC的概率为p ,则 2 p p 1 2 等于 ( ) 1 (A) . (B) 3 1 6 1 . (C) . (D) 12 1 2 4 .概率 · 1. 随机事件及其概率 4 设 第 3 页，共52 页 A , B 为两随机事件, 0P(A)1,0P(B)1 ,则事件 A 与事件 B 相互独立的充分 必要条件为 ( ) (A) P(B)=P ( B∣A ) . (B) P(A)+P ( B∣A ) =1 . (C) P ( ∣B A ) + P ( ∣B A ) = 1 . (D) P ( ∣B A ) + P ( ∣B A ) = 1 . 二、填空题 5 设 A , B 为相互独立的随机事件,且 P ( A ) = P ( B ) = 0 .4 ( ) ,则 P B∣AB =________ . 6 设一盒子中共有 n 个球,这些球非黑即白,且白球有 m 个. 从盒子中依次取出 2 个球,已 知第二个球是白色的, 则取出的第一个球是黑色的概率为_____.概率 · 1. 随机事件及其概率 7 已知某厂的一批产品每箱 10 个,这批产品中,有 第 4 页，共52 页 9 0 % 的箱中无次品,另 1 0 % 则每箱中有 1 个次品. 若在出厂时, 对于每箱产品, 开箱随机检查其中 2 个, 未发现次品就允许出厂, 发现次品则不许出厂, 则 1 箱产品在允许出厂的条件下, 确实无次品的概率为_____. 8 某人忘记了电话号码的后两位, 已知倒数第一位是奇数, 倒数第二位能被 3 整除, 且这两 位 数字不同, 他按这些条件随意地进行拨号, 他拨号不超过三次就能正确拨通的概率为 _______ 9 已知事件 A , B , C 两两独立,且 P ( A ) = 0 .4 , P ( B ) = 0 .5 , P ( C ) = 0 .6 . 若在 A 发生的条件 下, B 和 C 至少有一个发生的概率为 0.9,则 A , B , C 至少有一个发生的概率为______概率 · 1. 随机事件及其概率 10 设 第 5 页，共52 页 A , B , C 为随机事件, P ( A ) = 1 2 , P ( B ) = 1 3 , P ( C ) = 1 4 ,且 A 与 B 相互独立, P ( A C ) = 0 , P ( ∣B B  C ) = 2 3 ,则 A , B , C 中恰有两个事件发生的概率为_________ . B 类 一、选择题 1 设 A , B 为两个随机事件, 0  P ( A ) = p  1 , 0  P ( B ) = q  1 ,则下列结论中,错误的是 ( ) (A) P ( ∣A B )  p q . (B) P ( ∣A B )  p q . (C) P(A∣B)1+ p−1 . (D) P ( A∣B ) 1− p . q q 2 一袋棋子中有 m 枚黑色棋子, n 枚白色棋子 ( m  n ) ,对其进行如下3种抽样:第一种,普通有 放回抽样; 第二种,若抽到某色的棋子,则放回该棋子,同时向袋中放入1枚同色棋子;第三种, 若抽到某色的棋子,则放回该棋子,同时向袋中放入1枚相反色棋子.若记这3种抽样方法下, 事件“第2次抽样抽到黑色棋子”发生的概率分别为 p,p ,p ,则 ( ) 1 2 3 (A) p = p = p . (B) p = p  p . (C) p  p  p . (D) p  p = p . 1 2 3 1 2 3 2 1 3 2 1 3公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取概率 · 1. 随机事件及其概率 3 已知要从甲、乙、丙、丁、戊、己6人中随机选出3人.若甲、乙两人均被选中的概率为 第 6 页，共52 页 p 1 ,在甲、乙两人中至少有1人被选中的条件下,甲、乙两人均被选中的概率为 p 2 ,在丙、丁两 人中至少有1人被选中的条件下,甲、乙两人均被选中的概率为p ,在甲、丙两人中至少有1 3 人被选中的条件下, 甲、乙两人均被选中的概率为p ,则下列各项中正确的是 4 ( ) (A) p 2  p 4 = p 1  p 3 . (B) p 2 = p 4  p 1  p 3 . (C) p 2  p 4  p 1  p 3 . (D) p 2  p 1  p 4  p 3 . 4 设 A , B , C 为三个随机事件,且 P ( A ) = 1 2 , P ( B ) = 1 3 , P ( C ) = 1 4 , P ( A  B  C ) = 0 ,则 A , B , C 一个都不发生的概率最大可取到( ) (A) 5 1 2 11 . (B) . (C) 24 1 2 . (D) 1 2 3 4 . 5 设试验 E 的样本空间为S,A是概率非0的事件, B 1 , B 2 , B 3 为 S 的一个划分,且 P ( B i )  0 , C i = A  B i ( i = 1 , 2 , 3 ) ,则下列结论中,错误的是 ( ) (A) P ( C 1 ) P ( C ∣2 P C ( 1 A ) P ) ( C ∣3 C 1 C 2 ) = 1 . (B) P ( C 1 ) + P ( C 2 ) + P ( C 3 ) − 2 P ( A ) = 1 . (C)  ( ∣ P A 3 P i= 1 ( C ∣A 1 ) B P i ( C ) P 1 ( ) B i ) = 1 . (D) P(B∣C )+P(B∣C )+P(B∣C )=1 . 1 1 2 2 3 3概率 · 1. 随机事件及其概率 二、填空题 6 已知在同一样本空间S中的随机事件 第 7 页，共52 页 A 和 B 相互独立,A和 C 互不相容,且 P ( A ) = 0 .3 , P ( B ) = 0 .4 , P ( C ) = 0 .5 ,则 P ( ∣A A  B  C ) = _________ . 7 设袋中有6个白球,4个红球,每次从袋中取出一球,若是白球,就将此球放回,并且再向袋中 放入一白球,若是红球,就不再放回,则取球5次之后,可以将袋中的红球取完的概率为______. 8 设有n(n4)个人参加一次宴席,围绕一张圆桌坐下,则不同的人座顺序有____种.其中甲乙 两人隔座人座的概率为____概率 · 1. 随机事件及其概率 9 设有三个外观相同的盒子,盒子中分别装有10个,15个与25个球,这些球都是白色的或者 是黑色的.这三个盒子中分别含有3个,7个,和10个白球,随机的选取一个盒子,并从中先后抽 取两个球,已知第二个抽到的是黑球,则第一个球是白球的概率为______. 10 某玩具商店推出一种卡通人物盲盒,3种不同的卡通人物为一套,开盒必得其中一种卡通人 物,各种人物出现的概率相等.若小明购买了5盒,则他集齐一套卡通人物的概率为______ 11 设某盒中有n个球,其中1个白球,n−1个黑球.现从盒中不放回地取球,记 第 8 页，共52 页 p 为事件“取球 n−2次,取到白球”的概率,q为事件“取球 n−2次,没有取到白球”的概率.若方程 x 2 − p x + q = 0 有解,则n至少为_________ .概率 · 2.