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【高效培优】2022—2023学年九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教
版）
【单元测试】第二十五章 概率初步（夯实基础培优卷）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．在一个不透明的口袋中装有3个白球和4个黄球这些球除颜色不同外其他完全相同，从袋子中随机摸出
一个球，摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵一个不透明的袋子中有3个白球、4个黄球，
∴球的总数 ，
∴从袋子中随机摸出一个球，则它是白球的概率为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了概率的求法，熟练掌握概率计算公式是解答本题的关键．如果一个事件有 种可能，
而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现 种结果，那么事件 的概率 ．
2．事件“任意抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上”是（ ）
A．确定事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不可能事件
【答案】B
【分析】根据随机事件的定义判断即可．
【详解】∵ 任意抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上是随机事件，
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件即一个事件如果可能发生也可能不发生，那么称之为随机事件，熟练掌握定
义是解题的关键．3．在一次比赛前，教练预言说：“这场比赛我们队有70%的机会获胜”，则下列说法中与“有70%的机会
获胜”的意思接近的是（ ）
A．他这个队赢的可能性较大 B．若这两个队打10场，他这个队会赢7场
C．若这两个队打100场，他这个队会赢70场D．他这个队必赢
【答案】A
【分析】概率只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．不确定事件就是随机事件，即可能发
生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．
【详解】解：A、根据概率的意义可知该说法正确；
B、概率仅仅反映了这一事件发生的可能性的大小，若这两个队打10场，他这个队可能会赢7场，但不会
是肯定的，所以错误；
C、概率仅仅反映了这一事件发生的可能性的大小，若这两个队打100场，他这个队可能会赢70场，但不
会是肯定的，所以错误；
D、根据概率的意义可知该说法错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了概率，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小．
4．下列选项中的事件，属于随机事件的是（ ）
A．任意选择某一电视频道，它正在播放广告B．人在月球上所受重力比在地球上小
C．在一个只有白球的袋中，摸出白球 D．两个负数相加和是负数
【答案】A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、任意选择某一电视频道，它正在播放广告，是随机事件，符合题意；
B、人在月球上所受重力比在地球上小，是必然事件；
C、在一个只有白球的袋中，摸出白球，是必然事件；
D、两个负数相加和是负数，是必然事件；
故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
5．如图，是由 个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分
的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设每个小等边三角的面积为 ，则阴影部分的面积是 ，得出整个图形的面积是 ，再根据
几何概率的求法即可得出答案．
【详解】解：先设每个小等边三角的面积为 ，
则阴影部分的面积是 ，整个图形的面积是 ，
则这个点取在阴影部分的概率是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求
事件 ；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件 发生的概率．
6．如图①为三等分的圆形转盘，图②为装有小球（小球除颜色不同外，其他均相同）的不透明口袋，随
机转动转盘一次，然后再从不透明的口袋中随机摸出一个球，则指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均
为蓝色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】这是一个两步概率问题，根据列表得出全部等可能的结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意，列表如下：
蓝球 蓝球 红球
1 2红 （红 ，蓝球 ） （红 ，蓝球 ） （红 ，红球）
1 1 1 1 2 1
红 （红 ，蓝球 ） （红 ，蓝球 ） （红 ，红球）
2 2 1 2 2 2
蓝 （蓝，蓝球 ） （蓝，蓝球 ） （蓝，红球）
1 2
由表可知，共有9种等可能的结果，其中指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的结果有2种，
（指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色） ，
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
7．如图，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，两个转盘停止后，指针（如果落在
分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域）都不落在“1”区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意先列表，得出所有可能出现的情况数和配成紫色的情况数，再根据概率公式即可得出答
案．
【详解】解：根据题意列表如下：
1 2 3
1 （1，1） （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，2） （2，3）
上面等可能出现的6种结果中，有2种情况都不落在“1”区域，
故都不落在“1”区域的概率是 ，
