高二 数学参考答案
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A B A A C B
二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，至
少有两个是符合题目要求的，全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分．
题号 9 10 11
答案 BCD ABD BC
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
1
12．10 13．4 2 15．
24
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）将( 2a−c ) cosB=bcosC 展开，得2acosB=ccosB+bcosC
由射影定理可知ccosB+bcosC =a， 2分
1
则cosB= ， 4分
2
故角B=60° 6分
（2）设BD= x，因为S =S +S 8分
△ABC △ABD △CBD
1 3 1 1 1 1
⋅3⋅2⋅ = ⋅3⋅x⋅ + ⋅2⋅x⋅ 11分
2 2 2 2 2 2
6 3 6 3
解得x= ，故BD= 13分
5 5
（其它方法酌情给分）
10 10
∑x ∑y
i i
16．解：（1）x = i=1 =4， y = i=1 =10， 2分
10 10
10
∑x y −10x⋅y
i i 480−10×4×10 80
b ˆ= i=1 = = =2， 4分
10 200−10×42 40
∑x2 −10x2
i
i=1
学科网（北京）股份有限公司则aˆ = y−b ˆ x =10−2×4=2 6分
所以y关于x的线性回归方程是yˆ =2x+2 7分
（2）若选择方案一，当x=10时，代入（1）中的回归方程得yˆ =22万元； 9分
若选择方案二，假设投入 x 万元用于发放绩效奖金，10−x万元用于员工专项技能培训，其中0≤ x≤10，
月度总生产效益
( )2
y =2 ( 10−x )+2+8 x =− x −2 +30 12分
当x=4时，y =30万元．由于30>22 14分
max
故投入 6 万元用于员工专项技能培训，4 万元用于发放绩效奖金，能实现团队月度生产效益最大化． 15
分
17．解：方法一
（1）（ⅰ）由θ=90°可知，平面ACP⊥平面ABC 1分
已知BC ⊥ AC ，平面ACP平面ABC = AC，故BC ⊥平面ACP 3分
又AP⊂平面ACP，因此BC ⊥ AP 4分
（ⅱ）取AC的中点H，由AP=CP可知PH ⊥ AC，
由θ=90°可知，可知PH ⊥平面ABC．
连接BH ，所以∠PBH 是直线PB与平面ABC所成角， 6分
由（ⅰ）可知△PBC是直角三角形，解得PB= 3 7分
2
2 PH 6
2
因为PH = ，所以sin∠PBH = = = 9分
2 PB 3 6
（2）方法1：取AB的中点N，连接HN ，由已知条件可知HN//BC，故HN ⊥ AC，
所以∠PHN =θ=60° 11分
2 3 6
所以点P到平面ABC的距离为PH⋅sinθ= ⋅ = 12分
2 2 4
学科网（北京）股份有限公司1 1 6
三棱锥P−ABC的体积：V = ⋅S ⋅( PH⋅sinθ)= ⋅1⋅ ，
3
△ABC
3 4
1 1 1
又因为三棱锥P−ABC的体积V = ⋅S ⋅h= ⋅ ⋅h 14分
3
△ACP
3 2
6
所以h= 15分
2
1 2
方法2：取AB的中点N，连接HN ，所以HN//BC且HN = BC = ．
2 2
则HN ⊥ AC，∠PHN =θ=60° 11分
6
所以点N到平面ACP的距离为HN⋅sinθ= 13分
4
因为B到平面ACP的距离是点N到平面ACP的距离的2倍，
6
所以B到平面ACP的距离 15分
2
方法二
（1）（ⅰ）以C为坐标原点，CA，CB所在直线为x轴，y轴，过C作垂直于平面ABC的直线为z轴，
建立空间直角坐标系．
( ) ( )
由已知条件可知C ( 0,0,0 )，A 2,0,0 ，B 0, 2,0 ； 1分
2 2
由二面角定义及θ=90°可知，P ,0, 2分
2 2
2 2 ( )
因为PA= ,0,− ，BC = 0,− 2,0 ，
2 2
2 ( ) 2
则PA⋅BC = ×0+0× − 2 +− ×0=0 4分
2 2
所以PA⊥ BC，即PA⊥ BC．
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（ii）平面ABC的法向量：n =( 0,0,1 ) 5分
2 2
而PB=− , 2,− ， 6分
2 2
2
−
PB⋅n 6
2
故cos PB,n = = =− 8分
PB ⋅ n 1 1 6
+ +2
2 2
6
故直线PB与平面ABC所成角的正弦值为 9分
6
（2）取AB的中点N，连接HN ，由已知条件可知HN//BC，故HN ⊥ AC，
所以∠PHN =θ=60° 11分
2 2 2 6
由PH = ，可得P ,− , ， 12分
2 2 4 4
( ) 2 2 6 ( )
则CA= 2,0,0 ，CP= ,− , ，CB= 0, 2,0 ，
2 4 4
设平面PAC 的法向量为m=( x,y,z )，
( )
由m⋅CA=0，m⋅CP=0，得法向量m= 0, 3,1 ， 13分
CB⋅m
6
所以点B到平面PAC 的距离为d = = 15分
m 2
18．解：（1）（ⅰ）总数为C3 =10 1分
5
当X =4，另2个为{ 1,2,3 }中选2个，有C2种可能
3
C2 3
所以P ( X =4 )= 3 = 4分
C3 10
5
（ⅱ）X的可能取值为3，4，5．
学科网（北京）股份有限公司1 1 C2 3 C2 6
P ( X =3 )= = ，P ( X =4 )= 3 = ，P ( X =5 )= 4 =
C3 10 C3 10 C3 10
5 5 5
所以X的分布列为
X 3 4 5
1 3 6
P
10 10 10
1 3 6 9
数学期E ( X )=3× +4× +5× = 8分
10 10 10 2
Cm−1
（2）X的可能取值为m，m+1，…，n；P ( X =k )= k−1 （k =m，m+1，…，n）
Cm
n
n 1 n
E ( X )= ∑k⋅P ( X =k )= ∑k⋅Cm−1， 10分
Cm k−1
k=m n k=m
k⋅( k−1 ) ! k!