随机变量及其分布 第二章 随机变量及其分布 A 类 一、选择题 1 设随机变量 第 9 页，共52 页 X , Y 的分布函数分别为 F 1 ( x ) , F 2 ( x ) ,则下列各组数中能够使得 F ( X ) = a F 1 ( x ) F 2 ( x ) + b F 1 ( x ) + c F 2 ( x ) + d 为随机变量分布函数的是 ( ) (A) a = 1 2 , b = 1 4 , c = 1 2 0 , d = 1 5 . (B) a = 1 3 , b = 1 3 , c = 1 3 , d = 1 3 . (C) a = 1 2 , b = 1 4 , c = 1 4 , d = 0 . (D) a = 1 3 , b = 1 4 , c = 1 4 , d = 0 . 2 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ,则下列说法中正确的是( ) (A) 1 2 f  1 2 x  X X 是随机变量 的概率密度. (B) 2f (2x) 是随机变量 的概率密度. 2 2 1  (C) 2f x 是随机变量   2  X 2 的概率密度. (D) 1 2 f ( 2 x ) 是随机变量 X 2 的概率密度. 3 若随机变量X 的函数(X −1)2服从参数为 1 的0−1分布,则下列说法中正确的是 ( ) 2 (A) X 的分布是唯一确定的. (B) X 可能的取值只有 2 个. (C) X = 1 的概率必为 1 2 . (D) X 可能取负数值.概率 · 2.随机变量及其分布 4 若一台机器连续正常工作的时间长度 (单位:天) 第 10 页，共52 页 X 服从参数为 1 的指数分布,该机器一天 内出现故障的次数 Y 服从参数为 2 的泊松分布,则 ( ) (A) 1 1 2   = . (B) 1 2   = . (C) 1 2   = . (D) 1 22   = . 5 已知某工厂用于生产同一种产品的机床有甲、乙两种.令X,Y分别表示一台甲、乙机床生 产同样一件产品所需的天数.已知  ( 1 0 ,1 6 ) ,  ( 1 2 , 4 ) .若一件产品希望15天交付,另一 件产品希望13天交付, 则分别应选的机床种类是 ( ) (A) 甲, 甲. (B) 甲, 乙. (C) 乙, 甲. (D) 乙, 乙. 二、填空题 7 已知随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) =  1 n 0 , x − n −n 1 , 0 其  他 x  , 1 , 则 Y = n X 的概率密度为 _____.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取概率 · 2.随机变量及其分布  1 1 7 已知随机变量 X 服从区间 − , 上的均匀分布. 若    2 2 第 11 页，共52 页 Y ta n X  = ,则 Y 的概率密度为 fY ( y ) = _________ . 8 设随机变量 X N ( , 2 )   ,则 X 的概率密度为_________ . 三、解答题 9 设随机变量 X 服从参数为  的指数分布,求 Y =aX +b(a0) 的概率密度.概率 · 2.随机变量及其分布 10 已知一组有2名男生,2名女生,二组有3名男生,1名女生.现在两组各自随机选出2名组员 并互换.计算互换后二组中女生人数 第 12 页，共52 页 X 的分布律. 11 已知某银行发售的理财产品有 1000 人认购,每个人在一年内卖出的概率为 0 .1 % ,且不 同的人是否卖出相互独立. 问: 一年后仍有不少于 996 人持有该产品的概率是多少? 12 设袋中有m个白球和n个黑球,现从袋中逐个取球,记 X 表示第一次取到白球所需的取球 次数,分别在有放回和无放回的模式下计算 X 的分布律.概率 · 2.随机变量及其分布 13 有若干箱产品,每箱中有 10 件. 已知每箱中不合格品的件数 M 的分布律如下: 随机选 1 箱并从中随机抽取 2 件产品,求抽到的不合格品数 第 13 页，共52 页 X 的分布律. B 类 一、选择题 1 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) e e x x , , x , x x x , , ,          =  + − − −     其中 0     .下列说法中错误的 是 ( ) (A) 1 2   . (B) 1 . (C) 1   +  . (D) 可取大于的任意值. 2 设随机变量X 与Y相互独立,其中X 为连续型随机变量,其分布函数为F (x),Y 为离散型随 X 机变量,其分布函数F (y)共有4个间断点.记 Y F Z ( z ) 为随机变量 Z = X Y 的分布函数,则函数 F Z ( z ) 的间断点个数至多为 ( ) (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 .概率 · 2.随机变量及其分布 3 设随机变量 第 14 页，共52 页 Y 在  0 ,1  上服从均匀分布, F ( x ) 1 2 1 a r c ta n x  = − ,随机变量 X 满足 F ( X ) = Y ,则 X 的分布函数为 ( ) (A) F(x) . (B) 1−F(x) . (C) F − 1 ( x ) . (D) 1−F−1(x) . 二、填空题 4 通过点 ( 1 , 0 ) 随机作直线与 x 轴成角, 2 2    −   .记该直线在 y 轴上的截距为 Y ,则 Y 的概 率密度 fY ( y ) = ________ . 5 已知一批电子元件的寿命小于等于200小时的概率为0.05.设有80只新的电子元件同时开 始独立工作,则由泊松定理估计,200小时后至少有78只电子元件仍正常工作的概率的近似值 为_________ .(要求精确到小数点后第三位). [附表]概率 · 2.随机变量及其分布 三、解答题 6 某袋中有三枚硬币,一枚是双正面的硬币,一枚是均匀的正反面硬币,一枚是正面出现概率为 第 15 页，共52 页 3 4 的灌铅硬币,先后3次从袋中随机选取一枚硬币抛试,令 X 为这三次中出现正面的次数,分 别在无放回和有放回的模式下计算 X 的分布律. 7 已知随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) 0 1 2 , x e x2 , x x 0 0 , ,  =  −   求 Y = e X 的概率密度 fY ( y ) . 8 已知随机变量 X 的概率密度 f ( x ) =  a 0 − , b x 2 , − 其 1  他 x  1 , 为连续函数,求 Y = a − b X 2 的分布 函数 F Y ( y ) .概率 · 3.多维随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 A 类 一、选择题 1 设随机变量X,Y相互独立,X 服从参数为 第 16 页，共52 页 1 2 的两点分布, Y 为取值为0,1,2的离散型随机变 量,且 P P  Y Y = = 1 2  = 2 3 , P  X = 0 , Y = 0  = 1 1 2 ,则方程 1 4 t 2 + X t + Y = 0 有实根的概率为 ( ) (A) 1 2 1 . (B) . (C) 3 1 6 . (D) 1 1 2 . 