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6 月高二年级测试
数学
考试说明：
1．本试卷共 150分。考试时间 120分钟。
2．请将各题答案填在答题卡上。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是
A．r <r <r <r B．r <r <r <r C．r <r <r <r D．r <r <r <r
1 3 4 2 3 1 2 4 1 3 2 4 3 1 4 2
2．若 ( 2− 2x )n 的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中x4的系数为
A．4 2 B．−4 2 C．40 D．−40
3．已知随机变量X 服从正态分布N ( 3,σ2) ，且P(X >1)=0.72，则P(3< X ≤5)=
A．0.21 B．0.22 C．0.28 D．0.32
4．由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的偶数有
A．12种 B．18种 C．30种 D．48种
5．3月12日是我国的植树节，这一天，小明参加了学校组织的植树活动，种植了A，B两种树苗各10棵，
A种树苗的成活率为0.9，B种树苗的成活率为0.8，记A，B两种树苗最终成活的棵数分别为X ，X ，则
1 2
E(X + X )=
1 2
A．15 B．16 C．17 D．18
6．已知P(A)=0.7，P ( A B )=0.8，P ( A∣B ) =0.5，则P(B)为
1 2 1 2
A． B． C． D．
5 5 3 3
3
7．暑假马上要到了，小明要去张家口坝上旅游，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为 ，
4
学科网（北京）股份有限公司1
戴墨镜的概率为 ，每天穿戴的情况独立，记X 表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，则P(X =1)=
2
3 9 27 27
A． B． C． D．
8 16 64 128
8．甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），
3
且每一局甲赢的概率都是 p0< p≤ ，随机变量X 表示最终的比赛局数，则E(X)的最大值为
4
1 1 3 5
A． B． C． D．
4 2 4 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．下列说法正确的是
A．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强
B．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好
C．已知变量x，y线性相关，由样本数据算得经验回归方程为yˆ =0.4x+aˆ，且由样本数据得x=4，y=3.7，
则aˆ=2
D．根据分类变量 X 与Y 的成对样本数据，计算得到χ2 =3.937，根据小概率值α=0.05的独立性检验
(x =3.841)，可判断X 与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
0.05
10．盒中有 6 个玩具球，其中有 2 个是红色的，其余均是蓝色的，现从盒中随机地抽取 3 个球，则下列事
1
件的概率是 的是
5
A．恰有1个球是红色的 B．3个球全是蓝色的
C．恰有2个球是红色的 D．至多有2个球是蓝色的
11．高二（2）班小明等五名同学报名参加学校组织的数学、物理、化学、生物四个科目的竞赛，每人都要
报名且限报其中一项．记事件A=“恰有三名同学报了同一个科目，其他科目报名人数不超过1人”，事件B=
“只有小明同学一人报化学竞赛科目”，则
A．五名同学的报名情况共有45种
B．“每个科目都有人报名”的报名情况共有240种
14
C．“五名同学最终只报了两个科目”的概率是
27
D．P ( B A )= 1
10
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
学科网（北京）股份有限公司12．已知随机变量ξ∼B(n,p)，若E(ξ)=16，D(ξ)=12，则n=__________．
13．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为
胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口5出来，那么你取胜的概率为__________．
14．已知742026 +a能够被15整除，其中a∈(0,15)，则a=__________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
代驾服务在中国已从一个新兴的细分市场发展成为覆盖3.4亿用户、年订单量突破10亿的庞大产业．某用
户只在某市的 D 网、Z 网两个代驾平台选择代驾，根据历史数据，选择 D 网的概率为 0.8，选择 Z 网的概
率为0.2，D网代驾准时到达率为0.9，Z网代驾准时到达率为0.85．已知该用户每次选择的代驾准时到达与
否相互独立．
（1）求该用户选择代驾准时到达的概率；
（2）在该用户的N次选择代驾中，记准时到达的次数为X ，若X 的方差大于0.97，求N的最小值．
16．（本小题满分15分）
DeepSeek是专注通用人工智能的中国公司，致力于大模型研发应用．其开源推理模型DeepSeek-R1性能出
色，在多任务上比肩OpenAI-O1正式版，且可免费商用．在测试DeepSeek-R1时，如果输入的问题没有语
3
法错误，则 DeepSeek-R1 的回答被采纳的概率为 ，当出现语法错误时，DeepSeek-R1 的回答被采纳的概
4
1
率为 ．
2
（1）在某次测试中输入了6个问题，DeepSeek-R1的回答有4个被采纳．现从这6个问题中抽取3个，以X
表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X 的数学期望；
3
（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为 ，求DeepSeek-R1的回答被采纳的概率．
20
17．（本小题满分15分）
宁夏枸杞是中国国家地理标志产品．某枸杞厂2026年之前只生产食用枸杞，下表为年投入资金x（万元）
与年收益y（万元）的8组数据：
x 10 20 30 40 50 60 70 80
学科网（北京）股份有限公司y 13.5 15.8 18.5 20 22 23 24 24.2
（1）用y=blnx+a模拟生产食用枸杞年收益y与年投入资金x的关系，求出回归方程；
（2）该企业又自主研发出一种药用枸杞片，预计其收益为投入的5%．2026年该企业计划共投入300万元
用于生产两种枸杞产品，求年总收益的最大值．
n
∑ vu −nv⋅u
i i
附：①回归直线uˆ=b ˆ v+aˆ中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ˆ= i=1 ，aˆ=u−b ˆ⋅v
n
∑ v2 −nv 2
i
i=1
②
8 8 8 8 8
∑ y ∑ lnx ∑ x2 ∑(lnx )2 ∑ y lnx
i i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
161 29 20400 109 603
③ln2≈0.7，ln5≈1.6
18．（本小题满分17分）
为倡导合作学习、共同发展的理念，某中学高二（1）班举办了以小组为单位的诗词竞答比赛，答题规则是：
每组选出一名选手作答，若选手没有把握答对，则在规定时间内寻求同组成员帮助作答，同组成员答对即
1
为选手答对.已知甲选手每道题自己有把握独立答对的概率为 ，同组成员每道题能答对的概率为p，假设
2
每道题答对与否互不影响．
（1）求甲答对每道题的概率；
2
（2）已知乙选手答对每道题的概率为 （含同组成员帮助作答的情况），现甲、乙两人各答两个问题，若
5
8
甲选手答对题目的个数比乙选手答对题目的个数多的概率不低于 ，求甲的同组成员每道题答对的概率p
15
的最小值．
19．（本小题满分17分）
某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电
池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的2×2列
联表（单位：件）：
产品 合格 不合格 合计
调试前 80 60 140
调试后 40 20 60
学科网（北京）股份有限公司合计 120 80 200
（1）根据表中数据，依据小概率值α=0.05的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联；
（2）现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取6件产品重新做参数调试，
再从这6件产品中随机抽取2件作对比分析，记抽取的2件中不合格的件数为X ，求X 的分布列和数学期
望；
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品 1000 件，记其中合格的件数
为Y ，求使事件“Y =k ”的概率最大时k的取值．
n(ad −bc)2
参考公式及数据：c2 = ，其中n=a+b+c+d ．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
a
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