故选：A．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求
情况数与总情况数之比．
8．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中
摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球
约有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
【答案】B
【分析】根据题意可得摸到红球的频率稳定在0.6左右，可得袋中球的总数，即可求解．
【详解】解： 经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，
摸到红球的频率稳定在0.6左右，
袋中装有若干个白球和15个红球，
袋中球的总数为： ，
袋中白球约有： （个 ，
故选：B．
【点睛】此题考查了用频率估计概率，以及概率公式，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可
能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 是解题的关键．
9．在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和 个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴
趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则 的值最可能
是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据图知，经过大量实验，蓝球出现的频率稳定在0.6附近，再根据频率公式逐项判断即可．
【详解】解：根据图知，经过大量实验，蓝球出现的频率稳定在0.6附近，则 ，
当n=4时， ，故A不符合题意；
当n=5时， ，故B不符合题意；
当n=6时， ，故C符合题意；
当n=7时， ，故D不符合题意；
∴ 的值最可能是6，
故选：C．
【点睛】本题考查频数与频率，能从图中获取到蓝球出现的频率稳定在0.6附近是解答的关键．
10．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表，若抛掷硬币的次数为1000，则“正面
朝上”的频数最接近（ ）
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
A．200 B．300 C．500 D．800
【答案】C
【分析】随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到 附近，
∴当抛掷硬币的次数为1000时，“正面朝上”的频数最接近 次．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概
率，难度不大．
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）
11．有5张无差别的卡片，上面分别标有 ，0， ， ， ，从中随机抽取1张，则抽出的数是无理数
的概率是__________．
【答案】【分析】先找出无理数的个数，再根据概率公式可得答案．
【详解】解：∵在 ，0， ， ， 中，无理数有 ， 共2个，
∴抽出的数是无理数的概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义和概率公式，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P（A）
=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
12．如图是一个正三角形的靶心，靶心为其三条对称轴的交点，飞镖随机地掷在靶上，则投到区域 或区
域 的概率是________．
【答案】
【分析】由于靶心为正三角形的三条对称轴的交点，则 ， ， 三个区域的面积相等，利用几何概率的
计算方法求投到区域 或区域 的概率．
【详解】∵靶心为正三角形的三条对称轴的交点，
∴ ， ， 三个区域的面积相等，
∴投到区域 或区域 的概率 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了几何概率的问题，熟练掌握几何概率的求法是解本题的关键．
13．在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担
任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是______．
【答案】
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利
用概率公式可得出答案．
【详解】解：设两名男生分别记为 ， ，两名女生分别记为 ， ，画树状图如下：
共有 种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有 种，
抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率
．
14．如图，小凌同学在玩“走迷宫”游戏，从入口处进入迷宫，每遇到一个岔路口便会随机选择其中一条
路径行走．游戏规定一进入迷官只许前进不许后退，可 转弯，则小凌不回头便能走出迷宫的概率是
___________．
【答案】
【分析】先根据题意画出树状图，然后再根据概率公式进行计算．
【详解】解：在各个道路上标上相应的字母，根据标出的字母画出树状图，如图所示：
∵共有等可能的8条道路可走，其中能够走出迷宫的只有2条道路，
∴小凌不回头便能走出迷宫的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了画树状图法求概率，根据题意画出树状图，是解题的关键．
15．质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
抽检产品数n 100 150 200 250 300 500 1000
合格产品数m 89 134 179 226 271 451 904
0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904
合格率
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数）_____________．
【答案】0.9
【分析】根据表中给出的合格率数据即可得出该产品的合格概率．
【详解】解：根据题意得：该产品的合格率大约为0.9，
∴恰好是合格产品的概率约是0.9．
故答案为：0.9【点睛】本题考查利用频率估计概率的知识，训练了从统计表中获取信息的能力及统计中用样本估计总体
的思想．
16．《卖油翁》中，翁曰：“我亦无他，惟手熟尔”．如图，已知铜线的直径为 ，厚度为 ，一