2 设随机变量X,Y,Z相互独立,且 X N ( 2 , 21 ) , Y N ( , 22 ) , Z N ( , 22 )       ,则概率 P  X Y Z ( 1 2 ) 21 2 22  ( )     − −  + + (A) 随 1 2   + 的增加而增加. (B) 随 1 2   + 的增加而减少. (C) 随 2 / 1   的增加而增加. (D) 随 2 / 1   的增加而减少. 二、填空题 3 设二维随机变量 ( X , Y )  x y 的联合分布函数为F(x,y)= A B+arctan C+arctan ,则     2 3 ( X , Y ) 的联合概率密度 f (x,y)= ________ .概率 · 3.多维随机变量及其分布 4 设随机变量 第 17 页，共52 页 Y 的概率密度 fY ( y ) =  2 3 0 ( , 1 + y ) , 0 其  他 y .  1 , 在 Y = y 的前提下,随机变量X 服从 (1− y,2)上的均匀分布,则X 的分布函数为______ . 三、解答题 5 已知二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律为 且 a  0 .若 X − Y 的值等概率取遍 − 2 , − 1 , 0 ,1 , 2 ,且随机变量 M = m a x  X , Y  与 N = m in  X , Y  相互独立,求 ( X , Y ) 的联合分布律中的所有未知参数. 0, x0,  6 已知连续型随机变量X 与Y独立同分布,概率密度均为 f (x)= 1 − x 计算随机变  e 2, x0,  2x 量 Z =X +Y 的概率密度 f (z) . Z概率 · 3.多维随机变量及其分布 7 已知二维随机变量(X,Y)服从区域 第 18 页，共52 页 D 上的均匀分布,其中 D =  ( x , y )∣ 0  x  2 a , 0  y  a  , 随 机变量 Z = m a x  X , Y  .求Z的概率密度 f Z ( z ) . 8 设 X , Y 都是非负的连续型随机变量,它们相互独立. (I) 证明: P { X Y } 0 F X ( x ) fY ( x ) d x ,   =  + 其中 F X ( x ) 是 X 的分布函数, fY ( y ) 是Y的概率密度. (II) 设 X , Y 相互独立,其概率密度分别为 f X ( x ) 0 1 , e x1 , x , 0 , fY ( y ) 0 2 , e 2 y , , y 0 ,     =  其 − 他  =  其 − 他  求 P { X  Y } .概率 · 3.多维随机变量及其分布 9 设 第 19 页，共52 页 ( X , Y ) 是二维随机变量, X 的边缘概率密度为 f X ( x ) =  3 20 , x 2 − 3 4 x 3 , 0 其  他 x  . 2 , 在给定 X =x(0x2)的条件概率密度为 f ∣Y X ( ∣y x ) =  2 0 x , 2 − y x 2 , x 其  他 y .  2 x , (I) 求 ( X , Y ) 的联合概率密度 f ( x , y ) ; (II) 求 Y 的边缘概率密度 fY ( y ) ; (III) 求 P  m a x  X , Y   1  . B 类 一、选择题 1 设随机变量 X , Y 独立同分布, PX =0= p,PX =1=1− p=q,0 p1 . 令 1,X +Y为偶数 Z = 0,X +Y为奇数 记 p 0 = P  Z = 0  , p 1 = P  Z = 1  ,则下列命题中，正确的是( ) (A) 若 X,Z 不独立,则 p  p . (B) 若 X,Z 不独立,则 p = p . 0 1 0 1 (C) 若 X , Z 不独立,则 p  p . (D) 0 1 X , Z 是否独立与 p ,p 的大小关系无关. 0 1概率 · 3.多维随机变量及其分布 2 设随机变量 第 20 页，共52 页 X , Y 相互独立,X B(1,p),Y B(1,q),且 p+q=1(p,q0).下列条件中,事件 A , B 一定不相互独立的个数为 ( ) ① A =  X = 0  , B =  X + Y = 1  . ② A =  X = 0  , B =  X = Y  . ③ A =  X = 0  , B =  X + Y  1  . (A) 0. (B) 1. (C) 2. (B) 3. 3 记区域 D={(x,y∣)0x+,0 y+} ,设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为 f ( x , y ) 2 0 , e x 2 2 y 2 , ( x , y ) . D ,  =  − + 其 他  记 p = P  m a x  X , Y   1  , q = P  m in  X , Y   1  ,则下列说法 中, 错误的是 ( ) (A) 0  p + q  1 1 p − . (B) e− e . (C) 1−e 2  p1−e−1 . (D) q e − 1  q  e − 12 . 二、填空题 4 设随机变量X 在区间0,2上服从均匀分布,当0 X 1时,随机变量Y服从均值为1的指数 分布,当 1  X  2 1 时,随机变量Y服从均值为 的指数分布,则当y0时,Y的概率密度 2 f (y)=________ . Y公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取概率 · 3.多维随机变量及其分布 5 已知二维随机变量 第 21 页，共52 页 ( X , Y ) 服从正态分布 N ( 0 , 0 ;1 ,1 ; 0 ) ,随机变量 U = X2 +Y2,V = X −Y . 若 F ( u , v ) 为二维随机变量 ( U ,V ) 的分布函数,则 F ( 1 , 0 ) = _ _ _ _ . 6 已知连续型随机变量 X 1 , X 2 , , X n 2e−2x, x0, 独立同分布,概率密度均为 f (x)= 随机变量 0, x0, M =maxX ,X , ,X 的概率密度为 1 2 n f m ax ( x ) , N = m in  X 1 , X 2 , , X n  的概率密度为 f m in ( x ) . 若 f m ax ( a ) = f m in ( a ) ,且a0,则 a= ________ . 三、解答题 7 设随机变量 X  U ( 0 ,1 ) ,当 X = x 时,随机变量 Y 的条件概率密度为 f ∣Y X ( ∣y x ) =  2 0 x , y e − xy 2 , y 其  他 0 , . (I) 求 Y 的边缘概率密度; (II) 求 Z = X Y 2 的概率密度函数.概率 · 3.多维随机变量及其分布  C x ,  yx,0x1,   3 3 8 设二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度为 f (x,y)= ( 2−x2 −y2) 2  0, 其他, 其中C为常数. (I) 求常数 第 22 页，共52 页 C ; Y (II) 求随机变量 Z = 的分布函数. X 9 设 1 2 1    ,随机变量 X 服从  0 ,   上的均匀分布,随机变量 Y 服从  ,1   上的均匀分布, X 与 Y 相互独立.