因为k⋅Cm−1 = =m⋅ =m⋅Cm， 12分
k−1 ( m−1 ) ! ( k−m ) ! m! ( k−m ) ! k
所以E ( X )= 1 ∑ n m⋅Cm = m ∑ n Cm = m ( Cm +Cm +Cm +⋅⋅⋅+Cm )
Cm k Cm k Cm m m+1 m+2 n
n k=m n k=m n
= m ( Cm+1+Cm +Cm +⋅⋅⋅+Cm )
Cm m+1 m+1 m+2 n
n
= m ( Cm+1 +Cm +⋅⋅⋅+Cm ) = m Cm+1 = m⋅m! ( n−m ) ! ⋅ ( n+1 ) ! = m ( n+1 ) 15分
Cm m+2 m+2 n Cm n+1 n! ( m+1 ) ! ( n−m ) ! m+1
n n
m ( n+1 ) 6
由 =6得n=5+ 16分
m+1 m
又n≥m≥2，m，n∈N，所以满足条件的数组为( 2,8 )，( 3,7 )，( 6,6 )． 17分
19．解：（1）当a =2时， f ( x )=−e−x+2 −lnx+2，定义域为x∈( 0,2 ]，
则 f ( 1 )=−e+2， 1分
1
因为g ( x )= f′( x )=e−x+2 − ， 2分
x
则切线斜率k = g ( 1 )=e−1， 3分
切线方程：y−( 2−e )=( e−1 )( x−1 )，即y =( e−1 ) x+3−2e． 4分
学科网（北京）股份有限公司1 xe−x+a −1
（2）因为g ( x )=e−x+a − = ，x∈( 0,a ]，
x x
令h ( x )= xe−x+a −1，x∈( 0,a ]，可知h ( x )，g ( x )同号，h′( x )=( 1−x ) e−x+a，
当1< x≤a，h′( x )<0；0< x<1，h′( x )>0，
所以h ( x )在( 0,1 )单调递增，在( 1,a ]单调递减， 6分
因为h ( 1 )=ea−1−1>0，h ( a )=a−1>0，h ( 0 )=−1<0
1
所以h ( x )在( 0,a ]上存在唯一零点x ，且e−x 0 +a = ⇒a = x −lnx ， 7分
0 x 0 0
0
由零点存在性定理x ∈( 0,1 )，
0
则当0< x< x ，h ( x )<0；x < x≤a，h ( x )>0，
0 0
即0< x< x ，g ( x )<0；x < x≤a，g ( x )>0，
0 0
所以 f ( x )在( 0,x )单调递减， f ( x )在( x ,a ]单调递增， 8分
0 0
1 1
则 f ( x )=−e−x 0 +a −lnx +a =− −lnx +x −lnx = x − −2lnx ， 9分
0 0 x 0 0 0 0 x 0
0 0
2
1 1 2 1
令t ( x )= x− −2lnx，x∈( 0,1 )，t′( x )=1+ − = 1− ≥0，
x x2 x x
则t ( x )在( 0,1 )单调递增，由t ( 1 )=0，
所以x∈( 0,1 )时，t ( x )<0，即 f ( x )<0， 10分
0
因为 f ( a )=a−1−lna >0，当x→0， f ( x )→+∞，
所以 f ( x )在( 0,x )和( x ,a ]各存在一个零点，
0 0
故 f ( x )在( 0,a ]存在两个零点． 11分
（3）由（2）知，b是 f ( x )在( 0,x )的零点，则0<b< x <1，
0 0
且x 是 f ( x )的极小值点， f ( x ) = f ( x )，则只需证 f ( x )> g ( b )， 13分
0 min 0 0
由 f ( b )=0，得：−e−b+a −lnb+a =0，e−b+a =a−lnb，
学科网（北京）股份有限公司1 1
又g ( b )=e−b+a − =( a−lnb )− ，
b b
1
由（2）中a = x −lnx ，代入得：g ( b )= x −lnx −lnb− ， 14分
0 0 0 0 b
1 1 1
而 f ( x )= x − −2lnx ，则只需证：x − −2lnx > x −lnx −lnb− ，
0 0 x 0 0 x 0 0 0 b
0 0
1 1
即证： +lnb> +lnx ， 15分
b x 0
0
1 1 1 x−1
令m ( x )= +lnx，x∈( 0,1 )，则m′( x )=− + = <0，
x x2 x x2
所以m ( x )在( 0,1 )单调递减， 16分
1 1
由0<b< x <1，得m ( b )>m ( x )，即： +lnb> +lnx ，
0 0 b x 0
0
故原不等式成立，即 f ( x )> g ( b )． 17分
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