枚铜钱的平均密度约为 ．为计算铜钱的质量，做如下实验：将一滴油随机滴在铜钱上，重复 次，
记录下油恰好穿过中心孔的次数为 次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为_________ （用含 ， ，
的式子表示）．
【答案】
【分析】求出铜钱的体积后，再用铜钱的体积乘以铜钱的平均密度即可得到答案．
【详解】解：∵将一滴油随机滴在铜钱上，重复 次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为 次．
∴由此可以估计，中心孔的面积占整个铜钱圆面积的 ，
∴铜钱的实际面积为 ×（1－ ）＝ （cm2），
∴铜钱的体积为 ×0.2＝ （cm3），
∴由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 ×9＝ (g)，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了频率估计概率的应用和分式的加减运算，得出中心孔的面积占整个铜钱圆面积的 是
解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共52分；第17-18每小题5分，第19-22每小题6分，第
23小题8分，第24小题10分）
17．盒中装有红球、黄球各100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计
下面几种情况的摸球方案．(1)摸到红球是不可能的；
(2)摸到红球是必然的；
(3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）不放红球即可．
（2）都放红球即可．
（3）根据可能性的程度确定红球比例即可．
【详解】（1）解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球；
（2）解：盒中只有100个红球，摸出1个红球；
（3）解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球；
盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球；
盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键．
18．一个小球在如图所示的方格上任意滚动，并随机停留在某个方格上，每个方格的大小完全相同．
(1)小球停留在黑色区域的概率为_____________．
(2)现要从其余白色小方格中任选出一个也涂成黑色，求涂完后图中的黑色方格部分构成轴对称图形的概
率，并用数字①、②、③……在图中将符合要求的白色方格位置标出来．
【答案】(1)
(2) ；图见解析
【分析】（1）根据概率定义即可解决问题；
（2）根据轴对称的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：∵16个方格中有黑色方格3个，∴小球停留在黑色区域的概率为 ．
故答案为： ．
（2）解：符合要求的白色方格位置如图所示：
∴与黑色方格部分构成轴对称图形的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，几何概率，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
19．2021年6月6日是第26个全国“爱眼日”，为了调查学生人数对爱眼知识的掌握情况，从某中学随
机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“ 分， 分，
分， 分及以下”四个等级进行统计，得到如图所示不完整的统计图．根据统计图提供的信
息，解答下列问题：
(1)该校800名学生都参加此次测试，若成绩80分以上为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？
(2)甲、乙、丙是 等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名进行“爱眼日”相关知识宣
传，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲、乙两名学生的概率．
【答案】(1)460人
(2)
【分析】（1）小求出80分以上的人数所占的百分比，再用全校人数乘以80分以上的人数所占的百分比即可；
（2）；根据题意列出表格或者画出树状图，用概率公式求出概率即可．
【详解】（1）解： 等级人数为 （人 ，
所以该校成绩优秀的学生人数约有 （人 ；
（2）从甲、乙、丙中任取两人，所有可能出现的结果情况如下：
共有6种等可能结果，其中同时抽到甲、乙两名学生的有2种，
所以同时抽到甲、乙两名学生的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了统计和概率相关的内容，熟练掌握用样本估计总体和概率的相关的内容是解题的
关键．
20．市为了解垃圾分类投放工作的落实情况，在全市范围内对部分社区进行抽查，抽查结果分为：A（优
秀）、B（良好）、C（一般）、D（较差）四个等级，现将抽查结果绘制成如图所示的统计图．（注：该
市将垃圾分为干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾共四类）
(1)本次共抽查了______个社区，C（一般）所在扇形的圆心角的度数是______度，并补全直方图；
(2)若全市共有 个社区，请估计达到良好及以上的社区有多少个？
(3)小明和他的妈妈将分好类的四种垃圾每人各提两袋去分类投放，请用树状图或列表法求小明恰好提到干
垃圾和湿垃圾的概率是多少？
【答案】(1) ， ；补全统计图见解析(2)达到良好及以上的社区有 个
(3)小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是
【分析】（1）根据A的个数除以A的占比可得总个数，用总数减去A、B、D得到C的个数，进而求得C
所在扇形的圆心角的度数，并补全统计图；
（2）用120乘以A、B的占比即可求解；
（3）将干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾分别用 、 、 、 表示，根据题意画出树状图求概
率即可求解．
【详解】（1）解：本次共抽查的社区有： （个），
一般 的社区有： （个），
一般 所在扇形的圆心角的度数是： ，
补全统计图如下：
故答案为： ， ；
（2）解： （个），
答：达到良好及以上的社区有 个．
（3）解：将干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾分别用 、 、 、 表示，根据题意画图如下：