令Z =Y−X .求Z的概率密度.概率 · 3.多维随机变量及其分布 10 设区域 第 23 页，共52 页 D =  ( x , y )∣ 0  x  y , 0  y  1  ,二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度为 f ( x , y ) =  6 0 x , y , ( 其 x , 他 y ) .  D , (I) 判断 X , Y 是否相互独立; (II) 求 Z = X 2 + Y 的分布函数. C 类 解答题 1 设区域 D 由直线 y = x , y = 1 和 x = e 围成,二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为 f ( x , y ) =  2 x y 0 , , ( 其 x , 他 y ) .  D , (I) 求条件概率密度 f ∣X Y ( ∣x y ) . (II) 设 a  1 , 2 ) 2 ,记p (a)= f (x∣a)dx,p (a)为当 1 X∣Y 2 − Y  a 时,事件  X  2  发生的概率, 请问 p 1 ( a ) 和 p (a)是否存在最大值?若均存在,则这两个最大值是否相等? 2概率 · 3.多维随机变量及其分布 2 将长度为 第 24 页，共52 页 l 的细棒随机分成3段,记第1段细棒的长度为 X ,第2段细棒的长度为 Y . (I) 计算在 X = x 的条件下, Y 的条件概率密度 f ∣Y X ( ∣y x ) ; (II) 求这3段细棒恰好能构成一个三角形的三边的概率.概率 · 4.随机变量的数字特征 第四章 随机变量的数字特征 A 类 一、选择题 1 已知随机变量 第 25 页，共52 页 X 的分布律为 P  X = n  = a p n , n = 1 , 2 , . 若 E ( X ) = b ,则 ( ) (A) a p = b . (B) b p = a . (C) a b = p . (D) a b p = 1 . 2 设箱中有3个相同的球,编号为 1 , 2 , 3 .从中随机抽取2个, X 表示所取球中的最小编号, Y 表 示所取球中的最大编号,则下列命题中,正确的是( ) (A) E ( X )  E ( Y ) , D ( X )  D ( Y ) . (B) E ( X )  E ( Y ) , D ( X )  D ( Y ) . (C) E ( X )  E ( Y ) , D ( X ) = D ( Y ) . (D) E ( X )  E ( Y ) , D ( X ) = D ( Y ) . 3 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布为 则下列关于随机变量 X,Y 以及 Y 2 的关系的命题中,正确的是 ( ) (A) X 与 Y 相关, X 与 Y 2 不相关且独立. (B) X 与 Y 不相关, X 与 Y 2 相关. (C) X 与 Y 独立, X 与 Y2 独立. (D) X 与 Y 不独立, X 与 Y 2 不相关但不独立.概率 · 4.随机变量的数字特征 4 设 第 26 页，共52 页 X , Y 为相互独立的随机变量,0 p,q1,且 p+q=1,PX =0= p,PX =1=q, PY =0=q,PY =−1= p,则( ) (A) X + Y 与X −Y的相关性与 p , q 的取值有关. (B) X +Y与X −Y的独立性与p,q的取值有关. (C) X + Y 与X −Y的相关性、独立性与 p , q 的取值均无关,且 X + Y 与 X − Y 相关,不独立. (D) X +Y与X −Y的相关性、独立性与 p,q的取值均无关,且X +Y与X −Y不相关,不独立. 5 已知二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为 f ( x , y ) 3 0 , ( 1 8 x 2 y 2 ) 3 , x 2 y , 2 1 ,  =  + + 其 + 他  则 X 与Y的相关系数为 ( ) (A) -1 . (B) 0 . (C) 1 2 . (D) 1 . 6 设二维随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布 N ( 1 , 2 ; 2 ,1 ; )     ,则随机变量 X + Y 与X −Y是否 相关( ) (A) 仅取决于  的值. (B) 仅取决于 2 的值. (C) 取决于 ,2 的值. (D) 以上说法均不正确.概率 · 4.随机变量的数字特征 7 设 第 27 页，共52 页 a  0 ,随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布 N  0 , 0 ; a , a 2 ; − 1 2  .已知 a X + Y 与X 不相关,则下 列随机变量中,服从标准正态分布且与 X 独立的是( ) (A) 1 4 X + Y . (B) 2 3 3 X + 8 3 3 Y 1 . (C) X +Y . (D) 2 2 X + 4 Y . 二、填空题 8 箱子中装有5个相同的球,编号分别为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,从中随机取出3个, X 表示所取出球的最大 编号,则 E ( X ) = ________. 9 已知随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) 3 0 2 x 3 , , 0 x . ,   =  其  他  若 E ( X ) = D ( X ) ,则=______ .概率 · 4.随机变量的数字特征 10 设随机变量的 第 28 页，共52 页 X 的概率密度为 f ( x ) s 0 in , x , 0 x . 2 , F ( x )  =  其  他  为 X 的分布函数, E ( X ) 为 X  1  的期望,则PF(X) E(X) =_________ .  2  11 设随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 f ( x , y ) =  e 0 − , ( x + y ) , x 其  他 0 , . y  0 , 记 Z = X + Y ,则 E ( Z ) = ________ . 12 从圆心位于原点的上半单位圆盘中任意独立地选取两点 A , B ,记圆心角 A O B 的大小为 X , 则E(X)= _________ .概率 · 4.随机变量的数字特征 13 设随机变量 第 29 页，共52 页 X , Y 同分布,且 X , Y 的协方差为4,且 U = 2 X + 1 2 Y + 1 ,V = 1 2 X − 2 Y ,则 U 与V 的协方差为_____. 14 已知某不透明的袋子中装有三个形状相同的球,三个球的颜色分别是红黄蓝,有放回地从袋 中随机取球3次,令 X 表示取到红球的次数, Y 表示取到黄球的次数,则 X , Y 的相关系数 X Y  = _________ . 三、解答题 15 有一对作弊骰子,其中骰子 A 掷出的点数 X 等概率取 2  6 ,骰子 B 掷出的点数 Y 等概率取遍比 X 小的点数. 计算 C o v ( X , Y ) .概率 · 4.随机变量的数字特征  1 x2 y2  , + 1, 16 设二维随机变量(X,Y)服从均匀分布,分布函数为 f (x,y)=ab a2 b2 (a,b0)判  0, 其它 断 第 30 页，共52 页 X , Y 的相关性与独立性. B 类 一、选择题 1 已知随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) =  x 2 a 2 a a 0 , , − 2 x , 0 a 其   他 x x   . a 2 , a , 则( ) (A) D ( X ) 随 E ( X ) 增加而增加. (B) D(X) 随 E ( X ) 增加而减少. (C) D ( X ) 与 E ( X ) 的变化无关. (D) D ( X ) 与 E ( X ) 的关系与 a 的取值有关.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取概率 · 4.随机变量的数字特征 1  , x2 + y2 1, 2 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数 f (x,y)= 则随机变量  0, x2 + y2 1, 第 31 页，共52 页 X 与 Y( ) (A) 不相关且不独立. (B) 不相关且独立. (C) 相关, 且相关系数为正. (D) 相关, 且相关系数为负. 3 已知甲、乙两人将于某日在某地会面, 他们均等可能地在9点到10点之间的任意时间到达 约定地点,并事先约定先到者等待后到者.若甲的等待时间为 X ,乙的等待时间为Y,则 X 与 Y 的相关系数 X Y  为 ( ) (A) -1 . (B) − 1 2 1 . (C) 0 . (D) . 2 二、填空题 2sinxcosx   4 设随机变量 X 的概率密度函数为 f (x)=   2k , x   2k,2k+ 2 ,k为非负整数,  0, 其他, 其中  2 s in x  表示不超过 2 s in x 的最大整数,则E(sinX)=________ .概率 · 4.随机变量的数字特征 5 记半圆盘x2+y2 4(y0)中到 第 32 页，共52 页 x 轴的距离不超过 2 的点所构成的区域为 D .向区域 D 中 随机投掷一点,以该点为圆心,该点到 x 轴的距离为半径作圆C.记圆C的面积为 S ,则 E ( S ) = _______. 6 设点A的坐标为 ( 1 , 0 ) , B 为圆弧x2+y2 =1(x0,y0)上的一点,  为 A O B  的度数,且  在 0 , 2    内随机取值,扇形 A O B 的面积记为 U ,过点 A 做直线 O B 的垂线,垂线段的长度记为 V , 则 =_________ . UV 7 设二维随机变量 ( X , Y ) 服从三角形 A =  ( x , y )∣ x  0 , y  0 , 2 x + y  2  上的均匀分布,令 U =  1 0 , , 若 若 X X   Y Y ,V. =  1 0 , , 若 若 2 2 X X   Y 2 , Y . 则  =________ . XY概率 · 4.随机变量的数字特征 三、解答题 8 已知随机变量X 和Y独立同分布,均服从参数为的指数分布.请问:X +Y与X −Y是否 相 互独立? 是否相关? 9 设随机变量 第 33 页，共52 页 X 的概率密度为 f ( x ) 2 0 x 2 , , 0 . x ,   =  其 他   令 Y = s in X , (I) 求 C o v ( X , Y ) ; (II) 求 Y 的概率密度.概率 · 4.随机变量的数字特征 10 设随机变量 第 34 页，共52 页 , 均服从 N ( 0 , 2 )  ,且,相互独立,其中 2  为未知参数.令随机变量 Z = 2 +2 .计算 E ( Z ) , D ( Z ) .概率 · 5.大数定律与中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理 A 类 一、选择题 1 设 第 35 页，共52 页 X 1 , X 2 , , X k , 为一列独立同分布的随机变量序列,且  X k  的分布律满足 P  X k = 2 n − a ln n  = 2 − n , n = 1 , 2 , ,则下列命题中,一定成立的是( ) (A) 当 0  a  1 ln 2 时,存在 0   ,对于任意 0    1 n   ,有 limP X −=1 . k n→  n k=1  (B) 当 a  1 ln 2 时,存在 0   ,对于任意 0 ,有 lim n P 1 n k n 1 X k 1    →   = −   = . (C) 当 0  a  1 时,存在 0   ,对于任意 0   ,有 lim n P 1 n k n 1 X k 1    →   = −   = . (D) 当 a1 时,存在 0 ,对于任意 0 ,有 lim n P 1 n k n 1 X k 1    →   = −   = . 2 设随机变量序列X ,X , ,X , 独立同分布,其中 1 2 n X i ( i = 1 , 2 , ) 1 服从参数为2, 的二项分布 2 B  2 , 1 2  .若当 n  → 时, 1 n n i= 1 X ki 依概率收敛于 a k ( k = 1 , 2 , 3 ) ,则 a 1 + a 2 + a 3 = ( ) (A) 1 . (B) 3 . (C) 5 . (D) 7.概率 · 5.大数定律与中心极限定理 3 设X 服从 第 36 页，共52 页 ( 1 , 7 ) 内的均匀分布,X ,X , ,X , 为来自总体X 的简单随机样本.记X = 1 2 n 1 n n i= 1 X i ,则以下结论成立的是 ( ) (A) lim n P n i 1 X i 3 4 x ( x )  →   = −   =  . (B) lim n P X 3 n 4 x ( x )  →  −   =  . (C) lim n P n i 1 X i 3 n x 4 n ( x )  →   =  −  =  . (D) lim n P n i 1 X i 3 n x 4 n ( x )  →   =  +  =  . 4 设总体X 的数学期望为0,方差为 2 ( 0 ) , X 1 , X 2 , , X n    (n2)为来自总体X 的简单随机  1 n   样本,为非负实数,p =P X ,则下列说法中,正确的是 ( )  i n  i=1  (A) 若 n    ,则 p 1 4   . (B) 若 n    ,则 p 1 4   . (C) 若 2 n    1 ,则 p  . (D) 若  4 2 n    1 ,则 p  .  4概率 · 5.大数定律与中心极限定理 二、填空题 5 设随机变量 第 37 页，共52 页 X  N ( 1 , 4 ) , Y  B ( 1 0 , 0 .3 ) ,且X,Y相互独立,则根据切比雪夫不等式, P  2 X + Y − 5  2 1 8 .1   _ _ _ _ _ _ _ _ . 