共有 种等可能的情况数，其中小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的有 种，则小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是 ．
【点睛】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息关联，样本估计总体，根据树状图求概率，掌握以上知
识是解题的关键．
21．对一批家电进行抽检、统计合格的数量，列表如下：
抽检数量/台 300 400 500 600 700
合格频数 282 352 445 546 a
合格频率 b 0.88 0.89 0.91 0.9
(1)求a，b的值．
(2)估计这批家电的合格率．
(3)若售出了3000台家电，其中存在质量问题的大约有几台？
【答案】(1) ，
(2)估计这批家电的合格率约为0.9
(3)大约300台
【分析】（1）根据频率= 求解即可；
（2）根据抽检数量的增加，合格频率在0.9附近波动，即可估计这批家电的合格率；
（3）由售出家电数量×合格率求出合格数量，进而可求出存在质量问题的数量．
【详解】（1）解： ， ；
（2）解：由表格可知，这批家电的合格频率在0.9附近波动，所以可估计这批家电的合格率约为0.9；
（3）解：售出了3000台家电，合格家电约为3000×0.9=2700（台），
所以存在质量的家电大约有3000-2700=300（台）．
【点睛】本题考查频数（率）分布表、频率公式、用样本估计总体，能从分布表中获取有用信息是解答的
关键．
22．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一
个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图根据统计图提供的信息解决下列问题：(1)摸到黑球的频率会接近 （精确到0.1）；
(2)若袋子中白球有4个，
①估算一下袋中两种颜色球共有 个；
②若小明又将a个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，
摸出黑球的概率估计值是多少？（用含a的式子表示）．
【答案】(1)0.5
(2)①8；②
【分析】（1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即可求解；
（2）①摸到黑球的频率接近0.5知摸到白球的频率约为0.5，用白球个数除以其对应频率可得球的总个数
的估计值．
【详解】（1）摸到黑球的频率会接近0.5，
故答案为：0.5．
（2）①∵摸到黑球的频率接近0.5，
∴白球的频率约为0.5，
则估算袋中两种颜色球共有4÷0.5=8（个）；
故答案为：8．
②小明又将a个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，则袋中球的总个数约为（a+8）个，其中黑球的个
数为（a+4）个，
当重复大量试验后，摸出黑球的概率估计值是 ．
【点睛】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之
比是解题的关键．23．根据《广州市初中学业水平考试体育与健康考试实施意见》，2021年至2022年广州中考实施方案，
广州市体育中考分成：一类考试项目：（1）中长跑：800米（女）、1000米（男）；二类考试项目：跳
类：立定跳远、三级蛙跳、一分钟跳绳；投掷类：投掷实心球、推铅球；球类：足球、篮球、排球．某中
学毕业班学生1120人，现抽取240名学生对四个项目A中长跑、 跳绳、 足球、 实心球的喜好进行抽
样调查调查结果如图．
(1)补全条形图；
(2)依据本次调查的结果，估计全体1120名学生中最喜欢A中长跑的人数；
(3)现从喜欢中长跑的学生中选取两人作为领跑员，符合条件的有甲乙两名男生和丙丁两名女生，从这四人
中任选两人，求刚好选中甲和丁的的概率．
【答案】(1)见解析
(2)280人
(3)
【分析】（1）利用总人数×百分比求出A的人数，再用总人数减去A、B、D的人数，得到C的人数，补全
条形图即可；
（2）利用全体×喜欢A的百分比进行计算即可；
（3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：A项目人数为 （人 ，
项目人数为 （人 ，
补全图形如下：（2）估计全体1120名学生中最喜欢A中长跑的人数为 （人 ；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好选中甲和丁的有2种结果，
刚好选中甲和丁的概率为 ．
【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用．熟练掌握条形图和扇形图之间的联系和相应的计算公式是
解题的关键．
24．在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀，从
盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子，不断重复上述过程．下表是多次摸球试验中的一组
统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的频数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率
0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；
(2)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是______；
(3)小明用转盘来代替摸球做试验．下面是一个可以自由转动的转盘，小明将转盘分为红色、白色2个扇形
区域，转动转盘，当转盘停止后，指针落在白色区域的概率与摸球试验中摸到白球的概率相同．请你在转
盘上用文字“红色”、“白色”注明两个区域的颜色，并求出白色区域的扇形的圆心角的度数．
【答案】(1)0.6
(2)0.6
(3)见解析，216°
【分析】（1）根据表中的数据，估计得出摸到白球的频率；
（2）由表中数据即可得；
（3）根据摸到白球的频率即可得到转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数．
【详解】（1）解：∵摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率约为0.6，
故答案为：0.6；
（2）解：∵摸到白球的频率约为0.6，
∴从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是0.6，
故答案为：0.6；
（3）解：∵摸到白球的频率约为0.6，
∴转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数为360°×0.6=216°，
如图所示：
．【点睛】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考
题型．