6 某保险公司经调查发现,在索赔的用户中有 2 0 % 患有恶性肿瘤,从索赔的用户中随意抽取 10000人, 根据中心极限定理,患有恶性肿瘤的人数在2106与2110之间的概率约为 _______. (参考值:  ( 2 .7 5 )  0 .9 9 7 ,  ( 2 .6 5 )  0 .9 9 6 ) 7 设一批灯泡的寿命服从参数为的指数分布,且各个灯泡的寿命相互独立,现随机抽取10000 只灯泡,根据中心极限定理,该批灯泡的总寿命大于 1 0 1 9 6 的概率约为 _________ . (参考值: (1.96)0.975)概率 · 5.大数定律与中心极限定理 8 设 第 38 页，共52 页 X 1 , X 2 , ..., X 1 0 0 为来自总体 X 的简单随机样本，总体X的分布律为 ，已知利 用中心极限定理可得 P  1 0 i= 0 1 X i  1 5 0  的近似值为  ( 1 0 2 ) ,其中  ( x ) 表示标准正态分布的分 布函数,则p=_________ .概率 · 6.数理统计的基本概念 第六章 数理统计的基本概念 A 类 一、选择题 1 设总体 X N ( ,2) ,X ,X , ,X 是来自总体 X 的简单随机样本,样本均值X = 1 2 n 第 39 页，共52 页 1 n n i= 1 X i , 样本方差 S 2 = n 1 − 1 n i= 1 ( X i − X ) 2 ,则 n ( X S 2 ) 2  − 服从的分布为 ( ) (A) F ( n − 1 ,1 ) . (B) F ( 1 , n − 1 ) . (C) F ( n ,1 ) . (D) F (1 , n ) . 2 已知X ,X , ,X 为来自总体 1 2 10 N ( ,1 )  的简单随机样本.记 X = 1 1 0 1 0 i= 1 X i ,则下列统计量服从参 数为9的 t 分布的是( ) X − X − (A) 10 . (B) . 1  9 (X −)2 1  9 (X −)2 9 i 9 i i=1 i=1 (C) 1 9 1 i X 0 1 1 0 ( X i X ) 2   = − − . (D) 1 9 1 i X 0 1 ( X i X ) 2   = − − .概率 · 6.数理统计的基本概念 3 设总体 第 40 页，共52 页 X 服从正态分布 N ( , 2 ) ( 0 ) , X 1 , X 2 , , X 2 n ( n 2 )     为来自该总体的简单随机样本. 1 n 1 2n 令X = X ,X =  X ,则下列结论中,正确的是 1 n i 2 n j i=1 j=n+1 ( ) X −X n (X −X )2 (A) 1 2 N(0,1) . (B)  i n+i 2(n) .  2 i=1 (C) n n i ( 1 X ( 2 X i ) ) 2 t ( n )    = − −  . (D) n i= 1 2 n j= n + ( ( 1 X X − i j − X X 1 ) 2 2 ) 2  F ( n , n ) . 4 设 X 1 , X 2 是来自非负值总体 X 的简单随机样本, D ( X )  0 .定义统计量 1 2 ( X 1 + X 2 ) , Y 2 = X 1 X 2 Y 1 = ,则下列关于 E ( Y 1 ) 和 E ( Y 2 ) 的说法中,正确的是 ( ) (A) 对于任意符合题设条件的总体 X ,都有 E ( Y 1 ) = E ( Y 2 ) . (B) 存在符合题设条件的总体 X ,使得 E ( Y 1 ) = E ( Y 2 ) . (C) 对于任意符合题设条件的总体 X ,都有 E ( Y 1 )  E ( Y 2 ) . (D) 存在符合题设条件的总体 X ,使得 E(Y )E(Y ) . 1 2 5 设总体 X N ( ,2)(,0),X ,X , ,X 为来自该总体的简单随机样本,则样本均值 1 2 n  X 与总体均值  的误差不超过 的概率 p( ) n (A) 随着  增加而增加. (B) 随着  增加而减少. (C) 随着 n 增加而增加. (D) 随着 n 增加而减少.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取概率 · 6.数理统计的基本概念 二、填空题 6 已知随机变量 第 41 页，共52 页 X  N ( 0 ,1 ) , Y  N ( 0 , 2 ) , Z  N ( 0 , 2 ) ,U  F (1 , 2 ) ,且X,Y,Z相互独立, P  U c 2  ( c 0 )   =       Z  ,则P −c=_________ .  X2 + 1 Y2    2   7 设 X ,X ,X ,X ,X ,X ,X ,X 是来自 1 2 3 4 5 6 7 8 N ( 0 , 2 )  的简单随机样本,且Y= ( X 3 + X 4 + C X ( 5 X ) 1 2 + + X ( X 2 ) 6 + X 7 + X 8 ) 2 服从 t 分布,则 C = ________ . 三、解答题 8 设相互独立的总体 X , Y ,W 均服从均值为0的正态分布,方差分别为 21 , 22 , 23 . X i ( i 1 , 2    = ,3), Y i ( i = 1 , 2 , 3 ) ,W i ( i = 1 , 2 , 3 ) 分别是来自总体 X , Y ,W X +X 的简单随机样本.若 1 2 和 Y2 +Y2 +Y2 1 2 3 W 21 Y 1 + + W Y 22 2 + W 23 服从 t 分布, a ( X 21 W + 21 X + 22 W + 22 X 23 ) 服从 F 分布,求参数a的值.概率 · 6.数理统计的基本概念 B 类 一、选择题 1 设 第 42 页，共52 页 X , Y , Z 相互独立且均服从 N ( ,1 )  ,则下列选项中错误的是 ( ) (A) ( X − 2 Y ) 2 服从 2  分布. (X −2Y +Z)2 (B) 服从 2 分布. 6 (C) 1 2 ( X Y 2 ) 2 ( Y Z 2 ) 2 ( Z X 2 ) 2     + − + + − + + −  服从 2  分布. (D) ( X ) 2 ( Y ) 2 ( Z ) 2    − + − + − 服从 2  分布. 2 设总体X 服从正态分布,X ,X , ,X 是来自总体X 的简单随机样本, 1 2 n Y 1 = 1 n 1 ( X 1 + + X n1 ) , Y 2 = n 1 − n 1 ( X n1 + 1 + X n1 + 2 + + X n ) , S 2 = n 1 1 − 1 n1 i= 1 ( X i − Y 1 ) 2 ,若存在k,使得 Z = k ( Y 1 S − Y 2 ) 服从自由度为k的 t 分布,则 n 1 , n 分别可能为 ( ) (A) 2,6. (B) 3,9. (C) 4,12. (D) 6,18 . 3 设随机变量X N(0,1),以 X 为半径作圆,独立重复操作10000次,所得各圆的面积和为 S , 则S服从( ) (A) 正态分布. (B) t 分布. (C) 2  分布. (D) 三者都不对.概率 · 6.数理统计的基本概念 4 下列命题中,关于上  分位数错误的是( ) (A) 第 43 页，共52 页 z 表示标准正态分布的上  分位数,则  z 1 z   − = − . (B) 2(n) 表示 2(n) 的上  分位数,则 2 (n)=−2(n) .  1−  (C) t (n) 表示 t(n) 的上  分位数,则 t (n)=−t (n) .  1−  (D) F (n ,n ) 表示 F(n ,n ) 分布的上  分位数,则 F (n,n )F (n ,n )=1 .  1 2 1 2  1 2 1− 2 1 5 设随机变量 X 服从正态分布 N ( 0 ,1 ) , Y 服从正态分布N(1,4),对给定的 ( 0 1 )     ,数 u 满  足PY u =.若  P { X x }   = ,则 x 等于 ( ) (A) u 2 . (B)  u 1 2  − . (C) 1 2 u 2 1   −  1  . (D) u −1 . 2 1−   2  6 设 X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 X N ( 1 , 21 ) ( 1 0 )     的简单随机样本,Y,Y , ,Y 为来自总体 1 2 m Y N ( 2 , 22 ) ( 2 0 )      的简单随机样本,样本方差分别为 S 21 , S 22 ,则下列命题中,正确的是( ) (A) 若 E ( S 21 ) = E ( S 22 ) ,则 m = n . (B) 若 D ( S 21 ) 4 419 , D ( S 22 ) 5 420   = = ,则 n=49,m=50 . ( ) n X − (C) 若 2 =2 ,则 1 t(n−1) . 1 2 S 2 (D) 若 21 22   = S2 ,则 1 F(n−1,m−1) . S2 2概率 · 6.数理统计的基本概念 7 设总体X 服从正态分布N ( ,2)(0),X ,X , ,X (n2)为来自该总体的简单随机样本, 1 2 2n 其样本均值为 第 44 页，共52 页 X = 1 2 n 2 n i= 1 X i .记统计量 Y 3 = n i= 1 ( X i + X n + i − 2 X ) 2 Y 1 = 2 n i= 1 ( X i − X ) 2 , Y 2 = n i= 1 ( X i − X n + i ) 2 , ,则这3个统计量的数学期望 E ( Y 1 ) , E ( Y 2 ) , E ( Y 3 ) 的大小关系为 ( ) (A) E(Y )E(Y )E(Y ) . (B) E(Y )E(Y )E(Y ) . 1 2 3 1 3 2 (C) E(Y )E(Y )E(Y ) . (D) E(Y )E(Y )E(Y ). 3 1 2 2 1 3 二、解答题 8 设总体为 X , X 1 , X 2 , , X n 是一组简单随机样本, X n , S 2n 分别表示样本均值和样本方差,现增加 一个样本 X n + 1 , X n + 1 , S 2n + 1 分别表示这n+1个样本的均值与方差,证明: ( ) (I) n2 X 2 +X 2 = ( 2n2 +2n+1 ) X2 +X X −2(n+1)X  ; n n+1 n+1 n+1 n+1 (II) S 2n + 1 = n − n 1 S 2n + n 1 + 1 ( X n + 1 − X n ) 2 .概率 · 7.参数估计 第七章 参数估计 A 类 一、选择题 1 设总体 第 45 页，共52 页 X 服从二项分布 B ( n , p ) ,其中 n , p 为未知参数. X 1 , X 2 , , X 1 0 0 为样本容量等于100 的简单随机样本.已知样本均值 X = 5 0 ,样本方差 S 2 = 2 0 ,则 p 的矩估计值 ˆp = ( ) (A) 0.4 . (B) 0.396 . (C) 0.6 . (D) 0.604 . 2 设总体 Z = X c o s Y ,其中 X E ( ) , Y U ( 0 , a ) , X    与 Y 相互独立, a 为已知参数,为未知参数. 若要利用 Z 的一阶矩对参数进行矩估计,则下列 a 的四种取值中,使得矩估计法可行的是( ) (A) a 2  = . (B) a= . (C) a=2 . (D) a=4 . 3 设总体 X 服从参数为 p 的几何分布, x 1 , x 2 , , x n 为来自该总体的一组样本值, x 为其均值,则 参数 p的矩估计值pˆ 和最大似然估计值 1 ˆp 2 满足 ( ) (A) ˆp 1 = 1 x  ˆp 2 . (B) ˆp 1 = 1 x  ˆp 2 1 1 . (C) pˆ = pˆ = . (D) pˆ  pˆ  . 1 2 1 2 x x概率 · 7.参数估计 4 设X ,X , ,X 是来自总体X 的容量为 1 2 n 第 46 页，共52 页 n 的简单随机样本.记 E ( X ) , D ( X ) 2   = = , X = 1 n n i= 1 X i , S 21 = n 1 − 1 n i= 1 ( X i − X ) 2 , S 22 = 1 n n i= 1 ( X i − X ) 2 .下列说法中正确的是 ( ) (A) S 21 是 2  的矩估计量. (B) S2 是 1 2  的最大似然估计量. (C) S 22 是 2  的矩估计量. (D) S2 是 2 2  的最大似然估计量. 5 设随机变量 X 服从正态分布 N ( 0 , 2 ) , X 1 , X 2 , , X n  为来自总体 X 的简单随机样本,利用这个 样本估计 2  和.记 2  为 2  的最大似然估计量, ˆ 为的最大似然估计量,则下列结论中,正 确的是( ) (A) D ( 2 ) D ( ˆ 2 )    . (B) D ( 2 ) D ( ˆ 2 )    . ( ) ( ) (C) E 2 E(ˆ) 2 . (D) E 2 E(ˆ) 2 .     6 设总体X 服从参数为  的泊松分布, X ,X , ,X 为来自总体 X 的简单随机样本,记 1 2 n  ˆ 为  的矩估计量,  ˆ 为  的最大似然估计量,则下列说法中,正确的是 1 2 ( ) (A) ˆ1 , ˆ2  均是  的无偏估计. (B)  ˆ 是  的无偏估计,  ˆ 不是  的无偏估计. 1 2 (C) ˆ1  不是  的无偏估计,  ˆ 是  的无偏估计. 2 (D)  ˆ , ˆ 均不是  的无偏估计. 1 2概率 · 7.参数估计 7 设总体 第 47 页，共52 页 X 服从正态分布 N ( , 2 )  ,其中 2  已知. X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 X 的简 单随机样本, X 为样本均值, S2 为样本方差,利用该样本得到  的一个置信度为  的置 信区间,记 L 为该置信 区间的长度, 则下列说法中, 正确的是( ) (A)  越小,则 L 越小. (B) n 越小,则 L 越小. (C) X 越小,则 L 越小. (D) S 2 越小,则 L 越小. 二、填空题 8 设总体 X 的概率分布为 ,其中 p ( 0  p  1 ) 是未知参数, 利用来自该总体的样本值 0 ,1 ,1 , 2 ,1 , 0 ,1 , 2 可得p的矩估计值与最大似然估计值之和为_______. 9 设总体X 的分布律为P  X =(−1)n n+ p  = 1 ,n=1,2, ,其中 n(n+1) p 为未知参数, X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本,X 为样本均值,则 p 的矩估计量 ˆp = _______ .概率 · 7.参数估计 10 已知一批产品的尺寸 第 48 页，共52 页 X 服从均值为,方差为100的正态分布.若由来自总体 X 的样本 X 1 , X 2 , , X n 得到的的置信度为0.95的双侧置信区间的半径不超过1,则 n 最小为________. ( 参 考 值 : z 0 .0 2 5 = 1 .9 6 ) 三、解答题 11 设 X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 X 的一个简单随机样本,X 的概率密度函数为 f ( x ; ) 1 0 , e x , x , ,      =  − − 其  他 其中 0   . (I) 求  的矩估计量; (II) 求  的最大似然估计量. 12 设总体X 服从均匀分布 U ( , a ) , a  为已知参数.X ,X , ,X 为来自总体X 的一个简单随 1 2 n 机样本. (I) 求  的矩估计量 ˆ1  与最大似然估计量  ˆ ; 2 (II) 判断  ˆ 与 1 ˆ2  的无偏性.概率 · 7.参数估计 13 设总体 第 49 页，共52 页 X 的概率密度函数为 f ( x ) 0 e , ( x ) , x , ,     =  − − 其  他 其中为已知正常数,为未知正参 数, X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 X 的简单随机样本. (I) 求  的最大似然估计量 ˆ  ; (II) 判断 ˆ  是否为无偏估计. 14 设X ,X , ,X 是来自均值为0,方差为 1 2 n 2  的正态分布总体X 的简单随机样本, Y,Y , ,Y 1 2 n 是来自均值为0,方差为 2 2  的正态分布总体 Y 的简单随机样本,且两样本相互独立,其中 ( 0 )   是未知参数. (I) 利用样本 X 1 , X 2 , , X n , Y 1 , Y 2 , , Y n ,求 2  的最大似然估计量 ˆ2 ; (II) 求 E   ( ˆ2)2  .  概率 · 7.参数估计 15 设总体 第 50 页，共52 页 X N ( , 2 ) , X 1 , X 2 , , X n   是来自总体 X 的一组简单随机样本,其中 X = 1 n n i= 1 X i , S =  n i= 1 ( n X − i − 1 X ) .若 c S 4 是 4  的无偏估计,计算 c 的值. 16 设相互独立的随机变量 X , Y 服从参数为的指数分布,为未知参数.令随机变量 Z = X + Y . (I) 求 Z 的概率密度; (II) 设Z ,Z , ,Z 是来自于总体Z的一个简单随机样本,求的最大似然估计量 1 2 n ˆ ,并计算 E 1ˆ    .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取概率 · 7.参数估计 17 设总体 第 51 页，共52 页 X 2, 0x1,  2(1−), 1x2, 的概率密度为 f (x;)= 其中为未知参数 (1−)2 , 2x3,  0, 其他, ( 0 1 ) ,  X 1 , X 2 , , X n   为来自 X 的简单随机样本,记N 为样本值 1 x 1 , x 2 , , x n 中小于1的个数, N 2 为样 本值 x 1 , x 2 , , x n 中大于等于1且小于2的个数. (I) 求  的最大似然估计量; (II) 若给定样本值如下表,则的最大似然估计值 ˆ1 与矩估计值 ˆ2  分别为多少? 18 在进行一个成功概率为p的伯努利试验时.直到试验失败 r 次时,试验成功的次数记为随机 变量 X . (I) 计算 X 的数学期望; (II) 若 r 为已知, p 未知,计算 X 的矩估计量和最大似然估计量.概率 · 7.参数估计 第 52 页，共52 页概率 · 8.假设检验 第八章 假设检验 A 类 一、选择题 1 设 第 53 页，共52 页 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 N ( 1 , 21 )  的样本, Y 1 , Y 2 , , Y n 是来自总体 N ( 2 , 22 )   的样本, 且两样本独立,其样本方差分别为 S 21 , S 22 ,且 1 , 2 , 21 , 22     均未知,据此样本检验假设: H 0 : 21 22 ,    H 1 : 21 22    .已知在检验水平 0 .1  = 下拒绝 H 0 ,则下列说法一定正确的是 ( ) (A) 在 0 .0 5  = 下,拒绝 H 0 . (B) 在 =0.05 下,接受 H 0 . (C) 在 0 .1 5  = 下,拒绝 H . (D) 在 =0.15 下,接受 H . 0 0 2 在一盒骰子中既有正常的均匀骰子,也有灌铅骰子.灌铅骰子掷出六点的概率为0.9,掷出其 余五个点数的概率相等.从盒中取一枚骰子检验.原假设 H 0 :这是一枚均匀骰子.备择假设 H 1 : 这是一枚灌铅骰子.检验法则为:连续投掷这枚骰子 n 次,若连续掷出n个六点,则拒绝 H 0 ,否则 接受 H 0 .下列命题中,正确的是( ) (A) 当 n = 2 时,犯第一类错误的概率是 0.21 . (B) 当 n = 2 时,犯第二类错误的概率是 0.21 . (C) 若 n 越大,则犯第二类错误的概率就越小. (D) 当 n = 3 时,此检验法则是一个显著性水平为 0.01 的检验法则.概率 · 8.假设检验 二、填空题 3 甲乙两人进行游戏,规则是:桌子上有12张形状相同的纸牌,上面分别写着60,30,75,25, 第 54 页，共52 页 9 , 2 7 ,1 2 5 , 8 1 , 3 , 2 4 3 , 5 , 2 1 ,所有的牌均反面向上.甲随机指定一张纸牌,乙可以告诉甲这张纸牌能 否被3整除,以及能否被5整除.甲据此信息,判断纸牌上的数字是偶数还是奇数.原假设H :该 0 张纸牌上的数字是奇数,备择假设 H 1 :该张纸牌上的数字为偶数.甲的判定标准是,如果这个数 字能够被3或5之一且仅能够被一个整除,就断定这个数字为奇数,否则,断定这个数字为偶数. 则甲犯第一类错误的概率为______ 三、解答题 4 若某一机器所生产的元件,服从 N ( ,1 0 )  ,今引进了一批改良之后的机器(可以改善所生产元 件的稳定性),随机抽取了40个该批机器所生产的元件,测得样本方差为 s 2 = 6 ,通过数据,在 显著性水平 0 .0 5  = 下,我们能否推断出新引进的这批机器对于生产的元件的稳定性方面有无 明显改变. ( 20 .0 2 5 ( 3 9 ) 5 8 .1 1 9 , 20 .9 7 5 ( 3 9 ) 2 3 .6 5 4 )    